《人教版高中数学知识.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学知识.pdf（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、A蕤 版 焉 中 殿 孽 知 钳i.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合A =x l y =I gx,B =y l y =I gx,C=（x,y）l y =I gx,A、B、C中元素各表示什么？2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合A =x l x?2x 3 =（）,B =x l ax =1若Bu A,则实数a的值构成的集合为（答:）-1，0,1 ）3 .注意下列性质：（1）集合a1，a 2,，a j的所有子集的个数是2%（2）若A B
2、o AnB=A,AUB=B；（3）德摩根定律：Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）,Cu（AnB）=（CuA）U（CuB）4 .你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的 不 等 式 咚 的 解 集 为M,若3e M且5e M,求实数ax a的取值范围。a 3 5（V 3GM,32 v 0=ae 1,|j U（9,25）a 5 5V 5 M,A.052-a5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（v）,“且（）和“非”（）.若p A q为真，当且仅当p、q均为真若p v q为真，当且仅当p、q至少有一个为真若P为真，当且仅当P为假6 .命题的四种形式及其相互关系是
3、什么？(互为逆否关系的命题是等价命题。)原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7 .对映射的概念了解吗？映射f：AfB,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射？(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。)8 .函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？(定义域、对应法则、值域)9 .求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数y =迎 二?的定义域是l g(x-3)2(答：(0，2)U(2,3)u(3,4)10.如何求复合函数的定义域？如：函数f(x)的定义域是 a,b,b-a 0,则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定义域是 o(答：a,-a)
4、11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：f(j x +1)=e*+x,求f(x).令1=Jx +1,则t 0A x =t2-1，f(t)=e J +t2-1/.f(x)=e T +x2-1 (x 0)1 2 .反函数存在的条件是什么？(-对应函数)求反函数的步骤掌握了吗？(反解X；互换x、y；注明定义域)1+x (x 0)如：求函数f(x)=1 J的反函数-X2(X 1)(答：f T(X)=.)(x 0则0 x 0,函数f(x)=x，-ax在1,+8)上是单调增函数，则a的最大值是()A.O B.1 C,2 D.3(令f(x)=3x2-a =3则x -尚或X 2
5、a由已知f(x)在 1,+0 0)上为增函数，则上 4 1，即a 4 3二a 的最大值为3)16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？(f(x)定义域关于原点对称)若f(-x)=-f(x)总成立。f(x)为奇函数 函数图象关于原点对称若f(-x)=f(x)总成立o f(x)为偶函数。函数图象关于y 轴对称注意如下结论：(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。如：若f(x)=山 产 二 为 奇 函 数，则实数a =2X+1 -(f(x)为奇函数,x eR,又
6、O e R,Af(0)=0a 2 0 +a 2 .八即-r-=0,a =1)2 +l2X又如：f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当x e(O,1)时，f(x)=，4+1求f(x)在(-1,1)上的解析式。2 f(令X 0),则一X (0,1),f(-x)=-又f(x)为奇函数，f(x)=-三 匚=-为4+1 1+42X x G(-1,0)又f(0)=0,.,.f(x)=1 4X+1 v=o),X-x e(0,1)卬+1 I 17.你熟悉周期函数的定义吗？(若存在实数T (T w O),在定义域内总有f(x +T)=f(x),则f(x)为周期函数，T是一个周期。)如：若f(x+a)=-f(
7、x),则(答：f(x)是周期函数,T=2a为f(x)的一个周期)又如：若f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b()即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)则f(x)是周期函数，2|a-兄为一个周期如：“，切-271-218.你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称f(x)与-f(x)的图象关于?也对称f(x)与-f(-x)的图象关于原 点 对称f(x)与fT(x)的图象关于直线y=x对称f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称将y=f(x)图象左移a(a0)个 单 位)y=f(x+a)右移a(a
8、0)个单位 y=f(x-a)上移b(b0)个 单 位)y=f(x+a)+b下移 b(b0)个单位 y=f(x+a)-b注意如下“翻折”变换:f(x)|f(x)|f(x)f(lxl)如：f(x)=l o g2(x +l)作出 y =|l o g2(x +1 及 y =l o g2|x +1|的图象y=iog2x1 9.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(1)一次函数：y =k x +b(k*O)(2)kk反比例函数：丫 =2(1 0,向上，函数Y m i n =U,工 一 4a c-b2a ()时，两根X 1、X 2为二次函数y =ax?+bx +c的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式ax?
9、+bx +c 0 （0）解集的端点值。求闭区间 m,n上的最值。求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一根大于k,一根小于kof（k）0(4)指数函数：y =a*(a 0,ay l)(5)对数函数y =l o g,x(a0,aw l)由图象记性质！（注意底数的限定！）(6)“对勾函数 y =x +-(k 0)X利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？2 0 .你在基本运算上常出现错误吗？指数运算：a=l(a。)，a-P=4(awO)apm _a=(a 0),1(a0)对数运算：loga M N=loga M+loga N(M 0,N 0)loga logaM-logaN,l
10、oga VM=-lo ga MN n对数恒等式：a嘀x=x对数换底公式：loga b=1Ogc b=log b=loga blogc a d m2 1 .如何解抽象函数问题？(赋值法、结构变换法)如：(1)x eR,汽)满足*+丫)=仪)+六丫),证明f(x)为奇函数。(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-x,.)(2)x eR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。(先令x=y=-t=f(-t)(-t)=f(t,t)Af(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)Af(-t)=f(t)(3)证明单调性：f(x2)=f(x2-x,)+x2=.2 2 .掌握求函数值域的
11、常用方法了吗？(二次函数法(配方法)，反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。)如求下列函数的最值：(1)y =2 x-3 +J 1 3-4 x(2)2 V x-4(3)c 2 x 2x 3,y工(4)y =x +4 +j9-x?(设x =3 c o s。,0 G 0,兀 )9(5)y =4 x +,xX G(0,1 23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为。，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?(/=|a|.R,S扇=*R=g|a|-R2)24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义s i n a=M P,c o s a=O M,t an a =A T7 r
12、如：若 0 0，sin x ，如图:2.,.2k7i-x 2kn+(k eZ),0y V1+V225.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?|sin x|L|cos x|1对称点为(k 5，oj,k eZy=sinx的增区间为2k兀一5，2kjr+y (k eZ)减区间为2-会2 k 7 i +2(P)图象的对称点为(k m 0),对称轴为*=卜兀+鼠2)y =c o s x的增区间为 2 k兀，2 k j u +兀(k GZ)减区间为 2 k 7 C +兀,2 k兀+2;i (k e Z)图象的对称点为 k TC +5,0),对称轴为X =k 7
13、l(k Z)y =t an x的增区间为(k兀 一,k u +k G Z2 6.正弦型函数y =A s i n(c o x+p)的图象和性质要熟记。或y =A c o s(c o x +叫0 -T T(1)振幅I A I,周期T=I c o l若f(x 0)=A,贝i j x =X。为对称轴。若f(x 0)=0,则(x 0,0)为对称点，反之也对。(2)五点作图：令3 x +(p依次为0,7 i,?,2兀，求出x与y,依点(x,y)作图象。(3)根据图象求解析式。(求A、中值)C D(X)+(p=0如图列出c o(x2)+(p7 12解条件组求、(P值A正切型函数 y =Ata n（c ox
14、+（p）,T =I c o l27 .在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。如：c osf X+,X W 无，,求X值。28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意(到)运用函数的有界性了吗？如：函数y =si nx +si nl x l的值域是(x 2 0时，y =2si nx e-2,2,x p.(x，y),则=x +h平移至 y=y +k(2)曲线f(x,y)=0沿 向 量；=(h,k)平 移 后的方程为f(x h,y-k)=0如：函 数y =2si n(2x-，l的 图 象 经 过 怎 样 的 变 换 才 能 得 到y =si nx的图象？(y =2
15、si n(2x%l横坐标伸长到原来的2倍y =2si n隹x)0.(叫 左平个单位,上平移1个单位 9.=2si n(x-J -1-y =2si nx-1 -上 y =2si nx纵坐标缩短到原来的工倍-y =si nx)3 0 .熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如：1 =si n2 a +c os2 a =se c2 a-ta n2 a =ta na c ot a =c osa se c a =ta n4j r=si n =c osO =.称 为1的 代 换。2“k 二土a”化 为a的三角函数“奇 变，偶 不 变，符 号 看 象 限”，2“奇”、“偶”指k取奇、偶数。如：cos 等+
16、tan|(一等)+sin(21 兀)又如：函数ysin a +tan aA.正值或负值cos a+cot aB.负值，则y的值为C.非负值D.正值sin asina+(y=COSOL=cosacosa+sina3 1.熟练掌握两角和、差、理解公式之间的联系：sin2 a(cosa+1)cos2 a(sina+1)0,V aO)倍、降寨公式及其逆向应用了吗？sin(a p)=sin a cos 0 cos a sin 0。邛 sin 2a=2 sin a cos acos(a p)=cos a cos p+sin a sin pa P-cos 2a=cos2 a-sin2 atan(a P)=t
17、ana tan31T tan a tan p2cos2 a-1 =l-2 sin2 a=Vtan 2a2 tan a1-tan2 a21 +cos2acos a=-2.9 1 -cos2asirr a=-2asina+bcosa=7 a2+b2 sin(a+(p),tan(p=basin a +cosa=41 sin(a+sin a+6cos a=2sin(a+y应用以上公式对三角函数式化筒。(化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。)具体方法：(1)角的变换：如p=(a+B)-a,巴萨一(加(2)名的变换：化弦或化切(3)次数的变换：升、降幕公式(4)形的变
18、换：统一函数形式，注意运用代数运算。如：已知 sin a cosa=ta n/a _ =,求 tan(B -2a)的值。1-cos 2a 3(由已知得:sin a cos a cosa 1 .1-=-=1,tan a =一2 sin a 2 sin a 27又 tan(p-a)=-2taMB -2 a h tan(P-a)-a=汽鸵紫黑32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？卜2 2 2余 弦 定 理：a2=b2 4-c2-2bccosA=cos A=-2bc(应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。)a=2Rsin A正 弦 定 理：=-=2R=，b
19、=2RsinBsin A sinB sinCc=2RsinCSA =2 a bsinC.*A+B +C=7i /.A 4-B =7i C/.sin(A+B)=sin C,sin)；=cosC2A+R如AAB C中，2sin2-+cos2c=12(1)求角C；(2)a2=b2+,求cos2A-cos2B的 值。2(1)由已知式得：l-cos(A+B)+2cos2 C-1 =1又A+B =7i-C,2cos2 C+cosC-1=0cosC=或cosC=1 (舍)2TT又0C 0=ac bea b,c ac b,cd=a+cb+da b 0,c d 0=ac b dt八 1 1 1cl iab 0
20、n 一,a b 一a b a ba b O an bn,Va Vblxl 0)-a x a=x a如：若,L 0,则 下 列 结 论 不 正 确 的 是()a bA.a2 b2 B.ab la+bl D.-+-2b a答案：C35.利用均值不等式：a2+b2 2ab(a,b e R+)；a+b 2Vab；ab 4(；卜)求 最 值 时，你是否注意 到“a,b e R+且 等 号 成 立”时的条 件，积(ab)或 和(a+b)其中之一为定值？(一正、二定、三相等)a+b r-2ab/,-Vab -(a,b e R I2 a+bv+)当且仅当a=b时 等 号 成 立。注意如下结论：a2+b?+c2
21、 ab+be+ca(a,b e R)当且仅当a=b=c时取等号。a b 0,m 0,n 0,贝 ljb b+m,a+n a-1 -0,2-3 x 的最大值为x(设y=2 一 卜 +)K2 2厄=2 4 g当且仅当3x=&,又x 0,，x=在 时，ymax=2-4V3)C *IlldAx3又如：x+2y=l,则2*+4丫的最小值为(V 2X+22y 272x+2y=.最小值为2后)3 6.不等式证明的基本方法都掌握了吗？(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)并注意简单放缩法的应用。如：证明1 +二+4 222 32 n21 1 1,1 1 1(Id-H-z-+.d-7 1 -I-1-F.+-r
22、22 32 n2 1x2 2x3(n-l)n=2-2)n37.解分式不等式a(;g(x)a 工0)的一般步骤是什么？(移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1,穿轴法解得结果。)38.用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始如：(x+l)(x-l)2(x-2)3 l或0 a 3)4 1 .会 用不等式l a i-l b区a b国a l+l b l证明较简单的不等问题如：设f(x)=X?-x +1 3,实数a满足求 证：|f(x)-f(a)|2(l a l+l)证明：l f(x)-f(a)l=l(x2-x +1 3)-(a2-a +1 3)1=l(x -a)(x +a-l
23、)l (/l x -a l 1)=l x -a l l x +a -l l l x +a-l l l x l+l a l+lX l x l-l a l l x-a l 1,/.I x l l a l+1.,.|f(x)-f(a)|2 l a l+2 =2(l a l+l)(按不等号方向放缩)4 2 .不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？(可转化为最值问题，或“”问题)如：a f(x)恒 成 立o a f(x)恒 成 立 a f(x)的最大值a f(x)能 成 立 a f(x)的最小值例 如：对 于一切实数x,若 卜-3|+,+2 2恒 成 立，则a的取值范围是(设u =|x -3|+|x
24、+2 ,它 表 示 数 轴 上 到 两 定 点-2和3距离之和um i n=3-(-2)=5,；.5 a,即a 5或 者：|x-3|+|x +2以(x-3)-(x +2)|=5,A a 0当为0,d 0,解 不 等 式 组-可 得 到 最 大 值 时 的 n值。lan+l 0a 0当为 0,由 L 可得S 0达到最小值时的n值。lan+I0如：等差数列 a j,Sn=1 8,an+an_ j +an_2=3,S3=1,则n=(由a n+a +an_2=3=3 an_f=3,1=1又S 3 =(L2%)3 =3 a2=L /.a2=.q _ (ai+a jn _ (a,+an.)*n _ 1 3
25、 +7n 2 2 2n=27)4 4.等比数列的定义与性质定义：3 =q（q为常数，q/0）,a 0=a|q，ia 等比中项：x、G、y 成等比数列n G2=xy,或G =Mna,（q=1）前n项和:（qw l）（要注意！）性质：a j 是等比数列 若 m +n=p +q,贝 明 a。=a p （2）Sn,S2 n-Sn,S3 n-S2 n仍为等比数列4 5.由S 0求a”时应注意什么？（n=l时，a,=S j,n N 2 时，an=Sn-Sn_,）46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求 差（商）法如：a j 满足g a|7 a2 +.+an =2 n+5解：n=l时，-a,=
26、2 x 1 +5,Aa,=1 42n 2 时 ai+2a2 +.+击a”|=2 n l +5 1-2 得：-an=2an=2n+,.-1 4 （n=l）a=2）练习数列 a#满足Sn+S e =1用，a 1=4,求a”（注意到2 角=5=7 代入得：要s=4又 =4,.$.是等比数列，S 4”nN 2 n寸，an=S -Sn_,=.=3 4 一（2）叠乘法又a1=3,例如：数列 a中，=3,殳L=，_ ,求a。an n+1a3.a 1.2 n-J,.&=J_a2 a,.2 3 n a,n._ 3.a”=一n(3)等差型递推公式由an-a-i=f(n),a,=a0,求a”，用迭加法n 2时，a2
27、-a,=f(2)a.3-a?=f(3),两边相加，得：a0-a,J=f(n)an-a,=f(2)+f(3)+.+f(n)/.an=a0+f(2)+f(3)+.+f(n)练习数列 a j,a=l,a”=3T+a”i(nN2),求aj,(4)等比型递推公式an=can_j+d d为常数，cwO,cw l,d H 0)可转化为等比数列，设an+x=c(az+x)n a”=caz+(c-l)x令(c-l)x=d,x=c-1是首项为与+乙，c为公比的等比数列 练习数 列 aj 满足a 1=9,3 an+1+an=4,求a”(5)倒数法例 如：a,=1,an+1=一、，求a”an+2r -./.,ZQ 1
28、 a +2 1 1由已知得：-=-=I-n+1 2 n 2 Hn1 1 1为 等 差 数 列，-=1,公 差 为 Llanj ai 2一 =1 +(n-1),=(n+1)an v 7 2 2V.2.an=-n n+14 7.你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？例如：(1)裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：aj 是公差为d 的 等 差 数 列，求 一k=l akak+l.1 1 i f 1 1 解：由-=7-7-(d 丰 0)ak-ak+1 ak(ak+d)d ak ak+l;练习求和:1 +1-F1 +21I+2+3+1d-1+2+3+n(an=.=.,Sn
29、=2-)n+1(2)错位相减法：若 aj为等差数列，b n为等比数列，求数列 a/n(差比数列)前n项和，可由S n-qS：求S,其中q为 b“的公比。如：Sn=l +2 x +3 x2+4 x3+.+nx T x ,Sn=x +2 x2+3 x3+4 x4+.+(n-l)xn-1+nxn -：(1-x)Sn=1 +x +x2+.+xn-1-nxnx w l时，Sn(I)0-x)2nxnT xx =l时，Sn=1 +2 +3+n=n(n+1)2(3)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。snS na 1+a2+.+an_I+an，相加an+an-!+a2+aiJ2 sl i
30、=(a,+an)+(a2+an.1)+(a,+an)练习已知f(x)=，则f(l)+f(2)+f(3)+f(4)+=l +X2 +1 +x2=1.原式=)+f(2)+f()+f(3)+f 1)+f(4)+f(1)=-+l +l +l =3-)2 248.你 知道储蓄、贷款问题吗？零存整取储蓄(单 利)本利和计算模型：若每期存入本金p 元，每期利率为r,n 期后，本利和为：Sn=p(l+r)+p(l+2 r)+.+p(l+nr)=p n+.等差问题若按复利，如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款分期等额归还本息的借款种类)若贷款(向银行借款)P元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期
31、(如一年)后为第一次还款日，如此下去，第 n次还清.如果每期利率为r(按复利)，那么每期应还x元，满足p(l +r)n =x(l +r)n 1+x(l +r)n 2+.+x(l +r)+x1 +r)(1 +r._ p r(l +r)n.X=-p 贷款数，1-利率，n 还款期数4 9.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。(1)分 类 计 数 原 理：N=n i +m2+.+mn(o i j为各类办法中的方法数)分 步 计 数 原 理：N=n i 1 m 2.mn(m j为各步骤中的方法数)(2)排 列：从 n 个 不 同 元 素 中，任 取 m (mWn)个 元 素
32、，按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一列，叫做从n 个不同元素中取出m个 元 素 的 一 个 排 列，所 有 排 列 的个数记为A A：=n(n -l)(n -2).(n-m +l)=(m n)规 定：0!=l(3)组 合：从 n 个 不 同 元 素 中 任 取 m (mWn)个 元 素 并 组 成 一 组，叫 做 从 n 个不同元素中取出m个 元 素 的 一 个 组 合，所有组合个数记为C (n-m +1)n!。=-=:-:-规 定：C=1(4)组合数性质:50.解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法：相同元素分组可采
33、用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩X j e(89,90,91,92,93卜(i =L 2,3,x2 x3 x4,则这四位同学考试成绩的所有可能情况是()A.2 4 B.1 5 C.1 2 D.1 0解析：可分成两类：(1)中间两个分数不相等，X x2 x3 x4有C；=5(种)(2)中间两个分数相等X 1 x2=x3 n _|b+C-2b2+-+C n-rbr+C bn二项展开式的通项公式：=(2 沦1 1/(r=0,1 n)C：为二项式系数(区别于该项的系数)性质：(1)对称性：C：=C r(r =0,1,2,，n)(2)系数和：C：+C；+
34、C：=2 C：+C：+C：+=C,+C：+C：+=2 i(3)最值：n为偶数时，n+l为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第(5+1)项，二项式系数为C?；n 为奇数时，(n +l)为偶数，中间两项的二项式1 1 n-1 n+l系 数 最 大 即 第 速 项 及 第 审+1 项，其 二 项 式 系 数 为=C 7如：在二项式(x-l)”的展开式中，系 数 最 小 的 项 系 数 为 (用数字表示)(V n=l l.共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第匕=6或第7项2由CxUT(-1).取r=5即第6项系数为负值为最小：Y=V=-426又如：(1-2X)2014=a0 H-a.x+ajX
35、2+.+a2004x20-T 分(3)单 位 向 量la o l=1,a o =la i(4)零 向 量6,1 0 1=0(5)相 等 的 向 量 fa =b在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。(6)并线向量(平行向量)-方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。=6)0存在唯一实数入，使 己=九；(7)向量的加、减法如图：f f fO A+O B =O C-)O A-O B =B A(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)言，是 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量，；为 该 平 面 任 一 向 量，则存在唯一实数对A,1、九2，使 得a =%e i +%e 2
36、,e(e 2叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底。(9)向量的坐标表示7,j是 一 对 互 相 垂 直 的 单 位 向 量，则有且只有一对实数x,y,使得a=x i+y j,称(x,y)为向量a的坐标，记作：a=(x,y),即为向量的坐标表示。设a=(X|,y j,b=卜2，y2)则 ab=(xI,y j土(yy2)=(xj y,x2+y2)入a=N(X,yJ=(X,九y j若A(X1,y j,B(X2,y2)则AB =(X2 X|,丫2-%)IAB I=-J(x2-x j2+(y2-y,)2，A、B两点间距离公式57.平面向量的数量积(1)a b=lal Iblcose叫做向量a与b的数
37、量 积(或 内 积)。为向量；与1的夹角，0 e0,T t0比数量积的儿何意义：a b等于lai与b在a的方向上的射影Iblcos。的乘积。(2)数量税的运算法则 a b=b a(a+b)c=a c+b c a b=(x1,y,)(x2,y2)=x,x2+y,y2-注意：数量积不满足结合律(a b)c工a (b c)(3)重要性质：设a=(x,y),b=(x2,y2)a_Lb=a,b=0 x,-T a b=a 6=11山1或 b=-lai I bl a=Xb(b w O,九惟一确定)x,y2-x2y,=0-）a =la l2=x；+yj,la b l c o s。=x-+y%la i I b
38、l&+y；J x；+y；练习（1）已知正方形ABCD,边 长 为1,A B=a ,B C =b ,A C =c ,贝ijT T Tla+b+c l=答案：2 7 2（2）若 向 量a =（x,1）,b=（4,x）,当*=时a与b共线且方向相同答案：2 （3）已 知a、b均 为 单 位 向 量，它 们 的 夹 角 为6 0,那 么la+3 b l=答案：V 1 35 8 .线段的定比分点设P|（X|,yj,P2（x2,y2）,分点P（x,y）,设P、P?是 直 线/上 两 点，P点在/上且不同于B、P2,若存在一实数九，使 还=九靠2 ,则 九 叫 做P分有向线段港2所 成 的 比（九 0，P在
39、线段R P2内，入 0，P在R P2外），且X.+入 X）X=-,，P为PF 2中 点时，y =1 +X如：A A B C,A（X,yj,B（x2,y2）,C（x3,y3）则A A B C重心G的坐标是,%+个+丫3）.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？5 9 .立体儿何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：X,+X,X=-2线线 线面 面面一 判 定 线，线 线,面 面，面.性质一线线 线JL面 面面线面平行的判定：a/b,b u 面a,a c z a n a 面a线面平行的性质:a 面a,a u 面B，a，np=b n a b三垂线定理（及
40、逆定理）：PA_L面a,AO为PO在a 内射影，a u 面a,则a_LOA=a_LPO；aPO=aAO线面垂直:a_Lb,a_Lc,b,c u a,bC|c=O na_La面面垂直：a_L/Sa,aclKp=p_La面a_L面B，aPlp=/,a u a,a_L/na_L02_1_面。，bJ_ 面a=ab面a_L a,面p_J_anap60.三类角的定义及求法(1)异面直线所成的角o,0 e W90(2)直线与平面所成的角0,0 W。W900=0 时，bo b u a(3)二 面 角：二面角a-/-p的平面角。，0 9 =1a b一般式：A x +B y +C =0 (A、B 不同时为零)(3
41、)点P(x ,y )到直线/：A x +B y +C =0 的距离 d =+B y。+=A?B.2 2A)C2 w A2C jk|=k 2=/i 1 2(反之不一定成立)AA+B|B?=0 =A _1 _4k,k2=-1 =/,/26 6 .怎样判断直线/与圆C的位置关系？圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。6 7 .怎样判断直线与圆锥曲线的位置？联 立 方 程 组 n关于x (或y)的一 元 二 次 方 程 n 0=相 交；=()=相 切；2 c=|F,F2|第一定义 双 曲 线o|P F j-|P F 2 b 2 a,2 a 2。=怛 同抛物线 o|P
42、 F|=|P K|第 二 定 义：e=J =-|P K|a0 e 椭 圆；e l u 双 曲 线；e=lu 抛物线(a2=b2+c2)2,2V(a 0b 0)(c2=a 2 +b.2 2 2 269.与双曲线千-3=1有相同焦点的双曲线系为3 -3=九(入NO)70.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？()的限制。(求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在()下进行。)弦长公式|P i P?|=(l+k2(x,+x2)2-4 x 2=J(+击(%+丫2)2 _ 4%力71.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？如：P(x(),y o)y2 2ua-b2e,|P
43、F2|=ex0-y K e x0-a|PF,|=ex0+ay2=2px(p 0)通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。7 2 .有关中点弦问题可考虑用“代点法”。如：椭 圆mx?+ny2=1与 直 线y=1-x交于M、N两 点，原点与MN中点连线 的 斜 率 为 容 呜 的 值 为答 案:：考7 3 .如何求解“对称”问题？(1)证明曲线C：F (x,y)=0关于点M(a,b)成中心对称，设 A (x,y)为曲线C 上任意一点,设 A，(X、/)为 A关于点M 的对称点。z,x+x y+y，八 ，、(由a=-，b=-=x=2a-x,y=2b-y)2 2只要证明A2a-x,2b-y)也在曲线C上，即f(x，)=y，A A 1 I/(2)点A、A，关于直线/对称o ,一 ，AA，中点在/上KkA A *k,=-lA A,中点坐标满足/方程7 4.圆x?+y 2 =J的参数方程为F=r CS G（。为参数）y =r s i n0椭圆g +S =l的参数方程为f=a cos（0为参数）a b y =b s i nO7 5 .求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。(直接法、定义法、转移法、参数法)7 6 .对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。