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1、第 01练 空间向量及其运算、空间向量基本定理善积累运用【知识梳理】知识点一向量的概念与向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）.在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量.【向量的几何表示】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如标、皮，字母表示，用小写字母之、总表示.有向向量的长度为模，表示为|靛|、百，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为。的向量为零向量.【向量的模】族的大小，也就
2、是乱的长度（或称模），记作|屈|.【零向量】长度为零的向量叫做零向量，记作1,零向量的长度为o,方向不确定.【单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量瓦（与耗共线的单位向量是lABl【相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性.知识点二平行向（共线）1、平行向量：方向相同或相反的非零向量.如果Z，b-3是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则 可 即 位 任 一 组 平 行 向 量 都 可 移 动 到 同 一 条 直 线 上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行.2、共线向量：如果几个向量用同一个
3、起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量.零向量与任一向量共线.说明：（1）向量有两个要素：大小和方向.（2）向量Z与向量i共线的充要条件是：向量4与向量6的方向相同或相反，或者有一个是零向量.共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量.知识点三两向量的和或差的模的最值【知识点的知识】向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减.就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量.当两个向量相加时，有N+E国力+后|,当且仅当之与E方向相同时取得到等号；也有N+E国 图-|讪，当且仅当Z与E方向相反时取得到等号.另外还有。-bl|al-lbll当且仅
4、当之与E方向相同时取得到等号.知识点四向量的加法【知识点的知识】向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设Z与E不共线，在平面上任取一点A（如 图1）,依次作标=a,BC=Z,则向量叫做Z与E的和，记作Z+E，即7+芯=族+前=正图1特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.（2）平行四边形法则：如图2所示，ABC）为平行四边形，由于标=灰，根据三角形法则得 标+屈=标+前=正，这说明，在平行四边形A8C。中，所表示的向量就是屈与屈的和.特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对
5、角线.（首尾相接，结果为首尾）图2（3）向量的加法性质 a+0=0+a=a；a+（-a）=0；a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）知识点五向量的臧法【知识点的知识】向量的减法及其几何意义：求两个向量差的运算叫向量的减法运算.法则：以将向量与向量6的负向量的和定义为之与E的差，即Z-E=Z+（-E）.设 之=金，b=OB.则.即=赢-丽=赢+（-而）=赢+丽=丽+5 1=痴.即 赢-丽=诬特征；有共同起点的两个向量W、V 其 差 W-E 仍然是一个向量，叫做Z 与E的差向量，其起点是减向量E的终点，终点是被减向量之的终点.（减终指向被减终）知识点六向量的三角形法则【知识点的知识】三角形
6、法则：设之与E 不共线，在平面上任取一点A （如 图 1）,依次作标=4,正=6 则向量叫做二与E的和，记作Z+E，即1+芯=标+前=菽特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.知 识 点 七 向量加减混合运算【知识点的知识】1、向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设之与E不共线，在平面上任取一点A （如 图 1）,依次作族=a,皮=b,则 向 量 叫做Z 与E 的和，记作W+E，即晶 石=族+前=菽特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.（2）平行四边形法则：如图2所示，
7、A B C。为平行四边形，由于标=前，根据三角形法则得 标+屈=标+前=正，这说明，在平行四边形A8C。中，所表示的向量就是屈与屈的和.特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对 角 线.（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质 a+0=0+a=a；a+（-a）=0；a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）2、向量的减法运算.求两个向量差的运算叫向量的减法运算.法则：以将向量”与向量b 的负向量的和定义为Z 与E的差，B P a-b=a+（-b）.设 之=金，b=OB则.即=赢-而=示+（-而）=赢+丽=丽+51=而.BPOA-OB=BA特征；有共
8、同起点的两个向量、b-其 差 仍 然 是 一 个 向 量，叫做Z与E的差向量，其起点是减向量E的终点，终点是被减向量之的终点.（减终指向被减终）知识点八向量数乘和线性运算【知识点的知识】（1）实数与向量之的积是一个向量，记作入之，它的大小为仇之|=仇|力，其方向与入的正负有关.若仄之快0,当儿0 时，入 Z 的方向与Z 的方向相同，当入0 时，入 Z 的方向与力的方向相反.当入=0 时，入 a与Z平行.对于非零向量。、b,当?#0 时，有 2 匕=2=九 6（2）向量数乘运算的法则 1 a=a；（-1）a=a；（入 g a=（H）a=N（入 a）；（九+i）a=a+na；九（a+b）=a+b.
9、一般地，n+几 叫做Z，E的一个线性组合（其中，限 N均为系数）如果7=武+国，则称i 可以用之，5线性表示.基础过关综1.（2022镇海区校级模拟）已知向量沅，元,则“存在实数;I,使得玩=而”是“所,万共线”的（)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.(2 0 2 2 江西模拟)已知向量4=(2,4),5 =(-2,”)，.a+h=a-b,则机=()A./3 B.1 C.毡 D.2347r3.(2 0 2 2 洛阳模拟)已知向量 1 =(1,s i n。)，6 =(-1,co s,则“(=下”是“G/5 ”的(4)A.充分不必要条件 B.必要
10、不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.(2 0 2 2 辽宁模拟)已知点P为A 4 B C 的重心，A 8 =3,A C =6,A =，点Q是线段3 P 的中点，贝”而|为()A.2 B.-C.6 D.-2 25.(2 0 2 2 乌鲁木齐模拟)若平面向量万与5 =(1,-1)方向相同，且|&|=2&,则&=()A.(-V 2,V 2)B.(V 2,-V 2)C.(-2,2)D.(2,-2)6.(2 0 2 2 榆林二 模)已知|函|=|通|=2,|函 =1,则 例+3 函 =()A.2 B.4 C.7 1 0 D.V 1 57.(2 0 2 1 浙江模拟)已知&,6 为单位
11、向量，向量守满足|2 1：+利=|无6|,则|-6 的最大值为()A.B.2 C.y/3 D.38.(2 0 2 2 吕梁一模)在 A A B C 中，。为 3 C 的中点，EB=2 A E,AF=2FC,E F 与 A D 交于 G,A G =A A D,则几=()_ _ 3 _,_.9.(2 0 2 1 新乡二模)在Z V U 5 c 中，荏=一(而+同，。为 BC边的中点，则()A.3AE=1ED B.1AE=3ED C.2AE=3ED D.3AE=2ED二.填 空 题（共 6 小题）10.（2022呼和浩特一模）已知菱形A8C。的边长为3,NBAO=120。，点 E,F 分别在边BC,
12、CD h,且满足8 g=后？,口 =2。户，贝 1|4百+4 尸|=.11.（2022惠农区校级三模）设2,6 是两个不共线的非零向量，若 向 量%+26与8G+防的方向相反，则=.12.（2021贵溪市校级模拟）若 向 量 岫=-3 8,则向量油与向量C/5共线.（判断对错）13.（2021芜湖模拟）已知1,b,5 是单位向量，a+b+c=0,贝力&-5|=.14.（2022重 庆 模 拟）点 M 在 AABC内 部，满 足 2环（+3M月+4MC=。，则“M A C S/MAB=-15.（2022长安区校级三模）在 AABC中，43 =2,AC=.。是 8 c 边上的中点，则 A b 8不
13、的值为.n _ .16.（2020滨州三模）已知O 是三角形？1BC内部一点，满足04+20月+加 片=。，戛 理=9,SM BC 7则实数机=（）A.2 B.3 C.4 D.517.（2017宝鸡三模）已知点尸是圆：/+,2=4 上的动点，点A,B,。是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且 A反3 c =0,则|%+尸方+尸小的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.818.（2020天津）如图，在四边形 ABCD中，ZB=6O,AB=3,B C =6,且 A/5=；18C,AD.AB=,则 实 数 彳 的 值 为若 M ,N是线段BC上的动点，且则26D M D N的 最 小 值 为.19.（上海）已知平面向量1、b、;满足且 伍|5|,|可=1,2,3 ,则|d+石+即的最大值是.20.（2019广元模拟）在 A48C 中，4 4 c =90。，=1 ,AC=2,设点 P,。满足 A 户=4A 2，A Q =（-A）AC,2e/?,B Q CP=-2,贝=（）124A.-B.-C.-D.233321.（2013浙江模拟）已知AABC中，A B A Ct|丽-恁|=2,点M是线段BC（含端点）上的一点，且而心（4万+祕）=1,则|A M 1的 取 值 范 围 是.