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1、北师大附属实验中学2020-2021学年度第一学期初三摸底测试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1.下面四个图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确.故选D.【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋 转 180度
2、后两部分重合.2.下列各式中，y 是 x 的二次函数的是（）A.xy+x2=B.x2+y-2=0 C.y 2-ax=-2 D.x2-y 2+l=0【答案】B【解析】【详解】试题解析：由二次函数的定义，y 可以化为关于X的最高次数为2 次的整式方程，B 项可化为y x+2,故选 B.3.已知一组数据:：2,5,2,3,4,这组数据的中位数是（）A.2【答案】B【解析】B.3C.2.5D.4【分析】根据中位数的计算方法计算即可；【详解】把数据从小到大排序为2,2,3,4,5,所以中位数是3.【点睛】本题主要考查了中位数的计算，准确计算是解题的关键.4.如图，mAABC中，ZACB=90,A C=1
3、,AB=3,则 8 C 的 长 为（）【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理计算即可；【详解】：R/AABC中，ZACB=90,AC=1,AB=3,BC ,3，-1?=2/2；故答案选D.【点睛】本题主要考查了勾股定理的计算，准确计算是解题的关键.5.下列各式中，一定是最简二次根式的是（）A.25/2 B.值 C.&D.79【答案】A【解析】【分析】被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据定义，逐条判断即可.【详解】解：A、历属于最简二次根式，符合题意；B、口 属 于 三 次 根 式，不合题意；C、1”=冈，不属于最简二次
4、根式，不合题意；D、M =3,不属于最简二次根式，不合题意；故选：A.【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.6.把方程Y-4 x +l=0 配方后所得到的方程是（）A.(X-2)2+1=0 B.(X 4+5=0 C.(X-2)2-3 =0 D.(X-2)2+5=0【答案】C【解析】【分析】根据配方法的步骤计算即可；【详解】x2-4 x +l=0,x1-4 x =-1，x2-4%+22=-1 +22)(X-2)2-3 =0.故答案选C.【点睛】本题主要考查了一元二次方程配方法的
5、知识点，准确计算是解题的关键.7.下 列命题中，真命题是().A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】C【解析】【详解】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误.故选C.8.如图，矩形ABCD,对角线AC、BD交于点。，AE_LBD于点E,凶。8=45。测/B A E的大小为()A.15B.22.5C.30D
6、.45【答案】B【解析】【分 析】根据同角的余角相等易证/B A E=N A D E,根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得ZO A B=ZO BA,在 RtZABD中，已知NOBA即可求得NADB的大小，从而得到结果.【详解】；四边形ABCD是矩形，AE1BD,.ZBAE+ZABD=90,ZADE+ZABD=90,.ZBAE=ZADE 矩形对角线相等且互相平分，ZQAB=ZOBA=67.5,/.ZBAE=ZADE=90-67.5=22.5,故 选 B.【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分.9.根据表格中代数式加+fev+c=O与 x 的对应值，判断方
7、程加+6x+c=0（其中a,b,c 是常数，且存0）的一个根x 的大致范围是（）X6.176.186.196.20aj+bx+c-0.03-0.010.020.06A.6x6.17 B.6.17x6.18C.6.18x6.19 D.6.19 c x 6.20【答案】C【解析】【分析】观察表中数据得到当户6.18时,y=-0.01=0.02 0,则可判断当x 在 6.18 v tV6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0,即 以2+法+-0,所 以 可 确 定 方 程 法+c=0的一个根的大致范围为6.18x6.19.【详解】解：.当卡6.18时，y=-0.010,.当x 在 6.18x6.
8、19的范围内取某一值时，对应的函数值为0,即 加+x+c=0,，方程武+法+（尸0（其中a,b,c 是常数，且 a#0）的一个根x 的大致范围为6.18 0,所以函数y有最大值；该函数的图象关于直线x=-1对称；当x=-2时，函 数y的值等于0；当x=-3或x=l时，函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是（）【解析】【详解】由图象知：函数有最小值；错误，不符合题意.该函数的图象关于直线x=-l对称；正确，符合题意.当x=-2时，函数y的值小于0；错误，不符合题意.当x=-3或x=l时，函数y的值都等于0.正确，符合题意.故正确的有两个，选C.【点睛】此题主要考查了根据函数图象解答问题，体现了
9、数形结合的数学思想方法.数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化.中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,即数形结合包括两个方面:第一种情形是“以数解形 ，而第二种情形是“以形助数二、填空题（每小题3分，共18分）1 1 .若关于x 一元二次方程/+2 m=0的一根为1,则 加 的值是.【答案】1【解析】【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值.【详解】解：
10、把x=l代入方程有：1+m-2 m=0m=l.故答案为：1.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值.1 2 .抛物线 =一%2 -2 x+z,若 其 顶 点 在X轴 上，则 加=【答 案】-1【解 析】分 析】根据抛物线的顶点坐标即可解答.【详 解】原 式 可 写 成y=-（x+l）2+l+m又 因 为 顶 点 在x轴上,即 l+m=O,m=-l.【点 睛】掌握抛物线一般式和顶点式之 间 转化是解答本题的关键.1 3 .如图，BO是 平 行 四 边 形A 8C Z）的对角线，点E、尸在8。上，要 使 四 边 形A E C尸是平行四边形，还需增加的一个条件是
11、（填一种情况即可）.【答 案】B E=D F【分 析】根据平行四边形的判定添加条件即可.【详 解】解：如图，连 接AC交8 3于 点O,V四 边 形A B C D为平行四边形,：.A O=C O,B O=D O,.当/时，可 得0 E=0凡 则 四 边 形A E C P为平行四边形，可 增 加8E=C F,故答案为：B E=D F（答案不唯一）.定理是解题的关键.【点 睛】本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，熟练掌握判定1 4 .为 了 践 行“首都市民卫生健康公约”，某 班 级 举 办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩如表所示（各项成绩均按百分制计）:项目书面测试实际操作宣
12、传展示成 绩（分）9 69 89 6若 按 书 面 测 试 占3 0%、实 际 操 作 占5 0%、宣 传 展 示 占2 0%,计 算 参 赛 个 人 的 综 合 成 绩（百分制），则小明的最后得分是.【答案】97【解析】分析根据加权平均数的定义列式计算可得.【详解】解：小明的最后得分是96X30%+98X50%+96X20%=97（分），故答案为：97.【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.1 5.如图，在四边形ABCD中，P 是对角线BD的中点，E,F 分别是AB,CD 的中点，AD=BC,ZPEF=18。，则/P F E 的度数是_ _ _ _ _ _ _ _
13、 _ _.【答案】18.【解析】【详解】试题分析：根据中位线定理和已知，易证明AEPF是等腰三角形.在四边形ABCD中，P 是对角线 BD 的中点，E,F 分别是AB,C D 的中点，；.FP,PE分别是 CDB与 DAB的中位线，.PF=g BC,PE=yAD,VAD=BC,A PF=PE,故A EPF 是等腰三角形.；NPEF=18。，NPEF=NPFE=18。.故答案为18.考点：三角形中位线定理.16.抛物线y=o?+加c+c 上部分点的横坐标x,纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下X-2-1012 y 04664列 说 法 中 正 确 的 是.（填写序号）抛物线与x 轴的一个交点
14、为（3,0）：函数,=0 +。%+/3 ；(2)xi =4,X 2=-22【解析】【分析】(1)先算负整数指数幕、零指数基和二次根式的化简，最后进行加减计算即可；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.【详解】解：(1)原式=+1-26；=-2 /32 2(2)移项得：x(x-4)+2 (x-4)=0,(x-4)(x+2)=0,x-4=0,x+2=0,xi=4,X 2=-2.【点睛】本题考查了解一元二次方程、实数的运算、负整数指数幕和零指数幕等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键.1 8.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形 的尺规作图过程.己知：四边
15、形ABCD平行四边形.求作：菱形ABEF(点E在上，点F在AD上).作法：以A为圆心，A8长为半径作弧，交AD于点F；以B为圆心，长为半径作弧，交BC于点E；连接EF.所以四边形4 5 E F为所求的菱形.根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；D（保留作图痕迹）li C（2）完成下面的证明.证明：.A/7=AB，B E=A B,在口A B C。中，A D/B C,即，四边形/W所 为平行四边形.（）（填推理的依据）A F =A B，四 边 形 为 菱 形.（）（填推理的依据）【答案】（1）见解析；（2）AF=BE,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边
16、形是菱形.【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可.（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可.【详解】（1）解：如图所示，菱形A B E F 即为所求.：.AF=BE,在 口 A B C Q 中，AD/BC,即 AF/BE.四边形4 8 所 为 平 行 四 边 形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，）（填推理的依据）：AF=AB,四边形A B E F 为菱形.（邻边相等的平行四边形是菱形）故答案为：AF=BE,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形.【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌
17、握基本知识，属于中考常考题型.1 9.如 图，正 方 形 网格中的每个小正方形的边长都是1,每 个 小 格 的 顶 点 叫 做 格 点.如 图1中是以格点为顶 点 面 积 为5的正方形.（1）在 图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3、4、5；（2）在 图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、逐、V 1 3 .图 2【答 案】（1）作图见解析；（2）作图见解析图 3【解 析】【分 析】（1）根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，确定好直角边和斜边，即可作出;（2）根 据1 X 2的 对 角 线 为 百，3 X 2的 对 角 线 为 内，可作出三边长分别为
18、2、亚、J i与的三角形.【详 解】解：（1）：3 2+4 2=5 2该三角形为直角三角形，作图如下:的关键.【点 睛】本题主要考查了勾股定理在作图中的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题20.如图，nABCD 中，点 E,F分别在边 BC,AD 上，BE=DF,ZAEC=90.（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接 B F,若 AB=4,/ABC=60。，BF平分/A B C,求 AD 的长./【答案】（1）见解析；（2）6.B E C【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到BC=A0,BC7/A）,再根据线段的和差可得求得E C=A F,然后根据平行四边形的判定可得四边形AE
19、CF是平行四边形，最后根据矩形的判定定理即可得证；（2）先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出BE=2,AE=2百，再根据矩形的性质得到F C工BC,FC=AE=2后,然后根据角平分线的定义得到/8。=3乙45。=30。，最后根据直角三角形的性质、平行四边形的性质即可得.【详解】（1）四边形A B CD平行四边形BC=AD,BC/AD又：BE=DF:.BCBE=ADDF,即 EC=AE四边形AECF为平行四边形又:NAC=90。四边形AECF是矩形；（2）在 放AABE中，AEB=90,ZABE=60,AB=4BE=LAB=2,A E 7 A B 2 -BE。=262.四边形AECF是矩形FC
20、 BC,FC=AE=2也.BF 平分 ZABCZFBC=-Z A B C =3Q02在 RtBCF 中，ZFCB=90,ZFBC=30,FC=2百BF=2FC=473,BC=4BF2-F C2=6 AD=BC=6.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键.21.关于X 的一元二次方程X 一(A+3)X+2A+2=0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1,求人的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)k 0,方程总有两个实数根；(2)(x 2)(xk,1)=0,/.X)=2,/=女 +1，,方程有一
21、根小于1,*,4+1 1,，攵 0.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和利用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用这些知识点进行求解.22.下面给出了我国31个省份2019年居民人均可支配收入(单位：万元)；1.9139 1.9501 2.0397 2.2082 2.2618 2.3103 2.3328 2.38282.3903 2.4254 2.4412 2.4563 2.4666 2.4703 2.5665 2.62622.6415 2.6679 2.7680 2.8319 2.8920 3.0555 3.1597 3.18203.5616 3.9014 4.1400 4.24
22、04 4.9899 6.7756 6.9442对上述数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息:收入X1.0%1.51.5 x 2.02.0 x 2.52.5 x 3.03.0 x 3.53.5 x 4.0频数02a732收入X4.0 x 4.54.5 x 5.05.0 x 5.55.5 x 6.06.0 x 6.56.5 x -1 8,解得C、D两点坐标，求出CD的值，由B点在抛物线上，5 A B s=5 4及，求出B点纵坐标，把纵坐标代入抛物线解出横坐标详解】解：(1)y=x2-(2m +4)x +/t t2-1 0=x-(m+2)2+m2-10-(m+2)2=x-(m+2)2 一4加一
23、 1 4 二抛物线顶点 A 的坐标为(w +2,-4 m 1 4).由于顶点A到y轴的距离为3,m+21=3.m=1或加=一5.二抛物线与x轴交于。、。两点，.m=5舍去抛物线顶点A的坐标为(3,-1 8)(2).抛物线的解析式为y=*3)2-1 8.二抛物线与x轴交C、。两点的坐标为(3 +3后,()，(3-3 7 2,0).；C D =6&8点在抛物线上，SW C D=54叵，设6 (%,九),则%=1 8 ,把 力=1 8代入到抛物线的解析式为y=(x-3)2-1 8解得%=9或4=一3 .把 力=-1 8代入到抛物线的解析式为y=0-3)2-1 8解得/=4=3.点坐标为(9,1 8)
24、,(-3,1 8),(3,-1 8).【点睛】本题是二次函数的综合应用题，考查抛物线的顶点坐标公式，会求解抛物线上的点的坐标.24.如图，在正方形A B C。中，A B =6,是CD边上一动点(不与。点重合)，点。与点E关于A所在的直线对称，连接AE，M E，延长CB到点尸，使得所=DM，连接七户，A F -图1备用图(1)当DM =2时，依题意补全图1；(2)在(1)的条件下，求 线 段 所 的 长；(3)当点”在CO边上运动时，能使AA石尸为等腰三角形，请直接写出此时。M与A 的数量关系【答案】(1)详见解析；(2)E F =2屈;(3)A D =ZW或A D =2 Z W.【解析】【分析
25、】(1)根据题意画图即可；(2)连接证明再根据正方形的性质计算即可；(3)设力M=x(x 0),则CM=6 x,当AA所为等腰三角形时，只能有两种情况：A E =E F，或A E =石尸，计算即可；【详解】(1)根据题意作图如下：（2）连接BM，如图2,点。与点E关于AM所在直线对称,AE=AD，ZMAD=ZM AE，.四边形 ABC。是正方形，.AT=4 3，ZD=ZABF=90,BM=BF，：.AD M ABF(SAS)/.AF=AM.ZFAB=ZMAD././FAB=/NAE,ZFAE=ZMAB,FAEM AB(SAS),；EF=BM四边形ABC。是正方形，BC-CD-AB=6，,/DH
26、=2,CM 4,*-BM=BC2+CM2=2A/13,，EF=2 屈;(3)设。M=x(x 0),则G l/=6-x,；EF=BM=yJCM2+BC2=12x+72,A AZ)6,AZ7=AM=VDM +AD=Jx2+36，,AF AE,当AAE尸为等腰三角形时，只能有两种情况：AE=E F,或A/=M,当4=所 时，有J fi 2x+7 2=6,解得x =6,，M=6,，AD=ZW；当A F =EE时，&-1 2X+72=4+3 6,解得，x =3,OM =3,：A D =6,A D =2 Z W.综上，DM与AO的数量关系为A O =DM或A D =2M/，故答案为：4)=血/或4)=2。
27、以.【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合勾股定理计算是解题的关键.四、附加题：25.阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若K x W m,求二次函数y =f-6 x +7的最大值.他画图研究后发现，x=l和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论.他的解答过程如下：.由对称性可知，x=l和x=5时的函数值相等.二次函数y =f -6x+7的对称轴为直线x=1,.若l W m 5,则x=l时，y的最大值为2；若m 25,则 才=时，y的最大值为帆2 一6机+7 .请你参考小明的思路，解答下列问题：(1)当-2W x“时，二次函数丫=2/+4%+1的 最 大 值 为；(2)
28、若pW xW 2,求二次函数、=2丁+4犬+1的最大值；(3)若t S xW t+2时，二次函数)=2/+4尤+1的最大值为31,贝 的值为【答案】(1)49；(2)若 阵-4,则当x=p时，y的最大值为2P?+4p+l,若-4V pW 2,则当x=2时，y的最大值 为17；(3)t的值为1或-5.【解析】【分析】试题分析：（1）先求出抛物线的对称轴为直线X=-1,然后确定当x=4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x=-l,再根据对称性可得x=-4和 x=2时函数值相等，然后分区-4,-4 pW 2讨论求解；（3）根 据（2）的思路分t 2,则称P为
29、直线的平安点.已知点 A（-V 2,0）,B（0,l）,C（-l,l）（1）当 直 线/的 表 达 式 为 时，在点A,B,C 中，直线/的平安点是；若以0 8为边的矩形O B E F 上存在直线/的平安点，则点E的横坐标的取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；若直线y=kx+bkb 0）被坐标轴所截得的线段上所有的点都是直线/的平安点，则 应 满 足 的 条 件为;（2）当直线/的表达式为y =时，若点C 是直线/的平安点，求上的取值范围.52 3 4 5【答案】A,C；2或“1且0&0或 1 0或 1 血%0时；当-l V k 0时；当k 2,故点C 是直线1
30、的平安点;过点A 作 x 轴，y 轴的垂线,分别交直线/于点O,M,VA(0,0),则有 AM=血，AO=V2AM+AO=20 2,故点A 是直线1的平安点;.在点A,B,C 中，直线1的平安点是A,C；若以OB为边的矩形OBEF上存在直线1的平安点，则点E 的横坐标n 的取值范围n 2；若直线 y=kx+b(kbW O)被坐标轴所截得的线段上所有的点都是直线1的平安点，则 k,b 应满足的条件为|b|且 OVk0 时，CM+CN=(1+k)+(J+1)2,则 C 定为直线1的平安点；当-lV k 2,解得 1-V2 k l+V 2，则 当 1-、历 VkVO 时，C 为直线1的平安点；当 k 2,k解得 或,则当k V-l-a 时，C 为直线I 的平安点.综上所述，若点C 是直线I 的平安点，k 的取值范围为k 0 或 1-、反 kV O 或 k 2；|b|l 且 0k|b|.【点睛】本题考查一次函数综合题、P为直线1的平安点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题.