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1、第2节 导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性 课时作业灵活方4密致提卷选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练导数与函数的单调性关系的理解3,4,6,7,91216利用导数研究函数的单调区间1,214,1517利用导数与函数综合应用5,8,10,1113A级基础巩固练1.(2021 江苏常熟高三抽测)函数f(x)=2x 2-In x的单调递减区间为(D )A.(-2,2)B.(0,2)C.(一沾 D.(0,|)解 析：函 数f (x)的 定 义 域 是(0,+8),f，(x)=4x-=生二，由X X(4X1 2-*B.1丁 ，可得0 0,2 22.函数f(x)7条
2、 在(B )A.(-8,+8)内是增函数B.(-1,1)内是增函数,在其余区间内是减函数C.(-8,+8)内是减函数D.(-1,1)内是减函数，在其余区间内是增函数解析:f(x)的定义域为R,f&)=尹 之，当 (x)0时，解得-1解1,故 f(x)的单调递增区间为(-1,1);当f(x)0时,解得X l,故 f(x)的单调递减区间为(-8,-1),(1,+8).故选 B.3.(2021 浙江高三联考)已知函数f (x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是(B )解析：由函数y=f (x)的图象知f (x)在(1,2)上是增函数,其余部分递减.故选B.4.已 知 f(x)在 R上是可导函
3、数，f(x)的图象如图所示，则不等式(x2-2x-3)fz(x)0 的 解 集 为(D )A.(-8,-2)u(1,+8)B.(8,2)U(1,2)C.(-8,-1)u(-1,0)U(2,+8)D.(-8,-1)U(-1,1)U(3,+8)解 析:原 不 等 式 等 价 于 0，或,结合f(X)的图象可得，3 或 3 或TXL 故选 D.5.已知定义在R 上的函数f(x)亭 x +x 2+a x+l 有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是(D )A.-1)U(1,+8)B.-1,0)U(0,1C.(-1,1)D.(-1,0)U(0,1)解析：f (x)=a x2+2x+a,若函数f (x
4、h a x x Z+a x+l 有三个不同的单调区间，则f (x)=a x2+2x+a=0有 2 个不相等的零点,则有 =4-4a20,且 a WO,解得T C a G,且 a WO,即实数a的取值范围是(-1,0)U(0,1).故选D.6.已知函数f (x)=|x3+(2-a)X2+X-4在(0,2 上为增函数,则a 的取值范围是(B )A.(-8,4 B.(-8,3 C.(4,+8)D.(-8,3)解析：f (x)=x?+2(2-a)x+l,由题意可知 x2+2(2-a)x+10 在区间(0,2 内恒成立，即 2(a-2)Wx+3 x e(0,2,X由基本不等式知x+二 的最小值为2,因此
5、2(a-2)W2,即a W3.故选B.X7.已知函数f（x）二 竺 4（aW。）的部分图象如图所示，则（B ）A.a0C.b-c0D.3a-2b+c0,A选项错误；f (-1X0,则 g(-l)=-3a+2b-c0,D选项错误；f(1)0,则 g(l)=a-c0,B 选项正确;f (0)0,则 g(0)=b-c0,C 选项错误.故选 B.8.已知非负函数f(x)的导函数为f (x),且 f(x)的定义域为(0,+8),若对于定义域内的任意x,均 满 足 伊(x)上,则下列式子中不一定X正 确 的 是(B )A.f(2)2f(1)B.f(3)e f(2)C.f(4)-f(3)D.f(e)2e f
6、(-)6 2解析：因为 x0,且 f，(x)3,可得 xf,(x)f(x),即 x fz(X)-Xf(x)0,令 g(x)=P，贝 I J g (x)=r了，所以 gz(x)0,所以X xzg(x)=但 在(0,+8)上单调递增，X对于选项A,由g(2)g(l),可得?一,即 f(2)2f(l),故选项A正确；对于选项B,由g(3)g(2),可得等?,即 f|f (2),得不出f (3)e-f (2),故选项B 不一定正确；对于选项C,由g (4)g (3),可得牛 乌，4 3即 f(4)?f(3),因为 f(3)0,所以孑(3)：f (3),可得f (4)：f (3),故选项C正确；3 6
7、6对于选项D,由g(e)g(1),可得答 学，2即 f (e)2e,f (|),故选项D正确.所以不一定正确的是选项B.故选B.9.已知函数f(x)=l n x-a x 2-x 在区间中力上存在单调递减区间，则 a的取值范围是(B )A.1,+8)B.(1,+8)C.(-8,1)D.(-0,1解析：由题，f (x)-2a x-l-2Q x 2+1,X X因 为 x 0,则若函数f(x)=l n x-a x2-x 在区间与学上存在单调递减区间，即 一 2a X?-x+l O 在|,上有解，即存在x e 1口，使得2a 立+J成立,3 2 X X2设 t=(te 2,3),则 u(t)=t+t2=
8、(t，2 *当 t=2 时,u(t)m i n=u(2)=2,所以2a 2,即a l.故选B.10.设f,(x)是f(x)的导函数,写出一个满足f (x)f(x)在定义域R上恒成立的函数f (x)的解析式:.解析：由题意，设函数f(x)=ex-l,可得f (x)=e;令 F(x)=f (x)-f (x)=ex-(ex-l)=l 0 恒成立，即函数 f (x)=ex-l,符合题意.答案:f(x)=e*T(答案不唯一)11.若 任 意 a,b 满 足 0 a b t,都 有 b l n a a l n b,则 t 的最大值为.解析：因为 0 a b t,bl n a 0 可知0 x 0,则对于X任
9、意的a,b(0,+8),当a b时,有(B )A.af(a)bf(b)C.af(b)bf(a)D,af(b)0 时，有 f (x)+必 0,所以当x 0 时,x f (x)+f(x)0,即XX (x)0,此时函数h(x)单调递增，则对于任意的a,b(0,+8)当 a b 时，贝！J h(a)h(b),即 af(a)bf(b).故选 B.1 3.若 l x X2,则下列不等式正确的是(D )A.Xi l n x2 x2l n XiB.Xi l n x2 x2l n XiC.eX2-eX1 l n x2_l n Xi解析:构造函数 g(x)=(x l),则 g (x)=W ,又当 x (1,e)时
10、，g (x)0,当 x (e,+8)时，g (x)l),则 h (x)=e 二 0,所以 h(x)在(1,+8X上为增函数，所以 h3)h(x i),即e -l n x2 eX1-l n Xi,所以e&-e/n x2-l n Xi.故选D.1 4.已知函数f(x)=-2:不若 m e (-1,1),求函数f(x)的单调区间.xz-2mx+l解：因为(T,1),所以=4m 2-4 0,所以 y=x-2 m x+l 0 恒成立，则函数的定义域为R.f /e*(x-1)(x-2m-l)(x2-27nx+l)2 当m=0 时,2 m+l=l,此时f(x)2 0,f(x)在 R 上单调递增;当 0 m
11、l 时，l 2 m+l 0,f(x)单调递增,x e (l,2 m+l),fz(x)0,f(x)单调递增；当T m 0 时,T 0,f(x)单调递增，x e(2 m+l,l),f,(x)0,f(x)单调递增.综上所述,当m=0 时,&)的单调递增区间为(-8,+8)；当0 m l 时,f(x)的单调递增区间为(-8,1),(2 m+l,+8),单调递减区间为(1,2 m+l);当-k m 0 恒成立，即f(x)0 时,判别式A=a2-4,当0 a W 2 A W 0,即 g(x)0,即 f(x)W0恒成立,此时函数f(x)在(0,+8)上是减函数；当a 2 时,x,f(x),f(x)的变化如表
12、所示.XaVa2-42/Q-Va2-4 a+Ja2-42 2综上，当a W 2 时,f(x)的单调递减区间为(0,+8)；f (x)0+f(x)单调递减极小值单调递增Xa+Va2-42产广,+8)尹(x)0f(x)极大值单调递减当a 2 时,f(x)的单调递减区间为(0,罟 二)，(上 尸,+8),单调递增 区 间 为(空 岸,誓 3.C级应用创新练1 6.已知函数 f(x)=x2+ax-l n x,若 m,n 1,+),且“改 3 恒成m-n立，则 a 的取值范围是(D )A.1,+8)B.3-2 V2,+=)C.+8)D.2,+8)解析:假设m n,由八-八 3,得 f(m)-3m f(n
13、)-3n,令g(x)=f(x)-3x=m-nx2+(a-3)x T n X,因此函数g(x)在区间 1,+8)上是增函数.g(x)=2 x+a-3-x 2+(a-3 (x 0),X X因 为 g(x)在 l,+8)上单调递增，所 以 1 3-芋，且 g 0,解得4a2 2.故选D.1 7.(多选题)(2 0 2 1 江 苏南京联考)下列命题为真命题的是(A B D )A.l n 2 B.-l n 2 5 D.In 2-e解析:构造函数f(x)工竺,函数f(x)的定义域为(0,+8),则f(x)=X1-lnx“2 当 0 x0,f(x)单调递增，当xe时,f (x)3e,所以f(4)ln 2,故A正确；因为e|2,所以f(f(2),即9苧,In6 汕2,故B 正确；2 2 2 2 4,2因为02V5e,所以f(2)f(遍)，即 V51n 2=2 V5 2V5In 2 r 即52遥，故C 错误；因为02e,所以f(2)f(e),即 叱 即 In 2-,故 D 正确.故选ABD.2 e e