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1、第 2节 导数在研究函数中的应用睡 课程标准要求1 .结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.2 .借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.必备知识课前回顾核双材夯实四基IA知识梳理i.函数的单调性与导数的关系一般地，函数f(X)的单调性与导函数f (X)的正负之间具有如下的关系：(1)在某个区间(a,b)上,如果f(X 某0,那么函数y=f(X)
2、在区间(a,b)上单调递增.在某个区间(a,b)上,如果f (x)0 在(a,b)上成立”是“f (x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.如f (x”F在定义域上是增函数，但是其导数f (x)=3x 2-(f2.函数的极值与导数的关系(1)极值的定义：函数y=f (x)在点x=a 的函数值f (a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小,f (a)=0,而且在点x=a 附近的左侧f(x)0.类似地,函数y=f (x)在点x=b 的函数值f (b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都大,f (b)=0,而且在点x=b 附近的左 侧 伊(x)0,右侧f (x)0,右侧#(x)0,那么f(x
3、 0)是极大值；如果在x。附近的左侧伊(x)0,那么f(x。)是极小值.释疑对于可导函数f (x),f (x0)=0 是函数f (x)在 x=X o 处有极值的必要不充分条件.如f (x)=x?在定义域上是增函数,其导数(0)=0,但是x=0 却不是其极值点.3.函数的最值与导数一般地,求函数y=f (x)在区间 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数y=f (x)在区间(a,b)上的极值;将函数y=f (x)的各极值与端点处的函数值f (a),f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.释疑(1)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定
4、是函数的最值点.极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极三 对 点 自 测-1.函数f(x)的定义域为R,导函数f (x)的图象如图所示,则函数f(x)(C )A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点解析:导函数的图象与x 轴的四个交点都是极值点,第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点.故选C.2 .函数 g(0)=co s 9 +9 s i n。在区间(0,1)上(A )A.单 调 递 增 B.单调递减C.有 增 有 减 D.无法判定解析：当 0 6 0,所以函数g(8 )在区间
5、(0,3 上单调递增.故选A.3.函数f(x)=L n x-x 在区间(0,e 上的最大值为(B )A.l-e B.-1 C.-e D.0解析：因为 f (x)T二A 当 x (0,1)时，f (x)0;当 x (l,e X X时,f (x)4.故选 D.5.已知函数f (x)=x：!+a x2+4 x+8在R上单调递增，则实数a的取值范围是解析：f (x)=3x?+2 a x+4,由题意可知f (x)0恒成立，因此=(2a)2-4X 3X 440,解得答案：-2 8,2V 3第一课时利用导数研究函数的单调性关键能力，课堂突破类今考点您实四案慢 考点一不含参数的函数的单调性1.函数f(x)=3
6、+xln x的单调递减区间是(B )A.(-,e)B.(0,-)e eC.(-,-)D.+)e e解析：因为函数f(x)的定义域为(0,+8)，且#(x)=ln x+x -=lnXx+1,令f(x)0,解 得0 x故f(x)的单调递减区间是(0 J).故选e eB.2.(多选题)下列函数中，在(0,+8)上 为 增 函 数 的 是(AB )A.f(x)=x-B.f(x)=xe XC.f(x)=x-x D.f(x)=x+ln x解析:对于A,f(x)=2x+0在(0,+8)恒成立，因此函数是增函数，故A 正确;对于B,函数f(x)=xe 的导数f(x)=ex(x+l),当xG (0,+8)时,尹
7、(x)0,所以函数f(x)=xe 在(0,+8)上为增函数，故 B正确;对于C,*(x)=3x2-l,令 广(x)0,得 xf或 x G/,所以函数f(x)=x3-x在(-8,一/)和(9,+8)上单调递增，故C 错误;对于D,f(x)=T+工-曰，令 f(x)0,得 0 xl 时,f(x)0,f(x)单调递增;当xG (-4,2),且 x关T 时,f(x)0,f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为(-8,-4),(2,+8)；单调递减区间为(-4,-1),(-1,2).一题后悟通求函数的单调区间的方法：(1)确定函数y=f(x)的定义域；求导数*(x);(3)解 不 等 式/(x
8、)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式*(x)0,得 所 以 函 数 f(x)在(亨,+8)上单调递增；令 f(x)0时，函数f(x)在(亨,+8)上单调递增,在(0,吟上单调递减.典例迁移1 将本例中的函数解析式变为：函数f(x)=x2-(a+2)x+a lnx,其中a G R.求函数f(x)的单调性.解：函数 f(x)的定义域为(0,+8),且 f，(x)=2x-(a+2)+2=(2%-a)X X令 f (x)=0,得 X i=l,X 2=.当 a W O 时,W 0,由 f&)0,得*1;由 伊(x)0,得 0 xl.则函数f(x)的单调递增区间为(1,+8),单调递减
9、区间为(0,1).当 0|1,即 0a 0,得(Kx$或 xl;由 f(x)1,即a 2时，由 伊(x)0,得 0 x;由(x)0,得则函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(p +8),函数f(x)的单调递减区间为(1,.综上所述，当a W O 时 一，函数f(x)在(1,+8)上单调递增,在(0,1)上单调递减；当0a 2时-，函数f(x)在(0,1)和(p +8)上单调递增，在(1,泉上单调递减.典例迁移2 将本例中的函数解析式变为:函数f(x)=ex(e-a)-a2x,其中参数a W O.讨论晨x)的单调性.解：函数f(x)的定义域为(-8,+8),且 a W O.f(x)=2e2
10、X-a ex-a2=(2ex+a)(es-a).若a=0,则 f(x)=e 2*在(-8,+8)上单调递增.若 a 0,则 由 伊(x)=0,得 x=ln(-).当 x(-8,i n(-)时，伊(x)0.故 f(x)在区间(-8,巾(予)上单调递减,在区间(I n (-泉，+8)上单调递增.综上所述,当a=0时-，函数f(x)在(-8,+8)上单调递增；当a 0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增；当x(1,+8)时,g(x)0,所以函数g(x)在+8)上单调递减.若 a 0).X若二号即当a 0可得0 x 二或x A 即函数g(x)在a 2 a 2(0,)和G，+8)上单调递增，由g，(
11、x)0可 得 即 函 数 g(x)a 2 a 2在(二，今上单调递减；当a=-2时,g (x)2 0 恒成立,所以函数晨x)在(0,+8)上单调递增；若一呢,即当-2a 0时，易得函数g (x)在(0,今和(二,+8)上单调递增,a 2 2 a在(；,二)上单调递减.综上可知，当a 2 0 时，函数g (x)在(0,1)上单调递增,在专+8)上单调递减；当a-2时-，函数晨x)在(0,和(；,+8)上单调递增,在(二,1)上单调a 2 a 2递减；当a=-2时，函数g(x)在(0,+8)上单调递增;当-2a 0分类讨论.峻 考点三导数与函数单调性关系的应用n 角度一利用导数研究导函数图象C S
12、 F D 将y=f（x D y=f （x）的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（）解析:对于A选项，由函数丫=(x)的图象可知，伊(0)=0,但函数y=f (x)在x=0处的切线斜率不存在,不满足题意;对于B选项，由函数y=f/(x)的图象可知，函数y=f (x)存在增区间，但B选项的图中，函数y=f(x)为减函数,不满足题意；对于C选项，由函数y=f (x)的图象可知，函数y=f(x)在R上为增函数，满足题意;对于D选项，由函数y=f(x)的图象可知，函数y=f(x)有两个单调区间，但D选项的图中，函数y=f (x)有三个单调区间，不满足题意.故选C.一解题策略I函数图象与其导函数图象的关
13、系：导函数f (x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(递增区间)，导函数f (x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f (x)图象下降部分对应的区间(递减区间).口角度二利用导数构造函数解不等式(S O 已知偶函数f(x)在R上 存 在 导 函 数(x),当x 0时,但 -X(X),且 f (2)=1,则不等式(x2-x)f (x2-x)2 的解集为()A.-2)U(1,+8)B.(2,+8)C.(-,-1)U +8)D.(-1,2)解析:令 g(x)=x f (x),由于f(x)是偶函数，贝！J g (-x)=-x f (-x)=-x
14、f (x)=-g (x),所 以g(x)是奇函数.当x 0时，上-f(x),X即/(x)+x f(x)0X所以 g (x)=f(x)+x f(x)O,g(x)在(0,+8)上单调递增,所 以g(x)在R上单调递增.因为 f (2)=1,所以 g(2)=2f(2)=2.不等式62-x)f(x 2-x)2可化为g(x2-x)g(2),所以 X2-X2,解 得x 2或xT.综上,x (-8,-1)u (2,+8).故选C.一懈题策略I1.根据已知条件中导数的符号比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.2.根据原函数与导函
15、数的关系构造不等式的方法：若已知f (x)+f(x)的符号,常构造函数g(x)=e*f (x);而涉及f(x)+n f (x)的符号，则构造函数g(x)=en xf (x);若已知f (x)-f(x)的符号，则构造函数g(x)=鸟,而涉及f ex(x)-n f(x)的符号则常构造函数g(x)=/；对于 x f (x)+n f (x)0 型，构造 F(x)=xnf (x),则 F (x)-xn x fz(x)+n f (x)(注意对的符号进行讨论)，特别地,当n=l 时,xf(x)+f (x)0,构造 F(x)=x f (x),则 F (x)=x f (x)+f (x)0;对于x f (x)-n
16、 f (x)O(x 关0)型,构造F (x)二片,则F xn(x)=J 篝 但(注 意 对 的 符 号 进 行 讨 论)，特别地，当 n=l 时,x*(x)-f (x)0,构造 F(x)=3,贝 Fz(x)/_?凶 0.口 角度三利用导数比较函数值的大小 E 3)已知函数f (x)=/-2x+e-W 其中e 是自然对数的底数.若f(a-l)+f(2a2)W 0,则实数a的 取 值 范 围 是.解析：由 f (x)=x：-2x+ex-,得 f (-x)=-x3+2x+：-ex=-f (x),所以f(x)是 R 上的奇函数.又 伊(x)=3x2-2+ex+-3x-2+2exex 二=3x?20,当
17、且仅当x=0时,取等号,所 以f(x)在其定义域内单调递增.因为 f (a-1)+f (2a2)W O,所以 f (a-1)W-f (2a2)=f (-2a2).所以a-代-2a；解得TWaW*故实数a的取值范围是 T,9答案：解题策略I根据函数解析式或函数特征研究与函数值大小有关的问题，需要先结合导数的工具性作用确定函数的单调区间后研究函数值的大小.摘 度 四 利用函数单调性求取值范围(例2-4 (1)已知函数f (x)=，2_ a l n x+x在 1,+8)上单调递增，则实数a的取值范围是()A.(-co,0 B.0,1C.(-8,2 D.(-8,2)若 函 数f(x)=e+a x$2存
18、在单调递减区间，则实数a的取值范围是()A.(-1,+)B.(0,+)C.(-,-1)D.(-8,0)(3)若函数f (x)=x2-|l n x+1在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是()A.1,+8)B.1,|)C.6,|)D.号 2)解析：(1)(x)=x*+l=T,X X由于函数f (x)在1,+8)上单调递增，则x x-a。在1,+8)上恒成立，即a W x?+x在 1,+)上恒成立.令g(x)=x?+x=(x+,函数的对称轴为x=|,当x 2 1时，函数是增函数,所以晨x)2 2,故a W 2.故选C.函 数f (x)的定义域是R,则f (x
19、)=e*+a-x.若f(x)存在单调递减区间，则a 0,解得 x 0,令 g (x)0,故g (x)在(-8,o)上单调递增,在(0,+oo)上单调递减，故 g(x)皿=g(0)=T,故 a -l.故选 C.函 数f (x)的定义域为(0,+8),所以k-1 0,即 心1,f7(x)=2 x-；=与2令f，(x)=0,得x=；或x=-；(不在定义域内舍去)，2x 2x 2 2由于函数在区间(k T,k+1)内不是单调函数,所以之 (k-1,k+1),即k-l|k+l,解得gk|.综上得1 W k 0在区间D上有解；(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则*(x)0在区间D上有解.2.
20、已知函数在所给区间上不单调，则转化为导函数在区间上存在变号零点,通常利用分离变量法求解参变量的范围.针对训练1.函数y=f （x）的导函数y=f （x）的图象如图所示,则函数y=f （x）的图象可能是（）解析:设导函数y=f （x）与x轴交点的横坐标从左往右依次为Xi,X2,X3,由导函数 y=f,（X）的图象易得当 X G （-8,Xi）U（X2,X3）时,f（x）0 （其中 X1 O X2 0的解集为（）A.4 B.2,4 C.（|,3 D.2,3 解析：f （-X）=-x-x=-f（X）,因此函数f（X）是奇函数.所以 f(2 x-l)+f(x)0,即 f (2 x-l)-f (x)=f
21、 (-x).又因为f (X)=3X2+1 0,所以又x)=x、x在-5,5上单调递增,，-5 2 x_l 5,所以,-5工X 4 5,解得 -x,所以原不等式的解集为与3 .故选C.3.设函数f (x)是定义在R上的函数,其导函数为f (x),若f(x)+f/(x)l,f(0)=2 0 2 0,则不等式 e Xf(x)e+2 0 1 9 的解集为()A.(-8,0)B.(-8,0)U (2 0 1 9,+8)C.(2 0 1 9,+8)D.(0,+8)解析:设 g (x)=e f (x)-ex,则 g (x)=e*f (x)+e f (x)-ex=exf (x)+fz(x)-1 .因为 f(x
22、)+f,(x)X,e X0,所以 g (x)=e x f(x)+f,(x)T0,所 以g(x)是R上的增函数.又 g(0)=f(0)-l=2 0 1 9,所 以g(x)2 0 1 9的解集为(0,+8),即不等式exf(x)ex+2 0 1 9的解集为(0,+8).故选D.4.已知函数f 6)=$?一X2+2X.若函数f (x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是,若函数f (x)在区间(-2,-1)内为减函数,则实数a的 取 值 范 围 是.解析：函数f (x)与 竹x?+2 x的导函数为f (x)=x 2-a x+2,依题意,存在x (-2,T),使不等式 f (x
23、)=x a x+2 0 成立，即当 x (-2,-1)时，a 即x=-V 2 时,等号成立.所以满足要求的a的取值范围X是(-8,-2 a).因为函数f(x)在区间在(-2,-1)内为减函数，所以x 2-a x+2 W 0 在(-2,-1)内恒成立，所 以(一 2)三 ，即+2c2 *解得a、.(f(-1)0,1 1 +。+2工0,即实数a的取值范围是(-8,-3 .答案：(-8,2&)(,-3 扈 备选例题CS D设函数f(x)=2 9 1 n x 在区间a-l,a+l 上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(1,2 B.(1,3)C.(1,2)D.(1,3 解析：函数f (x)的定义域为
24、(0,+8),广(x)=x-2*j 之X X当x (0,3)时,f (x)0,则 f(x)单调递减;当x (3,+8)时,*(x)0,则 f(x)单调递增.又函数f(x)在区间a T,a+1 上单调递减,所以二:解得l al a +1 0,所以函数 g(x)在(1,+8)上单调递增,所以m W g(l)=e T,即实数m的取值范围是(-8,e-l .故选B.例 3 已知函数f (x)=x ex-e(l n x+x),求 f (x)的单调区间.解：函数f (x)的定义域为(0,+8),f /(X)_(1+%)x令 g (x)=x e,贝 g (x)=ex(x+1),当x (0,+8)时,g(x)
25、0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增,又g(D=e,所以当 0 x G 时,f (x)l 时，f (x)0,所以f (x)在(0,1)上为减函数;在(1,+8)上为增函数.即 f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).%CW 已知函数f(x)=-a l n X,其中a 0,x 0,e 是自然对数的底数.X讨论f(x)的单调性.解:f(x)=上 穿-巴上 铲，芸 (x-l)e X+a-a x J (x T)(e M .当 C K a W l 时,exa,当 x (0,1)时,f (x)0.所以f (x)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增.当 l a e 时
26、，令 ex=a,得 x=l n a (0,1),由 f (x)0 得 I n a 0 得 0 x l,所以f(x)在(0,l n a),(1,+8)上单调递增，在(%a,1)上单调递减.当 a=e 时,令 ex=a,得 x=l n a=l,所以 f (x)N O,故 f (x)在(0,+)上单调递增.当 a e 时，令 e*=a，得 x=l n a G(1,+),由 f (x)0 得 0 x l 或 x l n a,所以f(x)在(0,1),(I n a,+8)上单调递增，在(l,l n a)上单调递减.综上，当0 e 时,f (x)在(0,1),(I n a,+)上单调递增,在(1,I n
27、a)上单调递减.课时作业 灵活g、笈方致提触酸 选 题 明细表_知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练导数与函数的单调性关系的理解3,4,6,7,91 21 6利用导数研究函数的单调区间1,21 4,1 51 7A级基础巩固练利用导数与函数综合应用5,8,1 0,1 11 31.(20 21 江苏常熟高三抽测)函数f(x)=2x 2-l n x的单调递减区间为(D )A.(-2,2)B.(0,2)a号,D.(0,1)解 析：函 数 f(x)的 定 义 域 是(0,+8 ),f (x)=4x-=竺二，由X X(4%2-1丁 V ，可得0 0,2 22.函数f(x)铲?在(B )1+X2A.(
28、-8,+8)内是增函数B.(-1,1)内是增函数,在其余区间内是减函数C.(-8,+8)内是减函数D.(-1,1)内是减函数,在其余区间内是增函数解析:f(x)的定义域为R,*6)=户 芸,(1+X2)当 f (x)0 时,解得-x l,故 f(x)的单调递增区间为(-1,1);当 f (x)0 时,解得x l,故 f(x)的单调递减区间为(-8,-1),(1,+).故选 B.3.(20 21 浙江高三联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则 y=f(x)的图象可能是(B )y解析：由函数y=f(x)的图象知f(x)在(1,2)上是增函数,其余部分递减.故选B.4.已 知f(x)在R上是可导函
29、数，f(x)的图象如图所示，则不等式(x2-2x-3)f/(x)0 的 解 集 为(D )A.(-8,-2)U(1,+8)B.(-8,一2)U(1,2)C.(-8,-1)u(-1,0)U(2,+8)D.u(-1,1)U(3,+8)解 析:原 不 等 式 等 价 于 优 式 2-2%-3 0,(%)3 或 -1,X 1或:解得 或 x3 或.故选 D.5.已知定义在R上的函数f(x)=%x 3+x 2+a x+l有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是(D )A.(-,-1)U (1,+8)B.-1,0)U (0,1 C.(-1,1)D.(-1,0)U (0,1)解析：f(x)=a x2+2x
30、+a,若函数f(x)=g a x：+x 2+a x+l有三个不同的单调区间，则f (x)=a x?+2x+a=0有2个不相等的零点，则有 =4-4a20,且a#0,解得且a W O,即实数a的取值范围是(-1,0)U (0,1).故选D.6.已知函数f(x)三x+(2-a)x 2+x-4在(0,2上为增函数,则a的取值范围是(B )A.(-,4 B.(-,3 C.(4,+8)D.(-8,3)解 析：(x)=x?+2(2-a)x+l,由 题 意 可 知x+2(2-a)x+1 0在区间(0,2内恒成立，即 2(a-2)Wx+工,x (0,2,X由基本不等式知X+工的最小值为2,因此2(a-2)W
31、2,即a W 3.故 选B.X7.已知函数f(x)二 转 比(a W O)的部分图象如图所示，则(B )exA.a 0C.b-c0D.3a-2b+c0,A选项错误；伊(-1X0,则 g(-l)=-3a+2b-c0,D选项错误；f(1)0,则 g(l)=a-c0,B 选项正确;f (0)0,则 g(0)=b-c0,C 选项错误.故选 B.8.已知非负函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)的定义域为(0,+8),若对于定义域内的任意x,均 满 足 伊&)3,则下列式子中不一定X正 确 的 是(B)A.f(2)2f(l)B.f(3)e f(2)C.f(4)-f(3)D.f(e)2e-f(-)6
32、2解析：因为 x0,且 f(x)3,可得 x f(x)f(x),即 xfz(X)-Xf(x)0,令 g(x)=P，贝 gz(x)=-2”，所以 g(x)0,所以xg(x)上包在(0,+8)上单调递增，X对于选项A,由晨2)g(l),可得早 一，即f(2)2f(l),故选项A正确；对于选项B,由g(3)g(2),可 得 与 早，即f(3)|f(2),得不出f(3)e-f(2),故选项B不一定正确；对于选项C,由g(4)g (3),可得蜉 等，即 f(4)g f(3)，因为 f(3)0,所以今(3)(3),可得f(4)：f(3),故选项C 正确；3 6 6对于选项D,由晨e)g (今，可得侬 阜，
33、2 e-2即 f(e)2e f(1),故选项D正确.所以不一定正确的是选项B.故选B.9.已知函数f(x)=l n *2-*在区间(,学上存在单调递减区间,则2的取值范围是(B )A.1,+8)B.(1,+)C.(-8,1)D.(-8,1 解析：由题，伊(x)-2a x T=N ,X X因 为 x 0,则若函数f(x)=l n x-a x2-x 在 区 间 上 存 在 单 调 递 减区间，即-2a x 2-x+l 二总成立,3 2 x X2设 t=：(t e 2,3),贝 ij u (t)=-t+t2=(t-|)当 t=2 时，u (t)mi n=u (2)=2,所以2a 2,即a l.故选B
34、.1 0.设f(x)是f(x)的导函数，写出一个满足广(x)f(x)在定义域R上恒成立的函数f(x)的解析式:.解析：由题意,设函数f(x)=e-l,可得fz(x)=ex,令 F(x)=f (x)-f 恒成立，即函数 f(x)=ex l,符合题意.答案:f(x)=ex-l(答案不唯一)1 1.若 任 意a,b满 足Oabt,都 有b l n a a l n b,则t的最大值为.解析：因为 Oabt,b l n a 0可 知0 x 0,则对于X任意的a,b(0,+8),当a b时，有(B )A.a f(a)b f(b)C.a f(b)b f(a)D,a f(b)0时，有 伊(x)+必0,所以当x
35、 0时,x f(x)+f(x)0,即Xh (x)0,此 时 函 数h(x)单调递增，则对于任意的a,b(0,+8),当 a b 时，则 h (a)h (b),即 a f(a)b f(b).故选 B.1 3.若l x2l n X iB.X i l n x2x2l n X iC.eX 2-eX 1l n x2-l n X i解析:构造函数 g(x)=(x l),则 g (x)=W F，又当 x(l,e)时，g (x)0,当 x(e,+8)时，g，(x)l),则 h (x)=e70,所以 h (x)在(1,+8)X上为增函数，所以 h(x 2)h(x。，即e*2-l n x2eX 1 l n xb
36、L U e%2-eX 1l n x2-l n X i.故选D.1 4.已知函数f(x)=2:-，若 me(T,1),求函数f(x)的单调区间.xz-2mx+l解:因为 m(T,l),所以=4m?-40 恒成立，则函数的定义域为R.qf /(X)一e”(x评-1)2(3X-+27171)-12)，当m=0 时，2 m+l=l,此时f(x)2 0,f (x)在 R 上单调递增；当 0 m l 时，l0,f(x)单调递增,xG (1,2 m+l),fz(x)0,f (x)单调递减，x (2 m+l,+8),f (x)0,f (x)单调递增;当时，-xe (-8,2 m+l),f (x)0,f (x)
37、单调递增，xe (2 m+l,1),fz(x)0,f (x)单调递减，x(l,+8),f，(x)0,f(x)单调递增.综上所述，当m=0 时,f (x)的单调递增区间为(-8,+o o)；当0 m 0 恒成立，即 伊(x)0 时，判别式=a 2-4,当0 2 时,x,f (x),f (x)的变化如表所示.综上，当a W 2 时,f(x)的单调递减区间为(0,+8)；Xa-yja2-42za-Va2-4 a+V a2-42，2f(X)0+f(X)单调递减极小值单调递增Xa+Va2-42za+V a2-4,(2，)f (x)0f (x)极大值单调递减当a 2时，f （x）的单调递减区间为（0,力
38、察），（安 上,+8）,单调递增区间为（上耳三,竺苧三）.C 级应用创新练1 6.已知函数 f （xh x,+a xT n x,若 m,n 1,+8）,且f（血）汨3 恒成m-n立，则a的取值范围是（D ）A.l,+o o)B.3-2 V 2,+=)C.(2,+0 0)D.+8)解析:假设m n,由，汨 户 汨 3,得 f (m)-3 m M(n)-3 n,令 g (x)=f (x)-3 x=m-nx2+(a-3)x-ln x,因此函数g(x)在区间 1,+8)上是增函数.g;(x)=2 x+a-3-=2%2+(a 3)%1(x0),X X因 为g(x)在 l,+8)上单调递增，所 以1 2-且g，2 0,解得4a22.故选D.1 7.（多选题）（2 0 2 1 江 苏 南 京 联 考）下列命题为真命题的是(A B D )A.ln 2 B,-ln 2 5 D.In 2 0,f(x)单调递增，当xe时，f (x)3 e,所以f i n 2,故A正确；因为e|2,所 以f(|)f(2),即 学 等,In|ln 2,故B正确；2因为0 2 遥V 51 n2=In 2追，即52遮，故C错误；因为0 2 e,所 以f (2)f (e),即乎己,即In 2 故D正确.故选A B D.2 e e