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1、二十八平面向量基本定理及坐标表示 基础洛实练。3。分 钟6（）分一、单选题（每小题5 分，共 2 0分）1 .已知等腰梯形4 8 中，A B =2D C,E,下分别为力。，欧的中点，G 为跖的中点，若记花3-43-4+-+-牙aab3-81-2-a-A.c.b3-81-2十aa1-43-8DB【解析】选 B.由题意得赤=A E+EG=）血+乙）旗=劭+J （A B +D C）=A D+；（A B+花）=劝 A B ,因为能a,A D =b,所以力。a3b+-81-22 .已知在平面直角坐标系中，点4（0，1）,向 量 拔=（一4,-3）,反 =（一7,-4）,则点。的坐标为（）A.（1 1,8
2、）B.（3,2）C.（-1 1,-6）D.（-3,0）【解析】选 C.因为向量荔=（-4,3）,B C=（一7,4）,所以太=花+死 =（-1 1,-7）,又力（0,1）,所以应 OA +A C=（1 1，6）,所以点C 的坐标为（一1 1，一6）.3 .（2 02 2 平凉模拟）已知向量 a=（l,2）,b=（2,3 A）,若 a b,则 A=（）A.2 B.5 C.7 D.9【解析】选 C.由题意知一（3 A）2 X 2 =0,解得A=7.4 .已知平行四边形/应中，A D=（3,7）,A B=（-2,3）,对角线芯与劭交于点0,则仍的 坐 标 为()【解析】选 D.因为衣=A B +A
3、D=(-2,3)+(3,7)=(1,1 0),所 以 无=|A C=g,5),所以=1 J 5)-二、多选题(每小题5分，共 1 0分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)5.(2 02 2 三明模拟)在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.6 =(0 0)&=(1 2)B.a=(l,2),鼻=(5,2)C.e=(3,5),e,=(6,1 0)D.e,=(2,3),=(2,3)【解析】选 B D.根据a=A e,+z z e,选项 A：(3,2)=4(0,0)+(l,2),则 3=，2=2 u,无解，故选项 A 不能；选项 B：(3,2)=4(1,2)+(5
4、,-2),则 3=八+5，2 =2 4 一2，解得儿=2,=1,故选项B能.选项 C：(3,2)=4(3,5)+(6,1 0),则 3=3 4+6，2 =5 4+1 0，无解，故选项 C不能.5选项 D：(3,2)=A (2,3)+3),则 3 =24+2，2 =34+3，解得4=方，13=逋，故选项D能.6.(2 02 2 保定模拟)如图，在 口。1%中，E 是 4。的中点，6是a1 上的一点，且反 =4 被，若沅=niOE+nOF,其中 m,则（）6m=7A.m-n=-B.m n=C.2 勿=3 D,3 勿=2【解析】选 A B C.在平行四边形物 中汤=B C,OB =A C,OC=0A
5、 +0B ,因为少是作的中点，所以起=AC=OB,乙 乙所以庞=0A +A E=0A+1 OB ,因为反=4 砺,所以砺=B C=O A,所以赤=0B+帝=0B+；0A ,因为充=niOE+nOF ,所以应=（加0A+&+）寸 B ,1m+-n=14所以J,解得2 7+=i2m n=,2 /=3 A.三、填空题（每小题5 分，共 1 0分）7 .已知向量葩与a=（l,|）反向，且|葩=/1 3 ,则宓的坐标为.【解析】根据题意，设 荔=A a=AI,一|）,且 4 V O,A B|=行，所以一 儿 1+|,解得儿=2,所 以崩=（-2,3）.答案：（一2,3）8 .（2 02 1 福州模拟）已
6、 知 a=（3,-2 加，8=（1,加 一 2）是同一平面内的两个向量，且该平,所以 m+n=,4r)=一7面内的任一向量C 都可以唯一地表示成c=4a+尔4，为实数)，则实数加的取值范围是.【解析】由平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c=4 a+6(4,为实数)，可知a,6是一组基底向量，所以a,6不共线，则 3(/一2)2 ，解得京三，所以实数力的取值5范围是(一8,*L)e，+8).答案:卜 8,野略+8)四、解答题(每小题1 0分，共 2 0分)9.已知点。为坐标原点，力(0,2),8(4,6),OM=t)A +t-B .(1)求点 在第二或第三象限的充要条件.(2)求证：当。=1
7、时，不论为为何实数，A,8,三点共线.【解析】南蒲+t2A B =t(0,2)+t2(4,4)=(4，2 t,+4 t2).(4 友 0,点 在第二或第三象限2 ti+4 t20,解 得 t2=-a+b.2.(2 0 2 1 济宁模拟)已知向量卬=(4+1,1),A=(4+2,2),若(2.+向(o 2 万，则儿=()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选 B.因为2M+A=(34+4,4),m2n=（4 3,3）,且（2 卬+）（勿 一 2 z?）,所以（-3）X （3 4+4）4X（43）=0,解得几=0.3.已知向量应=（3,4）,OB=（6,-3）,沅=（5/，-3 勿），若点4
8、B,。能构成三角形，则实数加应满 足 的 条 件 是.【解析】因为定=海 一 瓦=（3,-7）,A C=OC-OA=（2 加，-7 勿），点 凡B,。能构成三角形，所以点4 B,。不共线，即宓与而不共线，所以 3 X（一7 勿）一（-7）X（2 4 W0,7 7解得加工一记,故实数/应满足加工一 记.答案：勿 W一 54.如图，在4 阿 中，A 屋A B,点后是的中点.设 踮=a,A C=b,用 a,6 表示宓=o,A E=.【解析】CD =CA +A D =CA +|A B=A C+；A B=；a b.o oA E=A C+CE=A C+4CD =A C+4（M-A C）1-31-21&-2
9、b4r2+1-2+1-21-6a1-森宓b11-11-L+a而衣1_.311_-xo11-CJ=答教师专用如图，A,6 分别是射线掰，Q邛上的点，给出下列向量：成I +20B；|汤+；南；!游 十3 0 ；|而+（宓，若这些向量均以。为起点，则终点产落在阴影区域内（包括边界）的向量是.【解析】由向量共线的充要条件可得：当点尸在直线48上时，存在唯一的一对有序实数小%使 得 游=汤+应成立，且 u+u=l.可以证明点尸位于阴影区域内的充要条件是：满足 涉=而+vOB ,且”0,r0,”+-1.因为1+2 1,所以点尸位于阴影区域内，故正确；同理正确；而错误.答案：5.如图，在平行四边形/阅9 中
10、，。是 对 角 线 故 的 交 点，N是线段切的中点，4V的延长线与CD 交 汗 点、E,若 龙=mA B +A D,求实数力的值.【解析】由N是。的中点，得就/=；9+AO=AD+（A D +A B =A D+AB,2 2 4 4 4又因为4 N,后三点共线，故 法=入 市，3 1即 mA B +A D =+-AB）,又 法与 而不共线,m=4，m=,4 3所以.解得 ，故实数加=可.3 4 31=L 5，6.(能力挑战题)已知向量 a=(si n，c o s，一2 s i n。)，b=(1,2).si n c o s S(1)若求J4 的值；l+3c o s 9若|a|=b,Q 0 n,求
11、的值.【解析】因 为 所 以 2 si n =cos。-2 si n 9,于是4 si n 6当 c o s=0 时，si n 。=0,与 si n 。+c o s 0=矛盾，所以 c o s 夕#0,故 ta n ，si n c o s 9 si n 。c o s。ta n 9 l +3c o s 2 0 si n 0+4 c o s 0 ta n 2 0+4=c o s 夕，=6 5 ,由|a|=b|知,si n 2 0+(c o s 0 2 si n J)、=5,即 1 4 si n 夕 c o s 9+4 si n 2 夕=5,从而一2 si n 2 +2(1 c o s 2。)=4,即 si n 2 9+c o s 2 J=-l,于是si n(2 +2)=平，JI n 9 冗又由 0V。V J I 知，2 0+,JI 5 JI 7 兀所以2，+了=丁 或 2。+疝=，J T 3 J I因此或0=