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1、二十九平面向量的数量积及应用基础落实练。30分 钟60分一、单选题(每小题5 分，共 20分)1.(2021 武汉模拟)已知平面向量a=(l,-3),b=(4,-2),若 4ab 与 6 垂直，则儿=()A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析 选 D.由已知得儿a b=(八一4,3 4+2),因为八ab 与 b 垂直，所以(4 ab)*b=0,即(儿一4,3 4+2),(4,2)=0,所以 4 H 16+644=0,解得儿=2.2.(2020 全国卷HI)已知向量 a,。满足/a/=5,/力/=6,a,b=-6,则 cos(a,a+b =()A 竺 B C D 35 35 35 35【解析】
2、选 D.由 a (a+b)=/a/2+a Z)=256=19,又|a+b|=y/+2a b+t)=7,C C 1,一、a (a+b)19 19所以 cos a,a+b)=qn r=7-77=.|a|I a+b I 5X7 353.(2021 长沙模拟)已知向量a,6 满足/6/=2/a/=2,a 与 6 的夹角为120,则|a2引=()A.y13 B.21 C.13 D.21【解析】选 B.由题意知/a/=l,/=2,a b=l,所以/a26/川(a2 8)，=N/a/2-4 a 1+4/b/2=/21.4.已知在矩形/时中，48=4,AD=2,若E,尸分别为4 8,a 的中点，则 庞 赤 =
3、()A.8 B.10 C.12 D.14【解析】选 B.方法一：(定义法)根据题意，得应 赤=(9+AE)(比+浮 )=而-DC+DA CF+AE DC+AE CF=0+2XlXcos 0+2X4Xcos 0+0=10.方法二：(坐标法)D-,CFE B x以点力为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则 4(0,0),8(4,0),C(4,2),(0,2).因为E,6分 别 为 仇 7 的中点，所以(2,0),6(4,1).因为雄=(2,-2),DF=(4,1),所 以 庞 DF=2 X 4+(-2)X (-1)=1 0.二、多选题(每小题5分，共 1 0 分，全部选对得5分，选对但不全的
4、得2分，有选错的得0分)5.(2 0 2 2 板定模拟)已知向量a=(，5 ,l)=(c o s ，s i n )，则下列说法正确的是()A.存在 3 ,使得 a _ L bB.存在O e(0,3 ,使得C.对于任意 e(0,/J ,a 6 6(1,2 D.对于任意 0 G(0,y3)【解析】选 B C D.对 A：a,b=y3 c o s +s i n 0=2 s i n 0 4-,若 a L b,则 2 s i n (J =0,因为,此时无解，故A 错误；对 B：若 a b,则小 s i n，-c o s。=0,因为。e(0,高,JI所以e=T，故B正确；O对 C：a 6=2 s i n
5、(J+彳)，因为 5 ,J T (T I 5 A所以，+才 ,-J T ,3 3 b)则 s i n Q+高 W&1，所以 a,6=2 s i n ，+彳)2(1，2 ,故 C 正确；对 D：|a-b=yj(-/3 c o s 。)+(1 s i n 5 4 c o s (0,因 为，W所以 c o s (o一 J W2 1 ，则 1 a 木）,故D正确.6.（2 0 2 2 珠海模拟）已知力a 是边长为2的等边三角形，D,后分别是；四的中点，BD与 交 于 点。，则下列说法正确的是（）A.而 宓=-1一 1 一 1 -B.BD=-BC+-BA乙 乙C.OA+OB+OC=07D.应 在反1 方
6、向上的投影数量为工b【解析】选 B C.依题意可知，。是 等 边 三 角 形 力 回 的 重 心.=2.I 0EA 选项，AB LCE,AB CE=0,A 错误.B 选项，BD=1 （BC+BA）=诙+9,B 正确.乙 乙 乙C 选项，|游+南+充 I =I 2OE+OC=I 0 I =o,C 正确.D选项，|诙|=2 T =/,/E C B.,所以反 在比方向上的投影数量为EC,c o s y =4 X乎=|,D 错误.三、填空题（每小题5 分，共 1 0 分）7.已知单位向量a,方的夹角为4 5 ,4 a 力与a 垂直，则 4=【解析】由题意，得 a b=/a/c o s 4 5 =.因为
7、向量Aa b 与 a 垂直，所以(/a，),a=kaia b=k-=0,解 得 仁 哗.乙 乙答案:坐8.已知正方形力aZ?的边长为2,点满足淳=1 (荔+AC)，则|的|=；PB 面【解析】方法一：如图，在正方形/四中，由9(荔+衣)得点尸为a 的中点，所以 I 防|=4,PB*PD=PB (PC+CD)=PB PC+PB CD=PB-PC=1 X 1 Xc o s 1 8 0 =1.方法二：因为亦=3 AB+AC),所以尸为力的中点.以力为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系,由题意知坐0,0),8(2,0),7(2,2),(0,2),尸(2,1),所以 I 画=yj(2-0)2+(1-
8、2)2，崩=(0,-1),PD=(-2,1),所以曲 西=(0,-1)(-2,1)=-1.答案：m -1四、解答题(每小题1 0 分，共 2 0 分)9.在平面直角坐标系x 0中，点4(-1,-2),8(2,3),C(-2,-1).(1)求 以 线 段 4 c 为邻边的平行四边形两条对角线的长.设实数t满足(宓一次)比=0,求 t的值.【解析】(1)由己知崩=(3,5),能=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以|加+衣 1=2 7 1 0 ,AB-AC|=4 2 .所以所求的两条对角线的长分别为4M,2m.(2)由已知，7)C=(-2,-1),AB-tOC=(3
9、+2 t,5+t).由(森 一 无)充=0得(3+2 3 5+f)(-2,-1)=0,所以 5 1=一1 1,所 以 t=-V-51 0.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点力(1,0)和点3(1,0),|龙|=1,且=x,其中。为坐标原点.3 兀 若 矛=丁，设点为线段如上的动点，求|亦+而 I 的最小值.J I -一(2)若0,向量团=仅7 ,n=(1 c o s x,s i n x 2 c o s x),求切的最小值及对乙应的X 值.【解析】设 以 1,0)(0 WKD,当 刀=等 时，可得 一乎，叫，所以应 +0D=乎+3 乎),所以I 走+南|2=ft-2+|(OW t W l),所
10、以当匕=平 时，I 应 +应 取得最小值为:，乙 乙故1%+应 I 的最小值为我-.乙(2)由题意得 C(c o s x,s i n x),/n=BC=(c o s x+1,s i n x),贝 ij 勿 =l-c o s x+s i/x-2 s i n x c o s x=1 -c o s 2 s i n 2x=ly2 sin.J I因为0,乙J I J I 5所以7 2 x+JI JI JT所以当2JC+=,即x=时，4 /om n=y12 s i n(2 叶 1 取得最小值1 一镜,所以卬 A的最小值为1 一/，此时.素养提升练一 2。分钟4。分1 .已知非零向量a,8 满足|a =2
11、b,且（a b）_L力，则 a 与 b的夹角。为（）兀n 2 兀 5 兀A.-B.-C.-z-D.z6 3 3 o【解析】选 B.因为（8 一6）,6,所以（a b）b=a b讨=0,所以 a b=b,所以 c s *a|I 引=W=2，JI所以a 与 8 的夹角为7.o2.（多选题）（2 0 2 2 广州模拟）已知e”比是两个单位向量，4G R 时，|与十九0|的最小值,则下列结论正确的是（）JI 2 兀A.6,白的夹角是w B.e”快的夹角是F-O OC.I e,+1=乎 D.|e +e =1【解析】选 A BD.因为e”&是两个单位向量，且陷十八劭|的最小值为半,所以（刍+/包）2 的最
12、小值为日，乙 3（e+4 a）2=A-+2儿良 侥+1的最小值为彳，即 1+2 4 8 金+=0在 4WR 上有唯-个解,所以/=（2 8 a）2 1=0,所以良 a=）,所 以 8与 包 的 夹 角 为 或 空，所以A,B乙 O O正确，所以I 6|+&=1 或 3,所以|良+0|=1或m,所以D正确.教师专用【加练备选】（2 0 2 1 承德模拟）已知力比 中，AB=2,AC=,AB AC=1,。为力6。所在平面内一点，且 汤+2OB+3OC=0,则 而 B C的值为（）A.-1 B.1 C.4 D.-4【解析】选 A.因为游+2OB+3OC=0,所以9+2（洒+油）+3（应+而）=0,所
13、以助=AB+A C,所 以 施 BC=O 乙 （AC-能）=-t熊花1-62-宓1-2-3而IX-3.若向量a=（A,3）,6=（1,4）,c=（2,1）,已知2 a 3 力与c的夹角为钝角，则 A的取值范围是.【解析】因为2 a 3 6 与 c的夹角为钝角，所以（2 a 3 b）c 0,即（2 4 3,-6）（2,1）=(),因为 a=(2,6),b=(3,in),所以 2X 3+(6)Xz z?=O,解得加=1.答案：14.如图，已知等腰4 8。中，AB=AC=3,8 0=4,点 P 是边8 c 上的动点，则 布(森 十 花)【解析】取 8 c 的中点D,易知能+AC=2 A D，且/。，
14、相所 以 苏 （范+范）=2亦 AD=2AD 2.y.AB=AC=3,BC=4,所以4H/二？=4.故 行 （JIB+AC）=2Ab 2=i o.答案：10【加练备选】已知平面向量a,6 满足/a/=l,|引=2,a+b=y3，则a在6 方向上的投影等于【解析】因为|a|=l,b=2,a+b=y/3,所以（a+b）2=|a|2+I b2+2a b=5+2a b=3,所以 a =1,a b所以a 在 6 方向上的投影为力答案：一；1-25.（2022 重庆模拟）已知平面直角坐标系中，向量a=（K 1）,力=（-2,1+x）.（1）若 a l.b,求 x；当 x 0 时,求/句的最小值.X.【解析
15、】（1）因为a_Lb,所以a b=0,即一2 _?+i+x=0,解得刀=1或 刀=一；乙(2)a-b=(/+2,X),则:|ab=3(/+2)旺(x)lx+5x+44 +5=3(x0),x当且仅当系0 =47 即*=地r-时取等号，故最小值为3.6.（能力挑战题）如图，正方形48口的边长为6,点 后 产 分 别 在 边 BC上,且应=2/,夕=2战 若 有/l e（7,16）,则在正方形的四条边上，求使得速序=4 成立的点尸的个数.【解析】以为坐标原点，。所在直线为X轴，物所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系,如图，则 （0,4）,尸（6,4）,若。在徵上，设 P(x,0),0 W x W 6
16、,所以庵=(x,4),/=(6 x,4),所 以 速 部=/6X+16=(X3)2+7,因为 x e 0,6 ,所以 7 W 曲 PF 16,PE-P F=A,H e(7,16)成立的 P 点有 2 个；若。在助上，设 P(0,y),0 j 6,所以走=(0,4 力，/=(6,4 力，所 以 速 PF=(4 一力2,因为0 6,所以0 W 画 序 16,PE*PF=A,A e(7,16)的尸点有1个；若。在 上，设 P(x,6),0 x 6,PE=x,-2),西=(6x,一2),所 以 屋 序6 x+4=(x 3 尸一5,因为0 x W 6,所以一5 W 速 序 W 4,PE-PF=A,4 W (7,16)的尸点个数为0；若。在宛上，设 P(6,y),0 j 6,所以走=(一6,4 力，PF=(0,4 一力，所 以 速 PF=(4 一力，因为0 人6,所以0 W 诙 PF 16,PE*PF=A,A G(7,16)的尸点有 1 个.综上可知：若有(7,16)使 庵 /=4 成立的点F的个数为在四边上0个，在 a 边上1个，在切边上2 个，在 边 上 1个.