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1、第二节圆锥曲线第一部分五年高考荟萃2009年高考题2009年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题V-2 V21.（2 0 0 9 全国卷I 理）设双曲线r-=l （a 0,b 0）的渐近线与抛物线y=x，l 相切，a b 则该双曲线的离心率等于（）A.V 3 B.2 C.V 5 D.V 6【解析】设切点尸（X。,y0）,则切线的斜率为y x=x=2x0.由题意有&=2%又=x02+1%解得：x02=-2,e =+（）2=V 5 .【答案】C2.（2 0 0 9 全国卷I 理）已知椭圆C:万+2=1 的右焦点为F,右准线为/，点Ae/,线段A F 交 C 于点B ,若 成=3 而，则|丽=（）
2、A.V 2 B.2 C.也 D.3 解析 过点B 作5M，/于M,并设右准线I与X 轴的交点为N,易知FN=1.山题意FA=3 FB,故|=j 又由椭圆的第二定义，得尸|=#彳=*.|A F|=V 2.故选A【答案】A3.（2 0 0 9 浙江理）过 双 曲线二一二=1（。0/0）的右顶点A作斜率为一 1 的直线，该直a b 1 线与双曲线的两条渐近线的交点分别为8,。,若 A B =B C ,则双曲线的离心率是（）2A.V 2 B.V 3 C.V 5 D.V 1 0【解析】对于A（凡0）,则直线方程为冗+丁一=0,直线与两渐近线的交点为B,C,（a1 ah）a2 a h、一B ,C（-则I有
3、+a+bJ a-b a-b胫=（/乂,_义2）,而=（-&也，因2而=晅.4/=/,.、=6a2-b2 a2-b2 I a+b a+h）【答案】C4.（2 0 0 9浙江文）已知椭圆xr2 +vJ2=l（a 6 0）的左焦点为尸，右顶点为A ,点8在椭cr b圆上，且轴，直线AB交y轴于点P.若 丽=2而，则椭圆的离心率是（）A近B.-1C.一D.2232【解析】对于椭圆，因为n？=2万，则 0 A =2OF,:.a=2 c,.e=2【答案】D5.（2 0 0 9北京理）点P在直线/:y =x l上，若存在过P的直线交抛物线y =X?于41两点，且|PA=|A B|,则称 点P为“X 点”，那
4、 么 下 列 结 论 中 正 确 的 是（）A.直线/上的所有点都是“力 点”B.直线/上仅有有限个点是“，嫉点”C.直线/上的所有点都不是“，嫉点”D.直线/上有无穷多个点（点不是所有的点）是点”【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，则 6（2 m-x,2-X-2）,*.*A,BEy=x2_h,及学生的学习潜力,考查学生分析问题和0 x/n=m2 -x +1 =(2m-x)2消去，整理得关于x的方程x2-（4/n-l）x +2m2-1 =0 （1）A =（4/72-I）2-4（2加2 -1）=8加2 _ 8加+5 0恒成立，
5、.方 程（1）恒有实数解，.应选A.【答案】A2 26.（2 0 0 9山东卷理）设 双 曲 线 三-二=1的条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点,a2 h2则双曲线的离心率为（）.A.-B.5 C.-D.y/542【解析】双曲线三V-2 一v J2 =1的一条渐近线为y =h2 x,由方程组a b aby=Xa，消 去y,得y =x2+1f 2 x +i =o 有唯一解，所以=（2）2 4 =0,2 b 八 c a +b L,b、飞 匚 “3所以一=2,e =-l+-y/5，故选D.a a a a【答案】D【命题立意】：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的
6、位置关系，只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.7.（2 009山东卷文）设斜率为2的直线/过抛物线y 2 =a 伍。0）的焦点F,且和y轴交于点4,若。4尸（。为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（）.A.y2=4xB.J =8 xC.;/=4 xD.y2-8 x【解析】抛 物 线 丁=（a W O）的焦点/坐标为（3,0）,则直线/的方程为y =2（x 4）,4 4它与y轴的交点为A（0,-今，所以 O A F的面积为g|夕.|夕=4,解得a=8.所以抛物线方程为方=8 x,故选B.【答案】B【命题立意】：本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及
7、直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想，其中还隐含着分类讨论的思想,因参数。的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况，这里加绝对值号可以做到合二为一.V-2 28.（2 009 全国卷H 文）双 曲 线 上-=1 的渐近线与圆（X 3）2 +/=厂2 任0）相切，6 3则 尸（）A.V3 B.2 C.3 D.6【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r,可求尸【答案】A9.（2 009 全国卷I I 文）已知直线=Mx+2）（火0）与抛物线C:：/=8x相交力、8两点，产为C 的焦点。若|E 4|=2|F 6|,则 4
8、=（）【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,由|必|=2 1 五同及第二定义知/+2 =2（4+2）联立方程用根与系数关系可求k=半.【答案】D1 0.（2 009 安徽卷理）下列曲线中离心率为理的是2A.-2 1 =1 =l C._ Z =i2 4 4 2 4 6DZ,=I4 10【解析】由e =X 6得 三2 a23 ,b2 3 b2 12 a2 2 a2 2选 B.【答案】B1 1.（2 009 福建卷文）若双曲线 一2r=l（a o）的离心率为2,则a 等于（）a 33A.2 B.6 C.-D.12【解析】由 一 二=1 可知虚轴b=&,而离心
9、率e=扬+3=2,解 得 a=l 或a 3 a aa=3,参照选项知而应选D.【答案】D j-1 2.（2 009 安徽卷文）下列曲线中离心 率 为 的 字 是（.（）.=1 W.Ji W.=1A.2 4 B 4 2 c.4 6 D.4 10【解析】依据双曲线与一二=1 的离心率e =可判断得.e =逅.选B。a2 b a a 2【答案】BX2 y21 3.（2 009 江西卷文）设片和工为双曲线=1（。0/0）的两个焦点，若耳，居，a b P（0,2b）是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为3 c 5A.-B.2 C.-D.32 2【解析】由 ta n =立 有 3c 2=4 b2=4（，
10、-/）,则=_ =2,故选 B.6 2 b 3 a【答案】B2 214.（20 0 9江西卷理）过椭圆2r=l（a人0）的左焦点与作x轴的垂线交椭圆于点a b P ,%为 右 焦 点，若用=6 0 ,则椭圆的离心率为A.V 2V1D.-3B G3c i【解析】因为P（c,士生），再由/月尸F,=6 0 有 竺=2。,从而可得6=乂），故选Ba a a 3【答案】B2 215.（20 0 9天津卷文）设双曲线二 3=1（。0 力 0）的虚轴长为2,焦距为2百，则a b 双曲线的渐近线方程为（）1 1A.y =V 2x B.y =2x C.y =x D.y =x【解析】由已知得到 =1,C =尸二
11、7=因为双曲线的焦点在X轴上，故渐h5近线方程为y =元=芋元【答案】C【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。2 2 2 216.（20 0 9湖北卷理）已 知 双 曲 线 上 一 匕=1 的准线过椭圆上+4=1 的焦点，则直线2 2y=+2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是（A.K eC.K e【解析】易得准线方程是X=式=2=ib 2所以=4-/=1 即/=3 所 以 方 程 是 工+工=1联立y =f c v+2可 得 33+（4 1 0）的左、右焦点分别是耳、F2,其一条渐近线方程为y =x ,点2（省,九）在 双 曲 线 上 测 所 玩
12、=（）A.12B.-2C.0【解析】由渐近线方程为y =x知双曲线是等轴双曲线，.双曲线方程是彳2-丁 2=2,于是两焦点坐标分别是（一2,0）和（2,0）,且 P（四,1）或 P（心,-1）.不妨去则PF,=（-2-7 3-1）,丽=（2-石,-1）.丽 丽=（-2 -73-1）（2-V3-1）=-（2+7 3）（2-7 J）+1 =0【答案】C18.（20 0 9全国卷n理）已知直线丁 =乂工+2）仅 0）与抛物线。：、2=8 相交于4B两点，F为C的焦点，若|E 4|=2|E B|,则=（）272【解析】设抛物线C：V=8尤的准线为/:x=-2直线y=Mx+2)(A0)恒过定点尸(2,0
13、).如图过4 B分 别 作AM _L/于M 于N,由|E4|=2|EB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.连结OB，则|。研=；|,点B的横坐标为1,故点5的坐标为(1,2物.4=2 0-0=故选 口.1-(-2)3【答案】D2 219.(2009全国卷H理)已知双曲线C：0-%=1(。0/0)的右焦点为尸，过尸且斜率为g 的直线交C于A、B两点，若 而=4而，则C的离心率为()6妨7 5、9A.-B.-C.-D.一5 5 8 5r2 v2【解析】设双曲线C：)一 与=1的右准线为/，过A、B分 别 作AM _L/于M,BN J J于a bN,8。_ L AM于。，山 直 线A B的
14、 斜 率 为G ,知 直 线A B的 倾 斜 角60/.NBAD=60,AD=AB,由双曲线的第二定义有1 1 1 一 一.AM-BN|=|AD|=-(|A F|-|F B|)=-|A B|=-(|A F|+|FB|).e 2 2 1 5 6又A/=4必.一 31/8|=|/8|.e=一.e 2 5【答案】A20.(2009湖南卷文)抛物线y2=-8x的焦点坐标是()A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)【解析】由V=_8x,易知焦点坐标是(,0)=(2,0),故选B.【答案】B2 221.(2009宁夏海南卷理)双曲线上-2-=1的焦点到渐近线的距离为()4 12A.2
15、 G B.2 C.y/3 D.lX2 y2 r|V 3x 4-o|【解析】双曲线亍-台=1 的焦点（4,0）到渐近线 =瓜 的 距离为d=J-一-=2 6,【答案】A22.（20 0 9陕西卷文）“m 0 ”是“方程机x?+盯 2=1”表示焦点在y 轴上的椭圆，的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2 2【解析】将方程加/+）2=1转化为:+=,根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必m n须满足0,上 0,所以m n n m【答案】C2 223.（2009 全国卷I 文）设双曲线一 2=1（。0,b 0）的渐近线与抛物线y=x?+l 相a b切，则该双
16、曲线的离心率等于（）A.V 3 B.2 C.V 5 D.V 6 bx【解析】由题双曲线与一=1（4 0,b 0）的一条渐近线方程为y=,代入抛物线方 程 整 理 得 好：一 加+。=0,因 渐 近 线 与 抛 物 线 相 切，所 以 从 一 公？：。，即c2=5 2 e=V 5 ,故选择 C.【答案】C2 2 2 224.（2009 湖北卷文）已知双曲线二 二 二1 的准线经过椭圆+3 =1 0）的焦点，则2 2 4 b2b=（）A.3 B.y/5 C.后 D.41【解 析】可得双曲线的准线为x=1,又因为椭圆焦点为（序*,0）所以有C1 4-=1 .即 庐 3 故 k.故 C.【答案】C27
17、.（2009 天津卷理）设抛物线V=2 x 的焦点为F,过点M（0，0）的直线与抛物线相交于A,8两点,与抛物线的准线相交于C,忸日=2,则 B C F与A A C F的 面 积 之 比=（）1Q B C 办 +彳 2x+1【解析】由 题 知 士 工=生=1 =SM C F A。*+1 2肛+14 2又 I B F 1=x1 3BH =2=xB=-V 32 2由A、8、M三点共线有Y也 二:AXM -XA XM XB即 0-jj 2 x.0+V3A=匕与,故*=2,6-XA 6-32.垦 业=3士1 =3 11=3,故选择 A。S M C F 2*八 +1 4+1 5【答案】A2&（2009
18、四川卷理）已知直线4 :4 x-3y+6 =0 和直线4 ：x=T，抛物线：/=4%上动点P到直线4和直线/2的距离之和的最小值是（）、J 37A.2 B.3 C.D.5 1 6【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。【解 析 1】直线4：x=-l 为抛物线y 2=4 x 的准线，由抛物 1 f 线的定义知，。到人的距离等于夕到抛物线的焦点b（L 0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x 上 找 个 点 P使得P到点b（1,0）和直线，2的距离之和最小，最小值为尸（1,0）到直1 4-0+6 1线4：4 x 3y+6 =0 的距离，即dm in=2,故选择A。【解析2】如图
19、，由题意可知6/=%1一 +6|=2V 32+42【答案】A二、填空题29.（2009 宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（l,0）,直线/与抛物线C相交于A，B 两点。若 AB 的中点为（2,2）,则直线/的方程为.【解析】抛物线的方程为 2=4 x,f y2=4 x4（占,凹）,8（,必）,则有不。k 2，（；两式相减得，）:一）9=4（1-=-=1王一9，+2直线1的方程为y-2=x-2,即y=x【答案】尸X2 y230.（2 0 0 9 重 庆 卷 文、理）已 知 椭 圆 j +=l（ab0）的 左、右焦点分别为a b a cF i（-c,0）,（c,0）,若椭圆上
20、存在一点尸使-=-,则该椭圆的离心率的s in PFF2 s in PF2Ft取值范围为.【解 析1】因为在尸居中，由正弦定理得-=-1s in PFtF2 s i n 月则由已知，得一 乙=上，即。尸耳=。尸rPFr2 rPFr设点（玉）,%）由焦点半径公式，得尸片=a-e x0,PF2 则。（+40）=c（。-ex。）记得/=心-。）=吐。由椭圆的几何性质知X。一 a 则/二 12 -a ,整理得e（c-a）e（e+l）e（e+l）2 +2 e-1 0,解得 e-V 2 1或e(后-1,又e c(0,1)，故椭圆的离心率 e w (0 1,1)【解析2】由解析1知尸耳=PF由椭圆的定义知c
21、 2 a 2夕”+尸 巴=2。则一户尸2 +?居=2即尸居二，山 椭 圆 的 几 何 性 质 知a2 鸟 。+（:,则 幺 一 0,所以6 2+2 6-1 0,以下同解析 1.【答案】（0-1,1）31.（2 0 0 9北京文、理）椭圆土+匕=1的 焦 点 为 工，点P在椭圆上，若|尸入|=4,9 2则I PF2|=；ZFPF2 的大小为.【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查./a2=9,Z?2=3,.c=a2 h2=,9 2 =V7,6 0.闺周=2疗,又|PH|=4,|P周+|PB|=2 a =6,./周=2,又由余弦定
22、理，得co s N/P招22+42-（2 V 7）22 x 2 x 4：.Z FtPF2=n O 故应填 2,12 0 .32.（2 0 0 9广 东 卷 理）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.同2 2【解析】e=,2 a =1 2,。=6,b =3,则所求椭圆方程为二+匕=1.36 92 2【答案】+-=136 933.（2 0 0 9四川卷文）抛物线y 2=4 x的焦点到准线的距离是.【解析】焦 点 产（1,0）,准线方程x =-l,.焦点到准线的距离是2.【答案】2v.2 234.（2009湖南卷文）过双曲线C：
23、一一彳=1 （a 0/0）的一个焦点作圆/+y2=/a b的两条切线，切点分别为4,B,若 4 0 8 =120（。是坐标原点），则双曲线线C的离心率为_t【解析】.ZA 05=1 2 0 n Z/1 0 F =6 0 n Z A F O =3 0 n c =2a,.e=2.a【答案】235.（2009福建卷理）过抛物线）,=2px（p 0）的焦点尸作倾斜角为45的直线交抛物线于 A、B 两 点,若线段4 8 的长为8,则=【解 析】由 题 意 可 知 过 焦 点 的 直 线 方 程 为 y=x-3,联 立 有2y2=2px 2 _ I T 尤 2-3 内 +卷=0,又|A.=（l+12）J（
24、3p）2 _ 4 x g=8=2。yX 2【答案】22 236.（2009辽宁卷理）以知尸是双曲线?一看=1 的左焦点，AQ,4）,P 是双曲线右支上的动点，贝旧口+1PAi的最小值为【解析】注意到户点在双曲线的两只之间，且双曲线右焦点为F（4,0）,于是由双曲线性质|PF|一|PF，|=2a=4而|E4|+|PF，2IA 尸 1=5两式相加得|尸|+印 2 9,当且仅当A、P、9 三点共线时等号成立.【答案】937.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直 线 尸 与 抛物线C 交于A,B 两点，若 P（2,2）为A B 的中点，则抛物线C 的方程为 o【解
25、析】设抛物线为）2=依，与 =联立方程组，消去y,得：x k x G,x,+x2 k 2 X 2,故 y2=4 x.【答案】y2=4x38.（2009湖南卷理）已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ,则双曲线C 的离心率为,【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b,c（b 是虚半轴长，c 是焦半距），且一个内角是3 0 ,即得2 =tan 3 0,所以c=技，C所以a=J 5 b,离心率e=a V2 2【答案】2r2 V239.（2009年上海卷理）已知甚、乃 是椭圆。：=+彳=1（a b 0）的两个焦点，P
26、a b为椭圆C 上一点，且 丽 JL而.若巴”2的面积为9，则b=.I PF+PF2-2a【解析】依题意，有|P F 2 t18,可得4c2+3 6=4/，即/一,2=9,J PF,2+PF22=4C2故有b=3。【答案】3三、解答题40.（2009年广东卷文）（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x 轴上，离 心 率 为 母，两个焦点分别为和 工，椭圆G上一点到6 和F2的距离之和为12.圆：/+丁+2A x-4y-2 1 =0 伏 e R）的圆心为点 求椭圆G的方程 求 A 4 片工的面积 问是否存在圆G 包围椭圆G?请说明理由.解（1）设椭圆G 的方程为：=+4=1 （。
27、匕0）半焦距为c;a h2a=12（/（2=6 、则G，解得 r，.方=4-2 =36 2 7=9=c=3v32所求椭圆G的方程为：+-=1.36 9（2）点儿的坐标为（K,2）SVF A=|XFIF2X2 =X6V 3X2=6V 3（3）若女 2 0,由 6?+。2+12K 0 21=15+12犬 0 可 知 点（6,0）在圆 Q 外，若2 0 可 知 点（6 0）在圆 Q 外;不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.41.（2009浙江理）（本题满分15分）2 2已知椭圆G：与+=1（。匕 0）的右顶点为4（1,0）,过G的焦点且垂直长轴的弦a b长为1.（I）求椭圆 的方程；（II）设 点P
28、在抛物线G：y =x2+h（h eR）k,。2在 点 尸处的切线与G交于点M,N .当线段A P的中点与M N的中点的横坐标相等时，求Zi的最小值.b =l （-2a =2 v.解（I）由题意得4 b2 X ，所求的椭圆方程为L +x2=l,2 =1 b=l 4.a（II）不 妨 设”（和弘）川（,2），。，户+私 则 抛 物 线。2在 点P处的切线斜率为yfx=l=2 t,直 线M N的 方 程 为 丁 =2枕-+力，将 上 式 代 入 椭 圆G的方程中，得4 x2+（2 t x-r+h）2-4 =0,即 4（1 +/）/一 小（一 力）+（一 力 一4=。，因为直线MN与椭圆G有两个不同的
29、交点，所 以 有=16-f4+2（/z+2）r-A2+4 0,设线段MN的中点的横坐标是七，则 与=上土三=2 2噂（1 -T，I t）设线段M的中点的横坐标是X4,则 =?，由 题 意 得 刍=/，即有产+（1 +人），+1 =0,其中的 42=（1 +力）2 4 2 0,./2 1或%一3；当 一3 时有/?+2 0,4-/2 0不成立；因此/?2 1,当G =1时代入方程产+（1 +/?），+1 =0得f=1,将 =1J=1代入不等式4 =16-+2(/2+2)/-*+4 0成立，因此/，的最小值为1.42.(2009浙江文)(本题满分15分)17已知抛物线C：V=2py(p0)上一点4
30、加,4)到其焦点的距离为一.4(I)求与m的值；(II)设抛物线C上一点P的横坐标为f。0),过尸的直线交。于另一点。，交x轴于点M,过点Q作P Q的垂线交C 于另一点N .若M N 是C的切线，求t的最小值.解(I)由抛物线方程得其准线方程：=一 ，根据抛物线定义点4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+齐?，解得p.抛物线方程为：x2=y,将A(加,4)代入抛物线方程，解得加=2(II)由题意知，过 点 尸 的 直 线 尸。斜率存在且不为0,设其为上。.2 ,j,2 7*则 0：y-当 y=o,x=_”,则 M(一 ,0)。k k联 立 方 程 一 ：乂 一)，整理得：工2 一立+&一。
31、=0 x=y即：(x t)x _(Z-)=0,解得 x=，或1=攵_ /.-.Q(k-t,(k-t)2),而QNLQP,.直线N。斜率为一工k：.lN Q-.y-k-t y =-联立方程卜伏一 =一 步 一(一 切k I-整理得：X2+-x-(k-t)-(k-t)2=0,即：k x2+x-(k-t)k(k-t)+l =Ok kk x +k(k-t)+l x-(k-t)=O,解得：x=/(J)+l,或x=%_/k.z,k(k-t)+k(k-t)+N (-;-,-)，kk k(k T)+l,K=H _(1 +1)2NM k(k-t)+-t2+k t k(t2-k2-1)kk而抛物线在点N处切线斜率
32、：切=y&d)+i-2 k(k-t)-2口3IA-A I,a,I F小 伙Af+1)-2k(k t)2M N是抛物线的切线，J一 一=-k(t2-k2-1)整理得A?+a+1-2/=02 7 2_ 4（1_2/2）2 0,解得，0力 0）的离心率为V 3，右准线方程为x=B。a b3（I）求双曲线C的方程；（II）已知直线x-y +，”=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段A 8的中点在圆x2+y2=5 ,求“1 的值.【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.解（1）由题意，得1 3,解得a=l,c=6
33、,上=6./=c2_42=2,.所求双曲线。的方程为2 _匕=1.2（II）设A、8两点的坐标分别为（*,弘）,（2，2），线段A 8的中点为M （工0，%），2-匕=12 一 得工2-2机工一/一2=0（判别式A 0）,x+y+m=0。+%2.点“（Xo，x j 在圆2+2=5 上，m2+（2加）-=5,./”=1.44.（2009北京理）（本小题共14分）2 2已知双曲线C:0-4=1（0 0,h 0）的离心率为V 3，右准线方程为X=（I）求双曲线C的方程；（I I）设直线/是圆。：/+2=2上动点2（与,%）（入0%，0）处的切线，/与双曲线。交于不同的两点A,6,证明N A 0 8的
34、大小为定值.【解 法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.立=显（I ）由题意，得|3,解得4 =1,C =百，=G2=,2-/=2,.所求双曲线。的方程为f 2 L =1.2（I I ）点尸（/,为）（玉）,M O）在圆A+y 2 =2上,圆在点尸（%,乂）处的切线方程为y _ y（,=_2（一/），化简得=2.-=1由,2 及+=2 得（3 x；-4卜2-4%）+8-2片=0,*0+%）=2.切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,月.0（片0,设A、B两点的坐标分别为（X,）1 ）,（3 2,2），,4x
35、n 8 2 x；贝 ij M +占=-,x,x.=z,-3 x -4 2 3 x -4.OAOB 口 cos ZAOB=_ _ _.1,且OA OB=%|X2+必 必=xx2+(2-x0Xj)(2-XOX2),=玉+4-2%（玉+）+x；玉N 4O 5的大小为90.【解法2】（I）同解法1.（n）点尸（工0，0）（玉）0*0）在圆*2+y2=2上,圆在点尸（/,/）处的切线方程为y_ y（）=_&（*_/），X2 _ Z =1化简得/工+%=2.由，2 及x；+y；=2得xQx+y0y=2（3x；4 j x-4x0 x+8 _ 2芯=0（3x；-4）y-8y（）x-8+2x；=0 .切线/与双
36、曲线C交于不同的两点A、B,月.0 x：2,.3片一4/0,设A、B两点的坐标分别为&,弘）,（,），则 MX?=8 2x：2x(7 8OA-OB=xtx2+yxy2=0,NAQB 的大小为90.（；x；+y：=2 且，0 x：2,0 y；0）的直线交抛物线C于。、E两点，ME=2 DM,记。和E两点间的距离为/（m）,求/（加）关于机的表达式。（第22题图）解：(1)由庖意，可设抛物线。的标准方程为，=2 p x 因为点A(2.2)在抛物线C 上,所以p=1.因此，抛物残C 的标准方程为y2=lx.(2)由(1)可得焦点F 的坐标是(；.0),又直线0 A 的斜率为T =1.故与直线。1 垂
37、直的直线的斜率为-1.因此,所求直线的方程是x+y-十=0.(3)解法一：设点。和E 的坐标分别为(斫”1)和(七.打),直线。的方程是y=k(x-m).wa 将x=+m 代人尸=上,有4-2y-2hn=0,解得“=由ME=2DM知 1 +/I +2mA:=2(/1 不 工-1).化简得犬=人.因此m=(*t-x,)1+(y,-y,)2=(1+3)(力-力尸=(*+F)l=T(m+4m).所以/(m)=+4m(m 0).解法二：设。令，s),E(y,1).由点M(m.O)及 证=2 而 得4?-m=2(m-y)t I-0=2(0-s).因此，=-2 itm=.所以/(m)=DE=/(2J2-(
38、-2i-3)2=m3+4m(m 0).、-246.(2 009 山东卷 理)(本小题满分1 4分)2 2设椭圆E:J+2r=1 (力 0)过 M(2,V 2 ),N (遍,1)两点，O 为坐标原点，a b(I)求椭圆E 的方程；(I I)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,8,且方 _ 1 无？若存在，写出该圆的方程，并求MB|的取值范围，若不存在说明理由。x2 y2 广解：(1)因为椭圆 E:+-=1 (a,b 0)过 M(2,V 2 )a h,N(瓜 1)两点,4F1FT+76一2a以所-1 -=(2 o 2 2解得8所以=8椭圆E 的方程为土+2 1
39、=1,1 1 b2=4 8 4=1 F=4(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,8,且OA O B，设该圆的切线方程为y =k x +m解方程组y k x +mx2 y2 得 x2+2（k x+m）2=8,+=18 4即（1 +2%2+4 k mx +2 m2-8 =0,贝=1 6攵2加2 _ 4（i +2/）（2加2 -8）=8（8/-m2+4）0，即8k2-m2+4 0 x+x2=-4 k ml +2 k2xx2=2/n2-81 +2 k2yx y2=（k x+m）（k x2+机）=k ,玉;+k m（xi+x2）+m2如（2加2 _ 8）_ 软2
40、/2 _ m2-Sk2l +2 k2 1 +2/m-1 +2公_ _ 2 m2-R m2-k2要使0A 1 O B，需使玉+V 2 =0，即-F+-=o,所以3疗 一8/一8 =0,所1 +2 k 1 +2 k以k2=3m-8o又8女2-旭2+4 0所 以1加 2所以即机？壁或83/M28 3 32r2 4-黄，因 为 直 线 =履+用 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线，所以圆的半径为=汉5,所求的圆为+2=色,此时圆的切3 3线y =日+用 都满足机？手 或 机 W-半，而当切线的斜率不存在时切线为x =乎与椭圆+片=1的两个交点为彼，土 还）或（-亚，士 亚）满 足 况_
41、 L而，综上,8 4 3 3 3 3,0 8存在圆心在原点的圆f +v?=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,8,且 3OAL OB.因为v玉+九2 =一4 k m1 +2 k22/H2-81 +2产所以（玉一%2）2 =（玉 +x2）2-4X,X2=（-4 x1 i/K2m2-8+2k28（8必一加2+4）（1 +2 8 2 I AB 1=7（xi-x2）2+（y i-y 2）?=/（1 +左2）（内-）2=（l+k?）与；：4）v（1 i乙 K ）1 2 4 4+5/7 7 _132/v T-4k4+4k2+l-vT +4k4+4k2+l32 1当攵W O时|A5|=1 +-1
42、 3 4/+F+4Vk2因为 4 k 2+4+4 2 8 所以 0 -1-,k4k2+-y +4 8k232 32 I所以彳 知+n一W12,3 3 4 k?+与 +4k2所以5 2班当且仅当女=等时取 当 上=0时A 8|=4 .当4 B的斜率不存在时，两个交点为（城,土 短）或（-辿，土 辿）,3 3 3 3所以此时|4 5|=坟,综上，的 取 值 范 围 为 指4|A8|W2百 即：|6【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.4 7.
43、（2009山东卷文）（本小题满分14分）设 z e R，在平面直角坐标系中，已知向量。=（z x,y +l）,向量至=（x,y-l）,。_ 1_石,动点例（x,y）的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知机=,证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交4点4,8,且OA OB（。为坐标原点），并求出该圆的方程；（3）已知机=匕 设直线/与圆C:%?+y 2=R 2（IR 0且？H 1时,方程表示的是椭圆；当机 o,即 止 一 +i o,即/止+1,且48kt=一甬4/一 4yxy2=(k%+t)(kx2+t)=k2xtx2+kt(xx+
44、x2)+t2k2(4t2-4)8k2t2+-31 +4公要 使 苏J_砺,4/-4 r-4 k2-7-1 +4/1 +4 公5t2-4 k2-41 +4公需使X/2+M%=0,即1 +4k2 1 +4&2所以5一很2-4 =0,即5*=4火2+4且一 4&2+1,即4左2+4 2=1交 于 点（石，土石）或5 4 5 5（-|A/5,|V 5）也满足 0 4,0 8.4综上，存在圆心在原点的圆?+y2 =_,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点4,8,且 苏1丽.1r2（3）当加=一时，轨 迹E的方程为一+/=1整设直线/的方程为丁 =履+八 因为直线/与圆4 4C:2+y2 =R2（R
45、0）的 离 心 率 为 亍 ，过右焦点尸的直线/与C相交于A、8两点，当/的斜率为/时，坐标原点。至I 的距离为（I ）求a力的值;（I I）C上是否存在点P,使得当/绕尸转到某一位置时，有0%=&+而成立？若存在，求出所有的户的坐标与/的方程；若不存在，说明理由。解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二间利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解（I ）设尸（c,0）,当/的 斜 率 为1时，其 方 程 为x-y-c =0,。至卜的距离为l0-0cL。故，_ V 2V 2 一 亚 故 亚
46、 一 2 1n _由 e =-，得 a =V 3 ,b =y j a2 c2=V 2a 3（H）C上存在点尸，使得当/绕户转到某一位置时，有 丽=雨+而 成 立。由（I ）知C的方程为2 x?+3 y 2 =6.设4匹，弘）,3（4,为）.（i）当/不垂直x轴 时，设/的方程为y =女（-1）C上的点P使 而=原+而成立的充要条件是P点 的 坐 标 为（X +%2,%+为），且 2（匹+/）2+3（乃+乃）2=6整理得 2 xJ +3 y+2X22+3 y22+4 x,x2+6月 为=6小、8在C上，即2 x：+3 y=6,2 2+3为2 =6故 2 x/2+3%乃+3 =0将y =k(x-1
47、)代 入2/+3 y 2 =6,并化简得(2 +3 1)/一6%2尤 +3%2 -6 =0曰 6 k 2 3 k2-6于是 X,1 4-x2=-r,X,x2=-r,2 2 +3 1 1 2 2 +3&2c-4 k2yiy2=k-（xi-l）（x2-2）=2 +3 k?3代入解得，k 2 =2 ,此时/：k 3 k于 是 月+乃=-/+X2-2）=-,即尸弓，一5）因此，当=-寸，pg，/），/的 方 程 为 缶+y-/=0；当女=五 时，P（j,-y）,/的 方 程 为 岳 一y J i =0。（i i）当/垂直于x轴时，由 而+而=（2,0）知，C上不存在点产使丽=雨+而 成 立。综上，c上
48、存在点p g,士 餐）使 丽=次+而 成 立，此时/的方程为J Lc y -J i =0.4 9.（2 009广 东 卷 理）（本小题满分14分）已知曲线C :y =与直线/:x-y+2 =0交于两点A（x.,力）和B（xB,yB），且4,2=1有唯一解=1x=xn，即直线4与椭圆有唯一交点P.不(方法二)显然P是椭圆与/1的交点，若。(a cos B,h sin4),0 W /2不是椭圆与人的交点,代入4的方程c o s/?s in 4y=1,得 cos cos 4 +sin/3 sin =1,ab即cos(-4)=1,4=口，故P与。重合。x2(方法 三)在第一象限内，由 鼻+a1可得y=
49、V?a一“2 小b z-2 f2椭圆在点P处的切线斜率左=y(x。)=-b2x切线方程为y=-。)+先,即 竽2ya小a 一/。：丫0因此，人 就是椭圆在点尸处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线4的唯一交点。(ID tana=%_=2tan 的 斜 率 为 一 步 乙的斜率为 tan/=tanx0 a yoa _ xob b由此得 tan +y 2 =相切的直线方程为：y-1 =kx贝ij 2 =严+，即 32k2+36女 +5 =03 V 1 7 F(4)-9+J 41 -9-V 41解得占=21,&=1 6 2 1 6v-2将(3)代入一+y 2 =1得(1 6左2 +1.2 +3
50、2kx=0,则异于零的解为1 632kx=-1 6A、2 +1设厂(X i，*%+Y),E(x2,k2x2+V),则 =-3-2,k x.,=-3-2k产2一1 6彳+1 -1 6 V+1则直线F E的斜率为：用资=芾二于是直线FE的方程为:y +jW l =-(x+；)1 6婷+1 4 1 6A;,2+r即 产 二 一 工4 32 3 2则圆心(2,0)到直线FE的距离d=i 1=-J 1+-3V 1 6故结论成立.5 2.（2 0 0 9江西卷理）（本小题满分1 2 分）2 2已知点6（%0，打）为双曲线而y-万=1 （匕为正常数）上任一点,名为双曲线的右焦点，过片作右准线的垂线,垂足为4