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1、第三章导数及其应用第一部分五年高考荟萃一、选择题1.(20 0 9年广东卷文)函数/(x)=(x-3)e 的单调递增区间是()A.(一吗2)B.(0,3)C.(l,4)D.(2,+8)2.(20 0 9全国卷I 理)已 知 直 线 y=x+l 与曲线y=l n(x +a)相切，则 a的值为()3.(20 0 9安徽卷理)已知函数/(x)在 R 上满足/(x)=2/(2-x)-Y+8X-8,则曲线y=f(x)在点(1 J)处 的 切 线 方 程 是()A.y=2x-1 B.y=x C.y=3 x-2 D.y=-2x4-3答案 A解析 由/(x)=2/(2 x)x?+8 x-8 得几何/(2-x)
2、=2/(X)-(2-X)2+8(2-X)-8,即 2/(X)-/(2-X)=X2+4X 4,：.f(x)=x2：.f x)=2x,.切线方程y-l =2(x-l),即 2 x-y-l =0 选 A4.(20 0 9江西卷文)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=/和),=/+一一9 都相切，则4。等于()A.一1 或 上25 B.1 或2巴1 C.7 25 D.，7或 764 4 4 64 4答案 A解析 设过(1,0)的直线与y=3 相切于点(%,与3),所以切线方程为y-x j=3 x02(x-x0)即 丁 =3/21 一2/3,又(1,0)在切线上，则%=0 或%=一 5，1 5 25当/
3、=0时，由)，=0 与 y=ax2+w%9 相切可得=,3 27 27 1 5当x 0=一 万 时.，由，二工%屋 与 y=a x?9 相切可得。=1,所以选A.5.(20 0 9江西卷理)设函数/a)=g(x)+/,曲线y=g(x)在点(l,g(l)处的切线方程为y=2x+l,则曲线y=/(x)在点(1 J )处切线的斜率为(),1 c 1A.4 B.-C.2 D.4 2答 案 A解析 由已知g(l)=2,而/(x)=g(x)+2 x,所 以/(1)=8(1)+2*1=4 故选人力。Y6.(2009全国卷II理)曲 线 y=-在点(1,1)处的切线方程为()2x 1A.x-y-2 =0 B.
4、x+y-2 =0 C.x+4 y-5 =0 D.x-4 y-5 =0答 案 B解y I2x 1 2xx=1 (2 x-l)23=-(2 1)2故切线方程为y 一1=一。一1),即+卜一2=0 故选B.7.(2009湖南卷文)若函数y=/(x)的号照数在区间 凡切上是增函数,)则函数y=/(x)在区间。,切上的图象可能是8.(2009 辽宁卷理)若%满足 2x+卷=5,x2 2x+2log2(x1)=5,xx+x2=57A.-B.3 C.-D.42 2答 案 C解析 由题意2%+2%=5 2X2+2 log,(x2-1)=5 所以以=5-2 苦，演=log2(5-2x,)即 2%=2噢 2(5
5、2西)令 2x1=7-2t,代入上式得 72t=21og2(2t2)=2+21og2(tl).52t=21og2(t1)与式比较得 t=x2)于是 2x i=72x 29.(20 0 9天津卷理)设函数/(1)=；%-1!1 1(工 0),则丫=/(X)()A在区间(L 1),(1,e)内均有零点。eB在区间(1,1),(1,e)内均无零点。eC在区间d,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点。eD 在区间(1,1)内无零点，在区间(l,e)内有零点。e【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。1 1 r-3解析 由 题 得/(*)=-=-,令/(x)0 得 x 3；令/(x)0 得3 x 3
6、x0 x 3 ；/(x)=0得 x =3 ,故知函数/(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,R)为增函数，在点x =3处有极小值l-In 3 0；又/(l)=1,/(e)=-l 0,故选择 D。3 3 e 3e二、填空题1 0.(20 0 9辽宁卷文)若函数/(x)=在 x =l 处取极值，则。=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _x +1解析 f (x)=2 M x +l)Y f+。)(x +l f，(1)-=0 =a=34答 案 31 1.若曲线/()=公 2+/存在垂直于轴的切线，则实数a的 取 值 范 围 是:解析 解析 由题意该函数的定义域x 0,由/(x)=2a
7、x +。因为存在垂直于y 轴X的切线，故此时斜率为0,问题转化为x 0范围内导函数/(x)=2a x +L存在零点。X解 法 1 (图像法)再将之转化为g(x)=-2a x 与(x)=存在交点。当a =0不符合题x意，当a 0时，如 图 1,数形结合可得显然没有交点，当a0如图2,此时正好有一个交点，故有a 0应填(-8,0)或是 a|a 0 。解 法 2(分离变量法)上述也可等价于方程2a x +=0在(0,+8)内有解，显然可得X1 2.(20 0 9江苏卷)函数/(幻=3-1 5X 2-3 3 x +6 的 单 调 减 区 间 为.解析 考查利用导数判断函数的单调性。f(x)=3/_ 3
8、 0 x _ 3 3 =3(x -l l)(x +1),由(%1 1)(%+1)1【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.1 4.(2 0 0 9 福建卷理)若曲线/(x)=a x 3+l n x 存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是.答案(-,0)解析 由题意可知/a)=2“/+_1,又因为存在垂直于y轴的切线，X所以+=0 t z =(%0)=aG(-8,0)ox2x1 5.(2 0 0 9 陕西卷理)设曲线丁 二 川(6 N*)在 点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为 X“，令 an
9、=1 g X，则 4 +。2 +%9 的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一答案-2解 析：点(1,1)在函数旷=炉+1(6”)的图像上,，(1,1)为 切 点，y =x|的导函数为y =(+l)x n y =+ln切 线 是:y-l =(n +l)(x-l)令y=0 得 切 点的横坐 标：匕=/一 +1,12 9 8 9 9 .1 。c i,1 +c i-2,+.+(I9Q9Q 1 g xxx.XQ O=1 2 .-=1 g-=-212 2 3 9 9 1 0 0 1 0 01 6.(2 0 0 9 四川卷文)设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射V,记
10、。的象为/(。)。若映射V满足：对 所 有 a、b e V及 任 意 实 数 都 有f(Aa+jUb)=Af a)+jUf(b),则/称 为平面M上的线性变换。现有下列命题：设/是 平 面”上的线性变换，a、b EV,则/(a +b)=/(a)+/Q)若e是平面M上的单位向量，对 a e V,设/(a)=a +e,则/是 平 面 M上的线性变换;对a e V,设了(a)=-a ,则/是 平 面 上 的线性变换；设了是平面M上的线性变换，a eV,则对任意实数人均有/(妨)=g,伍)。其中的真命题是(写出所有真命题的编号)答 案 解析：令；1 =则/伍+与 二 八 幻+八 编 故 是 真 命 题
11、同理，：令/l =k，4 =0,则/(版)=妙(。)故是真命题：*./()=-a,则有/(b)=-bf(Aa+俄)=一(%+心)=%(-。)+(一 3=(“)+/3)是线性变换，故是真命题：由/(a)=a +e ,则有 f(h)=b +ef(Aa+f i b)=(Aa+b)+e =A-(a+e)+/j(b+e)-e =Af(a)+/Jf(b)e是单位向量，e#0,故是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖,突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。1 7 2 0 0 9 宁夏海南卷文)曲线y =x e +2x +l在点(0,1)处的切线方程为 。答
12、 案 y =3 x +l解析 y-ex+x ex+2 ,斜率 k=e +0+2 =3,所以，y l=3 x,即 y =3 x +l三、解答题1 8.（20 0 9 全国卷I 理）本小题满分1 2分。（注意：在试题卷上作答无效）设 函 数/（犬）=3+3 纵2+3。尤在两个极值点小/，且王 1,0 ,口,2.（I）求 氏 c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点传,c）的区域；（H）证明：-10 /（）一；（I I）这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标/（2）=无 J+3公22+3 C X 2中的6,（如
13、果 消 c 会较繁琐）再利用马 的范围，并 借 助（I）中 的 约 束 条 件 得 2,0 进而求解，有较强的技巧性。解析 由题意有/(X 2)=3/2+6 2+3 c =0.又/(x2)-Xi +3bx；+3 c%.I.消去可得/(冗2 )二 -/S +万 2，又.X2C1,2,且ce 2,0/.-10/(x2)-119.(2009浙 江 文)(本 题 满 分15分)已 知 函 数f(x)=仁+(1 一幻却-a(a+2)x+6(a,be R).(I)若函数/(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求a,6的值;(II)若 函 数 在 区 间(-1,1)上不单里,求a的取值范围.解析(
14、1 )由题意得广(x)=3/+2(1 a)x-a(a+2)f(0)=b=0广(0)=-必 +2)=-3,解得b=0,。=-3或。=1(I I)函数/(幻在区间(-1,1)不单调，等价于导函数/(x)在(-1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数/(x)在(-1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有/(一1)/0,即:3+2(l-a)-a(a+2)3-2(l-a)-a(a+2)0整理得：(a+5)(a+l)(a 0,解得5 a =/(2)=8 8-6a+b=8 b=24.(II)V/(x)=3(x20),当a 0,函数/(x)在(一8,+8)上单调递增,此时函数/(x)没有极值点
15、.当a0 忖，由 /(x)=0 n x =,当工同-8,-时，/(x)0,函数x)单调递增，当时，/1(x)0,函数/(x)单调递增，此时x =-G是/(x)的极大值点，x =正 是/(x)的极小值点.21.(20 0 9北京理)(本小题共1 3分)设函数/(x)=x*(A H 0)(1)求曲线y =/(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(I I)求函数/(x)的单调区间；(I I I)若函数/)在区间(1,1)内单调递增，求上的取值范围.解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.(I )y(%)=(l+f c r)ef a,/(0)
16、=l,/(0)=0,曲线y =/(x)在点(0,/(0)处的切线方程为y =x.(I I )由/(x)=(1+米)e =0 ,得=一!(攵/0),k若女 0,则当x e卜 8,-:卜寸，f(x)0,函数x)单调递增，若上 0,函数/(x)单调递增，当x w -，+8,)时，/(x)0,则当且仅当一!W-1,k即上W 1时，函数/(x)(1,1)内单调递增，若 k 0,且/(x)在区间(0,1 上单调递增，试用a表示出6的取值范围.解：(1)由已知得/(x)=ax2+2bx+，令 f x)=0，得ax2+2bx+=0,f(x)要取得极值，方程ax1+20 x +1 =0必须有解，所以=4/一4。
17、0,即匕2 a,此时方程。/+2/+1 =0的根为所以/(X)在X 1,X2处分别取得极大值和极小值._-2/?-V 4/？2-4a _-b-b2-a-2b+yl 4b2-4a _ -b+yh2-aX 一 ，七 一2a a2aa所以尸(x)=a(x-x)(x-x2)当“0时，X(-0,X i)X 1(X1,X2)X2(X 2,+8)f (x)+00+f(x)增函数 极大值减函数极小值增函数所以/(X)在X 1,X2处分别取得极大值和极小值.当a v 0时，X(-0,X2)X2(X2,X1)Xl(X l,+8)r(x)-o+0f(x)减函数 极小值增函数极大值减函数综上，当a,b满足方 a时,/
18、(X)取得极值.(2)要使f(x)在区间(0,1 上单调递增，需使/(x)=a +2必+1 2 0在(0,1 匕恒成立.H Y 1 ax 即。2%(O J恒成立，所以。2(一 二 一),2 2x 2 2x力/、ax 1 a 1 二)设g(x)=-,g(x)=+厂=,2 2x 2 2x 2x令g x)=0得X =或X =-1(舍去),yja Ja当。1 时,0 工1,当x e(0,3)时葭(x)O,g(x)=-S-单调增函数;a y/a 2 2x当X (3,1 时g (x)O,g(X)=一竺一-单调减函数,Ja 2 2x1所以当x =时,g(x)取得最大，最大值为g所以b 2-当0 1 时，b
19、-4a;当0 -a +2【命题立意】：本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.设函数/(幻=；/一(1 -0/+4以+24。，其中常数a l(I)讨论f(x)的单调性；(I I)若当延0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
20、解析(I)f x)=x2-2(1 +a)x+4a=(x-2)(x-2a)由。1知，当0,故/Q)在区间(8,2)是增函数;当2 x 2 a时，fXx)2 a时，fx)0,故 x)在区间(2a,+8)是增函数。综上，当。1时，/(x)在区间(8,2)和(2a,+8)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。(I I)由(I)知，当x?0时，/(x)在x=2o或x=0处取得最小值。1 ,/(2a)=-(2a)3-(l+)(2a)2+4a-2+24a4,=a3+4。2 +24。3/(0)=24。由假设知a 1J 2Q)0,/(0)0,a 1,4即 一针(“+3)(。-6)。，24a 0.解 得la 2飞
21、2 m 2+2 m =2A/2|m Y i m当且仅当2x：=与 时，|尸。取得最小值，即|尸。|取得最小 值 五%当机 0时;J(2亚+2)m =近 解得加=J5 1当机 0,若m 0,k 1-,m函数y=f(x)一日有两个零点x=2 土 噂 a),即1X=-；k-若用 0,k 1 一,(加 0),或 攵 1一-(2 0)，讨论f(x)的单调性.x本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分1 2分。解析 了(x)的定义域是(0,+8)/(x)=1 +义 一 4=厂 一 ：+2.X X X设g(x)=x2-a x+2，二次方程
22、g(x)=0的判别式心=a2-S.当A=Q2-8 0,即 0。0都 有 广(x)0,此 时/(x)在(0,+8)上是增函数。当 =/-8=0,即。=2加 时，仅对x =啦 有/(x)=0,对其余的x0都有/(x)0,此时/(x)在(0,+8)上也是增函数。当 =/一 80,即。2正 时，方程g(x)d l cr 8=0有两个不同的实根玉二,%2=l a-8 n-,0 X j 0,(I)讨论了8的单调性；(I I)设 a=3,求 在 区 间 1,3 上值域。期中e=2.7 1 8 28 是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第
23、一问中所涉及到的单调性来求函数/(X)在 1 4 2上的值域。解析(1)由于/(x)=l +W 2X X令 f =!得),=2z2+H 0)x当=/一 8 W 0,即0 a 0,即。2近 时,_ 2 八/口 a 8 _ p.a+a”8由 2/一 W+l 0 得f -4 4A8f A T a 80 x -或 x -4 42 八/口 Q 8 Q+JQ2 8 q 8 a +Ja 8又由 2f 2 at+0得-t -x -4 4 2 2综上当0 a 2后 时，/(x)在(-o o,0)及(0,+8)上都是增函数.当。2 0时，/(x)在(区 二 告*,。+?一 _)上是减函数,在(-o o,0)(0,
24、“-4及(。+*2-8,)上都是增函数.(2)当a =3时,由知/(x)在 1,2上是减函数.在 24 2上是增函数.2又/=0,/(2)=2-3/2 0e函数/(x)在 1 4 2上的值域为 2 3/n 2,e 2 N 526.(20 0 9江西卷文)(本小题满分1 2分)设函数/(x)=d-5冗+6工一。.(1)对于任意实数x,1(不)2?恒成立，求机的最大值;(2)若方程/(x)=0有且仅有一个实根，求。的取值范围.解析(1)/(X)=3x2-9%+6=3(%-1)(%-2),因为 x e (-8,+8)J(x)2,即 32-9+(6-?)20恒成立，3 3所 以A =8 1 1 2(6
25、?)W 0,得 一 一，即机的最大值为一巳4 4(2)因为当 x 0;当 l x 2 时，f(x)2 时，/,(x)0;所 以 当x =l时,/(x)取 极 大 值/(l)=|-a；当x =2时,/(x)取 极 小 值/(2)=2。；故当/(2)0或/(1)0时，方程/(幻=0仅有一个实根.解得。.27.(20 0 9江西卷理)(本小题满分1 2分)设函数/(%)=X(1)求函数/(X)的单调区间；(1)若%0,求不等式 f(x)+k(l-x)f(x)0 的解集.1 1 Y 1解析(l)/(x)=-ye、+/=由/(尤)=0,得 x=l.XXX因为 当x 0 时，/(x)0 ；当0 x 1 时
26、，/(九)1 时，/(x)0；所 以 的 单 调 增 区 间 是：口,+8)；单调减区间是：(-O O,0),(0,1 .由I fr(zx)、+k7/(1l-x)f(x)=-X-kz-X-k-X-exx =-(x 1)(-f-c x-+-1-)exA.0A,x尤得：(x-l)(b:-l)0.故：当0人 1时，解集是：x l x 1忖，解集是：x|x 0（I ）当7 =1 时，曲线y =在 点（L f（1）处的切线斜率（I I）求函数的单调区间与极值；（I I I）已知函数/（乃 有三个互不相同的零点0,七,乙，且 玉 4。若对任意的XG x1 9x2,/（x）l）恒成立，求 m的取值范围。答案
27、（1）1 （2）/（九）在（-8,1 -加）和（1 +见+8）内减函数，在（1 一加,1 +机）内增函2 R o 1数。函数/（X）在 x =l +加处取得极大值/（1 +加），且/（1 +m）=加3+加2 一 2 a .1函数/（X）在 X =1 -加 处取得极小值/（1 一加），且/（1 一机）=一 加3 +/一 解析 解析 当m=1 时，/（尤）=:尤3 +一,/（%）=X2+2 1,故/（I）=1所以曲线y =/（X）在 点（1,f（1）处的切线斜率为1.（2）解析/（x）=-x2+2 x +m2-1,令/（x）=0,得到x =1-6=1 +加因为机 0,所以1 +小 1 -m当 x变
28、化时，/（x）,/（x）的变化情况如下表：X(一 8,1 -m)1-m(1 一m,1 +团)1 +/7?(l +/?2,4-oo)十0-0+/（X）极小值/极大值/（X）在（一 8,1-加）和（1+m,+8）内减函数,在（1 一加,1 +6）内增函数。函数/(x)在x =l +m 处取得极大值/(1 +阳),且f(l +/n)=2 m3a +m20 -1函数/(1)在 1二1 一小处取得极小值f(l-m),且/(I 一=z?+m2,1 0,1(3)解析 由题设，f(x)=x(-x 4-x +m*-1)=-x(x-x1)(x-x2)所 以 方 程 一;一+工+加2 _ =0山 两 个 相 异 的
29、 实 根 内,1 2，故玉+工2=3,且4 1 1A=1 +-(/?I2-1)0,解得m-3因为X X +工 2 =3,故工2 1若F W1X2,贝如=_；(1一而/(为)=0,不合题意若 1芭 0,x-x2 /恒 成 立 的 充 要 条 件 是/(I)=机2 _ J_ o 解得 m 3 3 31 八综上，m的取值范围是(,十)【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。30.(2009湖北卷理)(本小题满分14分)(注 意：在试题卷上作答无效)在R上 定 义 运 算 p&q=-；(p-c)(q-b)+4/
30、?c(b、c为 实 常 数)。记/.U)=Z2-2 c,(%)=4一2，,2 eR.令)=/；(%)/(%).(I)如果函数/(%)在=1处有极什：,试确定b、C的值；(II)求曲线y=/(z)上斜率为C的切线与该曲线的公共点；(III)记8(月=/(力|(10若 一1 0,则 f Wf(-l)Wf(b),j.g(-l)Wmaxg(T),g(b)于是M=max (-1)|,2 g(|+1八 帅 弓(卜 )=；(b-若0W0W1,则(=1)(1)。)，.8(1)0 匕(一1)*3)于是=max(l)|,|广 2；(1)|+|广)2(一 1)|广 )=+以；综上，对任意的b、C都有M22而当，b
31、=O,c =；时，g(x)=/+；在 区 间 上 的 最 大 值故M2 K对任意的b,c恒成立的k的最大值为123 1.(2 009四川卷文)(本小题满分1 2分)已知函数/(x)=x3+2bx2+c x-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y =5 x-1 0。(I)求函数x)的解析式；(H)设函数g(x)=/(x)+；z x,若g(x)的极值存在，求实数机的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.解析(I)由已知，切点为(2,0),故有/,(2)=0,即4b +c +3 =0 又/(x)=3 x2+4b x+c,由已知/(2)=1 2 +防+。=5得防+。+7=0 联立，解得b
32、 =-l,c =l.所以函数的解析式为/()=1-2一+一2 .4分(I I)因为g(x)=x3-2 x2+x-2 +；，”x令 g x)=3/-4x+l +?w =0当函数有极值时，则ANO,方程3/-4 3+1+，用=0有实数解，3由 二 4(1 一 2)0,得2 W 1.2 2 ,当加=1时，g (x)=0有实数1=,在x=左右两侧均有g (x)0,故函数g(x)无极值当机/l-m),x2=1(2 +g(x),g(x)情况如下表：X(-8,占)玉(士,)X2(+8)g(x)+0一0+所以在根e(-8)时，函数g(x)有极值；g(x)/极大值极小值/当x=；(2-J K)时，g(x)有极大
33、值；当x=；(2+Ji二/)时，g(x)有极小值；.12分32.(2009全国卷H理)(本小题满分12分)设函数/(x)=%2+a/(l+x)有两个极值点巷、x2,且须匕产解：(I)f(x)=2x4-=-(x -1)1 +X 14-x令g(x)=2/+2 x +，其对称轴为工二一；。山题意知王、马是方程g(x)=。的两个均大于-1的不相等的实根，其充要条件为/,得0。0 2当时,/(力0,/。)在(一1,%)内为增函数；当XE(尤1/2)时，/(X)0,/(X)在(工2,+8)内为增函数；(II)由(I)g(0)=a 0,.x2 -；),则(x)=2x-2(2x+l)l n(l+x)-2x=-
34、2(2X+l)/n(l+x)当xe(；,0)时，/()0,，g)在 一；,0)单调递增；当xe(0,+8)时，h,(x)h()=匕詈故/()=力3 3.(2 009湖南卷文)(本小题满分1 3 分)己知函数/(x)=x3+bx2+c x的导函数的图象关于直线x=2 对称.(I)求 b的值；(I I )若/(%)在 X=，处取得最小值，记此极小值为g(f),求 g(f)的定义域和值域。解：(I )/3 =3 X 2 +2 以+0.因为函数/()的图象关于直线*=2对称，所以一一-=2,于是A =6.6(I I)由(I )知，/(x)=x3-6x2+e x,f x)=3 x2 1 2 x+c =3
35、(x2)2+c 1 2 .(i )当 c 2 1 2 时,f x)0,此时/(x)无极值。(i i)当 c 1 2 时，/(x)=0 有两个互异实根不，.不妨设玉 2，则 玉 2 2.当x 0,/(x)在区间(8,司)内为增函数；当X i x x 2 时，r a)8 2 时，f x)0,/(X)在区间(,+8)内为增函数.所以/(X)在 X =X 1 处取极大值，在 x=%处取极小值.因此，当且仅当c 2.于是g(f)的定义域为(2,+8).由广=3 f 2 _+c =0 得c =3 +.于是 g(t)=f(t)=t-6 r +ct=2t+6t2,te(2,+o).当f 2 时,g t)=-6
36、t2+1 2/=6t(2-t)0,所以函数g(f)在区间(2,+8)内是减函数，故 g(f)的值域为(8,8).3 5.(2 009福建卷理)(本小题满分1 4分)已知函数/(x)=；彳 3 +bx，且/(1)=0(1)试用含a的代数式表示b,并求/(x)的单调区间；(2)令。=-1 ,设 函 数/(X)在玉,彳2(玉 工2)处取得极值，记 点 M(X,/(%1),N(X2,/(X2),),王(加 l 时，l-2 a 0 恒成立，且仅在x =-l 处/(x)=0,故函数/(x)的单调增区间为R当a 一 1 同理可得，函数/(x)的单调增区间为(一8,-1)和(1-2 a,+8),单调减区间为(
37、-1,1-2 a)综上：当。1 时，函 数“X)的 单 调 增 区 间 为(8,1 2。)和(1,+8),单调减区间为(1 2 7,1):当a =l时，函数/(x)的单调增区间为R；当 a 0.g(2)=-(?-2)0等价于J 3(-1)2 +6-4?+4)03m1 6m (m2 4m+4)0tn 1 m 5H P 2 或 2 1,解得2 m 1又因为所以m的取值范围为Q,3)从而满足题设条件的r 的最小值为2.3 6.(2 0 0 9辽宁卷文)(本小题满分1 2 分)设/(x)=e*(a x 2+x +l),且曲线y=f(x)在 x=l 处的切线与x 轴平行。(2)求 a的值，并讨论f(x)
38、的单调性;证 明：当6 e 0,g 时 依 c os 6)-f(s in e)|2解析(I)/(x)=e”(a x、+x +l +2 ox +l).有条件知,/=0,故a +3 +2 a =0 =a=-l.2分 于是尸(x)=ex(-x2-x +2)=-e(x+2)(x +1).故当x e(8,-2)u(l,+8)时，/(x)0.从而/(x)在(一8,2),(1,+8)单调减少，在(2,1)单调增加.6 分(II)由(I)知“X)在0,1 单调增加，故 f(x)在 0 J 的最大值为/(l)=e,最小值为/(0)=L从而对任意 x2e0,l ,有|/(X1)/(X2)|We-l 2.1 0 分
39、jr而当 0,时，c os。,s in。0,1 .从而|/(c os。)一/(s in 6)|1。(1)讨 论 函 数 的 单 调 性；(2)证明：若 a5,则对任意 x x2e(0,+oo),x,x2,有不一解析(1)/(X)的定义域为(0,+8)。_ z、c i 1 CL X+1 (x l)(x +1 a)八f (x)=x-a +=-=-分X X X(i)若-1 =1 即=2,则X故/(x)在(0,+8)单调增加。(ii)若。-1 1,故 1 Q 2 ,则当 X (一 1,1)时，/(X)0故/(x)在(a -1,1)单调减少，在(0,a-l),(l,+oo)单调增加。(iii)若 a -
40、1 1,即a 2，同理可得/(x)在(l,a-1)单调减少，在(0,1),(a -1,+-)单调增加.(H)考虑函数 g(x)=/(x)+x-x2-ax+(a-)n x+x由 于 l a 0 ,即 g(x)在(4,+8)单 调 增 加，从 而 当 玉 0时有g(x j-g(x 2)0 ,即/(斗)一/(工2)+|一0，故 J/区)-1,当0%X 2一 龙 2时，有)/心)-内)_.1 2 分X-X2 x2 X13 8.(2 0 0 9宁夏海南卷理)(本小题满分1 2 分)已知函数/()=(/+3 x2+ax+b)e x(1)如a=6 =3,求/(x)的单调区间;(1)若/(x)在(8,夕),(
41、2,)单调增加，在(a,2),(民+8)单调减少，证明/3-a 6.(2 1)解析(I )当a =b =3 时，y(x)=(x3+3 x2-3 x-3)e-故f x)=-(X3+3X2-3X-3)e-x+(3 x2+6 x-3)e-x=-e-x(x-3-9x)=-x(x -3)(x +3)1当x v-3 或 0vx0；当一 3 x 3 时，f*(x)0.从而/(x)在(一汽 3),(0,3)单 调 增 加，在(一 3,0),(3,+8)单调减少.(II)f(x)=-(x3+3x2+ax+b)e x+(3x2+6 x +a)e-Jt-e x x3+(a-6)x+b-a.由条件得：/(2)=0,即
42、2 3 +2(。-6)+匕-a =0,故匕=4 一 a,从而/(x)=-e-x x3+(a -6)x +4 -2a.因为/a)=/)=0,所以x，+(a -6)x +4 2a=(x -2)(x -a)(x -/?)(x -2)(x2-(a +a。).将右边展开，与左边比较系数得，1 +4=-2,砂=。-2.故/3 (X J (/?+a)-4a0-J1 2 -4”.又(4-2)(a -2)0,即的一 2(a+夕)+4 0.由此可得 a 6.3 9.(2 0 0 9陕西卷文)(本小题满分1 2分)已知函数/(x)=x3 3ax l,a H 0(I)求/(x)的单调区间；(II)若/(x)在x =-
43、1处取得极值，直线产m y V y =/(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析(1)f (x)=3x2-3a=3(x2-a),当a 0,当a0时，由/(x)0解得x&；由/(x)0解得一五x 0时，/(%)的单调增区间为(一8,),(五,+8)；f(X)的单调减区间为(y/a9y a)o(2)因 为 在 工=-1处取得极大值,所 以/(_ 1)=3 x (-1)2 _ 3 a =0,a =1.所以/(x)=V-3 x -1,f (x)=3 f -3,由/()=0解得玉=-1,=1。由(1)中/(x)的单调性可知，/(x)在x =-l处取得极大值/(一1)=1,在x =1处取得极小值
44、/(I)=-3。因为直线y =z与 函 数y =/(x)的图象有三个不同的交点，又 -3)=-1 9 1,结合/(%)的单调性可知，加 的取值范围是(-3,1)。4 0.(2 0 0 9陕西卷理)(本小题满分1 2分)1 Y已知函数/(x)=l n(a x +l)+,x 0 ,其中 a 01 +x(I)若/(x)在x=l处取得极值，求a的值；(II)求/(x)的单调区间；(III)若/(x)的最小值为1,求a的取值范围。2a解(I )f x)=ux+a 2ax+1(1 +x)2(a x +l)(l +x)2 /(x)在x=l 处取得极值，(1)=0,即a 1 2+。一2 =0,解得。=1.(1
45、 1)f x)=ax+a 2(a x +l)(l +x)2x 0,a 0,a x +1 0.当a A 2时,在区间(0,+8)上，尸(x)0,f(x)的单调增区间为(0,+oo).当0a 0解得x .,Et l/,(x)0解得x J,V a V a./(X)的单 调 减 区 间 为(0 3陛),单 调 增 区 间 为(.&+OO).V a V a(Il l)当a 2 2时，由(H)知，/(x)的最小值为/(0)=1;当0a2时，由(H)知，/0)在=J 处取得最小值/(J)/(0)=1,V a V a综上可知，若“X)得最小值为1,则a的取值范围是2,+8).4 1.(2 0 0 9四川卷文)
46、(本小题满分1 2分)已知函数/(x)=x3+2bx2+c x-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y =5 x-1 0。(I)求函数x)的解析式；(H)设函数g(x)=/(x)+；zx,若g(x)的极值存在，求实数机的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.解析(I)由已知，切点为(2,0),故有2)=0,即4 b +c +3 =0又/(x)=3 x 2+4 b x +c,由已知/(2)=1 2 +防+。=5得防+。+7 =0联立，解得匕=-l,c =l.所以函数的解析式为/()=1-2一+一2 .4分(II)因为 g(x)=X，-22+x-2 +?”x令 gx)=3/-4 x
47、+l +?=0当函数有极值时，则AN O,方程3/-4 3+1+，用=0有实数解，3由 =4(1-?)2 0 ,得？0,故函数g(x)无极值 当 m /1-W),X2=1(2 +V l-/n),g(x),g(x)情况如下表：X(-8,占)玉(士,)X2(+8)g(x)+0一0+所以在me(-8)时，函数g(x)有极值;g(x)极大值极小值/当x =-时，g(x)有极大值；当x =；(2 +J i=/)时，g(x)有极小值;1 2 分42.(2 0 0 9 湖北卷文)(本小题满分1 4分)已知关于x的函数f (x)=-x 3 +b x2+c x+b c,其导函数为f (x).令 g(x)-|f(
48、x)|,3记函数g(x)在区间-1、1 上的最大值为M.4(l)如果函数f(x)在 x =l 处有极值-二，试确定b、c的值：3(I I)若 I b|1,证明对任意的c,都有M 2:(I I I)若 M M K 对任意的b、c 恒成立，试求k的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想(满分1 4分)4 解析 丁/)=一+c ,由/(x)在 x =1 处有极值一可得!f )=-l+2b+c=01 4f =+b+c+be=h=l解得c =4或b=-c =3若b =l,c =-l,则/*)=一/+2%一1 =一。-1)2 l时
49、,函 数y=f(x)的对称轴x=b位 于 区 间 之 夕 卜。/./(x)在-1,1上的最值在两端点处取得故M应是g(-l)和g中较大的一个.2M2g(l)+g(l)=|T +2A+c|+|-l-2 b +cR|4b|4,即M 2证法2(反证法)：因为|回1,所以函数y=/(x)的对称轴x=8位于区间-1,1之外,/.f x)在 T,1上的最值在两端点处取得。故M应是g(-l)和g中较大的一个假设M W 2,则g(-l)=|-l-2b+c|2g(l)=|-l+2Z?+c|-1-2ZJ+C|+|-1+2ZJ+C|4|&|4,导致矛盾，.2(III)解法 1：g(x)=fx)|=|-(x-h)2+
50、h2+c(1)当|1 时，由(II)可知 2；(2)当时，函数y=/(x)的对称轴x=b位于区间 1,1内，此时 M=maxg(-l),g(l),(/?)由 /(I)-/(-I)=4 有/(3一/(1)=以 钾 0若一1 W 8 W 0,贝I J /W 尸(一1)W /()，.g(-l)|/(1)-/W 1=；S -IP ；若0 b W 1,则/(一1)/(I)f(b),/.g(l)；综上，对任意的b、c都有2而当b=0,c=；时，g(x)=-x2+|在区间 1,1上的最大值=!故.M 2 k对任意的匕、c 恒成立的k的最大值为-。2解法2：g(x)=|/(x)|=|-(x-6)2 +b2+c