定积分的概念.pdf-淘文阁

资源描述

《定积分的概念.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分的概念.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、 3可积条件教学目的：掌握可积判别准则及可积函数类。重点难点：重点为可积性判别，难点为可积函数类的证明。教学方法：讲练结合。一可积的必要条件定理9.2 若函数/在上可积，则/在以上必定有界.证用反证法.若/在 a,上无界，则对于以力的任一分割T,必存在属于T的某个小区间八 ,拉 k上无界.在i w k各个小区间，上任意取定。，并记G=Z偌i*k现对任意大的正数M,由于，在人上无界，故存在媒e 使得1/（幻*于是有方/低内（4）%|-z/&瓯i=l详 kA M+G4 G=M乂由此可见，对于无论多小的|T|,按上述方法选取点集时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出

2、的正数，这与/在 a,H 上可积相矛盾.口注:有界函数不一定可积。例 1 证明狄利克雷函数、l,x为有理数0）=/,x为无理数在 0,1 上有界但不可积.证显然|。（“4 1 小 6 0,1 对于 0,1 的任一分割T，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T的任一小区间上，当取5全为有理数时，。疝,=1 ；Z=1 i=I当取。全为无理数时，值达3 =0.所以不论|丁|多么小，只要点集低i=取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限，即。（X）在 0,1 上不可积.口由此可见，有界是可积的必要条件.以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的.二可积的充要条件要

3、判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的.下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值.设7=4，=1,2,3,为对“/的任一分割.由/在1 上有界，它在每个上存在上、下确界：M.=s u p/（x）,/n7=i n f f（xi=1,2,/?.作和S（T）=t%M，s（T）=fmixi,i=I/=1分别称为/关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）.任给=显然有i=l与积分和相比较，达布和只与分割T有关，而与点集 6 无关.由不等式（1）

4、,就能通过讨论上和与下和当|T|7 0时的极限来揭示了在 a,H上是否可积.所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的.定理9.3 （可积准则）函数/在 a,“上可积的充要条件是：任给 0,总存在相应的一个分割T,使得S（T）-s（T）c设q，-町.称为/在上的振幅，有必要时也记为例J由于S(T )一 s(7j =tto：(或记为 Z 0,总存在相应的某一分割T,使得 Z 0，a 0,存在3 0,对以,以中任意两点只要k-6,便有|/(，)一 /(x)所以只要对 a,b所作的分割T满足在丁所属的任一小区间上，就能使/的振幅满足3=M.

5、t-=s u p|/(x/)-/(x 0,取歹，满足06 7 且b 6-a,其中M2(M-m)与，分别为了在 a,H 上的上确界与下确界（设z M，否则/为常量函数,显然可积）.记/在小区间6/上的振幅为0，则（d 8（M m）-一 -r-因为/在 L 力一b 上连续，由定理9.4 知/在 a为一夕上可积.再由定理9.3,（必要性），存在对卜为一切的某个分割7 =4，.，使得9令则T=A，&，是对 a，U 的一个分割，对于T，有Z 0）环-coixi+oJ8 +j T,2 2根据定理9.3,（充分性），证得了在 a,“上可积.口定理9.6若/是 a,上的单调函数，则/在上可积.证

6、设/为增函数，且则/为常量函数,显然可积.对 a,b 的任一分割T，由/的增性，/在 T 所属的每个小区间,上的振幅为于是有工例以 0,只要闭|/、，这时就有 0 4 0,由于l im=0,Yl因此当充分大时这说明/在n 2-,1 上只有有限个间断点.利用2定理9.5和定理9.3,推知f在1,1上可积，且存在对|,1的某一分割T，使得工口四,T p,f x）=q q0,x =0,1以及（0,1）内的无理数在区间 0,1 上可积，且（x r =0分析已知黎曼函数在x =0,1以及一切无理点处连续，而在（0,1）内的一切有理点处间断.证明它在 0,1 上可积的

8、d(xl nx)=ex,nx+C=xx+C2、习题 4,(1 1)解:rl nsinxJ cos2xdx=jl nsinxdtanx,.r C O S X ,=tanxl nsinx-tanx-dxJ sinx=tanxl nsinx-x+C3、P1 0 9,例3.5,习题3,选择题4、(e-l anxdx=ftanxe-l anxdtanxJC O S X J=-1 tanxde-tanx=-tanxe-tanx+je-tanxdtanxJa n x e-x _e-tanx+C5 设 J xf(x)dx=arcsinx+C ,则哈 V T O+c3 有理函数积分j R（x）dx一真分式一部

9、分分式部分分式:1 _ Mx +Nax+b (ax+b)1 1 x2+p x +qMx +N(x2+p x +q)其中：p-4 q 0 x+1 _ x+1x2-x-12(x-4)(x+3)A B=-1-x-4 x+3_ A(x+3)+B(x-4)一 (x-4 X x +3)A(x+3)+B(x-4)=x+1令 x=4 A,72令 x=-3 B =7,x+1 ,1 /5-z-dx=-Fx+3 x +5 7 J(x-42x+3dxS 2=yln|x-4|+yln|x+3|+C276、P1 1 2 例 3.6 (4),(5)7 P1 4 2 习题 6 (3),(4)f2 1 d x U arctan

10、Jx2+4x+8 2x+2-+c2f1,1 f 2x+4-2 -dx=-Jx+4x+8 2 x+4x+81/d(x+4+8)r2 x2+4x+8 1(x+2)2+22d(x+2)1=-ln|x2 4-4x+8|-arctan22x+2-FC24三角有理式积分|R(sinx,cosx)dxx 1 t2令 tan =t cosx=-r2 1+t22tsinx=-r1+t2,2dtdx=-r1+t28、一!dx=2+sinx1-2T2 4-71+t21 23dI 27+2 J1t+-+CV32=arctanV32arctanc x,2tan 一+1-+CV39、dx3+cos2x2sec-x i-d

11、x3sec-x+111V 3S tan/+4dV3tanx1 1 V3tanx-=arctan-1-C73 2 21 V3tanx-arctan-F C2V3 26、设f(x)的原函数F(x)恒正，且F(O)=1,当x 2 0,有f(x)F(x)=sin22x,求 f(x)解:F(x)=f(x)Fz(x)F(x)=sin2xjF(x)F(x)dx=jsin22xdx|F(x)dF(x)=j(l-cos4x)dxF2(x)=x-；sin4x+C由 F(o)=l 得 C=1定积分的概念一、定义及性质定义:b f(x)dx=l imyf(Ci)A xi,X =max A x.J a X T

12、O I=J lin注意积分区间有限，被积函数有界；(9 “分注”“取冲”卡亲.(3)定积分的.与积分变量的速取无关(J：f(x)dx=j：f(t)dt)(4)f(x)在 a,b有界是f(x)在 a可积的必要条件，f(x)在 a,b连续是f(x)在 a可积的充分条件。几何意义：f(x)dx在几何上表示介于y=o，y=f(x)，x=a,x=b之间各部分面积的代数和。补充规定 J：f(x)dx=O J：f(x)dx=_ J：f(x)dx 性质 P U 5,性质(1)(9)其中(8)为估计定理：在 a,b,m f(x)M,则m(b-a)fb f(x)dx M(b-a)J a(9)中值定理：如f(x)

13、在a,b连续，3 4G a,b,使J：f(x)dx=f(C)(b-a)例1、利用定积分几何意义，求定积分值J；=：上式表示介于x=0,x=1,y=0,y=J l-x?之间面积例2、(估计积分值)证明-,/*3 J。V2 +x-x2 V2证：2 +x x-=w x-)在 o,1 上最大值为,最小值为2.2V!J3 V2 +x-x2 V 2.2 rl i 13 J。V2 +x-x2 V2二、基本定理牛顿一莱伯尼兹公式1 变上限积分基本定理：设f(x)在 a,b连续，X为(a,b)上任意一点，则4,F 6(x)=J：X f(t)dt,F7(X)=fox(x-t)f(t)dt(求:耳(x)i=l,2

14、,9解:F f(x)=e-x2 F；(x)=2 x e-4(x)=sinxe-8 s%F (x)=cosxe-S in x+sinxe-C 0 S x 4(x)=xf(x)F；(x)=J：f(t)dt+xf(x)F；(x)=(x J：f(t)dt J：tf(t)dt)=J；f(t)dt例 4、limx-01 ,tlntdtcosx_X4cosxlncosx-sinx=lim-x 0 4xsinx Incosx=hmcosx-hm-hm-；4 x-0 X TO x X TO X1-sinxlim-xf 2x cosx例5、y=：有极大值的点为3_J 0A.x=1 B.x=-1 C.x=1 D.x

15、=0例6、如F(x)=J；匕出+表itx W 0,则 F(x)-Bc 兀 1A.0 B.-C.-D.2e2 3例 7、P117 例 3.11例 8、设f(x)在(8,+8)上连续，且F(x)=J；(x-2t)f(t)dt,证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数证：F(-x)=f；(-x-2 t)f(t)d t f；(-x +2uX(-t)d(-t)=f；(-x-2 t)f(t)d t=F(x)2 定积分计算牛顿莱伯尼兹公式定理设F(x)在 a,b 连续。F(x)为F(X)在 a,b 上的任意一个原函数，则有 J：f(x)d x=F(x)|：=F(b)-F(a)定积分换元法与分部积分法

16、3 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1)f(x)在 a,a 连续，a 0当 f(x)为偶数，则 f(x)d x=2 1 f(x)d xJ-a J 0当f(x)为奇函数，则 f(x)d x=0 J：T f(x)d x=J：f(x)d x,f(x)以 T 为周期说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。例 9、f x(l+x2 0 0 1)(ex-e-x)d x=-J-1e原式=2 J：x(ex-e x)d x=2 j：xd(ex-e x)=2|xe+e f)|：_ 4例1 0、JI0COS X2-d x=c os x+2 s in x-COS X,2“-T-d x-5 l+s

17、in xJT11 5 五02-l-+-s-i-n-2x d s in x=2 a rc ta ns inx 1 0=2例 1 1、J()XA/C O S2X-c os4xd x=|()x|c os x|s inx|d xn=2 xc os xs inxd x-xc os xs inxd xJ 0J n2IT 1=1 2 xd s in2 x f2 J 0 2 J n2x d s in 2 xJI2ll+x2例 1 2、设 f(x)=r*x 0则 J：f(x-2)d x=1A、”B、e +13C、D、2 e(J：f(x-2)d x x-2 =t J ：f(t)d t=J ：(1 +x2)d x+

18、J：exd x)例 1 3、加 P 1 2 4 例 3.1 8设x-1 =s in t(1 +s int)2 1c f I,.2、,32 -c os t d t=2 2(1 +s in-t)d t=nc os t J 0 22c E ,3 H 兀 3法二设 x=2 s in2 t 原式=8 f 2 s in t d t=8，一=nJ。4!2 2例 1 5、设f(x)为连续函数，且f(x)=s inx+J：f(x)d x 求f(x)解：设 J。f(x)d x=A 则f(x)=s inx+A两边积分J f(x)d x=L (s inx+A)d x A=-c os x|(|+A x|(|A1-n

19、、2.f(x)=s inx H-1-n(f(x)、g(x)在 0,2 j 连续，且f(x)=3 x2 +：g(x)d x g(x)=-x3 +3 x2 J；f(x)d xJ U J u求f(x)、g(x)的表达式答案：f(x)=3 x2-4 g(x)=-x3)例 1 6、设 f(x)=j/解:f(x)+f|-|向+咕)=若,(f =0)/.f(x)+fW例 1 7、设 f(x)=J；皿d t x 0,求f(x)+f L1+t(x,/x I n t ,f-I nt,=:d t+卜d tLJ|1 +t J 1 1 +t _I nx“I (1 )=l +x+1+l t x jXI nx I nx I

20、 nx二-1-=-1 +x x(x+1)X1 2ix=-I nx+c 令 x=l c =02=ln2x2si d t 求 J f(x)d xJI t J 解:r n n n P nJ o f(x)d x=J o f(x)d(x-n)=(x-T C )f(x)|()-jQ(x-n)d f(x)=(x-n)d x=s inxd x=2JO JI-x J o例1 8、已知f(x)在 0,2】上二阶可导,且f(2)=l,*2)=0及J o f(x)d x=4求 J：X?曙2 x)d x解：原式=-J(x2d f t2 x)=-x2f t2 x)J：2 xf(2 x)d x2 2 0 2=-1 rl 1

21、 1 1 p 10 xd f(2 x)=-xf(2 x)+-fo f(2 x)d x例1 9、设f(x)在(-8,+8)连续证明：J；f(u)(x-u)d u=J；J；f(x)d x d uX证：右边=u j：f(x)d x _=J(；ud jj f(x)d x0=x j：f(x)d x J：uf(u)d u=x ：f(u)d u J；uf(u)d u=J；(x-u)f(u)d u例2 0、设 a 0 x x-01 r x令 xt=u(p(x)=J 0 f(u)d u x W 0X1 r x-f(u)d u x w OX J 00 x=0，(p(x)-(p(0)J：f(u)d u f(x)A(

22、p(x)=lim-=lim ；-=lim=x-0 X-0 x rO X x rO 2 x 2xf(x)_f(u)d u -X w O(P (x)=XA八 x=0H mc p.(x)=J，=也 _ JX TO T X TO XT)x X2AA A /仆=A-=(p(0)5 以)在*=0连续即 (p(X)在(-8,+8)连续例2 2、试证方程r s in2td t+d t=OJ 巴 U s in2t1()2且仅有一实根证：设 F(x)=ns in2td t-f；尸 d tJ 记 J2 s in-tJI JI在内有1 0 2JI JI在一,一1 0 2连续K F|二|耍-d t 0lioj s in

23、2t I 2 J J2(J I哈由介值定理3 4G ,一，使F(C )=0即F(x)=0有根1 1 0 2又F(x)=s in2 x+0,F(x)单增s irrx根唯一例 2 3、设f(x)在。，1 ,连续f(0)=2 ；e T f(x)d x2试证：0,1 内至少三一点C,使f(U)=f(U)证：设F(x)=e-Xf f(x)则F(x)在 0,1 可导H 1F(0)=f(0)=2ji exf(x)dx 中值 efCc)=F(c)-c -3y例26 习题3.11设 f(x)在 a,b 连续，(a,b)可导，且 f(x)W 0 ,1 .xF(x)=-f dtx-aa证明在(a,b)内，有F(

24、x)W0证:(x-a)f(x)-F(x)=J；(x-a)2f(t)dt(x-a)f(x)-(x-a)f(g)(x-a)2a x bf(x)-f(Ox-a,rf,(x)0 .f(x)在(a,b)单调减，f)2 f(x)故 F,(x)0三、定积分应用P 1 3 2r平面图形面积(i)直角坐标：s =I*b/2(x)-L(x)d x a b f.(x)f,(x)J a=lcd p2(y)-(P i(y)d y c d (pi(y)p2(y)P 1 3 4 例 3.2 6,例 3.2 7例1习题3 2 1求抛物线y=-x2+4x-3及其点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成图形的面积解：K=y =-

25、2 x+4在(0,-3)点处，K1=4,切线方程 y=4 x 3在(3,0)点处，K2=-2,切线方程 y=-2 x+6y=4 x-3y=-2 x+6得交点|,3s =H(4 x-3 -(-X2+4 x-3)d x+j；2 x+6 -(-x2+4 x-3)d x2f=f 22 x9 d x+,33 (x,-6 x+9)d x=9 +9 =9Jo J2 8 8 4(ii)极坐标S =；J：牌(3-P；(P)H(P=2：丫涧一相例可例2、求由曲线丫 =衣而。，丫2=c o s 2 8所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点,、2 6,(在近S =2 jj-(V 2sinO)2d0+lCos20d0

26、2 1 2n it=J J(1-cos20)d04-j J cos20d06it n1 6 1 .4 jr G 1=0-sin 20+-sin 20 -_ 2 Jo 2 1 6 262 旋转体体积由y=0,y=f(x),x=a,x=b所围平面图形绕X轴旋转一周所生成的立体体积，Vx=兀 f 0 f 2(x)dx*J a由x=l(y),x=0,y=c,y=d所围平面图形绕y旋转一周所得旋转体体积v=冗J：(p2(y)dy例3、过点P(1,O)作抛物线y=/二I的切线，求该切线与抛物线y=及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为(x(),Jx()-2)切线方程y /(x 1)2jx0-2 切点在切线上，,6而1。一1)X。=3,.切线方程：y=-(x-l)V

展开阅读全文