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1、6.1 定积分的概念第6章 定积分及其应用二.定积分的定义一.曲边梯形的面积三三.定积分的性质定积分的性质6.1 定积分的概念定积分的概念 在我国古代南北朝（公元在我国古代南北朝（公元 429 500 年）时，年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了得到了 近似值近似值.在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别
2、计算各个三角形的面积，然后求和，得角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。到任意多边形的面积。阿基米德运用这种方法，求得抛物线阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与与 x 轴及直线轴及直线 x=1 所围成的平面图形面积的近似值所围成的平面图形面积的近似值.就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）积的近似值（边界线为直线时
3、，可得精确值）.如果在上述方法中引入极限过程如果在上述方法中引入极限过程,会产生什么效果会产生什么效果?6.1.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）（这里不排除某直线缩成一点）.1.曲边梯形曲边梯形2.求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积 首先，我们重复阿基米德的做法：首先，我们重复阿基米德的做法：分划分划代替代替求和求和得到曲边梯形的近似值，
4、然后，引入极限过程，得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值求出曲边梯形的精确值.第一步：分划第一步：分划任意引入分点称为区间的一个分法 T第二步：代替第二步：代替对每个小曲边梯形均作上述的代替对每个小曲边梯形均作上述的代替第三步：求和第三步：求和第四步：取极限第四步：取极限6.1.2 定积分的定义定积分的定义任意引入分点任意引入分点定积分符号：关于定积分定义的几点说明例例解解所以所以定理定理定理定理 1 16.1.3 定积分存在的条件定积分存在的条件定理定理定理定理 2 2定理定理定理定理 3 3定理定理定理定理 4 46.1.4定积分的几何意义由极限保号性：由极限保号性：面积：面积：例（见教材）6.2 6.2 定积分的性质定积分的性质 由于定积分是一种和式的极限,所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中,假设所出现的函数均可积,所出现的定积分均存在.证证证证由定积分定义及极限运算性质：可以推广可以推广至有限个至有限个可积函数可积函数的情形的情形.证证证证证证(小于零的情形类似.)由极限的保号性立即可知.代数和代数和例1证证证证/有什么结论？换成例2证证证证/与性质与性质 3 3 的推论的推论 1 1 不同，不同，这里的结论是严格不等号！这里的结论是严格不等号！证证证证所以例4证证证证例例解解而而所以所以例例解解证证证证例5解由积分中值定理