《2022年中考数学复习之小题狂练（解答题）：图形的旋转和相似.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学复习之小题狂练（解答题）：图形的旋转和相似.pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的旋转和相似（10题）一.解 答 题（共10小题）1.（2 0 2 1黔西南州）如 图1,O为等边 A B C内一点，将 线 段 绕 点A逆时针旋转6 0 得到A E,连接C E,B O的延长线与A C交于点G,与C E交于点F.（1）求证：B D=C E；（2）如图2,连 接 布，小颖对该图形进行探究，得出结论：N B F C=N A F B=N A F E.小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由.图1图22.（2 0 2 1秋长丰县期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,A B C的顶点都
2、在格点上，建立平面直角坐标系.（1）以原点O为位似中心，将 A B C放大，使 变 换 后 得 到 的 与 A B C对应边的比为2：1,且点8的对应点B i在第三象限，请在网格内画出A i B i C i；（2）点A i的坐标为，点。的坐标为3.(2 0 2 1秋浦东新区校级期末)已知：如图，A A B C中，4。平分/B A C.过 点8作的垂线，垂足为 过点C作AO的垂线交4。的 延 长 线于凡联结C E交尸B的延长线于点P,联结A P.(1)求证：AB-AF=ACAE；(2)求证：CF/AP.4.(2 0 2 1秋庐阳区期末)A B C中，N A C B=90 ,A C=B C=,点E
3、为B C边上一点，点。为A C延长线上一点，C E=C D,连接B。、A E,并延长A E交8。于F,设C B=x.(1)求证：X A C E s X B F E；(2)若尸恰好是8。中点，求x的值；(3)设、=题，当=工 时，求y的值.BD 3B5.（2 0 2 1 杭州）如图，锐角三角形A 8 C内接于。0,/B A C的平分线A G交。0于点G,交B C边于点F,连接B G.（1）求证：A B G s/A F C.（2）已知A B=a,A C=A F=b,求线段F G的 长（用含“，8的代数式表示）.（3）已知点E在线段A F上（不与点A,点F重合），点。在线段A E上（不与点A,点E重
4、合），N A B D=N C B E,求证：BG1=GEGD.6.（2 0 2 1毕节市）如图 1,在 R t A B C 中，ZBAC=9Q ,A B=A C,。为A B C 内一点,将线段A Q绕点A逆时针旋转90 得到A E,连接C E,B O的延长线与C E交于点F.（1）求证：BD=CE,BD CE；（2）如图2,连接A R D C,已知/8 O C=1 3 5 ,判断A尸与QC的位置关系，并说明理由.7.（2 0 2 1秋济南期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如 图1,N B A D=NA C B=ZAED=90,由 N 1 +N 2+N B A =1 8 0 ,Z
5、2+Z D+Z/4 D=1 8 0 ,可得N l=Z ；又因为N A C B=N A EO=90 ,可得 A B C s/D 4 E,进而得到区=.AC我们把这个模型称为“一线三等角”模型.应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2,如图，在 A B C中，A 8=4 C=1 0,8 c=1 2,点P是8 c边上的一个动点（不与8、C重合），点。是A C边上的一个动点，且求证：M M i P sXPCD：当点P为B C中点时，求C Q的长；拓展：（3）在（2）的条件下，如图2,当A P。为等腰三角形时，请直接写出8 P的长.8.（2 0 2 1朝阳）如图，在R t A（A 8
6、 C中，A C=B C,乙4 c B=90 ,点O在线段A B上（点O不与点A,B重合），且O B=k O A,点”是A C延长线上的一点，作射线O M,将射线OM绕点。逆时针旋转90 ,交射线C 8于点N.（1）如 图1,当=1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2,当1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含左的式子表示），并证明；（3）点尸在射线BC上，若NBON=1 5 ,P N=k A M （21）,且型近 工 请 直 接AC 2写 出 挺 的 值（用含PCk的式子表示）.图1图2备用图9.(2 0 2 1 重庆)在 A B C中，A B=A C,。是边B C上一动
7、点，连接A O,将A3绕点A逆时针旋转至A E的位置，使得/D 4 E+N B A C=1 80 .(1)如 图1,当/84 C=90 时，连接B E,交A C于点F.若B E平分N A B C,BD=2,求A尸的长；(2)如图2,连接B E,取8 E的中点G,连接A G.猜想A G与C。存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图 3,在(2)的条件下，连接。G,C E.若N 8A C=1 2 0 ,当 B D C D,Z A E C1 0.(2 0 2 1沈阳)在A B C 中，AB=AC,)：中，C E=C D (CENCA),BC=CD,Z D=a,/A C B+N E C =1 80
8、,点B,C,E不共线，点 尸 为 直 线 上 一 点，且PB=PD.(1)如 图1,点。在线段8 C延长线上，则/ECZ)=,N A B P=(用含a的代数式表示)；(2)如图2,点A,E在直线B C同侧，求证：B P平分N A B C；(3)若N A B C=6 0 ,fi C=V3+l,将 图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当8P _L E时，直线P C交B D于点G,点M是 中 点，请直接写出GM的长.图1图2图32022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的旋转和相似（10题）参考答案与试题解析解 答 题（共1 0小题）1.（2 0 2 1黔西南州）如 图1,。为等边 A B
9、 C内一点，将线段A O绕点A逆时针旋转6 0 得到A E,连接C E,8。的延长线与A C交于点G,与C E交于点尸.（1）求证：B D=C E；（2）如图2,连 接 布，小颖对该图形进行探究，得出结论：/B F C=N A F B=/A F E.小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由.图1图2【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；旋转的性质.【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.【分析】（1）通过SA S证明A 8O丝 C 4 E,可得B O=C E：（2）作A N 1 C E,由全等知A G=A H,从而得到A尸平分N
10、B F E,证出=A F N=60 ）从而证出结论.【解答】（1）证明：如 图1,线段A Q绕点A逆时针旋转6 0 得到A E,：.AD=AE,Z D A E=6 0 ,VZ B A C=6 0 ,：.Z B A C=Z D A E,：.Z B A D=Z C A E,在A B。和 A C E中，/AB=AC,ZBAD=ZCAEAD=AE./ABD/ACE(SA S),：.BD=CE,(2)解：结论正确，理由如下：如图2,过 A 作 8D,CF的垂线段分别交于点M,N,图2NABD=NACE,又,：NAGB=NCGF,.NBFC=/A4C=60,：.ZBFE=nO0,:BD=CE,S/ABD=
11、SACEf：.X A M X B D=X C E X A N,2 2：.AM=AN,在 RtAAFM 和 RtAAFAT 中，A F=A F,l A M=A N，.AFM岭RtZMFN(HL),：.NAFM=NAFN,：./B F C=NAFB=ZAFE=60.【点评】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.2.(2021秋长丰县期末)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系.(1)以原点O 为位似中心，将ABC放大，使变换后得到的AIBICI与A8C对应边的比为2
12、：I,且点B 的对应点B i在第三象限，请在网格内画出AiBiCi；(2)点 A i的坐标为(-4,2)，点 C i的坐标为(2,-4).【专题】作图题；图形的相似；几何直观；推理能力.【分析】（1）把 A、B、C横坐标与纵坐标乘以-2,即可得到Ai、田、。的坐标（或 41、B l、C 的坐标），然后描点连线即可.（2）根据图形写出点A的坐标和点。的坐标即可.【解答】解：（1）如图，为所作；（2）点 4的坐标为（-4,2）,点 C i 的坐标为（2,-4）,故答案为：（-4,2）,（2,-4）.图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.3.(2 0 2 1 秋浦东新区校级期末)
13、己知：如图，A A B C中，平分N B 4 C.过 点 8作 A D的垂线，垂足为E.过 点 C作 A。的垂线交A O的延长线于F.联 结 CE交 尸 8的延长线于点P,联结AP.(1)求证：ABAF=ACAE-,(2)求证：CF/AP.【考点】相似三角形的判定与性质.【专题】图形的相似；推理能力.【分析】(1)证明ABESA A CF,由相似三角形的性质得出空望，则可得出结论；AC AF(2)证明 P E Bs/X P C F,由相似三角形的性质得出巫型，型屈，得 出 患 望,C F P C C F AF C E E F由相似三角形的判定可得出结论.【解答】(1)证明：平分N BAC,ZB
14、 A E=ZC A Ff9：BE.LAE,CFAD,：.ZAEB=ZAFC=90,AEEs 4 b,AB AE fAC AF：.ABAF=ACAE；(2)证明：BEAE,CFAD,C.BE/CF,:.APEBs/XPCF,BE P E,C F =P C/ABE/AC F,.BE AE -Z 2-C F AF P E _ AE京K P E AE-z:-C E E F又,：4 AEP=4CEF,：.AEPs/FEC,：.NAPE=NFCE,：.CF/AP.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质；证明三角形相似是解决问题的关键.4.(2021 秋庐阳区期末)ZABC 中，ZACB=9
15、0,AC=8C=1,点 E 为 BC边上一点，点。为 AC延长线上一点，C E=C D,连接B。、A E,并延长AE交 8。于凡 设 CB=x.(1)求证：/A C E s MBFE；(2)若尸恰好是8。中点，求 x 的值；(3)设、=竺 1,当时，求 y 的值.-BD 3B【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质.【专题】图形的相似；推理能力.【分析】(1)先证明ACE会BCQ得到NCAE=NCBO,然后根据相似三角形的判定方法得到结论；(2)先计算出 A B=&,再利用得到NBFE=NACE=90,则 AF 垂直平分8,所以AB=A,即 l
16、+x=&,从而得到x 的值；(3)先利用AC ESA B FE,根据相似三角形的性质得到8尸=逆 呢，再利用4CEAE丝BCD得到AE=8。，所以y=.I f ”然后把x=2 代入计算即可.1+x2 3【解答】(1)证明：在ACE和BCD中，rAC=BCCE=CD.ACE丝BC(SAS),：.Z C A E=Z C B D,：Z A E C=ZBEF,：.X A C E s X B F E；(2)解：C D=C E=x,贝 ij A=4C+CD=l+x,VZACB=90,A C=B C=,：.AB=yf2 :X A C E s M B F E,./BFE=NACE=90,：.AFA.BD,恰好
17、是B。中点，：.AF垂直平分BD,：.AB=AD,即 l+x=M，x=yp2.-1；(3)解：/ACE/BFE,AC=AE*BF BE)E F=AOBEAE,?/ACEABCD,：.AE=BD,.y _B F _A C-B E _ 1-x-,.BD A E2 1+X2u D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，利用比例线段计算相应线段的长.也考查了全等三角形的判定与性质.5.（2 0 2 1 杭州）如图，锐角三角形A 8 C内接于。0,/B A C的平分线4 G交。O
18、于点G,交B C边于点F,连接BG.（1）求证：XABGSXAFC.（2）已知AB=a,A C A F=b,求线段P G的 长（用含a,。的代数式表示）.（3）已知点E在线段A/上（不与点A,点F重合），点。在线段A E上（不与点A,点E 重合），N A B D=N C B E,求证：BG2=GE-GD.【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质.【专题】圆的有关概念及性质；应用意识.【分析】(1)根据NBAC的平分线4G交。于 点G,知由圆周角定理知/G=N C,即可证ABG sZvlfC；(2)由(1)知 池=幽，由AC=AF得A G=A B,即可计算FG的长度；AF
19、 AC(3)先证D G B s B G E,得出线段比例关系，即可得证BG2=GEG.【解答】(1)证明：；AG平分NBAC,NBAG=ZFAC,又：/G=/C,.4BGs/AFC；(2)解：由(1)知，/A B G/A F C,.=幽，AF AC)：A C A F=b,*AB=AG=ci9：.F G=A G-AF=a-by(3)证明：:/C A G=/C B G,ZBAG=ZC AG,:./B A G=/C B G,丁 N A B D=/C B E,./B D G=NBAG+NABD=NCBGNCBE=/E B G,又：/D G B=N B G E,:D G B s g G E,G D =B
20、G,*BG G E5:.BH=GE/GD.【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键.6.(2021毕节市)如图 1,在 RtZXABC 中，ZBAC=90,A B=A C,。为ABC 内一点,将线段AO绕点A 逆时针旋转9 0 得到4 E,连接CE,B。的延长线与CE交于点F.(1)求证：BD=CE,B D L C E；(2)如图2,连接4F,D C,已知NBCC=135,判断A F与 QC的位置关系，并说明理由.【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质.【专题】平移、旋转与对称：推理能力.【分析
21、】(1)通过SAS证明ABD会可得BO=CE,Z A B D /.ACE,再利用三角形内角和定理可证B D L C E；(2)作 AG_LBF,A H L C E,由全等知A G=A H,从而得到AF平分N B F E,证出NAFC=NFDC=45 ,从而证出平行.【解答】证 明(1)如 图 1,线段4力绕点A 逆时针旋转9 0 得到AE,：.AD=AE,NDAE=90 ,：ZBAC=90 ,N B A C=ZDAE,.ZBADZCAE,在4BO 和4：中，fAB=AC ZBAD=ZCAE.AD=AE.ABO丝CAE(SAS),：.BD=CE,Z A B D ZACE,又 时，Z A D P
22、ZAPD,：N A D P=N B=N C,：.Z A D P=Z C,不合题意，：.APAD-,当 Q A=O P 时，N D A P=4 A P D=4 B,V ZC=ZC,：./BCA/ACP,B C _ A C 即 1 2 _ 1 0A C C P 1 0 C P解得：CP=空，3.8 P=8 C-C P=1 2 -空=旦，3 3综上所述：当A P。为等腰三角形时，B P的长为2或旦.3【点评】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.8.（2 0 2 1 朝阳）如图，在 R t Z
23、A B C 中，AC=BC,/4 C B=9 0 ,点 O 在线段 A B 上（点。不与点A,B重合），且O B=&O A,点 是A C延长线上的一点，作射线O M,将射线OM绕点。逆时针旋转9 0 ,交射线C B于点N.（1）如 图1,当=1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2,当k l时，判断线段OM与ON的数量关系（用含左的式子表示），并证明；（3）点 P在射线8 c上，若NB0N=1 5 ,P N=k A M （k于1）,且返11,请直接A C 2写 出 边 的 值（用含P C图1 图2 备用图【考点】几何变换综合题.【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图
24、形的相似；解直角三角形及其应用;运算能力；推理能力.【分析】（1）作OEA.BC,证明（2）作 O O _ L 4 M,OE BC,证明O O MSAEON；（3）解 R t EO N 和斜A O M.【解答】解：（1）O M=O N,图1作 0 J _ A M 于 L ,O E_ L CB 于 E,N A D O=N M D O=N C E O=ZOEN=90 ,；./O E=90,：AC=BC,Z A C B=9 0a,A Z A =ZABC=45 ,在 R t A A O D 中，O D=O A.s i n Z A=O A.s i n 45 0=返0 42同理：OE=Y1OB,2：OA=
25、OB,：.OD=OE,；/OE=90,./OOM+NMOE=90,；NMON=90,A ZEON+ZMOE=90,:.N D O M=/EO N,在 RtADOM 和 RtZXEON 中,Z M D0=Z N E0J_AM 于。，OE_LBC 于 E,由(1)知：0。=返。A,O E=O B,2 2 0D=0A=l瓦 O B k 由(1)知：ZDOM=ZEON,NMDO=NNEO=90,:.丛 DOMs 丛 EON,.O M =O D=1*0N O E 晨：.ON=kOM.(3)如图3,设 AC=8C=a,ABy2ci,OB=kOA,0 B=A/2*04=亚 _1 _ ,k+1 k+1：.Q
26、E=-O B=k a,2 k+1V ZN=A ABC-ZBON=45-15=30,/.EN=y f 3 OE=a,t a n/N k+1,:CE=OD=返O A=-J a,2 k+1NC=CE+EN=L u+伤,k+1 k+1由(2)知：型=空=工，/XDOM sEON,O N O B k二 N M=ZNlikA M-PN=M-NM-Nw-p0-0:.丛 PO Ns 丛 AOM,：.Z P=ZA=45,NAM O=NN=30,：.PE=O E=-a,k+1二 PN=PE+EN=&-a+M上a,k+1 k+1设 AD=OD=x,D M=Jx,由 AD+OM=AC+CM 得，(A/3+1)x=AC
27、+CM,.x=F-l(AC+CM)(心 立 一%)=L c,2 2 2 2：.k1,k.NC _ Qa r l g k.,前上k g k k+i.NC=lW 3kPC k-1【点评】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作。_ L A C,O EBC；本题的难点是条件型近-1得出kl.AC 29.(2 02 1 重庆)在 A BC中，A B=A C,。是边8 c上一动点，连接A O,将AO绕点A逆时针旋转至A E的位置，使得N D4E+/B4C=1 8 0.(1)如 图1,当N 8 4C=90时，连接B E,交A C于点F.若B E平分N A 8 C,BD=2,求A F
28、的长；(2)如图2,连接BE,取B E的中点G,连接A G.猜想AG与C。存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图 3,在(2)的条件下，连接。G,C E.若N BA C=1 2 0,当 B D C D,N A E C=1 5 0。时，请 直 接 写 出 处 四 的 值.CE【考点】几何变换综合题.【专题】综合题；运算能力：推理能力.【分析】(1)连接C E,过点F作F Q L B C于Q,判断出E4=F Q,再判断出N B A O=/C A E,进而得出A BO会/X A CE CSAS),得出 B D=C E=2,Z A B D=ZACE=45 ,再判断出C F=C E=2,即可得出结论
29、；(2)延长B A至 点M,使A M=A B,连 接E M,得出A G=a M E,再判断出2A E M(S A S),得出C D=E M,即可得出结论；(3)如图3,连接QE,A。与B E的交点记作点N,先判断出 A CE是等边三角形，得出 AE=OE,ZADE=ZAED=60a,NACB=NABC=30,进而判断出点 A,B,C,E 四点共圆，得出NBEC=NA4C=120,再判断出B E 是 A。的垂直平分线，也 是/A8C的角平分线，设 A G=a,则 O G=a,进而得出CD=2a,C E=D E=,AO=&a,再构造直角三角形求出A C,即可得出结论.【解答】解：(1)连接C E,
30、过点尸作尸Q_L8c于 Q,平分NABC,NBAC=90,：.FA=FQ,：AB=AC,：.ZABC=ZACB=45,.FQ=喙CF,9：ZBAC+ZDAE=SO,A ZDAE=ZBAC=90,:./BAD=N C AE,由旋转知，AD=AE9：./A B D/A C E(SAS),:BD=CE=2,ZABD=ZACE=45,A ZBCE=90 ,A ZCBF+ZBEC=90,；BE 平分 N43C,NABF=/C BF,：NABF+NBEC=90,.NA4C=90,A ZABF+ZAFB=90,NAFB=NBEC,/A F B=/C F E,：/BEC=/CFE,：CF=CE=2,:.A F
31、=F Q=C F=五2(2)AG=D,2理由：延长A4至点M,使AM=A8,连接EM,G是BE的中点，.AG=ME,2V ZBAC+ZDAE=ZBAC+ZCAM=180,ZDAE=ZCAM,：.ZDAC=ZEAM,A8=AM,AB=AC,：.AC=AM,u：AD=AEf：./ADC/AEM CSAS),:.CD=EM,A A G=AC D；2(3)如图3,连接OE,AO与BE的交点记作点N,.ZBy4C+ZDAE=80o,ZBAC=120,：.ZDAE=60,9：AD=AEf.AOE是等边三角形，；AE=DE,ZADE=ZAED=60,V ZAEC=50,/.ZDEC=ZAEC-NAED=90
32、,在ABC 中，AB=AC,ZBAC=120,NAC8=N48C=30,V ZAEC=150,A ZABC+ZAEC=180,点A,B,C,E四点共圆，：.ZBEC=ZBAC=20,.NBED=NBEC-ZDEC=30,NDNE=180-/BED-ZADE=90,；AE=DE,:.AN=DN,BE是AO的垂直平分线，：.AG=DG,BA=BD=AC,：.ZABE=ZDBE=ZABC=50,2A ZACE=ZABE=5,/.ZDCE=45Q,V ZDEC=90,；NEDC=45=/DCE,:,DE=CE,：.AD=DE,设AG=m 则0G=m由（2）知，AG=ACD,2：,CD=2AG=2a,：
33、.CE=DE=J.CD=y/2-:.D N=L D=a,2 2过点D作DHLAC于H,在 RtZQHC 中，NACB=30,CD=2a,：.DH=a,根据勾股定理得，C H=J出,在中，根据勾股定理得，w=7AD2-DH2=a,：.AC=AH+CH=a+43fl,:.BD=a+Ma,BD-DG=a+x/a-a=&.-CT V2a V【点评】此题是凡何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，判断出点A,B,C,E四点共圆是解本题的关键.10.(2021 沈阳)在ABC 中，ABAC,COE 中，CE=CD(CECA),BC=CD,ND=a,N4CB+NEC
34、D=180,点 B,C,E 不共线，点尸为直线 上一点，S.PB=PD.(1)如 图1,点。在线段8 c延长线上，则/ECE=180-2a,NABP=a(用含a的代数式表示)；(2)如图2,点 A,E 在直线BC同侧，求证：8P平分NABC；(3)若NA8C=60,8c=+1,将 图 3 中的(?)绕 点 C 按顺时针方向旋转，当时，直线PC交 3。于点G,点 M 是 中 点，请直接写出GM的长.图1图2图3【考点】几何变换综合题.【专题】几何综合题；推理能力.【分析】(1)利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可.(2)如图2 中，连接8 0.证明/P B C=N C D E=a,可
35、得结论.(3)分两种情形：如图3-1 中，设 BP交 AC于 J.图 3-2 中，设 PC交 BC于 K,当BPLPC时，利用三角形的中位线定理，可得GM=P B,求出P B,可得结论.2【解答】(1)解：如 图 1中，图1：CE=CD,ND=NE=a,A ZEC=180-2a,J ZECB=/E+ND=2a,AB=AC,ZABC=ZACB=2a,:PB=PD,:/P BD=/D=a,：.ZABP=ZABC-NPBD=a,故答案为：180-2a,a.(2)证明：如图2中，连接E：.ZCBD=/CDB,/PBD=ZPDB,：.ZPBC=ZPDC=a,NA3C=2a,NABP=NPBC=a,P8平
36、分N48C.(3)解：如图3-1中，设3P交AC于J.B图31：BP_LPD,BP=PD,.PB。是等腰直角三角形，,:CB=CD,PB=PD,；.PG垂直平分线段8。，：.BG=DG,:PM=MD,2V ZABC=ZACB=60,A ZECD=180-60=120,ACB 是等边三角形，：CE=CD,：.ZCDE=3Q,.ZPBC=ZPDC=30,A ZBJC=90,CJ=1BC=+1,BJ=c/=亘叵2 2 2:NCPD=NCPJ=45,:.PJ=JC苴2:.PB=BJ+PJ=2,.GM=%+2.2如图3-2中，设尸C交8C于K,当BPJ_PC时，同法可证GM=PB.2：ZPBC=30,N
37、GPB=NPBC+NPCB=45,：.ZPCB=ZPCD=50,：.ZKCE=200-15-15=90,VZE=30,C=CB=V3+I；.C K=1+返，V3 3:.KB=BC-CK=2后,3 _ _：.PB=BK*cos30=26 X 退=1,3 2：.G M=kp B=,2 2 _综上所述，GM的长为返空或工.2 2【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.考点卡片1.全等三角
38、形的判定与性质(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.2.等边三角形的性质(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于6 0 .等边三角形是轴对称图形，它有三条
39、对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴.3.等腰直角三角形(1)两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.(2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是4 5 ,斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径凡而高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为4 5 ,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等)；(3)若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则外接圆的半径R=&+1,所 以r：R=：V 2+1.4.圆周角定理(1)
40、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上.角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.（4）注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化.定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用
41、定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.5.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.（3）概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部.找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.6.旋转的性质（1）旋转的性质：对应点到旋转中心
42、的距离相等.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.旋转前、后的图形全等.（2）旋转三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度.注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.7.几何变换综合题几何变换综合题.8.平行线分线段成比例（1）定 理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.（2）推 论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（3）推 论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边
43、对应成比例.9.相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等.（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可.10.作图-位似变换（1）画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小.（2）注意：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求.由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的.11.相似形综合题相似形综合题.