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1、2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意)1.已知z,是两条不同直线，?是两个不同平面，则下列命题正确的是()(A)若 a,尸垂直于同一平面，则。与万平行(B)若2,平行于同一平面，则加与平行(C)若 a,/不 平 行，则在a 内不存在与尸平行的直线(D)若m ,不平行，则团与不可能垂直于同一平面2.下列命题正确的是()A.进制转换：110%)=13(B.已知一组样本数据为1,6,3,8,4,则中位数为3C.若 x=l,则方程/一 =0 的逆命题为真命题D.若命题P：V x 0,x-l 0,则 P：3x
2、o o,x0-l 03.平行于直线2 x+y+l=0 且与圆d+y 2=5 相切的直线的方程是()A.2 x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2%+y+行=0 或 2 x+y-6=()C.2xy+5=0 或 2 x_ y_ 5 =0 D.2九一y +石=0 或=04.在极坐标系中，方程夕=sin6表示的曲线是()A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线5.已知2 x +g +a(l x)4展开式中.一 项的系数为5,则 J；如 必 1 公=()71A.-B.n C.2 n D.4 冗26.若 f(x)=ln(x-2ax+l+a)在区间(Y),1)上递减，则实数a的取值范围为()A.1,2)
3、B.1,2 C.1,+OO)D.2,+0 0)7.在长为12cm的线段A 3 上任取一点。现作一矩形,领边长分别等于线段A C,C B的长,则该矩形面积小于3 2 c m2的概率为()A.B.C.D.8.已 知 函 数/(同=产(以-1)一 女+。(。2 0),若有且仅有两个整数七(i=1,2),使 得 毛)g(x),则。的取值范围为()A.(-oo,0)B.(-oo,l)C.(-,0D.(-oo,l二、填 空 题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13.在一栋6层楼房里，每个房间的门牌号均为三位数，首位代表楼层号，后两位代表房间号，如218表示的是第2 层 第 18号房间，现已知有宝箱
4、藏在如下图18个房间里的某一间，其中甲同学只知道楼层号,乙同学只知道房间号，不知道楼层号，现有以下甲乙两人的一段对话：611619629507518526408415425311318325208211219101107126甲同学说：我不知道，你肯定也不知道；乙同学说：本来我也不知道，但是现在我知道了；甲同学说：我也知道了.根据上述对话，假设甲乙都能做出正确的推断，则 藏 有 宝 箱 的 房 间 的 门 牌 号 是.14 .定积分d x的值等于.f x =3+2 门15.曲线的参数方程 2,，t R，化成普通方程为.16 .设函数/(x)=l n(l+|x|)-1，则使得/(x)/(2x-l
5、)成立的x的取值范围是_ _.l +x 三、解答题(本题包括6 个小题，共 70分)A B 317.在ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b c o s?+a c o s2=c.2 2 2(I)求证：a,c,b成等差数列；(I D 若 C=?,ABC的面积为2 石，求 c.18.用函数单调性的定义证明：函数/(x)=2+!在(0,y)是减函数.X19.(6 分)在 A 5 C 中，角 A,B,C 的对边分别为。，b,C,3 =6 0，三边。，b,c 成等比数列，且面积为46，在等差数列 q 中，4=4,公差为b.(I)求数列 凡 的通项公式；(II)数列 c“满足=言
6、一，设 T,为数列%的前项和，求20.(6 分)已知函数/(%)=111(1+)-尤+/2(女刈.(I)当k=2时，求曲线y =/(x)在点(1,()处的切线方程;(II)求/(X)的单调区间.21.（6 分）如图，在三棱柱 A B C A 4 c l 中，侧面 底面 A B C,AA,=A B ,X A B C=90.Gc(I)求证：A Bt，平面A B C；(II)若 A 3 =2,4,43 =6 0,且 A C 与 平 面 所 成 的 角 为 30,求二面角3-4。一。1的平面角的余弦值.a 1-/、，/、22.(8分)已 知 矩 阵 加=,c 对应的变换将点尸(1,2)变换成P(4,5
7、).b 2(1)求矩阵M的逆矩阵M (2)求矩阵M的特征向量.参考答案一、单选题(本题包括12个小题，每小题3 5,共 6 0分.每小题只有一个选项符合题意)1.D【解析】由A,若 a,4垂直于同一平面，则 a,4可以相交、平行，故 A 不正确；由8,若，平行于同一平面，则 加，可以平行、重合、相交、异面，故 8 不正确；由C,若 e,夕不平行，但。平面内会存在平行于夕的直线，如 a平面中平行于a,尸交线的直线；由。项，其逆否命题为“若加与”垂直于同一平面，则?，平行”是真命题，故。项正确.所以选D.考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.2.A【解析】【分析】根据进制的转
8、化可判断A,由中位数的概念可判断B,写出逆命题，再判断其真假可判断C.根据全称命题的否定为特称命题，可判断D.【详解】A.1101(2)=1x 2+0 x 21+1x 2?+1x 23=1+4 +8=13,故正确.B.样本数据1,6,3,8,4,则中位数为4.故不正确.C.“若x =l,则方程了2一%=0”的逆命题为：“方程2一%=(),则=1，为假命题，故不正确.D.若命题：V x 0,%-10.则 2：+o，x0-l 即/+)2=y.整理得f+(y -/)2=w，表示圆心为(0,-),半径为彳的圆.故 选B.5.B【解析】【分析】通过展开式中项的系数为5列方程，解方程求得a的值.利用几何法
9、求得定积分的值.【详解】2XH-x)展开式中 V项为2 x.(一+!(x)+a C：(即(13-4 a)d,条件知 13-4。=5,则。=2；于是|42ax-=j 昆-/dx0 0被积函数y =j 4 x _ f图 像,x轴，x =0,x =2围成的图形是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆的;，利2 _用定积分的几何意义可得j /4 x-V公=X X2=7T,4选 B.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查几何法计算定积分，属于中档题.6.B【解析】【分析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数/(x)=In，2奴+1 +”)在(一j 1)上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1,且内函数
10、在(9,1)上的最小值大于0,由此联立不等式组求解.【详解】解：令 8(幻=犬2_ 2依+1 +”,其对称轴方程为X =a,外函数对数函数是增函数，要使函数f(x)=l n，-2a x+d)在(-o o,l)上递减，a.A则 ,BP：a 2.7 g =1 2a +l +a 2 0实数a的取值范围是 1,2.故选：B.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题.7.C【解析】试题分析：设 AC=x,则 0 8 或 x V 4,从而利用几
11、何概型概率计算公式，所求概率为长度之比解：设 AC=x,则 BC=12-x,0 x 12若矩形面积S=x (12-x)8 或 x 4,即将线段AB三等分，当 C 位于首段和尾段时，矩形面积小于3 2,故该矩形面积小于32c m z 的概率为P=_ =_ 故 选 c12 3考点：几何概型点评：本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键,属基础题8.B【解析】分析：数/（x）=e（一 1）+a（a 2 0）,若有且仅有两个整数耳（i =1,2）,使 得/（功 0,等价于a0,e 1 7 e 0 函 数/（%）=0*（必一1）一+。（。？0），若有且仅有两个
12、整数七（i =1,2）,使 得/（可）0,等价于a 2-x-ev=0,令8（力=2-%-/送。）=一1一/o,g(l)。，.存在/(0,1),使力(4)=0,；.X G (-00,/),%(x)递 增,X G (如 Y O),/Z(X)递减,若a （x）解集中的整数恰为2个，则x =0,1是解集中的2个整数,故只需a (O)=la /?(2)=；=-a=2e2-l点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还 可 以 转 化 为 有 解（。/（幻,皿即可）或转化为。2 7（幻 有 解（aN/（x
13、）加即可），另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解.9.D【解析】【分析】易证EF A C,从而可推出AEFG面积为定值，则只需研究点到平面E F G 的距离的取值范围即可得到四面体体积的取值范围【详解】E,尸分别为棱长为I的正方体的棱4 4,4 G 的中点，所以E F P A C,又A GA C,故点G 到 E F 的距离为定值，则 AEFG面积为定值，当点”与点A 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点A,当点与点A 重合时，力有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值故 选 D【点睛】本题主要考查了四面体体积的判断，运动中的定量与变量的分析，空间想象与转化能力
14、，属于中档题10.A【解析】【分析】根据类比规律进行判定选择【详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得最大，故选A.【点睛】本题考查平面几何与立体几何对应类比，考查基本分析判断能力，属基础题.11.C【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中ACB为等腰直角三角形，ZACB=90,AB=2,BE=2,AG=1,再由棱锥体积剪去棱锥体积求解.【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体
15、是直三棱柱剪去一个角，其中AC8为等腰直角三角形，Z A CB=90,A B =2,B E =2,A G =防=1,.该 几 何 体 的 体 积 后x 2-x x lx lx l=U,2 3 2 6故选：C.【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.12.C【解析】分析：/(X)=e2*+2x利用均值定理可得，g(x)=2 c o s 2 x+t z r中的2 c o s 2 x有 界，即S2,所以立0详解：f(x)=e2 x+e2,XG0,+O O)由均值不等式得/(x)=e 2*+e-2 9,当且仅当x=0取得2 c o s 2 x 2,Vx e 0,+oo),当
16、 a WO 时，/(x)=e2x+2,g (x)=2 c o s 2 x+a x 2).【解析】【分析】用代入法或消元法可化参数方程为普通方程.【详解】x-3f2+2,在 2 中，由丁=/一 1得=了+1,代入X=3产+2 得 x=3(y+l)+2,整理得y=厂 一 1x-3 y-5 =0.又 x =3/+2 N 2,.所求普通方程为x-3 y-5 =0(x N 2).故答案为：x-3 y-5 =0(x 2).【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，在转化时要注意变量的取值范围有没有发生变化，如果有变化必须加上变量的范围，如本题中x =3 产+222,如果答案是x-3 y-5 =。，则其为直
17、线，如果答案是x 3 y 5 =0 522),则其为射线，图形发生了变化.1 6.(1)3【解析】试题分析：由题意得，函数/口)=3 1 +凶)-7的定义域为/?,因为/(-x)=/(x),所以函数/(X)为偶函数，当x0时，/C O n l n a +W)-1*为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得/(x)/(2 x-l)成立，则N|2 x-l|,解得考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式/(x)/(2 x-l)成立，转化为H|2X-1|,即可求
18、解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题(本题包括6 个小题，共 7 0 分)1 7.(1)见 解 析(2)2 7 2【解析】【详解】试题分析：(1)先根据二倍角公式降次，再根据正弦定理将边化为角，结合两角和正弦公式以及三角形内角关系化简得s i n B+s i n A=2 s i n C ,最后根据正弦定理得a+b=2 c (2)先根据三角形面积公式得a b=8,再根据余弦定理解得c.,A ,B 3试题解析：(I)证明：由正弦定理得：s i n B c o s2-+s i n A c o s2-=-s i n C2 2
19、2a n.八 1 +c o s A .“1 +c o s B 3 .g p s i n B-1-s i n A-=s m C ,2 2 2:.s i n B+s m A+s i n B c o s A+c o s B s i n A=3 s i n C/.s i n B+s i n A+s i n (A+B)=3 s i n Cs i n B+s i n A-t-s i n C=3 s i n C.s i n B+s i n A=2 s i n C A a+b=2 cA a,c,b成等差数列.（I I ）S =a b si nC-a b:a b-S2 4c2=a2+b2-2 a b c o s
20、 C=a2+b2-a b=（a+b）2-3 a b=4 c2-1.c2=8 得 c =2 5/21 8 .证明过程见解析.【解析】【分析】按照单调性的定义进行证明，先设不、马是（，一）上任意两个实数，则工2 芭，然后用差比的方法,结合9%0,比较出/（工 2）/（玉），这样就证明出函数 x）=2 +J在（O,y）是减函数.【详解】设%、七是（。,位）上任意两个实数，则工2%。，/（/）-/（%）=（2 +）-（2 +）=-=,x2 X1 x2 Xj X2Xx%石 0 .F七。,马百 0,所以有了（）一/（不）0 =/（%2）/（石），因此函数/（）=2 +/在（0,用）是减函数.【点睛】本题考
21、查了用定义证明函数单调性，用差比的方法比较出/（），/（百）的大小关系是解题的关键，一般在差比比较过程中，往往会用到因式分解、配方法、通分法等方法.1 9 .（1）an=4 n；（2）1 .+1【解析】分析：（1）先利用已知求出b,再求数列 4 的通项公式.（2）先 求 出 与=而 旬=%-总 1，再利用裂项相消求7；.详解：（1）由。，b,c 成 等 比 数 列 得 =改，因为SMBC=4G=g a c s i n 8，所以匕=4，所以 4 是以4为首项，以4为公差的等差数列，解得M=4.1 1 1（2）由（1）可得%/一，1、=-G，（几+1）n 九+1点睛：(1)本题主要考查三角形的面积
22、公式，考查等差数列的通项，考查等比中项和裂项相消求和,意在考查学生对等差等比数列的基础知识和数列求和的基础知识的掌握能力和基本运算能力.(2)一般如果数列1 1 1X1 2 +1 1 1的通项为分式结构,可以考虑裂项相消法求和，如：-=(-)X-r =-.(+2)n n+2 2 (?+1)-(n +1)20.(I)3 x 2y +21n 2-3 =0(I I)见解析【解析】【分析】【详解】(I)/(.V)=l n(l +.v).v-F-.v2f(.v)=1一 一1 +2、I+、/=l n 2/=3 -v-l n 2=(.v-1)3 x 2 y+2 1 n 2 3 =0r.(k x+/-I)di
23、)/(,v)=-1 I.V当&=0 时，f(x)得单调递增区间是(一 1,0),单调递减区间是(0,+8).1 4 1当0 女1 时，/3)得单调递增区间是(-1,一二)和(0,+8),单 调 递 减 区 间 是(丁,0)k k21.(1)见解析；(2)余弦值为 叵.11【解析】分析：(1)由四边形A44B为菱形，得对角线43,由侧面4 4,4 3,底面A B C,CB 1CA,得到 C B _ L 侧 面 的 48,从而Ag LCB,由此能证明A4 L 平面ABC；(2)由 题 意 易 知 为 等 边 三 角 形，以。点为坐标原点，招 为 X 轴，。8 为 y 轴，过。平行8 c的直线为Z,
24、建立空间直角坐标系，分别求出平面ACB的法向量和平面G。,的法向量，由此能求出二面角8 4CG的平面角的余弦值.详解：（I）由 已 知 侧 面 底 面A B C,C B 1 C A,CBu底面A B C,得到侧面的B g,又因为A 4 u侧面A 4.4 3,所以A g又由已知AA=AB,侧面A44B为菱形，所以对角线A4,48,即 做 _ L C 8,AB V A.B,A Bo C B=B,所以A4，平面4 3 c.（n）设线段34的中点为。点，连接A。，D C,因 为 幺/归=60,易 知A/4为等边三角形，中线 A。1 3 4,由（I）C B _ L 侧面 A44B,所以 C B _ L
25、A。，得到 A。，平面 3 4 G C,N 4 C D 即为AC与平面B4G C所成的角，AB=2,AD=6 A C=2 6 2=4。2一4 3 2,得到CB=2及；以。点为坐标原点，D 4,为X轴，为y轴，过。平行BC的直线为Z,建立空间直角坐标系，0（0,0,0）,A（G，0,0）,c（o,1,272）,B（0,l,0）,C,（0,-1,2）,B,（0,-l,0）,4（省,2,0）,由（I ）知平面ACB的法向量为A4=（G 3,0）,设平面G。,的法向量=（x,y,z）,=?/n-A C 0解 得 =仅/0,6）,C O SA BI,=4=H N AB|/?|11二面角8-4。一0为钝二
26、面角，故 余 弦值为一年.点睛：本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质、向量法等知识点的合理运用,是中档题.22.(1)2331323;(2)和1【解析】【分析】ab412（1）由题中点的变换得到25,列方程组解出。、方的值，再利用逆矩阵变换求出A T、（2）求出矩阵M的特征多项式，解出特征根，即可得出特征值和相应的特征向量.【详解】4a+2=4a=22 1=1 2a 1(1)由题意得，即5b 2力 +4=5解 得M2y-nm 几由于矩阵(，政一Z HO)的逆矩阵为my-nzm y-nz_x 上-Xmm y-nzm y-nz-2 r一2
27、1 ,3 3因此，矩阵M=,3的逆矩阵为加=1 21 2*3 3 _2 1 /、A-2-1/立(2)矩阵M=的特征多项式为/(%)=,.=(2-2)-l,1 2 1 A 2解特征方程 2)=0,得2=1或3.2当4=1时，由2x+y=xx+2y=y即 x+y=0,可取x=l,则=-1,即属于1的一个特征向量为1-12当;1=3时，由，2J _y Lx2x+y=3xx+2y=3y,即x-y =0,可取x=1,则y=1,即属于3的一个特征向量为111综上，矩阵M的特征向 量 为,和 1【点睛】本题考查矩阵的变换和逆矩阵的求法，考查矩阵的特征值和特征向量的求法，考查方程思想与运算能力,属于中等题.2
28、019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意）x=Xn+R,1.已知直线、,=；+/（t 为参数）上 两 点 对 应 的 参 数 值 分 别 是 乙 由，贝！|A B|=（）A.卜 +马|C.yj a2+b2 1 -r2|a2+b22.过点（1,0）且与直线x -2y =0 垂直的直线方程是（）A.x 2y 1=0B.2 x+y-2 =0C.x-2 y+1 =0D.x+2 y l=03.用数学归纳法证明不等式：9+*+J 1，则从=%到”=%+1时，左边应添加的3+1项 为（）13k+23k+4 k +1
29、13 Z +41111-1-1-3k +2 3 k+3 3 女+4 k +4 .函 数 =加+-2+53 4 3,仇。我）的导函数为/，（力，若不等式r（x）0 的解集为 x|-2 x ,当x G(2,0)时，f(x)的最小值是1.贝!I a=.三、解答题(本题包括6个小题，共70分)17.已知数列!丁二,，J .,-,1 1 +2 1+2+3 1 +2+3+n,其前项和为S,；(1)计算 S1,S2，S3，S4(2)猜想S”的表达式，并用数学归纳法进行证明.18.已知函数/(x)=-m x-niex+2m(m e R).(1)若函数/(x)在x=0处取得极值，求机的值和函数/(x)的单调区间
30、；(2)若关于x的不等式/(x)0在(0,用)上恒成立，求实数机的取值范围.19.(6分)对某种书籍每册的成本费.V (元)与印刷册数X(千册)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.册的成本令(元)fo-Xy万-可2/=!6之 ;-6苏i=l66Z助Y 6万 歹/=14.8 34.2 20.3 7 7 56 0.1 70.6 0-3 9.3 84.88-7-65432*1 0 1 i 5 4 5 6 7 8 9 fo X印刷册数(千册)1 1 6其 中 助=一,5 Z z 例.Xi 6 /=1为了预测印刷2 0 千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：y=a +b x,y=c+
31、-.x(1)根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？(只选出模型即可)(2)根据所给数据和(1)中的模型选择，求 y关于X的回归方程，并预测印刷2 0 千册时每册的成本费.附：对于一组数据(片,巧)，(4,%)，(”“，为)，其回归方程 =6 +加的斜率和截距的最小二乘估计n-nuv公式分别为：BT-，&=亏 伍1.X1=11 ,32 0.(6 分)已知函数/(x)=l n x +/-ax+a (a e R).(1)若/。)在=1 处的切线过点(2,2),求。的值；(I I)若/(x)恰有两个极值点看,x2(x,x2).(i)求。的取值范围；(i i)求证：/(x2)/(x,)Ja,2 +h
32、2,t=i m,由直线参数方程几何意义得y=yQ+bt、，bm Ja2+b2忑7 7=|m,=/a2+b2|r,Z2|,选 C.考点：直线参数方程几何意义2.B【解析】【分析】先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解.【详解】由题得直线的斜率为-2,所以直线的方程为-0 =-2(x-1),即：2 x+y-2 =0故 选 B【点 睛】本题主要考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.D【解 析】【分 析】将=女和=后+1式子表示出来，相减得到答案.【详 解】1 1=女时：-+-+上+1 k+21H-3 Z +1 1-
33、1-P H-1-1-1-1k +2 女+3 3 攵+1 3k+2 3 攵+3 3 攵+4观察知:应添加的项为-1-1-3 k+2 3 后+3 3 A:+41k+1答 案 选D【点 睛】本题考查了数学归纳法，写出式子观察对应项是解题的关键.4.D【解 析】【分 析】求 导 数，利用韦达定理，结 合/(X)的 极 小值等于7 9 6,即可求出。的值，得到答案.【详 解】依 题 意，函 数/(力=/+加+5-34,得r(x)=3 a?+次+.0的解集是-2,3,于是有3。0r IQ-2 +3 =-,解得匕=_ 吧,c =T 8 a,3 a 2-2 x 3 =3 a.函 数/(x)在x =3处取得极小
34、值,3）=2 7 a+%+3 c 3 4 =1 9 6,即 3）=2 7 a +9 x（一 学+3乂（一1 8）-3 4 =-1 9 6,解 得。=4,故 选：D.【点 睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，着重考查了学生分析解决问题的能力，比较基础.5.C【解析】【分析】由题，得他及格的情况包含答对4题 和5题，根据独立重复试验的概率公式，即可得到本题答案.【详解】由题，得他及格的情况包括答对4题 和5题，所以对应的概率P =以x(|)4 x|+(|)5=2|.故选：C【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率问题，属基础题.6.C【解析】【分析】根据实际问题，可抽象出(
35、1-5 0%)=3.1%,按对数运算求解.【详解】设该生物生存的年代距今是第，个5 7 3 0年，到今天需满足(1-5()%)”=3.1%,解得：”=l o g o s 3.1%=5 ,5 x 5 7 3 0 =2 8 6 5 0 2 2.9 万年.故选C.【点睛】本题考查了指数和对数运算的实际问题，考查了转化与化归和计算能力.7.A【解析】试题分析：根据已知可得：=1 0 0,故选择A3 5 0 0+1 5 0 0 3 5 0 0考点：分层抽样8.B【解析】【分析】首先对甲、乙、丙、丁进行分组，减去甲、乙两人在同一个项目一种情况，然后进行3个地方的全排列即可得到答案.【详 解】先将甲、乙、丙
36、、丁 分 成 三 组(每 组 至 少 一 人)人 数 分 配 是1,1,2共有=6种情况，又甲、乙两否人不能到同一个项目，故 只 有5种分组情况，然后分配到三个不同地方，所以不同的安排方式有5闻=3 0种，故 答 案 选B.【点 睛】本题主要考查排列组合的相关计算，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力和计算能力，难度不大.9.C【解 析】【分 析】由离散型随机变量X的 分 布 列 得a+2 a+3 a=1,从而由此能求出E (X).6【详 解】解：.离散型随机变量X的分布列为尸(X=)=加z,=1,2,3,.+2 4 +3 0=1,解得1 9 3 7A (X)=l x-+2 x-+3 x-=-
37、.)6 6 6 3故 选：C.【点 睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.1 0.A【解 析】【分 析】求出样本平均值与方差，可 得 年 龄 在 叵-S/+S)内 的 人 数 有5人，利用古典概型概率公式可得结果.【详 解】_ 3 6 +3 6 +3 7 +3 7 +4 4 +4 0 +4 3 +4 4 +4 3X=-2 1 6 +1 6 +9 +9 +1 6 +0 +9 +1 6 +9 1 0 0s=-=-5=弓，年龄在(三一 S,亍+S)内,内的 人 数 有5人,所 以 年 龄 在(X-s,x+s)内的人
38、数占公司总人数的百分比是等于156%,故 选A.【点 睛】样本数据的算术平均数公式x =+9+工)n 一 一 -样本方差公式S2=-(X-2 +(T/+区 一 疗 ,n标准差S=J (%)+(%一%)+(%)?J V n11.D【解析】由题意得/(%)=G s i n(2无 +8)+c o s(2 x+，)=2sin+6 +f,:函 数/(x)为奇函数，TT TT:.e+=k小k w z,故。=一一+&肛&Z.6 6j r JT当。=g时，/(x)=2 s i n 2 x,在一丁,0上为增函数，不合题意.当0 =B时，x)=-2 s i n 2 x,在一?,0上为减函数，符 合 题 意.选D.
39、12.D【解析】【分析】用所有的选法共有C*减去没有任何一名女生入选的组队方案数C；,即得结果【详解】所 有 的 选 法 共 有 种其中没有任何一名女生入选的组队方案数为：cl故至少有一名女生入选的组队方案数为(,-(=1 2 0-1 0 =1 1 0故选。【点睛】本题主要考的是排列，组合及简单计数问题，考查组合的运用，处 理”至少有一名”类问题，宜选用间接法，是一道基础题。二、填空题(本题包括4个小题，每小题5分，共2 0分)13.0【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为(x,y,z),则由题意可得OW xW l,OW yW l,z=l,计算PA P g =x-x,利用二次函数
40、的性质求得它的值域即可.【详解】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD】所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点 A(1,0,0),Ci(0,1,1),设 点P的坐标为(x,y,z),由题意可得OWxWl,OWyWl,z=l；PA-(1-x,-y,-1),PC=(-x,1-y,0),(i 2/i 2 iPA,PC=-x(1-x)-y(1-y)+0=x2-x+y2-y=x +y ，2J 2由二次函数的性质可得，当*=丫=；时，PA 尸&取得最小值为-g；当x=0或1,且y=0或1时，PA P g取得最大值为0,则的取值范围是0,故答案为：-5，o.【
41、点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目.814.+7T3【解析】【分析】22 _根据积分运算法则求,公和J 4 -为,前者利用公式求解，后者所表示的几何意义是以(o,o)为圆心,002为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，求出圆的面积乘以四分之一，两者结果做和即可得解.【详 解】2解:卜 +J /)2 _ _ _ _ _2 2dx=x2dx+j4-x2dx,o o由 卜4-公 必:表 示 以（0,0）为 圆 心,2为半径的圆面积的工,o 42 I_ _ _ _ _ 1/.卜4一/办=x 4 4二万,o 42 3 I。3Q故答案为：+71 .【点 睛】本题主
42、要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题.1 5.3 6【解 析】【分 析】由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.【详 解】每个项目至少有一人参加，则 需 要 有 一 个 项 目2人参加，其余的两个项目每个项目一人参加，结合排列组合公式可知，满足题意的安排方法共有：（C；x C：）x&=（3 x 6）x 2=3 6种.【点 睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步.具 体 地 说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位
43、置）.（2）不同元素的分配问题，往 往 是 先 分 组 再 分 配.在 分 组 时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组;部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法.1 6.1【解 析】由题意，得 x （0,2）时，f （x）=l n x a x（a!）有最大值一L （x）=-a,由 f&）=0得 乂=2x-6 （0,2）,且 xe（0,工）时，（x）o,f（x）单调递增，xG（-,2）时，fz（x）0,f（x）单调递减，a a a则 f(X)皿=f(L)=ln，1 =-1,解得a=La a三、解答题(本题包括6个小题，共70分)17.(1)(2)S.二 工,证明见解析3 2 5 n
44、+i【解析】【分析】2(1)根据已知条件，计算出S1,S,53，S4的值；(2)由(1)猜想S“=，根据数学归纳法证明方法,+1对猜想进行证明.【详解】1 4(1)计算E=I,S2=I+币=,q,4,1 _3 _3,1 83 3 1 +2+3 2*4 2 1 +2+3+4 5*(2)猜想，=乌.2x1证明：当=1时，左 边=工=1,右 边=币 =1,猜想成立.假设=%卜/)猜想成立.1 1 1 1 2k-即 Sk=-1-1-1-.4-成立，“1 1 +2 1 +2+3 +2+3+.+k k+那么当=%+1时，S-s 1 一 2J 2A+l 卜 1 +2+3+k+k+k+(Z+l)(攵+2)而
45、2攵 2.2(Z+iy-2。+1)k+1(女+1)(左+2)(左+1)(左+2)(攵+1)+1故当=%+1时，猜想也成立.由可知，对于 w N*,猜想都成立.【点睛】本小题主要考查合情推理，考查利用数学归纳法证明和数列有关问题，属于中档题.18.(1)根=(),函 数 的 单 调 递 增 区 间 是(-8,-2)和(0,+8),单调递减区间是(-2,0)；(2)0,ln2).【解析】试题分析：(1)由 0)=(),解得，”=0，令/(x)0得增区间乂2)关于x的不等式/(x)()在(0,+8)上恒成立，等价于函数的最小值大于等于零.试题解析:(I )由题意知，/(x)=x2+(2-m)x-2m
46、 0,解得x 2或x0,令尸(。0,解得-2 x 0在(O,+8)上恒成立，则 函 数 在 区 间(0，+8)上单调递增，.当x0时，/(x)/(0)=m 0,.,.m =0；当机 0 时，令/(x)0,解得 x m,令 f(x)0,解得 0 x 0,即e 2，解得0/”Q,f x)=-+x-a 2.-x-a =2-a，分类讨论函数的单调X X V X性；当a 4 2时，可以判断函数没有极值，不符合题意；当。2时，可以证明出函数有两个极值点看，X”故可以求出a的取值范围；由(1)知/。)在(%,)上单调递减，八 2)/(%)，且 =一+%,由/(X)=O 得 2一女+1 =(),又 X|*2，
47、,0 玉11 2 3 12/1、3 1 2 1./a)=ln%+5%-y%+广-(,+6+lnx 寸 +-.法一：先证明lnx x-l(0 x l)成立，应用这个不等式，利用放缩法可以证明出/(%)/(%)0成立;法二：令g(x)=lnx-ex2+5(0 x 0,ff(x)=-i-x-a 2.-x-a =2-a fxxV x当。W2时，/(幻 之2 NO,/(x)在(0,+8)上单调递增，/(X)无极值，不合题意，舍去当a 2时，令/(x)=。，得 七 五 三,a+(0 0。0%或 X/；f(x)0 O X X W，fM 在(。,X1)上单调递增，在(%,%2)上单调递减，在(2，+。)上单调
48、递增，/(X)恰有个极值点玉，马,符合题意，故。的取值范围是(2,+8)1(ii)由(i)知/(x)在($,)上单调递减，/()/(%)，且。=一+%,由/(X)=O 得 了2 一5+1 =0,，石%2=1,又 办 *2，0玉 124/(X,)=In x,+-%12-ar,+-=In X j+-%,2-(+%1 )x,+-=In x,-X)2 2 2%2 2法一:下面证明 lnx x-l(0 x l),令 g(x)=lnx-x+l(0 x0,x xg(x)在(0,1)上单调递增，g(x)g(l)=0,即 lnx x-l(0 x l),/(玉)西 一=+玉 _；=_；(玉 1)2 0,综上/(工
49、2)/(百)。1 1 2法二:令gO)=ln x-，x2+(0 x l),则g0,2 2 x x.*)在(0)上单调递增，8*)8 6 =0,即/(山)0,综 上/。2)/(不)0【点睛】本题考查了曲线切线方程的求法，考查了函数有极值时求参数取值范围问题，考查了利用导数研究函数的性质.21.(1);(1)见解析.S【解析】【分析】(1)设A i (i=l,1,3)表示第i次投篮命中，工表示第i次投篮不中，设投篮连续命中1次为事件A,则连续命中1次的概率：P (A)=P (,1,),由此能求出结果.(1)命中的次数X可取0,1,1,3,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.【详解】
50、(1)设(：=1 2,3:表示第:次投篮命中，工表示第:次投篮不中；设投篮连续命中1次为事件，则P(A)=P 51A2A3 +2 X三 X三 十 三 x三3 3 3 3 3 3 27(1)命中的次数工，可取o,1,1,3；P(X=0)=(1-1)3=会，P(X=1)=墨 令(1 一 十 =P(=2)=C r(p2(l-f)1=；P(X=3)=令=X0113P1272949827所以E=l x：+2 x：+3x 5=2答：工的数学期望为1.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力