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1、大一高等数学期末考试试卷（一）一、选 择 题（共 1 2分）2 e*x x 0 x 4.（3 分）y =2/-3/的极大值为:三、计 算 题（共 4 2分）“八、x l n（l +5 x）1.（6 分）求 hm-一 .1。s i n 3x2.（6 分）设），=-,求 y.x +13.（6 分）求不定积分Jx l n（l +x 2）d x.4.（6 分）求 j/（x-l）d x,其中/（x）=1 +c o s xex+,x.1.（3分）若/（x）=为连续函数，则。的值为（）.a +x,x 0（A）l （B）2（C）3 （D）-l2.（3 分）已知7（3）=2,则 l i m *一）一）的 值 为
2、（）.n o 2 h（A）l （B）3 （0-1 （D）-2兀 _3.（3 分）定积分RJ1 d x 的 值 为（）.2（A）0 （B）-2（0 1 （D）24.（3 分）若/（x）在 x =x 0 处不连续，则/（x）在该点处（）.（A）必 不 可 导（B）一定可导（C）可 能 可 导（D）必无极限二、填 空 题（共 1 2分）1.（3分）平面上过点（0,1）,且在任意一点（x,y）处的切线斜率为3 x 的曲线方程为5.（6 分）设函数y=f（x）由方程j d力+1cost力=0 所确定，求dy.6.（6 分）设，/（x）dx=sinx?+C,求 Jf（2x+3）dx.7.（6 分）求极限l
3、im（l+2.T8（2 ）四、解答题（共28分）1.（7 分）设一（lnx）=l+x,且0）=1,求 f（x）.2.（7 分）求由曲线），=。5%（与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3.（7 分）求曲线y=3 3 2+24x 19在拐点处的切线方程.4.（7 分）求函数y=x+J Q 在-5,1 上的最小值和最大值.五、证明题（6 分）设/“（X）在区间句上连续,证明f（x）dx=-f （a）+fb）+（x-a X x-b）f（x）dx.（二）一、填空题（每小题3 分，共 18分）r2 _ 1.设函数，则x=l 是/（X）的第 类间断点.2.函数y=】n（l+x2）,则y=
4、4.曲线y=:在点（g,2）处的切线方程为.5.函数y=2x33/在 1,4 上的最大值_,最小值_6.r arctan x,-b dx=J 1+x-单项选择题（每小题4分，共20分）1.数列*“有界是它收敛的（A）必要但非充分条件；（C）充分必要条件；2.下列各式正确的是（A）jexdx=ex+C；（B）充分但非必要条件；（P）无关条件.（8）Jl n x d r=卜 C；）.（C）f 1 rf x =-l n（l-2x）+C ；（D）f dx=lnlnx+C.J l-2 x 2 J x l n x3 .设f（x）在 a,以上，/（*）0且/（x）0,则曲线y =/（x）在 卜 上.（A）沿
5、x轴正向上升且为凹的；（B）沿x轴正向下降且为凹的；（C）沿x轴正向上升且为凸的；（。）沿x轴正向下降且为凸的.4 .设f（x）=x l n x,则f（x）在x =0处的导数（）.（A）等于1；（8）等于一 1；（C）等于0;（。）不存在.5.已 知1岬/（*）=2,以下结论正确的是（）.（A）函数在x =1处有定义且/（1）=2；（B）函数在x =1处的某去心邻域内有定义；（C）函数在x =l处的左侧某邻域内有定义；（0）函数在x =l处的右侧某邻域内有定义.三、计 算（每小题6分，共3 6分）1 .求极限：l i m x2s i n-.Xf x2 .已知 y =l n（l +*2）,求y.
6、3 .求函数丁=*疝*（*0）的导数.4 .r 产x2二 公.Jl +x25 .Jx c o s x Jx.X 16.方程y*=x 确定函数y =/（x）,求y.四、（10分）已知屋2为f（x）的一个原函数，求 卜2/（工卜二五、（6分）求曲线y=xe-的拐点及凹凸区间.六、（10分）设 7 （6法=*1 6+1）+。，求/（工）.（三）一、填空题（本题共5小题，每小题4 分，共 20 分）.J _ I呼 C O SX）”=忑.（2）曲线y =x l n x 上与直线x y +l =平行的切线方程为_=一 1,已 知/（）=犯-、，且/=0,贝 i j/（x）=/（%）=2（ln%）.x21
7、1y=-y=-x .（4）曲 线.3 x +l 的斜渐近线方程为 3 9 _了_=0+3微 分 方 程,x+1 的通解为2 1y =(x +l)2+C(x +1)2.二、选 择 题（本题共5 小题，每小题4分，共 20 分）.（1）下列积分结果正确的是（D）Jx =0 二 dx=-2（A）J-lx（B）J-xzr+g 1 f+00 1 ,Jx =+o o J j=dx=+o o（C）,X）Jx（2）函数/（X）在 凡闻内有定义，其导数/（X）的图形如图1-1所示，则（D）.（A）X|，z都是极值点.（B）G 1，/（阳）,6 2，/（%2）都是拐点.（C）不是极值点.，（、2，/（/）是拐点.
8、（D）（和/）是拐点，是极值点.(3)函数y =G e+C 2e 2+x e 满足的一个微分方程是(口 ).(A)y -y-2 y =3xe(B)y -y-2 y =3ex.(C)y +y-2y =3 x e.(D)y +了-2y =3 e,.(4)设 f(x)在/处可导，则修。h 为(A).(A)，(Xo).(B)(C)0.(D)不 存 在.（5）下列等式中正确的结果是（A）.(A)(j 7(x)d x)，=/(x).(C)必=rm W(x)=/(x).(D)fx)d x =f(x).三、计 算 题（本题共4小题，每小题6 分，共 24 分）.l i m（-）1.求极限-I x-l In x
9、 .解_L)x 1 In x =l i m.r-lx l n x-x +1(x-l)l n xx1 分Inxl i m-A-1 X-l ,+l n xx2 分 x n xl i m-3 x 1 +/In x1 分l i m1 +l n x 1=I I +In x +1 22 分 x =l n s i n r2.方程1 y =c o s r+，s i n r确定y 为 x 的函数,dy d2y求 d x 与 dx2.生 =r sinr,解 d x x（3分）d2y _(tsintydx2 xt)=s i n rt a n r+rs i n r.（6 分）3.4.计算不定积分a rc t a n
10、xyfx(l+x)+x.解法一:ex=l+x+x2 l+x2解法二：设/(x)=e-x-l.则/(0)=0.1 分因为 r(x)=e-L 1 分当x 0 时，/(X)2 0./。)单调增加，/(x)/(0)=0.2 分当xWO 时，/(x)W O J(x)单调增加，/(x)/(0)=0.2 分所以对于任意的实数x,/(幻2 即/21+彳。1分解法三：由微分中值定理得，e l=e、_e=/(x _ O)=e；x,其中 4位于 0 到 x之间。2 分当 xNO 时，e：1,e*-1 2 x。2 分当x 4 0时，/xQ 2 分所以对于任意的实数x,N l+x。1分(四)填空题(每小题4分，5题共2
11、0分)：1L 崛(e j)/=e；2.3(1 +户 力(-7)公=:3.设函数y=y(x)由方程I e 二”确定，则 即I =e-4.设 M O 可 导,且 1/力=/叫/(0)=1,则用=e#.5 .微分方程 y +4y +4y =0 的通解为 V =(G+C2x)e二.选 择 题(每 小 题 4 分，4 题 共 1 6 分)：f(x)n x _+k1 .设常数k0,则 函 数 -e 在(0，+)内零点的个数为(B ).(A)3 个；(B)2 个；(C)1 个；(D)0 个.2 .微分方程丫 +4)=3 8 5 2、的 特 解 形 式 为(c)(A)y*=A co s 2%.(B)y*=A
12、x co s 2 x .(C)y*=A x co s 2 x +B x s i n 2 x.)y*=A s i n 2 x3 .下列结论不一定成立的是(A )(A)(A)若函则必有(B)(B)若/SR。在 a,U上可积，则(0 (C)若/(X)是 周 期 为 T 的 连 续 函 数，则 对 任 意 常 数。都 有，+7/(小犬=二/(x 如(D)(D)若可积函数/(X)为奇函数,则J 也为奇函数./(%)=1+e*4.设 2 +3 e(A)连续点；则 x =0 是/*)的(c ).(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三.计算题(每小题6 分，5 题 共 3 0 分):1 .计
13、算定积分(d x.-2|2 一二2|0 2 2.2r x s i n x2 .计算不定积分 co s51解:邛 公 f-j4co s x 4 J co s x 4 L e o s x J cos x-X4 f(t a n2x +l)r f t a n x4co s 4 x 4 JX 1 3 1 c=-t a n x-t a n x +C4 co s x 1 2 4.3x=-s i n r),冗3.求 摆 线1、=(1-85,)，在 2处的切线的方程.H（。*一1），。）解：切点为 2dy _ a s i n fdx t/(1-co s 0 2 2 =1 -2y-a=x-a(-1)y =x 4-
14、(2 -)a切 线 方 程 为 2 即.2 24.设(x)=J.c o s(x 2 f 则 尸(X)=2 x co s x 2-(2 x-l)co s(x 2-x).5.设“_ 旷(+1)(L+2)(+3)(2)，求 解:I n%=-ln(l+-),=!几 .li m I n xn=li m V ln(l+)=f ln(l+x)dx-oo c c n 几 Jo-2 2Hln(l+x)卜 工2 In 2-1故 则”Jx-dx 2 1 n 2 1，1 +x_ 4e 2四.应 用 题（每小题9分，3题 共2 7分）i.求由曲线y =G E与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.y 二 i x设
15、切点为（x。,%）,则过原点的切线方程为 2A -2,由于点（%,%）在切线上，带入切线方程，解得切点为%=4,%=J 5.3X过原点和点（4,正）的切线方程为）-2 V 2.3面积5=丁（/+2-2&），）力=竿_3或 T。益冏+吐x-G）公发2.设平面图形。由x2 +V _ 2 J (2 -x)(y/2 x-x2-x)dx法*s V=。=2 4 (2 一 x)y/2 x-x2dx-2 1 (2 x-x2)dx=)/(2 -2 x)12 x-+2 J2 x-、，dx-7r20 2”c 1 J 4=71(2 x-x)2 +2 X 7t X 1-7130 4 3乙 1 2=-R+一 万 3 24
16、 1-71 7T2-713 23.43.设4 1，/)=。_画 在(-8，+8)内的驻点为Ma)问a为何值时，色)最小？并求最小值.由/(，)=a na-a-0得/(a)=1 -.解：I n a.3又由“a)=M in a?=。得唯一驻点。=e。a(lna)3当a e时/(a)0;当a e，时，(a)1 r，,、又由 2 ，知 2 7 2 2 2 2在2 上/(的 用零点定理，F(l)F(i)=-l 0根据2 2.2（-,1）F（7）=0,”d，l）u（0,l）可 知 在2 内至少存在一点，使得 2 ,尸（0）=E（）=由ROLL E中值定理得 至 少 存 在 一 点Je（，）u（0，l）使得
17、-G)=。即/一 1=0,证毕.3标准答案1 B;2 C;3 D;4 A.3 1 21 y =x+1；2 ；3 0;4 0.,x-5x 5二、1 解 原 式=h m -X-。3 x2 3,yje X,/2 、2 解 I n y =I n -ln(x-+1),x I 1 26分2分4分3 解 原式=；J ln(l+%2)4(1 +尤2)3分 2 r-(l+x2)ln(l+x2)-j(l+x2)-y 2 分=1 (1 +/)ln(l+x2)-x2 +C 1 分4 解 令 尤-1 =/,则f(x)dx=f(t)dt=L-1 -+-c-o-s-?dt+”(ez+i)dt2分1分1分=0 +e+瑶1分e
18、2-e+11分5 两边求导得e，y+co s x=0,2分,co s 尤=-e-cosxs i n x-11分1分/.dyco s x,=-axs i n x-12分6 解 J/(2 x+3)dx=g j 7(2 x+3 M(2 x+2)2分1 .7=s i n(2 x+3)+C 4 分2 3(3 Ki7解 原 式=li m 1 +I 2n J6分四、1 解 令ln x=r，则x=，,/Q)=l+e,3分f(t)=(+e)dt=t+e+C.2 分v/(0)=l,.-.C =0,2 分/.f(x)=x+ex.1 分7 T2 解 Vx=1 .C OS2X6?X 3 分兀=2 j p co s2xt
19、/x 2 分=-2 分23 解 y-3 x2-6x+2 4,y=6%-6,1 分令V =o,得 工=1.i分当 一o o x 1 时,y”0；当 1 x 0,2分.(1,3)为拐点,1分该点处的切线为y =3 +2 1(%1).2分,1 2 /1 x 14 解 y =1-j=-,-2 分2 VlzX3令了=0,得 工=一 1分4丁(-5)=-5 +而。-2.5 5,=4,y =1,2 分_(3 5最小值为y(5)=-5 +J 4,最大值为y|=一.2分4=(x-fl)(x-Z?)/V)-f(x)2 x-(a +b)dx 1 分=2X-(a+b)df(x)1 分移项即得所证.1分高等数学I(大一
20、第一学期期末考试题及答案)1.当时，a(x)/(x)都 是 无 穷 小，则 当X f与 时(D )不一定是无穷小.(A)3+忸(力(C)lnl+a(x)0 x)12.极限的值是(C(B)(x)+2(x)a-x)(D)P(x).(A)1(B)e(C)eco,a(D)小s i n x+e2 n -1/(x)=,x3.ax w Ox=O在x=O处连续，则qD).(A)1 (B)0 (C)e(D)-1.+力)-(”2)_4.设/(X)在点x=a处可导，那么2。(A)3 /(a)(B)(C)(D)二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共1 6分)a.y(x),则导函数Vh(A2/U(a)li m5.极
21、限i。6.由X+y I n x=co s 2 x(a 0)的值是确 定 函 数2 sin 2x+4-yexy_x_xe xy+lnx7.直线/过点M(L2,3)月.与两平面工+2 n一 =,2工 一3丁 +5 2 =6都平行，则直了 一 l _ y-2_ z-3线/的方程为 丁=工r二=？8.求函数V=2 x-ln(4 x)2的单调递增区间为(一8,0)和(1,+8).三、解答题(本大题有4小题，每小题8分，共3 2分)(l+x)*-eh m-9.计算极限2。x.-ln(l+x)-I.(l+x)A-e .ex-1 r ln(l+x)-x eli m-=e li m-=e li m-；-=解：-
22、0 X X x 2xF(x)=f(x x G a,b10.设/(x)在 a,切上连续，且 ，试求出(无)。X XF(x)=xf(t)dt-tf(t)dt解：a a尸()=J 7”)力+v(x)-=J 7(f)山F(x)=/(x)r co s x,I X -T-uX.11.求 J s i n x解r C OS X/1 f ,.-2|x ；ax-xa s i n xJ s i n3x 2 J221 .2 1xdx=xs i n x co t x+C22四、解答题(本大题有4小题，每小题8分，共3 2分)2dx2 Xylx2-11 2.求忑x原式=IX-/()dt2xV=-1 3.求函数 1 +炉
23、的极值与拐点.解：函数的定义域（8,+0 0）,2（1 -x）（l+x）“-4 x（3-x2）y （i+x2）2 y （i+x2）3令 y =得 x i=i,x2=-i X2=-1 是极小值点极大值y（i）=L极小值y（一 i）=i令 y”=。得 X3=0,X 4=6 ,X 5=-6V3 V3故 拐 点(-6,-2),(0,0)(6,2 )X(-00,-8)(-6。)(0,6(6,+8)y一+一+1 4.求由曲线）=1与y=3 x-Y所围成的平面图形的面积.:=3x x.x3 12x+=04x(x+6)(x-2)-0,x=-6,x2-0.S=f (3x 4-x)dx+(3x x )dxZX4
24、3 2 r 10 z3 2 1 X4.16 2 3 i 2 3 16=45+2-=47-3 31 5.设抛物线y=4-上有两点4-1,3),P(x，y)使A4BP的面积最大.A3连线方程：y+2 x-l=0 明=4右点P到A5的距离=*+尸+3A/5 A/S,=2.8(3,-5),在 弧A B上，求一点(-1%3)A43P的面积S(x)=1-4 5-*+：x +3 =2+3)2 V 5S，(x)=-4x +4 当x =l S，(x)=OS(x)=-4 0当x =1时S(x)取得极大值也是最大值此时y=3 所 求 点 为(1,3)另解：由于A A 8C的底A 8 定，故只要高最大而过C点的抛物线
25、的切线与A B平行时，高可达到最大值，问题转为求C(x。，4-北)，使/(/)=-2/=-5-%+=-2,解得x 0=1,所求 C 点为(1,3)六、证 明 题(本大题4分)1 6.设x0,试 证 小(1 x)0尸(x)=e 2(l 2x)l,/w(x)=-W x 0,因 此(x)在(0,+0 0)内递减。在(0,+0 0)内，/)/(0)=0,/(X)在(0,+0 0)内递减，在(0,+0 0)内，f(x)/(0),即 储(1-尤)一(1+尤)0时,e2x(l-x)l +x 试证e2x(l-x),二阶导数/(*),则函数/(X)在此区 间 内 单 调 净 加，曲 线 是 上凸 的。2、设 y
26、=2 d+3t2 确定函数 y=y M,求 dx2 2(1+0 or 1 1 ,1 I 一cos dx=sin F C3、J1%x o得分评卷人二.单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。本大题共3小题，每小题3分，总 计9分）l im1,设 一x cix-x +4x-1A,则必有(A)a=2,(C)a=4,(8)a=4,A =10;(0)a=4,A =10.答（CA =5 ;A =-6;)2、设 1-x-,则 一（X）的一个原函数为(A)arcsin x(B)arctan x/、1 t l-x/z 1,1 +x(C)I n-()I n-2 1 +x 2 l-x
27、答(D )3、设/为连续函数，又，)=1 则/()=(A)e(5)/(I)(C)0(P)/(l)-/(0)答(B )得分评卷人三.解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分）l im，1、求极限 2 1-cosx 。解:l im/+一1-21-cosx.e-e=l im-X TO sin x（3 分）=limcos x=22、y=+l n%,求 y。y d+l n2-J 解：2V l +l n-xInxX-J1+ln:x（5分）（3分）（5分）得分评卷人四.解答下列各题（本大题共3小题，每小题8分，总计24分）arctanx-八./（x）-/（0）arctanx 解：5 x-0 1。
28、x （4 分）=1 ,（6 分）所以/（x）在x =0处可导。（8分）2、设/（*）在 上连续，且证明：至少存在一点火 ，使得/C）Y证：设/（x）=/（x）-x ,则/（X）在10刀 上连续。（2分）又尸（0）=/（0）_ 0=/（0）2 0 1）=1）_ 1 4 0；（4 分）若F（0）=0或F=0,则结论成立。（6分）若尸（0）或1）4时，T x2 o证：令则/（4）=0。（2 分）/(x)=2、l n2 2x,/,(4)=81n4-8 0/(x)=2(I n2产-2,显然，当x4时，/f fU)2 21n24)-l 0（4分）/（X）在区间（4，+8）内单调增加。又广（4）0：,f（x
29、）在区间（4,+00）内恒大于零。又/（4）=0,./3在区间（4,+8）内大于零。即当X4 时，f（x）=2x-X-0；即2/。（6分）（8分）得分评卷人五.解答下列各题（本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求函数）e cosx的极值。元=k兀+_解：y =e （cosx -sinx）,令V=0,得驻点 4（忆为整数）。（4分）yn=-2 ex sinx o71V 2X=LK71H-n r z y -C当 4时，y 0,“X）在该处取得极小值，其值为 2。（8分）2、求不定积分,3 s i n x.,dxvc os x解:匕r s嬴i n3 rx A*_ r l-c os2xd(c
30、o s x)J V c os xJ(c os x)T d(c os x)-华。J J V c os x V c os5 x-2A/COSX+C（4分）（6分）（8分）Z 3 rp.sin2 x(ln-+2 cos2 x)dx3、计算 积 分2 3 xE sin2 x(ln2-+2cos2 x)dx.=(sin2 xln2-+2sin2 xcos2 x)dx解：2 3-x i 3-x(4 分)n-f sin 2 2xdx（6分）1 71 7t 二 2 2 4(8分)得分评卷人六.解 答 下 列 各 题（本 大 题 共4小 题，每 小 题6分，总 计24分）dx1、求不定积分x(x+1)r dx
31、_ r x9dx _ 1 r d(产)初-10 Jx,0(x,0+l)lrr（4分）1 x10In r：-F C10 x,0+l（6分）32、计算积分3 _解:3|夜cos（2分）%cos 3cl 0-E,-3 T Ccos 3cl02.（4分）V2 sin:一 sin 63一冗4n2=V 2(l-s i n 1乃 +s i n 9=V 2(l-+1)=2V 2-121 2y=2.,2 _ Q3、求抛物线 2 被圆X +y 所截下部分的长度。1 2y =1x-,1 2解：由 卜+)2=8.有 2y +y 2=8,y2+2 y-8=0,y =4(舍 去)y =2,交 点:一：1”一 J y =2.y=2.由对称性：.S=2 y+y2dx=2 1 T +x2 dx=2=2V 5+ln(2+V 5)o4、求 微 分 方 程-2y -3y =3x +1 +的一个特解。解：特征方程：/一2r一3=的根为：八=T，弓=3。故可设特解为yp=A x+B+ce：代入方程得C e 2(A+C c)3(Ax+8+C c)=3x +1+由此求得A=B=C =3 4。y=-x+-1-1et所以方程有特解：3 4 。（6分）（y +4）（y-2）=0,（2分）（4分）（6分）（2分）（4分）（6分）