《2023年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数第九节函数模型及其应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数第九节函数模型及其应用.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第九节函数模型及其应用最新考纲1.了解指数函数、对数函数、繇函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、森函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.考向预测考情分析：考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，预计高考对本节考查将延续近几年的考查风格，各种题型均有可能，属中档题.学科素养：通过函数模型的应用考查数学建模的核心素养.必备知识基础落实赢得良好开端一、必记3 个知识点1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型fix)=ax+b
2、(af b 为常数，二次函数模型J(x)=ax2+hx+c(a,h,c 为常数，W 0)与指数函数相关的模型fix)=ba+c(a,b,c 为常数,a 0 且 a W l,b#0)与对数函数相关的模型fix)=bogax+c(a9 b,c 为常数,Q0 且 a W l,W 0)与基函数相关的模型J(x)=axft+b(a,b,为常数，W 0)2.指数、对数、鬲函数模型生质比较3.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识,函数性质y=cf(1)y=l o g a X(
3、a Dy=x/,(H 0)在(0,+8)上的增减性单调_ _ _ _ _ _ _ _单调_ _ _ _ _ _ _ _单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 X的增大逐渐表现为与_ _ _ _ _ _ _ _ 平行随 X的增大逐渐表现为与_ _ _ _ _ _ _ _ 平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个 如 当XX0时，有建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：实际问题实际结果分析、联想抽象、转化还原建立函数模型数学推演数学结果二、必 记 1 个常用结论“对勾”函数的性质函数於）=x+：
4、（a 0）,（1）该函数在（-8,-V a V a,+8）上单调递增；在 一孤，0）和（0,正 上单调递减.（2）当x 0时，时取最小值2 孤；当x 0,增长速度越来越快的形象比 喻.（）（3）基函数增长比直线增长更快.（）（二）教材改编2 .必修 1 R（M例 5 改编 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）=+2 x+2 0（万元）.一万件售价为2 0 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件.3.必 修 Pg例 4 改编 某动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=a l o g 3（x+l）,设这种动物第2年
5、有 1 0 0 只，则到第8 年繁殖到 只.（三）易错易混4.（折线图识别不清）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（）9080706050403020100A.收入最高值与收入最低值的比是3：1B .结余最高的月份是7 月C.1 至 2月份的收入的变化率与4 至 5 月份的收入的变化率相同D.前 6个月的平均收入为40 万元5.（对困救增长速度认识不请）已知g（x）2x,h（x）=os2X,当x G（4,+8）时,对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.ft.x)g(x)h(x)B.g(x)fix)h(x)C.g(x)/z(x)次 r)D.
6、fi.x)h(x)g(x)(四)走进高考6.2 0 2 1 全国甲卷理 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数 据 V满足L=5+l g V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为 V 芯七125 9)()A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6关键能力考点突破掌握类题通法考点一利用函数的图象刻画实际问题 基础性1 .2 0 2 2 青岛质检改编 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2 0 1 4 年 1 月至2 0 1 6 年 1
7、 2 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图,A.B.C.D.月接待游客量逐月增加年接待游客量逐年增加各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月各年1 月至6月的月接待游客量相对于7月 至 1 2 月，波动性更小，变化比较平稳2 .为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量卬与时间f的关系为w=/w，用一窄詈的大小评价在 小句这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则下列结论不正确的是()A.在 小编这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B
8、.在这时亥I J，甲企业的污水治理能力比乙企业强C.在台时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D.甲企业在 0,3，小 切，打，旬这三段时间中,在 0,力 的污水治理能力最强3.y43.2.*1 *d i 2 3 4 5 6 7 1 2 0 2 2 武汉调研 为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前1 0 年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为 米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间年)与树高(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：y=2 -a；y=a+l o g2 f;尸与+；y=+中(其中。为正的常实数)，拟合 生 长 年 数 与 树 高 的 关 系 最 好 的 是(填写序
9、号)，估计该树生长8年后的树高为 米.反思感悟判断实际问题中两变量呈现某种变化趋势的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.考 点 二 应用所给函数模型解决实际问题 综合性|例1 2 0 2 0 山 东卷 基本再生数R)与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：&)=e
10、”描述累计感染病例数/随时间f(单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R o,T 近似满足R o=1+有学者基于已有数据估计出R o=3.2 8,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(I n2 A=0 6 9)()A.1.2 天 B.1.8 天C.2.5 天 D.3.5 天反思感悟求解已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检脸.【对点训练】2020全国HI卷 Logistic模型是常用数学模型之一，可应
11、用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/（/的单位：天）的 Logistic模型：/=,其 中 K 为最大确诊病例数 当/Q*）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则广约为(In 19七3)()A.60 B.63C.66 D.69考点三构建函数模型的实际问题 综合性角 度 1构建二次函数模型 例2 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售100元征税R 元），若每年销售量为（30-|町 万 件，要使附加税不少于128万元，则 R 的取值范围是（）A.4,8 B.6,10C.4%,8%D.6%,10%角度2构建指数（对数）型函数模型
12、例3（1）2022青岛检测 一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有;的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要的年数是（）A.6 B.5C.4 D.3（2）2022唐山联考 尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为1gE=4.8+1.5M.已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约10口 焦耳，试确定该次地震的类型；2008年
13、汶川地震为里氏8 级，2011年日本地震为里氏9 级，问：2011年 H本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？（取g=3.2）角度3分段函数模型 例 4 某旅游区为了提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有5 0 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日1 1 5 元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1 元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金M元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用），（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费
14、用后得到的部分）.（1）求函数y=7（x）的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的I I 租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？听课笔记：反 思 感 悟（1）指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.（2）分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一块，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.【对点训练】1 .某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车，在 A
15、地的销售利润（单位：万元）为 y i=4.1 xO.l f,在 8地的销售利润（单位：万元）为”=2%,其中x 为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售1 6 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）A.1 0.5 万元 B.1 1 万元C.4 3 万元 D.4 3.0 2 5 万元2.2 0 2 2 贵阳调研 一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是1 0 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的;，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的枣.42（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？3.提高
16、过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度。（单位：千米/小时）是车流密度式单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到 200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米卜时.研究表明：当 20WxW200时，车流速度o 是车流密度x 的一次函数.（1）当 0WxW200时，求函数o（x）的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时y（x）=x-o（x）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）微专题。实际问题中的数学模型数学建模是对现实问题进行数学抽
17、象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.例 2020江苏卷某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线上，桥 4 8 与平行，。0,为铅垂线（。，在 A 8 上）.经测量，左侧曲线AO上任一点。到M N的距离加（米）与D到 0 0,的距离a（米）之间满足关系式加=2“2；右侧曲线B O上任一点F到M N的距离阳 米）与F到 0 0,的距离伏米）之间满足关系式h2=一2 3+66.已知点B到800。0,的距离为40 米.（1
18、）求桥A 8的长度；计划在谷底两侧建造平行于0 0,的桥墩C D和E F,且 CE为 80米，其中C,E 在 AB上，（不包括端点）.桥 墩 E F 每米造价四万元），桥 墩 CQ每米造价主（万元）伏 0）,问。上为多少米时，桥墩CQ与E F的总造价最低？解析：（1）如图，设 4 4”BBi,CD,E Q 都与MN垂直，A i,囱，D,Q 是相应垂足.由条件知，当。8=40 时，881=2-X 403+6X40=1 6 0,则 4 4 尸 160.800由工0/2=1 6 0,得。/=8 0,所以 A8=OA+03=80+40=120(米)，所以桥 AB 的长40度 为 120米.(2)以 O
19、 为原点，0。1为y 轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)，设尸(x,y2),xW(0,4 0),则 以=一 二-+6么 EFnlG O-yzulG O+J-A-G x.因为 C E=8 0,所以 OC=80 x.800 800设。(x-80,y i),则力=总(80一以，所以CD=160一丫 尸 一 一 工 户 一 审+以.记桥墩CD 和 E F 的总造价为贝x),则段)=w160+六/-6工)+|A:(-x2+4x)=(焉-总x2+160)(0 x40),所以小)=碓 汕2 a)=秦-20),令/(x)=0,则x=2 0,则fix),F(x)随x 的变化情况如图所示.X(0,20)20(
20、20,40)/(X)0+fix)单调递减极小值单调递增所以当x=2 0 时，./U)取得最小值.所以当0 石为 20 米时，桥墩C。和 E尸的总造价最低.名 师 点 评 建 立 函数模型应把握的三个关口(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口；(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题.变式训练 2022.山东济宁测试 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某
21、农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入尸、种黄瓜的年收入Q与投入(单位：万元)满足P=80+4岳,Q=%+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元)，每年两个大棚的总收益为兀0(单位：万元).求450)的值；(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益人x)最大？第九节函数模型及其应用积累必备知识2.递 增 递 增 y 轴x 轴.、1.答案：x(2)X(3)X2.解析：利润 L(X)=20X-C(X)=-*X1 8)2+I4 2,当 x=18 时，L(x)有最大值.答
22、案：183.解析：依题意知 alog33=100,a=100.当 x=8 时，y=100log39=200.答案：2004.解析：由题图可知，收入最高值为9 0 万元，收入最低值为3 0 万元，其比是3：1,故 A 正确；由题图可知，7 月份的结余最高，为 8020=60(万元)，故 B 正确；由题图可知，1 至 2 月份的收入的变化率与4 至 5 月份的收入的变化率相同，故 C 正确；由题图可知，前 6 个月的平均收入为工X(40+60+30+30+50+60)=45(万元)，故 D 错误.6答案：D5.解析：4 时，2X In 22x-,xln2故三个函数的增长速度为g(x)J(x)h(x
23、).答案：B6.解析：由 L=5+1 g V,当 A=4.9 时，lg V=-0.1,111则 V=10 01=10-w=-0.8.1V10 1.259答案：c提升关键能力考点一1 .解析：由题图可知，2 0 1 4 年 8月到9月的月接待游客量在减少，则 A选项错误，其余全部正确.答案：A2 .解析：一 华 表示在出，加上割线斜率的相反数，一 竿 越大治理能力越强.对D a D a于 A,在口，勿这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于B,要比较f 2 时刻的污水治理能力，即看在f 2 时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能
24、力越强，故 在 时 刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于C,在 f 3 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于D,甲在 力，句这段时间内的污水治理能力最强，错误.答案：D3 .解析：由散点图的走势，知模型不合适.曲线过点(4,则后三个模型的解析式分别为+l o g2/；y=?+1；y=V i +：,当f=l 时，代入中，得 y=/与图不符，易知拟合最好的是.将 1=8 代入式，得y=；+l o g 28=(米).答 案:y考点二例 1 解析：；R o=l+r 7,，3.28=l+6r,.,.r=0 38,p(ti)=e 0.38ti,若 1仕 2)=e 8B
25、tz,则e O38(t2-ti)=2,0.38Q 2h)=l n 2P o.6 9,介一/产 1.8,选 B.(1 2)=2I(tJ,答案：B对点训练解析：)=i+e-3)=0 9 5 K,整理可得e 23(t*-53)=9,两边取自然对数得0.23Q*-53)=l n 19七3,解得 七6 6,故选C.答案：C考点三例 2解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，需(30-|R)X 160 X 7?%128,整理得 R 21 2 R+3 2 W 0,解得 4 WRW8,即 R C 4,8.答案：A例 3解析：(1)设这种放射性物质最初的质量为1,经过x(x W N)年后，剩余量是y,则有
26、尸 削依题意得G)N 总则 2然 2 1 0 0,解得xN4.所以至少需要的年数是4.(2)该次地震释放能量约io n 焦耳，即 E=l()i2代 入 怆=4.8+1.5 M,化简得M=Igl01 2-4.8 12-4.8.门-=-=4.8.1.5 1.5因为4.84.7,所以该次地震为“破坏性地震”.设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为与，2.由题意知，1g 0=4.8+1.5X 8=16.8,1g 2=4.8+1.5X9=18.3,即臼=10脩.8,氏=1()|&3,所以占=1 0=1 0A国，取同=3.2,得襄=32.故 2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的
27、32倍.答案：(1)C(2)见解析例 4 解析：(1)当 xW6 时，y=50 x-115,令 50 x-115 0,解得 x2.3,为整数，.3WXW6.当 x6 时，y=503(x-6)x115=-3 f+6 8 X 115.令一3 f+6 8 x-1 1 5 0,有 3-68x+1150,结合 x 为整数得 6rW20.50 x-115(3 x 6,x G Z)故)=r /，、3x2+68x 115(6 x 185,，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.对点训练1.解析：设在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在8 地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y=4.l
28、x0.lf+2(16x)=-0.lx2+2.1x+32=-0.1(X-10.5)2+0.1 X10.52+32.因为xe0,16且X C N,所以当x=1 0 或 11时，总利润取得最大值43万元.答案：C2.解析：设每年砍伐面积的百分比为x(0 xl),则 即(1 _ 严=之，1解得x=i-G/1故每年砍伐面积的百分比为1 (3 行设经过m 年剩余面积为原来的当，则 a(-x)n=a,把 x=l G)而代入,即=9，解得m 5.故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年.3.解析：(1)由题意，当 0WxW20 时，o(x)=60；当 20aW200 时，设 v(x)=ax+b,宙上口200a+b=0,再由已知得(20a+b=60,故函数o(x)的表达式为60,0 x 20,v(x)-i,、i(2 0 0-x),20 x 200.(2)依题意及(1)可得60 x,0 x 20,fix)i；x(200-x),20 x 20,故式 x)=3+4 岳+250(20WxW 180).令 t=瓜,则尸=x,fG2V5,6V5,贝 U y=T+4 扬+250=-i(r-8 V 2)2+282,当，=8近，即x=128时，y 取得最大值282.所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元.