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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。y2 41.已 知 双 曲 线 二-二=1的一条渐近线方程为y=九，则双曲线的离心率为（）a b 34 5 八 5 3A.B.C.-D.一3 3 4 22.已知等差数列 4 的前项和为S，若4=12,S s=9 0,则等差数列%公差（）3A.
2、2 B.-C.3 D.423.设 函 数/（）=111（%-1）的定义域为0,命题P：V xeD,的否定是（）A.Vxe D,/(x)xB.3x0 G /(闻)W%oC.Y x史 D,/(x)xD.3-0 e-0 /(%)/4.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱.下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（）57D.675.函数/（x）=xcos2W的图象
3、可能为（）A.|z|=V 5 B.z 的共轨复数为|+giC.z 的实部与虚部之和为1 D.z 在复平面内的对应点位于第一象限7 .设 加，是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若 a ，m u a ,u,贝!B .若。6，m u a ,n u/3,贝！加 C.若?J _，m u a ,n(=/?,则 a-L 尸D.若?_ L a,ml I n nll/3,则 a _ L 分8 .设集合A =x|x 0,B =x|l o g2(3 x -1)09 .已知符号函数s gx=l),贝!j()-1,x 而=6,设AABC、A P B C.APC4、AE46的面积分别为S
4、、5、S2、S3,记2 =4 （i=l,2,3）,则 取 到 最 大 值S时，2 x+y的 值 为（）3 3A.-1 B.1 C.D.-2 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.某种圆柱形的如罐的容积为128个立方单位，当 它 的 底 面 半 径 和 高 的 比 值 为.时，可使得所用材料最省.14.过抛物线C：V=2px（p 0）的焦点F且倾斜角为锐角的直线/与C交于A,8两点，过线段A 5的中点N且垂直于/的直线与C的准线交于点M,若=则/的 斜 率 为.15.在直三棱柱A B C-A 4 G内有一个与其各面都相切的球同时在三棱柱A B C-A 4 G外有一个外接球。2.
5、若A B L B C,A B =3,BC=4,则球。2的表面积为16.已知在等差数列%中，%=17,q+%+%=15,前项和为S”，则Sb=.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。Q.-+/=/17.（12分）如图，已知 椭 圆 4-,户 为其右焦点，直线=6+”，的与椭圆交于R x .。任?卬两点,点4 3在/上，且满足|4|=m Q B =QF,OA=|。8.（点4 R 0 3从上到下依次排列）试用表示I P F I:()证明：原点。到直线I的距离为定值.1 8.(1 2 分)在 AABC中，角 A、B、。所对的边分别为。、b、c,且 c o s 2 C+3 c o
6、 s c 1 =0.(1)求角C的大小；(2)若 b=3a,A B C 的面积为 G s i n A s i n 3 ,求 s i n A 及 c 的值.1 9.(1 2 分)已 知 点 A为圆C：(x 丁+丁 2=1 上的动点，。为坐标原点，过户(0,4)作直线。4的 垂 线(当 A、0重合时，直 线 约 定 为 y轴)，垂 足 为 以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点M的轨迹的极坐标方程；r(2)乃、OA直线/的极坐标方程为p s i n 6 +工=4,连接Q4并延长交/于3,求 舄 的 最 大 值.k 3)Oti20.(12 分)函 数/(x)=o x l n(x+l)
7、,g(x)=s i n x,且/(x).O 恒成立.(1)求实数。的集合M;(2)当aeM时，判断了(x)图象与g(x)图象的交点个数，并证明.(参考数据：l n 2a 0.69,e 丁。1.7 7)21.(12分)如 图，两座建筑物A3,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10，”和20/n,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角N C 4Z)=60。.(1)求 8c的长度；(2)在 线 段 上 取 一 点 尸(点 尸 与 点 3,C不重合)，从点尸看这两座建筑物的视角分别为N A P B=a,NDPC=0,问点尸在何处时，a+夕最小？22.(10 分)已知函数/(x
8、)=l n(x +l)+|d.(1)当a =T 时，求“X)的单调区间；(2)若函数/(x)有两个极值点占，x2,且不 七，/(x)为 J(x)的导函数，设 m=工2)+土 兽 (玉+1),8求加的取值范围，并求?取到最小值时所对应的。的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】由题意得出与的值，进而利用离心率公式e=,1 +可求得该双曲线的离心率.c 厂 J【详解】双曲线二 一 马=1 的渐近线方程为丫=2，由题意可得与=9=a2 b2 a a2 3)9因此，该双曲线的离心率为e=故选：B.【点睛】本题
9、考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e=j+(e基础题.2.C【解析】根据等差数列的求和公式即可得出.【详解】1计算较为方便，考查计算能力，属于V 31=12,Ss=90,5x 4.,.5x12+-d=90,2解得d=l.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.3.D【解析】根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为P：是全称命题，所以其否定是特称命题，即大/伍)毛.故选：D【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4.D【解析】由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比，
10、即可求解.【详解】由题,窗花的面积为122-4x 1=140淇中小正方形的面积为5x 4=20,所以所求概率下=*402 0 g故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.5.C【解析】先根据/(X)是奇函数，排除A,B,再取特殊值验证求解.【详解】因为 f(r)-x c o s 2T =-x c o s 2 =-/(x),所以/(x)是奇函数，故排除A,B,又/(l)=c o s 2 0,故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6.D【解析】1 3利用复数的四则运算，求得z=+i,在根据复数的模，复数与共扼复数的概念等即可得到结论.2 2
11、【详解】由题意z贝!l|z|2+i (2+i)(l +i)l +3 i1 3 .+z2 21-z(l-z)(l +z)1-z2Vio-1 3,z 的共飘复数为z=i2 2复数z 的实部与虚部之和为2,z在复平面内对应点位于第一象限，故选D.【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a +b i(a/e R)的 实 部 为 虚 部 为 模 为+8 2、对应点为(,加、共趣为a-6.7.D【解析】试题分析：.加 _ L c,m
12、H n,:.n La,n/3,:.a D.考点：点线面的位置关系.8.D【解析】根据题意，求出集合A,进而求出集合A U8和 A f l B,分析选项即可得到答案.【详解】根据题意，B =x|l o g2(3 x-1)0 时，x /(ax),则 g (x)=f(x)-f(a x)0,此时 s g”g (x)=1,当 x=0 时，x=a x,则有/(x)=/(a x,则有/(x)f(a x),则 g (x)=f(x)-f(a x)将以上两式相加可得2而+方+定=2（而+即）=6,所以 PX+P 月+P3=6,2 2又已知 PA-xPB+yPC=0,根据平面向量基本定理可得x=y=g，1 3从而2
13、x+y=l+-=-.2 2故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3.-2【解析】设圆柱的高为，底面半径为，根据容积为128%个立方单位可得128=乃/人，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值.【详解】设圆柱的高为，底面半径为.该圆柱形的如罐的容积为128%个立方单位128128%=Tirh，即 =该圆柱形的表面积为S=271rl+271rh=2乃产+2r-=271rL+.r r令g（尸）=2 r +-,贝!|g（厂）=4刀
14、r-.令g（r）0,得r 4；令g 0,得0r/得到：2-8km 4nf-4(4屋+。/+8而7 K +加-4=0,故 4+1#+1,.4小4/+，疝x2.“二 24k+1,，3+歹4%(匕+为)+2加 1-2kml a d =1。乩 故 匕+为 为+&得 到”F +i,以1 -1 1,故昌卜-=2 -y x;同理：J T P k-x J =2 -与2,由已知得：门 勺 X?X x2 x4fJ/+屋|(与+七)-(弋+为)|=y|x2-xj?2 v 7 2)4k+1 k +1 4k +1,化简得到m =k+I.Iwl故原点。到直线/的距离为 为定值.【点睛】本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题
15、，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.(1)C =(2)s i n A =3 14【解析】(1)由 c o s 2 C =2 c o s2 C1 代入c o s 2 C +3c o s C-1=0 中计算即可;(2)由余弦定理可得。=血4,所以s i n A=，s i n C,由S 2 8 c =1a 8 s i n C =J s i n As i n 8,变形即可得到答案.77 2【详解】(1)因为c o s 2 C +3c o s c 1=0,可得：2 c o s*C +3c o s c-2 =0,/.cos C=,或 cosC=-2(舍)，V 0 C zr,2：.C =.3 由
16、余 弦 定 理 Y+一2Z，cosC=3a2+2a2=7a2,得 c=H a所以 sin C=币sin A，故 sin A=-=sin C=,V7 14又 S/ABC=；sin C=Gsin Asin 6,ZC=y所以，=4,sin A sinB(sinCj所以c=V3.【点睛】本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19.(1)=4sin8；(2)8【解析】(1)设M的极坐标为(夕,8),在AO P M中，有o=4sin。，即可得结果；(2)设射线Q4：9=a,圆C的极坐标方程为。=2cos。，联立两个方程，可 求 出 联 立/?sin(e+工=4,.
17、|OA|1 (兀、乖)I 3J 可得|。回，则 计 算 可 得 曷 =sin 2a+1-,利用三角函数的性质可得最值.0=a【详解】(1)设M的极坐标为(夕,。)，在中，有夕=4sin。，点M的轨迹的极坐标方程为P=4sin 0；(71 71(2)设射线。4：e=a,a e ,圆C的极坐标方程为。=2cos6,由“Q=2COS。.得：Q 4=g=2cosa,0-a由.J0sm 0+-5)0=a44得。叱sin(a+；2 cos a-4-sin a+工I 31=cos a sin27 1a+一31 .(.7 7 1 1.兀 cos a sin sin a cos +cos a sin 7 1si
18、n+4s)4 4=sin 2a+-(cos 2a+1)8 8 v)1 .7万1=sin 2aH 一 +V38,Qa E7 1 7 15 万243332兀 c 7147t;-2a+3 3 3 当 2a+?g,即。时 陶=|0A|2+出 忌的最大值为力”.0B 8【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.20.(1)1；(2)2个,证明见解析【解析】(1)要，(x).O恒成立，只要/(x)的最小值大于或等于零即可，所以只要讨论求解看了(X)是否有最小值;(2)将/3)图像与g(x)图像的交点个数转化为方程f(x)=g(x)实数解的个数问题，然后构造函数以 幻=/(X)-g
19、(x),再利用导数讨论此函数零点的个数.【详解】(1)f(x)的定义域为(-1,+8),因为/(幻=。一一工,X+11 当4,0时，八 无)0,/。)在土(0，+8)上单调递减，3xe(0,+8)时，使得/(x)0 时，由 尸(幻 0,W.V-1,所以f(x)在(一1,1 上单调递减，a a a J在1,+s j 上单调递增，即有7mh i(x)=/1：-j=l -a +l n a,由/(x).O 恒成立，所以1 一a +l n a.O 恒成立,1 -a令/()=l-+l n aa 0),h(a)=-l +=-,a a若 0 a(a)0,(a)l,(a)O,(a)(l)=O；而 a =l 时,
20、h(a)=O,要使 1-a +l n a.O 恒成立，故 a e 1.(2)原问题转化为方程/(x)=g(x)实根个数问题，当。=1时，“X)图象与g(x)图象有且仅有2 个交点，理由如下:由/(x)=g(x),即 x-l n(x +l)s in x =O ,令 e(x)=x-l n(x +l)-s in x ,因为。(0)=0,所以x =0是。(x)=0 的一根；(px)=1-co s x,x+11。当-l x 0 时，1-彳(0,co s x)0,所以“。)0(0)=0,即(x)=0 在(-1,0)上无实根;20当0尤 0 ,(x +1)-则 8 (x)在(0,3)上单调递递增，又“27T
21、+20,(0)=-1 0,所以0 (x)=0 在(0,3)上有唯一实根.,xoe l 0,y,1,且满足1-%+1当0%,不时，（P（X）,0,/（元）在（0,%上单调递减，此时。0）0（0）=0,0。）=0在（）,叫上无实根；当x 0 x 0,0（幻 在（小,3）上单调递增，。（/）。图冗 f.n 1 1=-1 I n I-1 =I n71e2-+12222 ,、0,(p(x)=x-l n(l +%)-s in x =x-l n(l +x)-l +(l-s in x)0,所以0(x)=0在 3,+8)上无实根.综 合1。，2。，3。，故。（幻=0有两个实根，即f（x）图象与g（x）图象有且仅
22、有2个交点.【点睛】此题考查不等式恒成立问题、函数与方程的转化思想，考查导数的运用，属于较难题.2 1.（1）I 0 V 3w;（2）当 8 P为f=2 0夜-10后时，/?取得最小值.【解析】（1）作 AE _ L C ,垂足为 E,则 C E=10,D E=1 0,设 8 C=x,根据 S”N C 4 O =S（2 N C 4 ）得到V 3x2-2 0 x-10 0 7 3=0,解得答案.（2）设 8 P=f,则 CP=1 0 6T（0 1 0 G）,故 s（a +/?）=I。呼+”-，设/）=?才+10 后-2 0 0 -*+1 0 4 _ 2 0 0求导得到函数单调性，得到最值.【详解
23、】（1）作 AE _ L C Z）,垂足为 E,则 C E=10,D E=1 0,设 3C=x,2 0则 tanZCA D=S（2 N C 4 E）=-叫C=_ 濡=6 7-tan2 C A E,10 0l、l l 10化简得Gf 一20X-100G =0,解之得，X=1（）6或 兀=一 耳（舍），（2）设 8/=，则 c p=i o6f（oyi oG）,10 2 0./，而+0G_ 0 0 6 +1S _ 0（10用,“a）一 I1。2 0 -_ _t2+-2 0 0 -Z2+1 0 -2 0 0，t 10 月 T2,/、i o 6+t/=入20一50 0设“尸 一 产+10新 一2 0 0
24、 ,卜 人10 6 2 0 0广令f =0,因为O V f V l o G，得f =2 0夜-l o g,当fe（0,2 0夜 一10百）时，f 0,/（z）是增函数，所以，当f =2 0夜 一1 0 6时，f 取得最小值，即（+#）取得最小值，因为一产+10百.一2 0 0 0恒成立，所以/Q）0,所以加（a+g）0,a +/?e y,万,因 为 尸5 x在 g,%上是增函数，所以当，=2 0逝-1 0 6时，a+4取得最小值.【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.2 2.（1）单调递增区间为1-1,杏 工），单调递减区间为（与 工,+8 （2）加
25、的取值范围是；+I n 2）；对应的。的值为g.【解析】(1)当。=一1时，求了(X)的导数可得函数的单调区间；(2)若函数/(X)有两个极值点苍，x2,且 -l,当 a=-1 时，/(X)=lnx+1)-g/,1 无 2 v-1所以：r*)=U：,X+l X+1r(x)=0 时，2当x e(_l,与)时，/。)0,当x e(与L +3 时，f(x)-,1(x)=-*-+ar=+ay+L,x+1 x+l由条件得0(x)=加+狈+1=0有两根：再，X”满足一 1%0,可得：avO 或 a 4；由。夕(-1)0,可得：a 0.a 4,:函 数。(x)的对称轴为X=g,-1玉 力（1）,所以/z（x）e I；+例，1 一历2）；即2的取值范围是：；+历:，1-/2）；33X=-7,所以有 X=*2+1 =7，4 4n l1 1 16贝 1|尤 2=_:，a=T 5/4 x2x2+）3所以当加取到最小值时所对应的a 的值为巧；【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于难题.