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1、一、选择题：（每小题5 分，计 50分）历 届 离 考 中 的“导 致”试 题 精 选（文 科 自 我 测 试）题号12345678910答案1.(2 005全国卷I 文)函数/(x)=/+ax2+3 x -9,已知f(x)在 x =3时取得极值，则a=()(A)2 (B)3 (C)4(D)52.(2 008 海南、宁夏文)设/(x)=x l n x,若/(%)=2,则/=()2In 2 1 cA.e2 B.e C.D.In 223.(2 005广 东)函数/(x)=/3/+1 是减函数的区间为()A.(2,+oo)B.(-oo,2)C.(-oo,0)D.(0,2)4.(2 008 安 徽 文
2、)设函数/(x)=2 x +-l(x 0 时,F(x)0,g(x)0,贝 ij x 0,g(x)0 B f (x)0,g(x)0C f (x)0 D f (x)0,g5(x)C14.(2008北 京 文)如图，函数段)的图象是折线段ABC,其中A,8,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则用(0)尸 _ _ _ _ _ _;函数./(X)在x=l 处的导数/(1)=_t IJ 4 J6,7三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)15.(2005北京理科、文 科)已知函数_/(x)=-x3+3x2+9x+a.(I)求4 0的单调递减区间；(I I)若段)在区间-
3、2,2上的最大值为2 0,求它在该区间上的最小值.16.(2006 安徽文)设函数 X)=X3+/X2+CX(X GR),已知 g(x)=/(x)-/(x)是奇函数。(1)求b、c的值。(H)求g(x)的单调区间与极值。.(2005福 建 文 科)已知函数/(x)=x 3+/?x2+cx+d的图象过点p(0,2),且在点M(-1,/(-1)处的切线方程为6 x-y +7=0.(I)求函数y=/(x)的解析式；(I I)求函数y=/(x)的单调区间.(2007重 庆 文)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最
4、大体积是多少？19.(2008 全国 H卷 文)设a w R ,函数/(x)=o?一 3x?.(I)若x=2是函数y=/(x)的极值点，求a的值；(H)若函数g(x)=/(x)+/(x),x e 0,2,在x=0处取得最大值,求a的取值范围.20.(2008湖北文)已知函数/(x)=%3一加21+1 (机为常数，且加 0)有极大值9.(I)求机的值；(I I)若斜率为-5的直线是曲线y=f x 的切线，求此直线方程.历 届 高 考 中 的“导 数”试 题 精 选(文 科 自 我 测 试)参 考 答 案选择题：(每小题5 分，计 50分)题号12345678910答案DBDABACABC二、填空
5、题：(每小题5 分，计 20分)11.5 x+y-2 =0；I2.-；13.32；14.2,-23 _ -三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)15.解：(Il fx)=3 x2+6 x+9.令尸(x)0,解得x3,所以函数./(x)的单调递减区间为(-8,1),(3,+=).(I I)因为,/(-2)=8+1218+0=2+。，式2)=-8+12+18+。=22+小所以八2)刁(一2).因 为 在(-1,3)上尸(x)0,所以八外在-1,2 上单调递增,又由于兀0在 2,1 上单调递减，因此42)和;(一 1)分别是人劝在区间-2,2 上的最大值和最小值，于 是 有 22
6、+a2 0,解 得 a 2.故犬_ )=/+3/+%:-2,因此八-1)=1 +3-9-2=-7,即函数Ax)在区间-2,2 上的最小值为一7.16.解(I)V/(x)=x3+bx2+c x,/z(x)=3x2+2bx+c 从而g(x)=/(x)/(x)=x3+bx2+cx-(3 x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c 是，-个奇函数，所以g(0)=0 得 c=0,山奇函数定义得。=3；(H)由(I)知g(x)=x36 x,从而g(x)=3 f 6,由此可知，(-oo,-V 2)和(72,+oo)是函数g(x)是单调递增区间；(-0,0)是函数g(x)是单调递减区间；g(
7、x)在x=一痣 时，取得极大值，极大值为4近，g(x)在x=近 时，取得极小值，极小值为 4 0。17.解：()由/(x Q d+b f+c x +d 的图象过点 P(0,2),d=2 知，所以/(%)=x3+bx2+CX+2,f (x)=3x?+2bx+c,由在(-1,(-1)处的切线方程是 6x-y+7=0,知f3-2 b +c=6,门 b-c =0,/口6 n1 )+7=0,即(1)=1,j (-1)=6,/.即 4 解得 b=c=-3.1 +/7 c+2=1,2b c=-3,故所求的解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2,(II)fr(X)=3XL6X-3,令 3X2-6X-3=0
8、即 xJ2xl=0,解得 X|=l-V2,X2=H-V2,当 x l+0 时，/(x)0;当 1-+血 时，/f(x)0.f(x)=x3-3x2-3x+2在(1+夜,+8)内是增函数，在(一 8,i一血)内是增函数，在(i一垃+夜)内是减函数.18.解：设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为/z =曳/=4.5-3 x(m)故长方体的体积为丫(幻=2，(4.5-3 幻=9 2-6/(1113)(0 x 0；当 I V x V 时，Vf(x)0,3故在x=l处 V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(X)的最大值。从而最大体积K=V (x)=9 X 12-6 X I1(nr),此时长方
9、体的长为2 m,高 为 1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为 1 m,高 为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3。19.解：(I)f(x)-3 a x2-6 x-3 x(a x 2).因为x=2 是函数y =/(x)的极值点，所 以/(2)=0,即6(2。-2)=0,因此a=l.经验证，当a=l时，x=2 是函数y =/(x)的极值点.(II)由题设，g(x)=a x3+3(a-1)x2-6x.g(0)=0当g(x)在区间 0,2上的最大值为g(0)时，4?+3(。1)/一6%0对 切 xe(0,2 都成立，解法一：即a 4学电对一切x e(0,2 都 成 立.令夕(x)=
10、与 土 立，xe(0,2,则x I 3x x I0 4 *(X)m i n由(p x)=-3(：+2)：6 0 ,可知矶x)=6 在 x e(0,2上单调递减，I 3 )x I6(6-所以。(刈1.=。(2)=-故 a 的取值范围是-0 0,-5I 5 _解 法:：也即a x2+3(a-l)x-6 0 对一切x e(0,2 都成立，(1)当 a=0 时，-3 x-6 0 在 xe(0,2 上成立；(2)当a w 0时，抛物线力(x)=ax2+3(a l)x 6的对称轴为x=%二2a当 a 0 时，_ 3(a T)0 有 h(0)=-6 0,所以h(x)在(0,+8)上单调递减，h(x)0 时，
11、因为h(0)=-6 V0,所以要使h(x)WO在x G(0,2 上恒成立，只需h(2)W O 成立即可，解得a65 ；综上，a 的取值范围为(一8,.2。解(I)小)=3/+2 广 八 他 n)(3 x-m 尸。，则-f或 二 孙当x 变化时，八x)与於)的变化情况如下表：X（_ 8,一?）-m31m31(一加，+8)3f(-v)十00+/(x)极大值极小值尸从而可知，当下一加时，函数凡r)取得极大值9,即大一m)=毋+?3+m3+1=9,；?=2.(11)由(I)知，/)=丁+2/一以+1,I 1 68依题意知(x)=3x2+4x4=5,，x=1 或 x=一又八一1)=6,)=,所以切线方程
12、为y-6 5(x+1),或 y券=-5(x+),即 5 x+y-l=0,或 135x+27y-23=0.一、选择题：(每小题5分，计50分)历 届 高 考 中 的“导 致”试 题 精 选(理 科 自 我 测 试)题号12345678910答案1.(2004湖 北 理 科)函 数/(幻=。/+1有 极 值 的 充 要 条 件 是()(A)aQ (B)a 0 (C)a 0 (D)a 3 B.5.(20 0 1江西、山西、(A)极小值一 1,(C)极小值-2,a D,a 3 3天津理科)函数y =l +3 x-工 有()极大值1 (B)极小值一2,极大值3极大值2(D)极小值-1,极大值36.(20
13、 0 4 湖南理科)设 f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当 x 0.且g(3)=0,.则不等式 f(x)g(x)=白、在点(4 e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.-e2 B.4 e2 C.2 e2 D.e228.(2 0 0 8 湖北理)若心)=一3/+/?皿犬+2)在(-1,+8)上是减函数，则 b的取值范围是()A.-l,+B.(-1,+8)C.(-o o,-l D.(-8,-1)9.(2 0 0 5 江西理科)己知函数y =4 (x)的图像如右图所示(其中广(x)是函数/(x)的 导 函 数)，下面四个图象中y =/(x)的图象大致是()1 0.(2
14、 0 0 0 江西、天津理科)右图中阴影部分的面积是()(A)243(B)9-2 百 (C)(D)3 3二、填空题：(每小题5分，计 2 0 分)1 1.(2 0 0 7湖 北 文)已知函数y =/(x)的图象在M(1,/(1)处的切线方程是)，=gx+2,l)-f(l)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 2.(2 0 0 7湖 南 理)函数/(x)=1 2 x-x 3 在区间-3,3 上 的 最 小 值 是-1 3.(2 0 0 8 全国I I 卷理)设曲线y =*在点(0,1)处的切线与直线x +2 y +1 =0垂直，则a =1 4.(2 0 0 6湖北文)半径
15、为r的圆的面积S(r)=周长C(r)=2;r r,若将r 看作(0,+)上的变量，则(乃4 2)=2%，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作（0,+8）上的变量，请你写出类似于的式子：式可以用语言叙述为：o三、解答题：（1 5,1 6小题各1 2 分,其余各小题各1 4 分）1 5.（2 0 0 4 重庆文）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：p =2 4 2 0 0-x 2,且生产*吨的成木为R=5 0 0 0 0+2 0 0 x（元）。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利
16、润是多少？（利润=收入一成本）1 6.（2 0 0 8 重庆文）设函数/（幻=3+2一9 3 一1（60）.若曲线）=/）的斜率最小的切线与直 线 1 2 x+y=6平行，求：（I）。的值；（I I ）函数凡r）的单调区间.1 7.（2 0 0 8 全 国 I 卷文、理）已知函数/（x）=1+%+1,q 6 R.（I ）讨论函数/（x）的单调区间；（I I）设函数/（X）在 区 间 内 是 减 函 数，求a 的取值范围.1 8.（2 0 0 4 浙江理）设曲线y =e r（x N 0）在点M（t,e-）处的切线/与x 轴 y轴所围成的三角形面积为S （t）（I ）求切线/的方程；（I I）求
17、S （t）的最大值。1 9.（2 0 0 7 海南、宁夏文）设函数/（x）=l n（2 x +3）+x 2-31（I ）讨论/（X）的单调性；（I I）求/（X）在区间-工上的最大值和最小值.4 42 0.(2 0 0 7 安徽理)设 a2 0,/(x)=x-l-l n2x+2 a I n x (x 0).(I )令 尸(x)=xff(x),讨论尸(x)在(0.+8)内的单调性并求极值;(H)求证：当 x l 时，恒有 x l n 2 x-2 al n x+l.历 届 高 考 中 的“导 致”试 题 精 选（理 科 自 我 测 试）参 考 答 案一、选择题：（每小题5分，计 5 0分）题号12
18、345678910答案CACBDDDCCC二、填空题：（每小题5分，计 2 0分）11.3;12.-1 6；13.2 ；14.仁 成 3）=4 成 2,球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题：（15,16 小题各12 分,其余各小题各14分）15.解：每月生产x吨时的利润为/*）=（2 42 00-1/口一（5 0000+2 00 x）=-x3+2 4000 x-5 0000（x 0）由/（X）=-x2+2 4000=0解 得 匹=2 00,x2=2 00（舍去）.因/(x)在 0,+8)内只有一个点x=2 00使/=。，故它就是最大值点，且最大值为：/(2 00)=工(2 00)3+
19、2 4000 x2 00 5 0000=315 0000(元)答：每月生产2 00吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.16 .解：(I )因为/(x)=x2+a x2 9 x i,所以2f x)=3 x2+2 a x-9=3(x-1)2-9-y.即当=-三 时，/(x)取 得 最 小 值-9-.因斜率最小的切线。12 x+y=6平行，即该切线的斜率为-12,所以一 9 =一12,即/=9.解得a=3,由题设a 0,故在(Y O,-1)上为增函数；当xe(-1,3)时，/口)0,故以幻在(3,+oo)上为增函数由此可见，函 婀(x)的单调递增区间为(田,-1)和(3,+8)；单调递减区间
20、为(-1,3).17 .解：(1)/(x)=x3+a x2+x+l 求导：f(x)=3 x2+2a x+当/W3时，AWO,_ f(x)2 0,/(x)在R 上 一 递 增当/3,/(x)=0求得两根为x=-a；-3即“X)在_ 8,土 五 三1 递增，递减，(士 近 三,+递增(2)要使的)在在区间(一|,)内是减函数，当且仅当，/(幻 0在 ,；)恒成立,由r(x)的图像可知，只需 0 0oo-2即733得解所以，a的取值范围 2,+8)。18.解:(I)因为f(x)=(e-x)=-e-x,所以切线/的斜率为e.故切线I 的方程为 y =-e-(x-t).即 e-x+y-(f +1)=0。
21、(I I )令 y=0 得 x=t+l,x=0 得 y=el(t+1)pX所以 S (t)=；(/+1。+1)=3。+1)2*从而 S(f)=g e T(l _ f)(l +f).当f e (0,1)时，S(f)0,当t e (1,+8)时,S)0；当-I c x v-时、f x)0.从而，/(x)分 别 在 区 间11-,+0 02单调增加，在区间(1,-g)单调减少.=l n 2 +L43 1(I I)由(I )知/(x)在 区 间 一一的最小值为一4 4143 9 7=l n-+-l n-2 16 211649l n2+l =i 1-l n 0.X X2 x-2故 F(x)=xf x)=
22、x-2 I n x+2a.x A 0,于是 F x)=1 =-,x A 0.x x列表如下:X(0,2)2(2,+8)F (x)-0+F(x)1极小值尸(2)t故 知 尸GJ在(0,2)内是减函数，在(2,+8)内是增函数，所以，在1=2处取得极小值F(2)=2-2 I n 2+2 a.(I I)证明:由知,尸(无)的极小值尸(2)=2-2 I n 2 +2 0.于是由上表知,对切X (0,+8),恒 有/=矿 A 0.从而当工A 0时，恒有r(x)A 0,故f(x)在(0,+oo)内单调增加.所以当 x A 1时，f(x)A /(I)=0,即x 1 I n?x+2 I n x A 0.故当尤
23、a 1时，恒有x a I n2 x-2 aI n x+l.x1.(2 010 海南高考理科T 3)曲 线.x+2在点(-1)处的切线方程为()(A)y=2 x+l (B)y=2x-(c)y=-2 x-3(D)y=-2 x 2【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.y=2【规 范 解 答】选A.因为。+2）2 ,所 以，在 点（一 LT）处 的 切 线 斜 率k=V|i2(1+2)22,所以，切线方程为y+l =2（x+l）,即 y=2 x+l,故选A2.（2 010 山东高考文科T 8）已知某生
24、产厂家的年利润丁（单位：万元）与年产量x （单y =-一+81 元 2 3 4位：万件）的函数关系式为 3 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量 为（）（A）1 3 万件（C）9 万件（B）l l 万件（D）7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选 C,=-+81,令）=0 得*=9 或*=-9（舍去），当x 0；当x 9时 y ,故当x =9 时函数有极大值，也是最大值，故选c.23.（2 01 0 山东高考理科 T 7）由曲线产X,尸丁 围成的封闭图形面积为（）1(A)1 2(
25、B)4_(C)37(D)1 2【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先求出曲线产丁，产 丁 的交点坐标，再利用定积分求面积2 3【规范解答】选 A,由题意得：曲线产X ,y=x 的交点坐标为（0,0）,（1,1）,故所求封闭图形的面积为“（X?八 d l x l-lxl=1-x )dx=3 41 2，故选A.44.(2 01 0 辽宁高考理科 T 1 0)已知点P在曲线y=e*+1 上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则。的取值范围是（)（A）/（B 后自称争3兀、1 万)(D)4【命题立意】本题考
26、查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域，即tan&的范围，再根据正切函数的性质求仁的范围。【规范解答】选D.4e+1-y，=*=_ _ _ =_ _ _ 4 _-4 _ 一e+m+i匹%2-2三2当且仅当/=,即x =0时“=”成 立。ex又V 0,;.-1分0。设 倾 斜 角 为a，则T 4 t a n a 0,3 TT又a 0,乃)，a 0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中 c N ,若a l=1 6,则al+a3+a5的值是【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
27、【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由)=,即可求得切线与x轴交点的横坐标。【规范解答】由y=x2(x0)得，了=2 x ,所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：一 蜡=2%(x-/),%_nx =当时，解得 2,4+1 ,%+。3+。5 =1 6 +4 +1 =2 1所以 2【答案】217.(2010 江苏高考 T 1 4)将边长为1m正三角形薄片沿 条平行于某边的直线剪成两块,c(梯形的周长产其中一块是梯形，记 梯 形 的 面 积，则S的最小值是 O【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问
28、题中的应用，以及等价转化思想。【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为X，然后用X分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示，利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为刀,S=(3-4(3-x)2，AFb9K0则:方法一：利用导数的方法求最小值。4(3-x)2 4(2X-6)-(1-X2)-(3-X)2-(-2X)S=S(土 耳-K-(2x-6)(l x2)(3 x)2.(2x)_ 4-2(3x-l)(x 3)二耳 (I .二耳 (1-x2)2S，(x)=O,0 xl,x=；当L用 时，S(x)0,递增;132也X=-故当 3忖，s的 最 小 值 是3。方法二：利用函数的方法求
29、最小值3-x =/,/e(2,3),-e(,)令，3 2,贝 小S_ J _ _ _4_-3-厂+6，-8 -3 _ 11 3 1 32 6,X -故当/8 3时，s的 最 小 值 是3。3 2 6【答案】3【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。8.(2010 陕西高考理科 T 1 3)从如图所示的长方形区域内任取一个“点M(x,y)，则 点M取自阴影部分的概率.为【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。【思路
30、点拨】由积分求出阴影部分的面积即可S即 的f 3 x2dx=x3|=1.【规范解答】阴影部分的面积为阴影 小 M 所 以 点 M 取自阴影部分的概豕为1-3答案9.（2010 海南 高 考 理 科 T13）设 y=f（x）为区间 0,1 上的连续函数，且恒有0f（x）Wl,可以用随机模拟方法近似计算积分I/,先产生两组（每组N 个）区间 0,1 上的均匀随机数 占 产 4和 X,%以,由此得到N个点（冷凹）（i=l,2,-,N），在数出其中满足乃 1 时，1 +x，得 k x2-01一 女-k所以在区间（L%）和（0，+8）上，尸（幻；在区间L）上，/V）0故/（X）得单调递增区间是，1 k）
31、和（0，+）,单调递减区间是（k ）【方法技巧】（1）=/（/）过（尤 0,/（/）的切线方程为 了一/（玉）=f（x（）（x*o）。（2）求单调区间时要在定义域内讨论/（X）内的正负。11.（2010 安徽高考文科 T20）设函数 x）=sinx-cosx+x+1,0 x 2兀,求函数“X）的单调区间与极值。【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】对函数/（X）求导，分析导数广（X）的符号情况，从而确定/（X）的单调区间和极值。【规范解答】解：由f （x）=sinx-cosx+x+l,0 x
32、2%,知f（x）=1 +&s in（x+2）4令 f（x）=0,从 面 s in（x+?）=得了=不，或X=当，当x变 化 时，f（x）,f（x）变 化 情 况 如 下 表：因此，由上表知f（x）的单调 递 增 区 间 是（0,苏 与（,271）,单 调 递 减 区 间 是（万,红）2 2X（0,左）万 崂T (THf(x)十0-0+/（X）极大值极小值极 小 值 为 f（红）=红，极 大 值 为 f 3）=万+22 2【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，简单易行，具体操作流程如下：（1）求导数/（外；（2）求方程/）二 的全部实根；（3）列表，检查
33、/（X）在方程f（x）二 的根左、右的值的符号；（4）判断单调区间和极值。/（%）=x3+h x2-cx+d/八、12.（20 10 北京高考文科 T 18）设定函数 3,且方程/（X）-9x =的两个根分别为1,4。（I ）当a=3且曲线y =x）过原点时，求,（口 的解析式；（H）若在J0 0件0 0）无极值点，求a的取值范围。【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识。【思路点拨】（1）由-（幻-9 =的两个根及）=/（X）过原点，列出三个方程可解出b 0,所 以“3 在（.8,+8）内无极值点”等价于“r（x）=，+2法+C 2 0在（-8,+8）内恒成立”。由（*）
34、式得2 =9-5a,C =4。乂 =（2 8）2 4 a c=9（q _ 1）伍 _ 9）a0解 卜=9（1）（9）40 得。叩,9即。的取值范围O可【方法技巧】（1）当/（X）在/的左侧为正，右侧为负时，方为极大值点；当/（处 在 飞的左侧为负，右侧为正时，方为极小值点（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。y=x2+bx+c恒 大 于0,则a00 0；y=ax2+bx+c 恒小于 0,贝|八 ln 2-l且x0 时，ex x2-2ax+l Q【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的
35、化归转化能力。【思路点拨】先分析 X）的导数/（X）的符号情况，从而确定/（X）的单调区间和极值；设g（x）=e-+2办一1,把问题转化为：求证：当aln2 1且x 0时，g（x）0。【规范解答】?/（X）=一21+2。,f x）=ex-2令 广（外二,得x=ln2,X(-co,In 2)In 2(In 2,-boo)f(x)0+/（X）极小值 /（X）在（-8,In2）上单调递减，在（M2,+8）上单调递增；当x=ln2时，/（x）取得极小值为2-21n2+2a（2）设 g（x）=e-2 a x-l,gr（x）=ex-2 x+2a=/（x）由（1）问 可 知,g（x）N 2 21n2+2a恒
36、成立，当a ln 2-1时,则g（x）o恒成立，所以g（x）在R上单调递增,所以当x 0 时，g(x)g(0)=,即当。I n 2 -1 且 x 0 时，ex x2-2a x+1。【方法技巧】1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；2、证明函数不等式问题，如证力W 6(x),通常令g(x)=/；(x)-&(外，转化为证明：g(x)0。,3,a x3 x+l(x e R)1 4.(2 01 0 天津高考文科 T 2 0)已知函数f(x)=2 ，其中a 0.(I )若 a=l,求曲线y=f(x)在 点(2,f(2)处的切线方程；1(I I)若在区间L 2 2 上,f(
37、x)o 恒成立，求 a 的取值范围.【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。【规范解答】x3-X2+1 ,(I )当 a=l 时，f(x)=2 ,f(2)=3；F(x 尸3x 3 x,(2 尸6.所以曲线 y=f(x)在 点(2,f(2)处的切线方程为y-3=6(x-2),即 y=6x-9.(I I)f (x 尸3a x 2-3X=3X(Q X-1)令 (x)=o,解得*=0或*=。.以下分两种情况讨论：0 a 0/0，8。，0,乎 o.等价于1 2 1
38、 8解不等式组得-5 a 5.因此 a 4 2 .0-2,则 a 2 .当x变化时，f（x）,f（x）的变化情况如下表:XT。;0j_af (X)+0-0+f(x)极大值极小值X G当1 1一,一2 2 时，f（x）0 等价于吟)0，f(-)o,a 即No,81-7 0.2a2也 。5红解不等式组得2或2 .因此 2 a 5.综 合（1）和（2）,可知a的取值范围为0 a 5.1 。/(x)=I n x -a x +-l(a G R)1 5.(2 01 0-山东高考文科 T 2 1)已知函数 x（1）当a =1 时，求曲线y =/（x）在点（2，/（2）处的切线方程;a =/（在点（2，/（2
39、）处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性，同时应注意分类标准的选择.2_,n-i._ l n x+x+-l,x e （0,+c o）,【规范解答】当 T 时，/（）=xr+x 2所以/(x)=因此，2）=1,即曲线y =/（x）在 点（2,/）处的切线斜率为L.又/(2)=l n 2 +2,所以曲线y =/a）在 点（2,/）处的切线方程为y-（I n 2 +2）=X-2,即 x-y +I n 2 =0./、_ Q 1 Q _ a x x af(x)=I n x-a x H-1 f(x)=a H -=-(2)因为 工,所以 冗 工 xx G(0,-J-o o)令 g(x
40、)=a x2-x+l-a,%G(0,+o o),当a =0时，g(x)=-x+l,xe(0,+8),所以当x O,l)时，g(x)o,此 时 小),函数A)单调递增.当”0时,由r(H=,1 ,2/=1,=1即 a x-x+l -a =0,解得 a .当2时，玉，g（x）2 恒成立，此时/（x）,函数 元）在（0,+8）上单调递减；0 a -1 1 0 当 2时，a ,x e（O,l）时，8（X）,此时/（力,函数/（同单调递减x I。J时,g（x）0,此时=。,函数“X）单调递增A e a.g（x）0 .7 7%）0 二相/（x）蒋、田包./时，,此时J、,函数J、/单倜递减-1 0 当。时
41、，由于。，X（。，1）时，g（X）0，此时/（X）,函数“X）单调递减：X（L+8）时，S（X）0,此时广（X）0,函数/（X）单调递增综上所述：当。4 o时，函数/在（1）上单调递减;函数/（X）在（1 +8）上单调递增当 一 万 时，函数/a）在（Q+8）上单调递减当 交点坐标n 的值及该切线的方程；=(x)=利用导数法求做 好 的最小值夕伍)的解析式=利用基本不等式证明(III)/(x)=H=，g(x)=q(x 0),【规范解答】(I)2y/x Xyx=In X,由已知得:0时，令(x)=0,解得了=4/，所以当 0%4 时,h x)0 t(x)在(442,+8)上递增.所 以x=442
42、是(X)在(0,+8)上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是以*)的最小值点。最小值9(a)=h(4a2)=2a-al n(4a2)=2a(l-l n(2a).h(x)=0,(x)(2)当a W 0时，2x 在(0,+o o)递增，无最，、值。故(x)最小值为：(pa)=2a(l -In 2a)(a 0).(HD 由(H)知夕(a)=-21 n 2a,(a 0).(p(a)=-2 l n(2a)0,得0 a ;Fh 2(p d)=-2 l n(2a);由29(a)在(0)上是增函数，在d,+o)上是减函数,所以 2 28(a)的最大值为9(3,所以 2x(l)=2 x l(l-ln(2 x i
43、)=l.所以当a e（0,+8）时，（p（a）l.17.（2010 陕西高考理科 T2 1 ）已知函数/（x）=4，g（x）=a ln x,eR（I）若曲线）=/（*）与曲线=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求。的值及该切线的方程；（II）设函数力（幻=/*）-8（制,当力（x）存在最小值时，求其最小值。（。）的解析式；（III）对（II）中的伍）和任意的a 力 ,证明：，（*）“（a）+”3）“（*）.22 a+b【命题立意】本题将导数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所
44、学知识分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】曲线）=/（X）与y=g（x）在交点处有相同的切线n 交点坐标n a的值及该切线的方程；由（幻=利用导数法求（幻 的最小值火”）的解析式=利用基本不等式证明（III）/（X）=一 厂，g（x）=-（x 0）,【规范解答】（I）2V x xyfx=a In x,由 已 知 得.1 _a解得a_ 2y/x Xk=/指）=；,二两条曲线交点的坐标为（e2,e）,切线的斜率为 2e丫-0=1-（1-2）,即工一2缈+62=0.所以切线的方程为,2e（H）由已知条件知（）=4一历x,（x0）.,“、1 a yx-2ah x)=尸=-2y/x X 2x当4 0
45、时，令、（x）=0,解得X=4，J所以当 0 X 4/时，(x)4 i时，(x)0,力(x)在(4。+9)上递增。所 以*=4。2是以无)在(0,+8)上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是力(工)的最小值点。/.最小值 (。)=(4 2)=2。-。1 1 1(4/)=2(7(1-l n(2i z).hx)=0,/z(x)(2)当 a W 0时，2x 在(0,+8)递增，无最/、值。故(x)最小值为：(p(a)=2(2(1-In 2a)(a 0).(III)由(H)知。(a)=21 n 2a,(a 0).对任意的。0 力 0,.0.4(”)=-2 l n(a +b)/ab)=-l n(4tz
46、Z?),皿沁辿 喂 型 i s”2ab、.4ab 4ab(P(-)=-2 l n(-)-2 l n(,=)=-l n(4a b),a+b a+b 27 ab综上可得:,(4+外 d(a)+*(b)9T2aba+b).【方法技巧】不等式的证明方法1 .证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.2 .在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从
47、而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者 是“执果索因”，后 者 是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的.1 8.(2 0 1 0 湖南高考理科 T4)已知函数/(x)=x2+x+c(b,cwR),对任意的x eR,恒有/4 m(I )证明：当X 2 0 时，/(x)(x+c)2.(n)若对满足题设条件的任意b,c,不 等 式/(一/(/恒 成 立，求 M 的最小值.知识点检索号新课标：4【命题立意】以二次函数为载体，考查导数，不等式的证明，消元等知识。认真的考查了等价转化的思
48、想.【思路点拨】(1)在对任意的x e R,恒有/(X)4/(X)下可以得到b,c 的关系,目标是证明当x 2 0 时，/(x)(x +c)其实是寻找条件和目标的关系，连接的纽带是b 和 c 的关系.(2)恒成立，转化为求函数的最值，而且是二元函数的最值的求法，没有等式的条件下常常用整体消元.【规范解答】(1 )易 知 f(x)=2x+b.由题设，对 任 意 的xe R,2 x +b 0.故当 x 20 时,有(x+c)2Rx)=(2c-b)x+c(cl)20.即当x 2 0 时，f M (x +c)2于(c)/(b)d +bc b2 c+2b(2)由(1)知，c冽b|时，有 M 2 2 c2
49、-h2 b+c令”2,则 _1,丝=2-cb+c 1+f1 7而函数g(f)=2-(T f|们时，M的取值集合为弓,+oo)当 c=|b|时，由(1)知，b=2,c=2.此时 f(c)-f(b)=-8 或 0,c2-b2=0,3从而f(c)-f(b)W.综上所述，M 的最小值为2.【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点。解题的思路是，首先看变量的个数，如果是三个变量常有三条路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题。如果是两个变量常常有三条路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可
50、以数学规划.如果是一个变量，常用方法：基本函数模型，单调性法和导数法.19.(2010 辽宁高考文科 T21)已知函数f(x尸(a+l)lnx+ax2+l.(I)讨论函数f(x)的单调性；(II)设 aW-2,证明：对任意 x2,x2e(0,+8),|f(x 1 )-f(x2)|4|x 1 -x21.【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力。【思路点拨】(I)求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，(I I)转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4 x,通过g(x)r的单调性证明。【规范解答】解:/(X)的 定