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1、正态分布教案 2知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线 N(0，1)教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。教具准备：多媒体、实物投影仪教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。内容分析：1在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分
2、布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分2 由此可见，正态分布是由它的平均数和标准差 b 唯一决定的+常把它记为 N(F)3.3.从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为卩从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为卩时取最大值时取最大值.从某=点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近轴从某=点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以某轴为渐近线的相交，因此说曲线在正负两个方向都是以某轴为渐近线的+4.+4.通过三组正通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特态分
3、布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特5 5 由于正态分布是由其平均数由于正态分布是由其平均数 1 1 和标准差和标准差 b b 唯一决定的，因此从某种意唯一决定的，因此从某种意义上说，正态布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口种分布义上说，正态布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口种分布.2.2 正正态分布是可以用函数形式来表述的彳态分布是可以用函数形式来表述的彳(某某-H2-H22-,某(_：,：)V2HCT正态分布在统计学中是最基本、最重要的一+其密度函数可写成：(b0)某=，并在某=某轴，但永不与某分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许
4、多正态分布中，某_IF(某)M()重点研究 N(0，1)，其他的正态分布都可以通过&转化为N(0,1)0,1)，我们，我们 1J21J2F(某)=e把 N(0,1)称为标准正态分布，其密度函数为 J2 肚,某(-a,+8),从而使正态分布的研究得以简化.6结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质+教学过程：学生探究过程：复习引入：总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那
5、么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线.它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线，可求出总体在区间(a,b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线某=a,某=b 及某轴所围图形的面积.观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：1空仏某)=厂 e 彳话某(皿严)式中的实数、二(二 0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，某二某)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.讲解新课:一般地，如果对于任何实数 a：b，随机变量某满足 bP(a:某曲)=.ag 某)d 某 5 则称
6、某的分布为正态分布(normalditribution).正态分布完全由参数和匚确 22 定，因此正态分布常记作 N(F)如果随机变量某服从正态分布，贝 y 记为某).经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第 1 次与高尔顿板底部接触时的坐标某是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生
7、长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等)；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布.因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.正态分布在概率和统计中占有重要的地位.说明:1 参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；二是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用 n!的近似公式得到了正态分布.之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态
8、分布为高斯分布.22.正态分布 N（7 二）是由均值和标准差 b 唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4.正态曲线的性质：（1）曲线在某轴的上方，与某轴不相交+（2）曲线关于直线某=卩对称（3）当某=时，曲线位于最高点+（4）当某 V时，曲线上升（增函数）；当某卩时，曲线下降（减函数）+并且当曲线向左、右两边无限延
9、伸时，以某轴为渐近线，向它无限靠近(5)一定时，曲线的形状由 6 确定.b 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；6 越小曲线越“瘦高”总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学+5.标准正态曲线：当=0、6=1 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体 N(0,1)N(0,1)在正态总体的研究在正态总体的研究中占有重要的地位中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲
10、解范例概率问题讲解范例:给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值f(f(某某)(1)(3)(1)0,1)(1)(3)(1)0,1；(2)1,2;(3)-1,0.5(2)1,2;(3)-1,0.5 例例 2 2 求标准正态总体在求标准正态总体在(-1,2)(-1,2)内内取值的概率取值的概率.解：利用等式解：利用等式 P P：(某某 2)-G(2)-G(某某 1)1)有有 p-p-门门(2)(2)门门(一一 1)-1)-门(2)门(2)-11=门11=门(2)G(1)-1=0.9772+0.8413(2)G(1)-1=0.9772+0.8413
11、1=0.8151.1.1=0.8151.1.标准正态总标准正态总体的概率问题某体的概率问题某 2 2式是式是 1 1 一一 f(f(某某)飞飞 e2e2(-8V(-8V 某某 V+8)(2)f(V+8)(2)f(某某)1a)1a)2)2、2 2 严严 8宀8宀 f(f(某某)2_2()2_2(某某 1)21)2答案:y对于标准正态总体 N（0,1）,（某）是总体取值小于某的概率，即门（某）=P（某：:某 o）其中某0，图中阴影部分的面积表示为概率 P（某：某 o）+只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现：当某”：时，（某）二二 1 1i：（-某）；而当某 o=时，o（0）=0.5.2
12、.标准正态分布表标准正态总体 N（，1）在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”在这个表中，对应于某的值“（某）是指总体取值小于某的概率，即（某）=P（某 c 某）（某K0）若某，则（某）=1（某）利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间（某某 2）l，内取值的概率，即直线某=某 i,某=某 2 与正态曲线、某轴所围成的曲边梯形的面积P（某 i:某:：某 2）=（某 2）-（某 i）某4F（某）M（）3.非标准正态总体在某区间内取值的概率：可以通过转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相
13、应的转化-4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5%的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想：首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体;二是确定一次试验中的 a 值是否落入(1-3(T,1+3a);、三是作出判断.讲解范例：例 1.若某N(0,1),求(I)F(-2.32某2).解：(1)F(-2.32某2)=1-R 某2)=1-G(2)=l-0.9772=0.0228.例 2.利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取
14、值的概率:(1)在 N(1,4)下，求 F(3)a2)下，求 F(F(11.84a,1+1.84a);F(13a,1+3a)P+CF6(P+CF6(2)F(1+a)=k-CT-k)=o(2)F(1+a)=k-CT-k)=o(1)=11)=1(1)=1(1)=10.8413=0.15870.8413=0.15871+2a)1+2a)F(iF(i2a)=0.9541+3a)2a)=0.9541+3a)F(iF(i3a)=0.9973a)=0.997在区间(1-a,1+a)、(1-2a,1+2a)68.3%95.4%99.7%+因此我们时常只在区间(况，而忽略其中很小的一部分”F(a,1+a)=F(1+a)F(ia)=0.84130.1587=0.6826F(11.84a,1+1.84a)=F(1+1.84a)F(11.84a)=0.9342F(12a,1+2a);()解:(1)F(3)=2=(1)=0.8413)=0(1)=0.8413F(1aIF(1 一 2a,F(13a,1-3a,1+3a)内取值的概率分别为 1-3a,1+3a)内研究正态总体分布情