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1、2021-20222021-2022 学年浙江省台州市高二上学期期末数学试题学年浙江省台州市高二上学期期末数学试题一、单选题一、单选题1直线y A3x1的倾斜角是36B3C23D56答案：A解：本题考查直线的斜率.由y 333；由斜率的定义有tan.x1得，此直线的斜率为k 333因为直线的倾斜角0,，所以a 故正确答案为 A6.2点A3,4,5关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（）A3,4,5答案：C本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.解：因为点(x,y,z)关于Oxy平面对称的点的坐标是(x,y,z)，所以点A3,4,5关于xOz平面对称的点的坐标是3,4,5，故选：C3一个盒
2、子中装有3 个红球和 1 个白球（这些球除颜色外其余均相同），从中任取2 个球，设事件A=“恰有一个红球”，则PA（）1A41B3B3,4,5C3,4,5D3,4,5C212D3答案：C先求出共有多少种取球方法，再计算事件A=“恰有一个红球”的方法数，根据古典概型的计算公式求得答案.解：个盒子中装有 3 个红球和 1 个白球（这些球除颜色外其余均相同），从中任取 2 个球共有C42 6种取法，11事件A=“恰有一个红球”的方法数为C3C1 3，因此PA故选：C.31，62n4已知数列an的前n项和Sn 2 2，则该数列的通项公式为（）Aan 2n答案：DBan2n 10,n 1,Cann2,n
3、 20,n 1,Dann12,n 2n1当n 1时，a1 S1 0，当n 2时，an Sn Sn1 2，得到答案.nn1n1解：当n 2时，an SnSn12 222 2.1当n 1时，a1 S1 2 2 0，不符合上式；0,n 1a 所以数列的通项公式为nn1.2,n 2故选：D.5 已知直线m1x3y1 0与直线4xmy1 0平行，则m的值为（）A3答案：B根据直线平行的判定得m(m1)12 0即可求m值，注意验证两直线是否平行，而非重合.解：由题设，m(m1)12 m2 m12 (m 4)(m3)0，可得m 4或m3，当m 4时，3x3y 1 0、4x4y 1 0平行，符合题设；当m3时
4、，4x 3y 1 0、4x 3y 1 0重合，不合题设；m 4.故选：B.6在等比数列an中，a12，S33 2，则公比q的值为（）A1答案：D讨论q 1、q 1，由已知结合等比数列前n项和公式求公比q.解：由题设，当q 1时，S33a13 2符合题设；a1(1q3)2(1q3)3 2，当q 1时，S31q1q1q31qq2 3，则q2q 2 (q 2)(q 1)0，可得q 2或q 1（舍），1qB4C3 或4D3 或 4B2C1 或 2D1 或2综上，q 1或q 2.故选：D.7已知A，B两点在以F为焦点的抛物线y2 4x上，并满足AF 3FB，过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线，与OA
5、交于N点，则MN的长为（）1A3B212C33D4答案：C由已知结合抛物线的性质，求得A,B坐标，进而求得M,N坐标，即可得解.解：由AF 3FB，利用抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，作AA1,BB1垂直于抛物线准线，垂足分别为A1,B1，作BC AA1于C,如图所示，设BF m，由抛物线的定义知AA13m,BB1 m,在ABC中，AC 2m,AB 4m，则BC 2 3m,2 33，所以直线AB的方程为y 3(x1),21与抛物线的方程联立得3x210 x3 0，解得x1 3，x2,3所以kAB tanBAC 5 2 312 3A 3,2 3M,B,所以，故AB的中点,3333直线OA的方
6、程为y 2 32 32 3N 1,x 1，令，得，xy 33352所以MN的长为133故选：CCC1底面BCD，BC CD CC1 2，B1C11BC CD，8 在三棱台BCD B1C1D1中，若A是BD中点，点P在侧面BDD1B1内，则直线DC1与AP夹角的正弦值的最小值是（）1A6B26C36D66答案：B利用异面直线的夹角定义转化为求直线AH与AP夹角的正弦值最小，需点H到AP的距离最小，最小值为点H到面BDD1B1的距离，再利用等体积法求出距离，进而得解.解：如图，分别取CB,CD,CC1的中点G,F,E，连接B1G,GA,AF,EF，取B1G的中点H，连接HE,AH由三棱台的性质知H
7、E/AH，且HE AH 1，所以四边形AFEH为平行四边形，HA/EF又DC1/EF，HA/DC1，故直线DC1与AP的夹角为直线AH与AP的夹角，要使直线AH与AP夹角的正弦值最小，需点H到AP的距离最小，又点P在侧面BDD1B1内，则需点H到AP的距离最小，即点H到面BDD1B1的距离，设点H到面BDD1B1的距离为h，利用等体积法知VH ABB1VB1BAGVH BAGSBAG11即VH ABB1VH BAG，即SABB1h SBAG1，h SABB13311在直角BAG中，BG AG 1，SBAG11，22又在ABB1中，AB 2，BB1 AB15，SBAG1225223，222h S
8、BAGSABB1112，又AH 23321设直线AH与AP夹角的最小值为，则sinh32AH62故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线的夹角，解题的关键是通过异面直线夹角定义转化，再将所求夹角正弦值转化为点H到AP的距离最小，即点H到面BDD1B1的距离，考查学生的转化化归能力与运算求解能力，属于难题。二、多选题二、多选题x2y29已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法95正确的是（）AF1，F2的坐标分别为2,0，2,0CPF1的最小值为 1到最大值答案：ACD由椭圆方程知a2 9,b2 5,c2 4，利用椭圆的性质可判断 ABC；利用余弦定理结合基本不等
9、式可判断 D.x2y2解：椭圆1，其中a2 9,b2 5，c2 a2b2 495B椭圆的离心率为53D当P是椭圆的短轴端点时，F1PF2取对于 A，c 2，F1，F2的坐标分别为2,0，2,0，故 A 正确；对于 B，椭圆的离心率为e c2，故 B 错误；a3对于 C，ac PF1 ac，所以PF1的最小值为 1，故 C 正确；对于 D，当P在椭圆的长轴端点时，F1PF2 0；当P不在长轴端点时，0 F1PF2，利用余弦定理可知|PF1|2|PF2|2|F1F2|24a24c22|PF1|PF2|cosF1PF22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|2b22b22b211212|PF1|PF
10、2|a，|PF1|PF2|2当|PF1|PF2|，即P在椭圆的短轴端点时，cosF1PF2最大，此时F1PF2最大，故 D正确；故选：ACD10下列说法正确的是（）A30是等差数列1，5，9，的第 8 项B在等差数列an中，若an132n，则当n 6时，前n项和Sn取得最大值C存在实数a，b，使 1，a，2，b，4 成等比数列D若等比数列an的前n项和为Sn，则S3，S6S3，S9 S6成等比数列答案：BDA 写出等差数列通项公式，进而写出第8 项即可判断；B 根据a6,a7的正负判断；C 利用等比中项的性质判断；D 由等比数列片段和的性质判断.解：A：由题设知：an 14(n1)34n，则a
11、8 348 29，错误；B：由已知：a61 0，a7 1 0，故当n 6时，前n项和Sn取得最大值，正确；C：若 1，a，2，b，4 为等比数列，则a2 2，b2 8，显然不存在，错误；D：由S3 a1a2a3，S6 S3 a4 a5 a6，S9 S6 a7a8a9，则S3，S6S3，S9 S6是公比为q3的等比数列，正确.故选：BD.11下列说法正确的是（）A若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则OG 1OAOBOC3151B在四面体OABC中，若OG OAOB OC，则A，B，C，G四点共面266C已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的棱长均为 1，且BAD BAA1 DAA
12、1 60，则对角线A1C的长为2D若向量p mx ny kz，则称（m，n，k）为p在基底x,y,z下的坐标已知向量p在单位正交基底a,b,c下的坐标为（1，2，3），则p在基底a b,a b,c下的坐标为 31,322答案：ACDA 令O(0,0,0)，A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，由G是底面三角形ABC的重心，利用向量的坐标表示即可判断；B 根据空间向量共面的结论即可判断；C 由AC AB AD AA1，应用向量的运算律求AC11的模即可；D 用基底及对应坐标表示出向量p即可判断.解：A：令O(0,0,0)，A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,
13、z2)，C(x3,y3,z3)，又G是底面三角形ABC的重心，G(x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3,)，OA(x1,y1,z1)，OB (x2,y2,z2)，333x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3,)，333OC (x3,y3,z3)，OG (OG 1OAOBOC成立，正确；31511151B：由OG OAOB OC，而1，故A，B，C，G四点不共面，2662662错误；AB AD AA1，C：如下图，AC1AC(AB AD AA1)2 AB AD AA12(AB AD AA1AB AA1 AD)，又12222BAD BAA1 DAA1 60且棱长为 1，211
14、132()2，则|ACAC11|2，正确；222D：p在基底a b,a b,c下坐标为 31,322，则31p(ab)(ab)3c a2b3c，故p在基底a,b,c下坐标为（1，2，3），正确.22故选：ACD.12两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）已知圆锥轴截面的顶角为 2，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为当时，截口曲线为椭圆；当时，2截口曲线为抛物线；当0时，截口曲线为双曲线在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB AD 1，AA1 2，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（）A若点P到直线CC1的距离与
15、点P到平面BB1C1C的距离相等，则点P的轨迹为抛物线B若点P到直线CC1的距离与点P到AA1的距离之和等于 4，则点P的轨迹为椭圆C若BD1P 45，则点P的轨迹为抛物线D若BD1P 60，则点P的轨迹为双曲线答案：BDA、B 将距离转化到平面ABCD内P到定点、定直线的距离，结合圆锥曲线的定义判断正误；C、D 确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角，并比较被截圆锥轴截面顶角一半的大小关系，结合题设判断P的轨迹.解：A：如下图，P到直线CC1的距离与P到平面BB1C1C的距离相等，又P在平面ABCD内，在平面内，P到C的距离与P到直线BC的距离相等，又CBC，P在直线CD上，故P的轨迹为直线，
16、错误；B：P到直线CC1的距离与P到AA1的距离之和等于 4，同 A 知：平面内，P到直线C的距离与P到A的距离之和等于 4，而|AC|2 4，P的轨迹为椭圆，正确；C：如下示意图，根据正方体的性质知：BD1与面ABCD所成角的平面角为D1BD，BD1P45时，相当于以BD1为轴，轴截面的顶角为290的圆锥被面ABCD所截形成的曲线，而BD16,DD12，则sin圆，错误；D：同 C 分析：BD1P60时，相当于以BD1为轴，轴截面的顶角为2120的圆锥被面ABCD所截形成的曲线，而sin63sin60，即060，故P的轨迹为双曲线，正确.3262sin45，即4590，故P的轨迹为椭32故选
17、：BD.【点睛】关键点点睛：将空间点线、点面距离转化为平面点点、点线距离判断轨迹，由题设及给定的条件确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角、被截圆锥轴截面顶角大小，进而确定轨迹形状.三、填空题三、填空题13已知ABC的三个顶点分别是点A（4，0），B2,0，C2,2，则ABC的外接圆的方程为_答案：(x 1)2(y 1)210BC中点为E(2,1)，令外接圆圆心O(x,y)，而AB中点为D(1,0)、由ODABOEBC0求x、y，进而求半径，即可写出ABC的外接圆的方程.解：令ABC的外接圆圆心O(x,y)，又A（4，0），B2,0，AB中点为D(1,0)，则ODAB6(1 x)0，则x1，BC
18、中点为E(2,1)，则OEBC2(1 y)0，则y1，圆心O(1,1)，又外接圆的半径R|OA|(4 1)2(1)210，ABC的外接圆的方程为(x 1)2(y 1)210.故答案为：(x1)2(y 1)210.14在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中，点B1到平面ABC1D1的距离为_答案：22由正方体的性质易得BB1C1斜边上的高为B1到平面ABC1D1的距离，结合已知即可求值.解：由题设可得示意图如下，根据正方体的性质知：面BB1C1面ABC1D1，又BB1C1为等腰直角三角形，BB1C1斜边上的高，即为B1到平面ABC1D1的距离，又正方体棱长为 1，B1到平面ABC1D
19、1的距离为故答案为：2.22.2x2y215双曲线221a 0,b 0的左、右焦点分别为F1，F2过F1作其中一条渐近ab线的垂线，交双曲线的右支于点P，若F1PF2答案：3由题设，不妨令kPF14，则双曲线的离心率为_|AF2|aa，结合勾股定理、等腰直角，过F2作F2A PF1，则|AF1|bb三角形求|PF1|,|PF2|，再由双曲线定义求参数间的数量关系，进而求离心率.解：如下图，PF1垂直一条渐近线，则kPF1a，b过F2作F2A PF1，故|AF2|a，又|AF2|2|AF1|2|F1F2|2 4c2，|AF1|b|AF2|2a，|AF1|2b，又在RtPAF2中F1PF24，故|
20、PA|AF2|2a，|PF2|2 2a，由双曲线定义知：|PF1|PF2|2b2a2 2a 2a，则b 2a，ca2b2e 3.aa故答案为：3.四、双空题四、双空题16传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子来研究数 他们根据小石子所排列的形状把数分成许多类，如图（1）可得到三角形数1，3，6，10，图（2）可得到四边形数 1，4，9，16，图（3）可得到五边形数1，5，12，22，图（4）可得到六边形数 1，6，15，28，进一步可得，六边形数的通项公式an_，前n项和Sn_12222（參考公式：1 2 3 n nn12n1）61答案：2n2n；n(n1)(4n1).6由题设易知an1a
21、n是首项为 5，公差为4 的等差数列，累加法求an通项公式，利用分组求和求Sn.解：设六边形中cn an1an，则cn是首项为 5，公差为 4 的等差数列，cn an1an 5 4(n1)4n1，(anan1)(an1an2).(a3a2)(a2a1)ana14n34n7 54n35n1 2n2n1,n 2，22an 2n n,n 2，当n 1时，符合该式，2an 2n n，Sn 2(1222.n2)(12.n)n(n1)(2n1)n(n1)1n(n1)(4n1).3261故答案为：2n2n，n(n1)(4n1).6五、解答题五、解答题17某机构的招聘面试有 3 道难度相当的问题，假设小明答对
22、每个问题的概率都是0.6按照规则，每位面试者共有 3 次机会，一旦答对所抽到的问题，则面试通过，否则继续抽取下一个问题，依次类推，直到第3 个问题为止用G表示答对问题，用B表示答错问题，假设问题是否答对相互之间不影响(1)请写出这个面试的样本空间；(2)求小明不能通过面试的概率答案：(1)(G),(B,G),(B,B,G),(B,B,B)；(2)0.064.（1）根据题设写出样本空间即可.（2）由小明不能通过面试的事件为(B,B,B)，应用独立事件乘法公式求概率即可.(1)由题设，样本空间为(G),(B,G),(B,B,G),(B,B,B).(2)由题意，小明不能通过面试的事件为(B,B,B)
23、，小明不能通过面试的概率P (10.6)3 0.064.18已知圆C的圆心在直线y 2x3上，且与x轴相交于点M（2，0）和N（4，0）(1)求圆C的标准方程；(2)若过点P1,1的直线l与圆C交于A，B两点，且AB 2 6，试问符合要求的直线有几条？并求出相应直线l的方程答案：(1)(x3)2(y 3)210;(2)有 2 条，分别为x 1、3x4y 7 0。（1）由题设易知圆心在直线x 3上，联立y 2x3求圆心坐标，进而求半径，即可得圆的方程.（2）判断P的位置，讨论直线l斜率，结合圆的方程，应用韦达定理、弦长公式求参数，即可判断直线的条数及对应方程.(1)由题设，MN中点为(3,0)，
24、则圆心在直线x 3上，联立y 2x3，可得圆心为(3,3)，圆的半径为r(32)232 10，综上，圆C的标准方程：(x3)2(y 3)210.(2)(13)2(13)2 20 10，P在圆外，当直线l斜率不存在时，直线方程为x 1，则A(1,36)，B(1,36)，显然AB 2 6符合题设；当 直 线l斜 率 存 在 时，设 为y1 k(x1)，联 立 圆C可 得：(1 k2)x22(k24k 3)x k28k 15 0，2(k24k 3)k28k 15，x1x2，1k21k238(k 3)(3k 1)k 2 6AB 1 k2(x1 x2)24x1x2，可得：.1 k24若A(x1,y1)，
25、B(x2,y2)，则x1 x23此时，直线l：y 1(x1)，即3x4y 7 0.4综上，符合条件的直线有2 条，分别为x 1、3x4y 7 0.19在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC，AB BC，侧面PAB 底面ABCD，PA PB AD 2，BC 4(1)若PB的中点为E，求证：AE/平面PCD；(2)若PB与底面ABCD所成的角为 60，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值答案：(1)证明见解析；(2)105.35（1）取PC的中点F，连接EF，DF，推导出四边形ADFE是平行四边形，DF/AE，由此能证明AE/平面PCD；（2）PAB为等边三角形，O是AB中点，
26、作Oy/BC，以O为原点，OB、Oy、OP为x、y、z轴建空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BPDC的余弦值(1)如图，取PC的中点F，连接EF，DF，E，F分别为PB，PC的中点，EF/BC，EF 1BC 2，2AD/BC且AD 2，EF/AD且EF AD2，四边形ADFE是平行四边形，DF/AE，AE 平面PCD，DF 平面PCD，AE/平面PCD(2)若O是AB中点，作Oy/BC，由底面ABCD为直角梯形且AD/BC，PA PB AD 2，BC 4，由侧面PAB 底面ABCD，面PAB面ABCD AB，P,B 面PAB，P在面ABCD的投影在直线AB上，又PB与底面ABCD所成的角为
27、 60，PB与底面ABCD所成角的平面角PBA 60，则PAB为等边三角形.以O为原点，OB、Oy、OP为x、y、z轴建空间直角坐标系，如下图示：B1,0,0、C1,4,0、D1,2,0、P 0,0,3，则BP 1,0,3，PD 1,2,3，DC 2,2,0，nBP x3z 0n x,y,z设平面BDP的法向量，取x 3，得，则nPD x 2y 3z 0n 3,3,1，mPD a2b3c 0设 平 面PCD的 法 向 量m a,b,c，则，取a 1，得mDC 2a2b 0m 1,1,3，设平面PCD与平面PBD的夹角为，则cosmnm n3105，357 5平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值
28、为10535an120已知数列an的首项a1，且满足an132an3 1(1)证明：数列1为等比数列，并求出数列an的通项公式；an(2)设bn11，cn 2n1，求数列bncn的前n项和Snan123n11答案：(1)ann(2)Sn 22n13（1）对已知等式两边取倒数，再利用等比数列的定义证明，进而求得通项公式；（2）利用错位相减法求和即可求解.(1)由an132an3an12，两边取倒数得32anan1anan13 1113131即，即an1anan1an 11故数列1是首项为1 2，公比为 3 的等比数列，a1an111n1123n1，即an1 23所以，anan23n11所以数列a
29、n的通项公式为an(2)123n11n1n1由（1）知bn 23，cn 2n1，bncn2n123Sn1230323152323Sn1231323252332n123n12n123n223n12n123n12两式相减得：2Sn 2223 223 33n 242n123n 423n2n123n 44n13n13Sn 22n13nx2y2321已知椭圆210 b 2的离心率为，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，4b2点P在椭圆上(1)求PF1F2面积的最大值；(2)设过点P的椭圆的切线方程为y kxmk 0，试用k，m表示点P的坐标；(3)设点P坐标为x0,y0，求证：一条光线从点F1发出到达P点
30、，经过椭圆反射后，反射光线必经过点F2答案：(1)3；(2)P(4k1,)；m m(3)证明见解析.（1）由离心率求椭圆方程，再由椭圆中焦点三角形的性质即可求其最大面积.（2）联立直线与抛物线，整理成一元二次方程形式，根据 0求得4k2m21 0，进而求P的坐标即可.（3）由题设求得P的切线斜率k y0y0 x0kk、PF1、PF2，令PF1的左切4y0 x03x03角为，PF2的右切角为，应用到角公式求tan,tan，即可证结论.(1)由题设，e c3a2，又a 2，则c 3，可得b 1，椭圆方程为x24 y21，而P在椭圆上下顶点时，PF1F2面积的最大，S1PF1F22b2c 3.(2)
31、联立y kxmk 0与x24 y21，整理得：(14k2)x28mkx 4(m21)0，直线与椭圆相切，即m 0，64m2k216(1 4k2)(m21)64k216m216 0，故4k2m21 0，x 4mk14k2 4k4k21m，则y mmm，故P(4km,1m).(3)由Pxx0 xx0,y0(x0 0,y0 0)处的切线方程为4 y 00y 1，故切线斜率为k4y，0设PFy0y01的左切角为，PF2的右切角为，而kPF1x3，kPF2x，003x0y0由到角公式：tank kPF14y0 x0311kkPF11x0y034yy00 x03x0y0tank kPF24y0 x031kkPF21xy1y，0034y00 x03，tan tan，即，当P为0,1或2,0时，过P的切线方程分别为y 1、x 2，由椭圆的对称性知：光线从点F1发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点F2.综上，一条光线从点F1发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点F2，得证【点睛】关键点点睛：第三问，求P的切线斜率、kPF1、kPF，再应用到角公式求PF1、2PF2与P处的切线夹角大小.