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1、第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年浙江省金华市高二上学期期末数学试题 一、单选题 1若直线l的方向向量2,6a ，则直线l的斜率是（）A13 B13 C3 D3【答案】D【分析】根据直线的斜率与方向向量的关系可求得直线l的斜率.【详解】因为直线l的方向向量2,6a ，则直线l的斜率是632k .故选：D.2若曲线C：2224100 xyaxaya表示圆，则实数a的取值范围为（）A2,0 B,20,C2,0 D,20,【答案】B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.【详解】由2224100 xyaxaya，得2222510 xayaaa，由该曲线表示圆，可知251
2、00aa，解得0a 或2a ，故选：B.3下列命题中正确的是（）A若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan B若直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为 C平行于 x轴的直线的倾斜角为180 D若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90【答案】D【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案.第 2 页 共 17 页【详解】对于 A，当2时，直线的斜率不存在，故 A 不正确；对于 B，当4 时，斜率为1，倾斜角为34，故 B 不正确；对于 C，平行于 x轴的直线的倾斜角为0，故 C 不正确；对于 D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90是正确的.故选：D 4 在平面直角坐标系 xoy 中，已
3、知抛物线 x2=2y 的焦点为 F，准线为l，则点 F 到准线l的距离为（）A12 B1 C2 D4【答案】B【解析】由抛物线的标准方程可知p，即可求解.【详解】因为抛物线 x2=2y，所以22p，即1p，所以焦点 F 到准线l的距离为 1，故选：B 5圆 6210 xyxy 被x轴所截得的弦长为（）A2 2 B2 3 C4 D4 2【答案】D【分析】根据圆的弦长公式即可求解.【详解】6210 xyxy 的圆心和半径分别为3,1，3r ，因此圆被x轴所截得的弦长为22214 2r ，故选：D 6已知(2,0),(4,)ABa两点到直线:3410lxy 的距离相等，则a（）A2 B92 C2 或
4、8 D2 或92【答案】D【分析】分(2,0),(4,)ABa在:3410lxy 的同侧和异侧分类讨论求解.【详解】（1）若(2,0),(4,)ABa在:3410lxy 的同侧，则34ABlkk，所以364a，92a，（2）若(2,0),(4,)ABa在:3410lxy 的异侧，则(2,0),(4,)ABa的中点1,2a在直线:3410lxy 上，第 3 页 共 17 页 所以420a解得2a,故选:D.7“直线10 xay 与直线10axy 相互垂直”是“1a”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两直线垂直，求出a的值，则
5、可判断充分性和必要性.【详解】因为直线10 xay 与直线10axy 相互垂直，所以 110aa ，所以Ra 当1a 时，直线10 xay 与直线10axy 相互垂直，而当直线10 xay 与直线10axy 相互垂直时，1a 不一定成立，所以“直线10 xay 与直线10axy 相互垂直”是“1a”的必要而不充分条件，故选:B 8已知1F、2F是椭圆222210 xyabab的两个焦点，过2F的直线与椭圆交于A、B两点，若11:|:3:4:5AFABBF，则该椭圆的离心率为（）A32 B23 C312 D22【答案】D【分析】利用勾股定理得出1290F AF，利用椭圆的定义求得1AF、2AF，
6、利用勾股定理可得出关于a、c的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.【详解】如下图所示，设13AFt，则4ABt，15BFt，所以，22211AFABBF，所以，1290F AF，第 4 页 共 17 页 由椭圆定义可得11124AFABBFta，3at，13AFta，所以，212AFaAFa，所以，12AF F为等腰直角三角形，可得2221212AFAFFF，2224ac，所以，该椭圆的离心率为22cea.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、
7、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、多选题 9设直线l的方程为0 xym，圆C的方程为22440 xyxy，圆C上存在4个点到直线l的距离为2，则实数m的取值可能为（）A1 B2 C0 D2【答案】AC【分析】由圆的方程可得圆心和半径，根据题意可知圆心到直线l的距离2d，利用点到直线距离公式可求得m的范围，进而得到结果.【详解】圆C的方程可化为22228xy，可知圆心C为2,2，半径为2 2，若圆上存在4个点到直线l的距离为2，则2,2C到直线0 xym的距离2d，即2222m，解得：22m，则实数m的取值可能是1，0.故选：AC.
8、10 已知椭圆C：2219xym的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的 3 倍，则下列说法正确的是（）A椭圆C的长轴长为 6 B椭圆C的短轴长为 2 C椭圆C的焦距为2 2 D椭圆C的离心率为2 23【答案】ABD【分析】先由题意及椭圆的几何性质求得1m，从而得到3a，1b，2 2c，由此对选项逐一检验分析即可.第 5 页 共 17 页【详解】因为椭圆C：2219xym的焦点在y轴上，所以229,abm，又因为23 2ab，故229ab，即99m，故1m，对于 A，由29a 得3a，故椭圆C的长轴长为26a，故 A 正确；对于 B，由21bm得1b，故椭圆C的短轴长为22b，故 B 正确；对于 C
9、，因为2229 18cab，所以2 2c，故椭圆C的焦距为24 2c，故 C 错误；对于 D，易知椭圆C的离心率为2 23ca，故 D 正确.故选：ABD.11已知椭圆C：22143xy的左、右焦点分别为1F、2F，P为椭圆C上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（）A12PF F的周长为 8 B12PFF面积的最大值为3 C12PF PF的取值范围为2,3 D12PF PF的取值范围为3,4【答案】BCD【分析】根据已知求得2a，3b，1c.又椭圆的定义，即可判断 A 项；当点P为短轴顶点时，12PFF的面积最大，即可得到 B 项；设出点的坐标，表示出12PF PF，根据椭圆的范围即
10、可得到范围，进而判断 C 项；由椭圆的定义可得，124PFPF，221124PF PFPF，求出113PF时的值域，即可判断 D 项.【详解】由22143xy可得，2a，3b，1c.对于 A 项，12PFF的周长为1212226PFPFFFac，故 A 项错误；对于 B 项，设00,P x y，02x ，则1 212012PF FSFFy，所以当点P为短轴顶点时，12PFF的面积最大，最大面积为12332，故 B 项正确；对于 C 项，设00,P x y，022x，11,0F，21,0F，则1001,PFxy，2001,PFxy，第 6 页 共 17 页 则2212001PxF PyF.因为2
11、200143xy，所以2200334xy，所以0122224PF PFx，又2014x，所以0122234PF PFx，所以12PF PF的取值范围为2,3，故 C 项正确；对于 D 项，由124PFPF可得，124PFPF，由 C 知，2001,PFxy，则222220001144PFxyx，因为022x，所以2219PF，所以213PF，同理有113PF.所以122111424PF PFPFPFPF，当12PF时有最大值 4，当11PF 或13PF 时，值为 3，但是11PF 且13PF，所以12PF PF的取值范围为3,4，故 D 项正确.故选：BCD.12 已知边长为2的菱形1ABCD
12、中，160ADC（如图1所示），将1ADC沿对角线AC折起到ADC的位置（如图 2 所示），点P为棱BD上任意一点（点P不与B，D重合），则下列说法正确的是（）A四面体ABCD体积的最大值为 1 B当6BD 时，Q为线段CA上的动点，则线段PQ长度的最小值为62 C当6BD 时，点C到平面PAB的距离为2 155 D三棱锥PACD的体积与点P的位置无关【答案】ABC【分析】逐一进行验证，对 A，平面ACD 平面ABC时有体积最大，计算即可;对 B 建系计算PQ判断；对 C，计算AC mm即可；对 D 依据图形判断即可.【详解】如图 第 7 页 共 17 页 设O是AC的中点，根据题意知，ODA
13、C，OBAC，3OBOD，当折到平面ACD 平面ABC时，四面体ABCD的体积最大，此时四面体ABCD的最大体积1112331332ABCVSOD，故 A 正确；当6BD 时，因为222OBODBD，所以OBOD，所以OA，OB，OD两两垂直，以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设0,3Pbb，,0,0Q a，其中11a，03b，22222333222PQabbab，当0a，32b 时，PQ取得最小值为3622，故 B 正确；1,0,0A，0,3,0B，1,0,0C，0,0,3D，则1,3,0AB ，1,0,3AD ，2,0,0AC ，设,mx
14、y z为平面ABD的一个法向量，则30,30,xyxz ，令1y，得3,1,1m，所以点C到平面PAB（即平面ABD）的距离2 32 15531 1AC mdm，故 C正确；对于选项 D，显然随着点P的移动，该三棱锥的高（点P到平面ACD的距离）发生变化，因而其体积也发生变化，不是定值，故 D错误.故选：ABC.三、填空题 13已知向量2,0,1n 为平面的法向量，点1,2,1A 在内，点1,2,2P在外，则点 P 到平面的距离为_【答案】55#55【分析】根据给定条件，利用点到平面距离的向量求法计算作答.【详解】依题意，(2,0,3)AP，而平面的法向量为2,0,1n，所以点 P 到平面的距
15、离|2 2(3)1|55|5AP ndn .第 8 页 共 17 页 故答案为：55 14在平面直角坐标系xOy中，若圆224xy和圆224440 xyxy关于直线l对称，则直线l的方程为_.【答案】20 xy【分析】直线l为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.【详解】若圆224xy和圆224440 xyxy关于直线l对称，则直线l为两个圆心的中垂线，224xy的圆心为1(0,0)O，224440 xyxy的圆心为2(2,2)O.121O Ok，中点为(1,1)可得直线l为11yx ，整理得：20 xy.故答案为：20 xy.15已知点4,0A，2,2B是椭圆221259xy内的
16、两个点，M 是椭圆上的动点，则MAMB的最大值为_【答案】102 10#2 1010【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】依题意，椭圆方程为221259xy，所以5,3,4abc，所以4,0A是椭圆的右焦点，设左焦点为4,0C，根据椭圆的定义可知210MAMBaMCMBMBMC，2242022 10MBMCBC，所以MAMB的最大值为102 10.故答案为：102 10 16已知点0,3M，点M、N关于直线1:1lyx 对称，若直线2l过点N且与直线1l交于点P，若4PMNS，且直线2l的倾斜角大于1l的倾斜角，则直线2l的斜截式方程为_【答案】1133yx 第 9 页 共 17 页【分
17、析】利用两点关于直线的对称性求出点N的坐标，求出MN以及直线MN的方程，设点,1P tt，利用点到直线的距离公式以及4PMNS求出t的值，根据直线2l的斜率的取值范围为1,0得出点P的坐标，进而可求得直线2l的方程.【详解】设点,N a b，线段MN的中点为322a bE,，直线1l的斜率为1，由题意可得312231abba，解得21ab，即点2,1N，设点,1P tt，直线MN的方程为3yx，且22023 12 2MN，点P到直线MN的距离为21212tdt，112 22121422PMNSMN dtt，解得1t 或3t .因为直线2l的倾斜角大于1l的倾斜角，且直线1l的斜率为1，设直线2
18、l的斜率为2k，则210k.若1t 时，则点1,0P，此时20 11123k，合乎题意；若1t 时，则点1,2P，22 111 2k，不合乎题意.所以，直线2l的方程为1111333yxx .故答案为：1133yx.四、解答题 17已知平面直角坐标系xOy中，ABC的三个顶点的坐标分别为3,2A，5,2B，1,1C (1)若直线l过点 C 且与直线 AB 平行，求直线l的方程；(2)求线段 BC的垂直平分线方程【答案】(1)230 xy(2)122270 xy 【分析】（1）利用直线平行求得2lABkk，再利用点斜式即可求得直线l的方程；第 10 页 共 17 页（2）先利用中点坐标公式求得
19、BC 的中点32,2D，再利用直线垂直求得16mBCkk，从而利用点斜式即可求得所求.【详解】（1）因为3,2A，5,2B，所以22253ABk ，因为直线l与直线 AB平行，所以2lABkk，又因为直线l过点1,1C ，所以直线l为121yx ，即230 xy.（2）因为5,2B，1,1C ，所以 BC 的中点D为5 12 13,2,222，2 115 16BCk ，故线段 BC的垂直平分线m的斜率为16mBCkk，所以直线m为3622yx，即122270 xy.18如图，在四棱锥PABCD中，PB 底面ABCD，底面ABCD为梯形，/ADBC，,ADAB且3,1.PBABADBC (1)若
20、点F为PD上一点，且13PFPD，证明：/CF平面PAB;(2)求直线PA与平面BPD所成角的正弦值【答案】(1)见解析(2)12 【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)根据空间向量的坐标运算求线面夹角的正弦值.【详解】（1）作/FHAD交PA于点H，连接BH，第 11 页 共 17 页 因为13PFPD，所以113HFAD,又因为/ADBC，且1BC，所以/,HFBC HFBC，所以四边形HFCB为平行四边形，所以/CFBH，BH 平面PAB，CF 平面PAB，所以/CF平面PAB.（2）因为PB 平面ABCD,BC BA 平面ABCD,所以,PBBC PBAB,又因为/ADBC，
21、,ADAB所以,BCAB 则可以以B为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0),(0,0,3),(3,3,0),(0,3,0)BPDA，(3,3,3),(0,3,3),(3,3,0)PDPABD，设平面PBD的一个法向量为(,)nx y z，则3330330n PDxyzn BDxy，令1,x 则1,0yz，所以(1,1,0)n，设直线PA与平面BPD所成角为，31sincos,23 22PA nPA nPA n.19已知圆C过点1235,5,2,2,6,4AAA(1)求圆C的一般方程；(2)已知直线l过点45 5,(0)Aaa 且与直线22410lxy：平行，若直线l与圆C相切，求a
22、的值以及直线l的方程【答案】(1)2242200 xyxy;(2)2a;直线l的方程为2410 580 xy.第 12 页 共 17 页【分析】（1）利用待定系数法设出圆C的一般方程，代入已知点即可求解；（2）根据（1）的结论及圆的标准方程，利用平行系及直线与圆相切的条件，结合点到直线的距离公式及点在直线上即可求解.【详解】（1）设圆C的一般方程为220 xyDxEyF.因为1235,5,2,2,6,4AAA三点都在圆上，所以25255504422036 16640DEFDEFDEF，解得4,2,20DEF ,故圆C的一般方程为2242200 xyxy.（2）由（1）知，圆C的标准方程为222
23、125xy,所以圆心2,1C，半径为=5r.因为直线l与直线22410lxy：平行，所以设直线l的方程为2401xymm，因为直线l与圆C相切，所以圆心2,1C到直线l的距离为5,即2244524md，解得10 58m 或10 58m ，当10 58m 时，直线l的方程为2410 580 xy，又因为点45 5,(0)Aaa 在直线l上，所以2 5 5410 580a，解得5 520a（舍）.当10 58m 时，直线l的方程为2410 580 xy，又因为点45 5,(0)Aaa 在直线l上，所以2 5 5410 580a，解得2a,符合题意，所以2a，直线l的方程为2410 580 xy.2
24、0如图甲，在矩形ABCD中，22 2,ABADE为线段DC的中点，ADE沿直线AE折起，使得6DC，如图乙.第 13 页 共 17 页 (1)求证：BE 平面ADE；(2)线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为4若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点H是线段AB的中点 【分析】（1）作出辅助线，得到DOAE，DOOC，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由BEAE，面面垂直的性质得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设出H的坐标,2,0tt，求出平面的法向量，从而列出方程，求出t的值，确定H点位置.【详解】（1）证明：连接BE
25、，取线段AE的中点O，连接,DO OC，在 RtADE中，2DADE，,1DOAE DO，在OEC中，131,2,24OEAEECOEC，由余弦定理可得：22122 1252OC ，5OC 第 14 页 共 17 页 在DOC中，2226,DCDOOC DOOC，又,AEOCO,AE OC 平面ABCE，DO平面ABCE，又DO 平面,ADE 平面ADE 平面ABCE，在ABE中，2,2 2AEBEAB，BEAE 平面ADE平面,ABCEAE BE平面ABCE，BE平面ADE.（2）过E作DO的平行线l，以E为原点，,EA EB l分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1,0,
26、1,1,1,0,2,0,0,0,2,0DCAB，平面ADE的法向量10,1,0n，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的方程为2xy，设H的坐标为,2,0tt，则1,1,0,2,1,1HCttDC ，设平面DHC的法向量为2,nx y z，220,0nHCnDC，第 15 页 共 17 页 所以110,20txtyxyz，令1yt，则21,3,1,1,3xtztnttt ，由已知122221221cos421(1)(1)(3)n ntn nttt，解之得：1t 或 9（舍去），所以点H是线段AB的中点.21在圆心C在直线:2780lxy上，1,5B是圆C上的点；圆C过直线:240sxy和圆222
27、4160 xyxy的交点 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答 问题：已知在平面直角坐标系xOy中，圆C过点6,0A，且 (1)求圆C的标准方程；(2)求过点A的圆C的切线方程【答案】(1)选，223213xy；选，221334xy.(2)选，32180 xy；选，53300 xy.【分析】（1）选，求出线段AB的垂直平分线所在直线的方程，将其与直线l的方程联立，求出圆心C的坐标，并求出圆C的半径，即可得出圆C的半径；选，设圆C的方程为222416240 xyxyxy，将点A的坐标代入圆C的方程，求出的值，即可得出圆C的方程；（2）选或选，求出直线AC的斜率，可得出切线的斜率，再
28、利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】（1）解：若选，直线AB的斜率为5011 6ABk，线段AB的中点为7 5,2 2M，所以，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为5722yx，即1yx，联立27801xyyx可得32xy，故圆心为3,2C，圆C的半径为22630213AC，因此，圆C的方程为223213xy.若选，设圆C的方程为222416240 xyxyxy，第 16 页 共 17 页 将点A的坐标代入圆C的方程可得16320，解得2，所以，圆C的方程为2226240 xyxy，即221334xy.（2）解：若选，202363ACk，故所求切线的斜率为32，则过点A的圆C的切线方程为3
29、62yx，即32180 xy；若选，圆心为 1,3C，3031 65ACk，故所求切线的斜率为53，则过点A的圆C的切线方程为563yx，即53300 xy.22在平面直角坐标系中，已知两个定点0,6,0,3AB，曲线C上动点P满足2PAPB.(1)求曲线C的方程；(2)过点0,1D任作一条直线与曲线C交于,P Q两点(,P Q不在y轴上），设0,4E，并设直线OP和直线EQ交于点M.试证明：点M恒在一条定直线上，并求出此定直线方程.【答案】(1)2240 xyy(2)证明见解析；=2y 【分析】（1）设,P x y，进而根据距离公式整理化简即可；（2）由题知直线PQ斜率存在，设其方程为1yk
30、x，设1122,P x yQ x y，进而结合直线OP和直线EQ方程联立得1221121211212144,44x xx yMy xx yxy xx yx，再结合韦达定理整理化简得2My，进而得答案.【详解】（1）解：设,P x y，因为两个定点0,6,0,3AB，曲线C上动点P满足2PAPB.所以22226232PAxyxyPB，整理得：2240 xyy，所以，曲线C的方程为2240 xyy（2）解：因为过点0,1D任作一条直线与曲线C交于,P Q两点(,P Q不在y轴上），所以，直线PQ斜率存在，设其方程为1ykx，设1122,P x yQ x y，因为0,4E，所以直线OP方程为11yy
31、xx，直线EQ的方程为2244yyxx，第 17 页 共 17 页 所以，联立方程得112244yyxxyyxx得1221121211212144,44x xx yMy xx yxy xx yx 因为11221,1ykxykx，所以12121212121121212144441143Mx xx xx xxy xx yxkxxxkxxxx，21211221212112121214144441143Mxkxx ykx xxyy xx yxkxxx kxxxx 联立方程22140ykxxyy得221230kxkx，所以，12122223,11kxxx xkk，所以121223xxkx x，即121232xxx xk 所以，将121232xxx xk代入12221443Mkx xxyxx整理得：122211222121216423442333Mxxxxxkx xxyxxxxxx，所以，点M恒在定直线=2y上.