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1、第 4 讲 通项公式的求解策略:累乘法参考答案与试题解析一.选 择 题（共1小题）-11.（2021眉山模拟）已知数列 凡 的前项和为5“，且q用=j ,4=1,“eN”,则2 一1 “的通项公式4=（）A.n B.n+1 C.2/z 1 D.2?+l【解答】解：.川=竺3,“M 2/j-l二.（2 -1）%=4s-1 ，（2 九-3）an=4 s l 1（.2），一得：（2 -l）a+-（2 -3）。“=4%（九.2）,整理得：4=四土1（.2）,2H-12 n-l 2n-3 2n-5 5 3-2 n-3,2/?-5,2/z-7-3 7=2-1(”.2),乂4=1,符合上式，/.an=2n
2、.故选：C.二.填 空 题（共6小题）2.（2021浙江开学）已知数列仅“满足：4=2 0 2 0,。向=a；+a,-1（e N*）,若正整数k使得=邛+注 蓝：2 成立,则 :2021.【解答】解：数列“满足：4=2020,4川=a；+%-1（N）,所以q=s t l%+1则：q+a：+.+%：=-4 +1 +%a、+1+.+人+%+1=%+2020+k,a.+1%+1 a.+1 a.,+1a,a.a,&=卜 q+1 4+1 ak+2021由于4a2 4 二、+心+&+2 成立,1 2 人 2021所以 4+2022+0+2=%L超,解得人=2019.2021 2021故答案为：20213.
3、(2021银川二模)已知数列伍“满足q=2,且 幺+&+&+_+也=%一2(.2),则2 3 4 n a的通项公式为_ q,=n+_.【解答】解：.幺+亥+血+=4,-2(”.2),2 3 4 n-得：=“q 整理得：也=巴 匕，+1 向 an +1%=1,乂 旦=1,1 +1 +1.数列，是 以1为首项，1为公比的等比数列，+1/.+1，故答案为：an=n+.4.设 4 是首项为1的正项数列，且5 +1)。3-，履+4,4=0(=1，2,3,.),则为 =【解答】解：,.(+1)。3+。“+”=0(=1，2,3,.),(”+1)+1-4,.(见+|+%)=0，又a,0,(n+l)ari+l=
4、na,4=1，/.叫 i=1 x q=1 ,故答案为：；.4 n5.(2021 铁东区校级期中)已知数列 an满足4=11 1 1 /山、刖 2017%=4+7 2+二。3+-4-i(c N，九.2),a20I7=,2 3 n-2【解答】解：a =4+七+,%+*1 q一A N*,几.2),2 3 77-111化为：缶吟n=2 时,4=1.出Q 1 7一 20172 22017一 2017=一故答案为：警6.（2021江苏二模）已知数列 的首项为1,等比数列 满足=&a,且瓦,则。加,的 值 为1 .【解答】解：=4，且4=1，得4=血，4 4b2=,/.a3=a2b2=b1b2，%Z?3=,
5、a4=a3b3 =lb2b3,%=她 ,2016=4 4 也0 1 5 =（也2 O 1 5）S2%14）（伪0 0 7 009）4 0 0 8 ,也”1，,4%15=b2b2 Q 4 =10071009=（l008）=9。2 0 1 6 =1，故答案为：1.7.（2021 黄浦区校级期中）己知数列 “的首项q=2,数列屹 为等比数列，且=冬红，1又%也 =2018记，贝IJ%=4036.【解答】解：；数列a,的首项4 =2,数列出 为等比数列，目.”,=也，又 V n =201疝,an仿 仇.也。=义乌.&=包=（VI I）I（*=2 0 18,4。2 “2 0 2则%=2 0 18 x 2
6、 =4 0 3 6.故答案为：4 0 3 6.三.解 答 题(共6小题)8.(2 0 2 1 永 州 三 模)已 知 等 比 数 列%+2 的 公 比 q=2,q=l,数 列 也 满足:-=+(n e A ).%4 ai 4(I )求数列 ,的通项公式；(I I)证明：媪=匕 4；1 1 1 7(H I)求证：(1+)(1+)(1+)一.瓦 b2 bn 2【解答】(I )解：.数歹U a“+2 的公比q=2,首项4+2 =3,+2 =3 x 2 T ,an=3x2-2；(1【)证 明：v-=-+,4自 4 g a幺 乜=匕 成立;“+2”+1(I I I)证明：由（I）、（H）可知，4=1,b
7、t=（=4,得 必%4+2由%1 +2为+2 4用,（1+_ 1）（1+_ 1）*1+_ 1）=皿幺3*a b2 b 仄 b2 b3 b1 +4 1 +仇 1 +4 1 +2=1 U j L 叱+1她a b4%=1刍乌=媪瓦 a3 a4*4 4+2 *又-1-J-H-H-=14-F .4-4%41 1-；-H-3x2-2 3 x 2 -211 ak 3X2*T-23 x 2*-2(3X2*-2)(3X2A-2)3 x 2*(3X2*T-2)(3 x 2 -2)2：(3X21-2)-(3 2 -2)一 (3 x 2*-2)(3 x 2*-1-2)=2(!1)-3 x 2 4-2 3 x 2*-2
8、=2(-)(其中 k w N ),=1 H-(1+-)(1+-)(1+T-)(1+T-)=2(II)证明：.%(2+1)2“(2+1”2T.2 T-22n-11 ,。-14”-i1 ,a2nIF+1-8+1-33 6 47 3 6 21 1 1 1 1+/,o In-12rl(n+1)n(n+1)+1),n(n+l)n2+n-2=In-.2 12n(jt+1)愉+1)、八令x=-2(1 0，.1,I,(九 +1)n 4-H 2,x2 1 1 c则/-.=lnx (l)=0,Tn ,(n.2),由(1)(2)可知对于任意的n eN*,T.-2nnJ2(+1)10.求下列数列的通项公式.(1 )已
9、 知 4 满 足：4=0,a=a+n,求 数 列 4 的 一 个 通 项 公 式(已 知1 +2+.+=-);2(2)已知数列%满足4=1,=,求数列 为 的一个通项公式.【解答】解：(1)%=0,%+1=。“+，即可+i -a2 a=1,3 a2=2,a4-=3?.an an_x=H 1累 加 得 到凡一%+%W +%+.C C Y 5 +1)=1 +2+3+一 1 +一 鹿=-n=2nn 1)2n(n X)n(n-1)(2).伍”满足4=1,%1 =巴 吆a na2 _ 3，-4-_ 4，-a-4 =_ 一5，-a-5 _ 6 ，.9 -a-n-=_-n-+-ax 1 2 2 4 3 3
10、a4 4 an_ n-1累乘得到,a,a,a,an 3 4 5 6 n +l (+l)=X X X X.X-X-=-q a2 a3 a4 an_x 1 2 3 4 n-2 n-2n(n+1).%二 11.(2021 重庆三模)已知数列仅“是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前“项和为 S,，4.%=8 1,S,%,%S 3 成等差数列.(1)求数列%的通项公式；(2)若,求 4 也 的前项和巴，并求E,的最小值.从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题.数歹U ,满足：3b“+=”-bn(n e N)；2 n+2数列 b的前n项和T=n2(n e N*)；数列(
11、b的前w 项和Tn满足：6Tn-h=5(e N).【解答】解：设 数 列 ,的公比为q,则由a“0,a1-,=8 1,所以a；=8 1,因为。“0.所以 =9，因为5?，a3,4-6 3成等差数列，所以2%=其+%-5 3,即 3%=a4,所以 q =-=3,所以 q =1 ,%所以%=3，(2)选择：因为4=；,3勿+1岩 也*)，所以也L=_ L./_(e N),bn 3 n+2所以=1;白 3 3打 3 4*4_1XX-3.;4 3 54-X-2 X b3 X ,包 一1 3 n +1 h h2bnx 1 _ _ _ x2_ _ _ _ _ _3 37 5 +i)所以=3,3T n(n+
12、l)当=1时也成立.所以 c=a b=-=-n(n+)n n+所以匕=5)1 ,+(z 51 -尹1 +(.厂1 而1、)=1 因为2是递增的，所以4的最小值为巴=；,选择：由毒=2可知:当 =1 时，b、=T1=l,当”.2时，2=7；7；1=2一(-1)2=2 一1,验证当”=1时亦满足此关系,所以a=2-1所以 也=(2“_ 3 所以巴=1x 1+3x 3+5 x 32+(2”-1)X3T,3巴=1x 3+3x 32+5 x 3、+(2-l)x 3,所以月=(-1).3+1,因 为 是 递 增 的，所以2 的最小值4=1，选择：因为6 Z,-2=5（“eM）,所以 6 雪 _ 1_ 1=
13、5（“.2）,两式相减得6（7；-电-%）=0，即 5 2+1=0（.2）,所 以 且=（.2）%5而 6 7；-伪=5,即4=1所以数列也 是 以 1为首项，为公比的等比数列,所以勿=（_?1,所以 q,=A1_（一$5 3所以B =-=-11 +-8 55当n为奇数时，由于（-）w 0,故由只=-（_ 3）在 为偶数时单调递增,所以当=2 时，P”的最小值为.12.（2021 吴忠月考）己知数列 4 满足q =夜，4+1=而 之”,6.（1）求数列%的通项公式；（2）设=近 壬 近,”e N*,数列 包 的前项和S”，求证：Sjn+i(n G N*)；(2)证明：由(l)得：=近 亘 二
14、巫=卑已亚=J=彳2=,c inJn 7 n +Jn Jn+1S=b.+8 +.+Z?=-f=7=-4-j=尸+.H =1 /1 V I V 2 V 2 V 3 4n 册+1 V n +113.(2021辽 宁 模 拟)数 列 6满足 4=g,(22 l)(+1=(2M-2)q,(e N,).(1)求他“的通项公式；(2)q +/+,+4】【解答】解：（1）由（2+2-1）。田=（2向-2以（）可得，%L =2x否）an 2-1.2X5X.X 2X%限%2-1 2-2-1-2,-1 x 2x-x x 2x -2向一1 X 23-1x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _一 (2,+I-1)(2,-1)2/CL=,3 Ta (2,-l)(2n+-l)-(2)由(1)知，a,=-.?,2-1 2,+|-1.4+a,4-.4-dn_J_+_J_!_+_*_ l_=i-1_2,-1 22-l 22-l 23-l 2M-1 2n+l-l 2,+l-1