通项公式的求解策略累加法讲义及练习（解析版）.pdf

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1、第 3 讲 通项公式的求解策略:累加法参考答案与试题解析一.选 择 题（共 3 小题）1 数列 满足 q=1，“+=44+1(N，)，则-1-F.4-等于()a a2“2015A 2015 口 4028 0 2015”1007A.-D -C.-L)-2016 2015 1008 1008【解答】解：.%+=%+l(wN)，an+l-al t=n+l,a2-a=1 +1,%=2+1,%q =3+1,“一%=(D +1，以上等式相力口，得-4=1 +2+3+(-1)+一 1,把 q=1 代入上式得，afl=1+2+3+.+(n V)+n=1 2 J 1 、=-=2(-),an(+1)n+1+=2(

2、1-2)+(K)+(1 1%。2。2015 2 2 320152016)=2(1_)20162015 1008,故选：C.2.（2021秋城厢区校级月考）数列 q 中,a.=0,)f=/=,a=9,贝|J =(A.97B.98C.99D.1001【解答】解：根据题意得，+1J/7+1fn+J/+1 yn+J/2+1 +1-fn=J/2+1 -6;%-atl=，几+1 一 薪，即%4 /2 1q -a、=/3-/2=/4 /3a-4 T=G-!n-；将前n项相加可得：an-ax=一1即-1 =9,解得=100.故选：。.3.(2021 秋河南月考)在数列 “中,4=1,an-an_x=n(neN

3、+,几.2),则“十1的最7 2 +1小值是()1 3 3A.-B.-C.1 D.-2 4 2【解答】解：根据题意,数列 满足q=l,a_%=n,(九 +1)4 =(4 an-)+(。-1 一 an-2)+-.+(。2-4)+4=+(D+(2)+一+2+1=-，n(n+1)+则 2_L=+JL=Z LI+J _,，后 _,，当且仅当“二尤_ 时，取等号，7 7 +1 +1 2 +1 2 +1 2 2分析可得：当”=1时，殳里 有 最 小值，且最小值为1;n+1故选：C.二.填 空 题(共11小题)4.(2021歙县校级模拟)已知数列 满足4=1,4向-%=+1(%*),则数列-1 的a前202

4、1项的 和 为 型 也.一1008【解答】解：=1,4+1-4 =H+K N),.几.2时，alt=(an _%)+(%一%_2)+(%一%)+%=+(-1)+2+1=迎 上12,=i时也成立.2(+1)an=，1 2 1 1 、=-=2(-)-an n(n+1)n n+数列 的前 2021 项的和=2(1-)+(-)+.+(-)凡 2 2 3 2015 20162 0 1 51 0 0 8故答案为:1 0 0 85 .(2 0 2 1 秋合肥校级月考)定义函数/(X)=,其中表示不小于x的最小整数，如=2,=-2,当x w(0,川(N D 时，函数f(x)的值域为A.，记集合 A,中 的 元

5、 素 的 个 数 为 则 l+_ 1 +=_些_.峻 -1 0 0 8【解答】解：由题意易知：当”=1 时，因为x e(0,1 ,所以&=1,所以*幻=1,所以A=1，4=1;当”=2 时，因为 x e(l,2 ,所以灯=2,所以“幻)(2,4 ,所以4=1,3,4 ,a2=3；当”=3 时，因为 x w(2,3J ,所以“=3,所以x x =3x e(6,9 ,所以4=1 ,3,4,7 8,9,生=6 ;当 =4 时，因为x e(3,4 ,所以灯=4,所以同后=4 幻(1 2,1 6 ,所以儿=1,3,4,7,8,9,1 3,1 4,1 5,1 6 ,4 =1 0；当 =5 时，因为 x w

6、(4,5 ,所以x =5,所以x x =5 x e(2 0 ,2 5 ,所以&=1,3,4,7,8,9,1 3,1 4,1 5,1 6,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5 ,%=1 5,由此类推：an-an_+n.所以4,-41T =，EP a,-a,=2 ,c-a=3,a4-0 3=4 ,an-an_t=n,以 上 个 式 子 相 加 得，q-4=%二 地 土&,解得。=曳”所以4 心+1)%生2 0 1 51 0 0 8故答案为:6 .(2 0 2 1 春崇川区校级月考)已知各项都为整数的数列 中，4 =2 ,且对任意的 N ,满足。“+1 a”3x 2 1,则 a?。被 3 除所得余

7、数为 2 .【解答】解：-2+；,所以%一%2+，两式左右两边分别相加得q+2 -%3 2 -1 ,艮 A 2 N*,所以“2 4=3x 2，从 IIIJ 2 019=(2 019 2 01 7)+(2 017 2 015)+(3-4)+。|4,0 0 9-1=3(22 017+22 015+2)+2=3X2X4_1 +2 =2 2 39=(3 1产 9 =3 刈一瘾 9 32 38 +.十 篇:召一14 1=3(32 0 1 8-2 0 1 9 X 32 0 1 7+.)-3+2 ,所以 刈9被3除所得余数为2.故答案为：2.7.(2 0 2 1娄底二模)已知各项均为整数的数列%中，4=2,

8、且对任意的GN*,满足W2+.4+2 一4 3x 2 -1，贝U a刈，=_2切7 _-【解答】解：由满足2+L。,+2 。+1 2+万，+2-%3x 2-1.*-,=3x 2.一%17=(“2 017 “2 015)+(“2 015 4 2 0 1 3)+(/=3x 22 0 1 5+3x 2刈 +.+3x 2l+2故答案为：2237.8.(2 0 2 1武昌区模 拟)数 列 凡 的 前 项和为S”,4=1,an+an+i=4x3n-,则邑期=3202 _-2 _【解答】解：由题意，可知$2 02 0=|+。2 +”+。2 02 0=(+a2)+(a3+a4)+(a5+%)+(4”9+a2

9、O2()=4x1+4x3?+4 x 3,+4x3刈 8=4X(1+32+34+.+32018)1一 3刈8.32=4 x-；1-32_ 32020-1-2-,o2020 _ 故答案为：29.(2021 石家庄一模)已知数列 4,满足4=1,且 4 川+4=/?-1 0 0 9 5 N*),该数列的前项和为S“，则S刈9=1010.【解答】解：由题意，可知$2019=%+%+“4+,+2018+2 0 1 9=%+(。2 +3)+(04+%)+(02018+02019)=1 +(2-1009)+(4-1009)+.+(2018-1009)=1 +(24-44-.+2018)-1009x1009=

10、1 +1O O 9X(2 +2 O 1 8)-1009x10092=1010.故答案为：1010.10.(2 0 2 1 秋 建邺区 校 级 月 考)已 知 数 列%的前项和为s“，满 足 4=-g,且710可+1 =(e N*),则 S,(=_ +2 11【解答】解：由题意，可得2 1 14+4 用=2 ,o=-二，n+2n n n+2/.Si。=4+=(4+2)+(q+4)+(4 +4。)1 1 1=1-1-F3 3 5=1-11110=.11故答案为：1111.(2021秋龙凤区校级期中)若数列 a“满足4=1,(T)”(a.+4.J =3.2T(e N*),数列 的通项公式d=%，则数

11、列电 的前10项和S1 0=_-|_(2-1)(2-1)【解答】解：(-l)3.+q川)=3.2T(e N),可得(q +0,)=3,%+q =32，(%+%)=3,4，4 +%=3*8.(-1)(4 +。用)=3.2-,7 _ 3 7W累 加 可 得=(一1)+1)=(-1)(3.2-2),1%则么=(2n-l)(2,+1-1)=(-1).(3.2-2)(2Z,-1)(2,+1-1)=(T)(-1-;-2 _ 1 2向-即有品)=-(1+-)+(+)-(+)+.+-)+010 3 3 7 7 15 29-l 2,0-l210-1 +2-1)1 20461=2-1-2047故答案为翳12.(2

12、021梅河口市校级模拟)设数列 满 足 +-(+1)=(/IG,4 =ann+2 2n7+T【解答】解：数列 满足：也”+1 一（+1）=（ne N）,n+21*%1 +l n(+l)(n+2)H+1 n+2%_ 也+-+&_ 幺+4n n n n 2 2 1_ _ 1_ _J_ _ J_ j_n n+i n 1 n 232=in+12n故答案为：工/?+113.（2021 兰 州 模 拟）已 知 数 歹ij a满 足q =1，I 若4,(4T+2a“+1)=34i.a.+1(.2,w N*),则数列%的通项 4 =_-z 1【解答】解：“M i+2aM,+=314+1(n.2,neN+),.

13、数列 J _-_ L 是等比数列，首项与公比都为2,4,口 a-2 .n+i 412 _.”.2 时，=2-+2-2+2+1=-=20-1.2-1则数列/的通项为=了则数列 4 的通项故答案为:14.(2021 云 南 二 模)在 数 列 4 中，4=2,若 平 面 向 量 神=(2,“+1)与c“=(-l+a“+i 平 行,则 “的通项公式为_an(”+16)(1)2【解答】解：.平面向量=(2,+1)与3=(-1 +4+|-4,4)平行，2a=(n+1)(-1+a+l-a ),整理为：(n+3)a+(n+1)=(n+l)a+I,.2 时，(n+2)a_1+n=n a ,相 减 可 得:(2

14、n+3)a+1 -(n+2)an_=(n+l)a+l(2+5)a+I+l-(n +3)a=(n+2)a+2.相减可得：3a,川-3a,=a,l+2+ari,.(4+2-%)+(-n-i)=2(a+1 a),25乂 q=2,a2=5 f q =.数列 2-6是等差数列，首项为3,公差为;.=x(-1)(9+7),(+16)5 1)-1-2=-故答案为：S+2.三.解 答 题（共5小题）1 5.已知各项都是正数的数列口 的前项和为S，S“=a a ，n e N*.（1）求数列 a“的通项公式；设数列 b“满足：4=1,b“一bT=2a（n.2）,求数列 的b.前项和I,;（2）若1,2（+4）对任

15、意 w M恒成立，求2的取值范围.【解答】解：（1）:S“=4；+1%,.S,i=a“_：+g q i（.2）,一得：a=（a；+g 4）-（%一：+；a“T）整理得：a；-a,.：=；（%+%T）（.2），又。0,%-41=；，乂 =4 2+（4 解得4=；,数列 4是首项与公差均 为;的等差数列，n又么=1,bn-bn_x=2an=n,=b、+（4一/7 1）+（4 A）+（bn-）=l+2 +3+77=-=-=2（-）,bn （九+1）n n+1 =2（1 -士）+（K）+（-：）=2（1 =2 2 3 n 7 1 +1 1 +1 +（2）若4（+4）对任意 w N 恒成立,即二巴,4

16、+4）对任意n e N*恒成立=2.-一=?恒成立,1+7?犷+5 +4-4 n 4-F Jn.-n +-+5.2,L +5 =9 （当且仅当 =2时取等号），n v n?_ 9.九4，即的取值范围为小，+o o）.1 6.（2021秋 海淀区校级月考）已知数列 an满 足4 =1，4=2,2 =a-,neNbn=an+l-an.（I ）求白，伪的值；（H）证明：4 是等比数列；（I I I）求 可 的通项公式.【解答】（I）解：由题意知：伉=K 4 =2 1 =1 ,/=。3 =-L（I I）证明：由（I）可 知,b =1,当儿.2 时，hn=an+l-an=%；/%=一=一 争4,所以 2

17、 是 以 i 为首项，-工为公比的等比数列.综上所述，命题得证.当=时，=1=,所以若综上所述，.“的通项公式为a,=|-g（-；）T1 7.（2 0 2 1 春湖北期中）设数列 ,满足q=l,%-4=舟,“w N.（1）求数列伍“的通项公式；(2)令d=g(2 +l)(4-a“)，求数列 或 的前项和S“.【解答】解：(1)数列 4 满足q=l，4 向-勺=黄,%*.-、2所以：an-an-*.，a2-a1=2,利用累加法：4-a,=3 -(g)2,整理得：q=4-(；)一 2,(首项符合通项)，故q=4-(支 2.(2)由(1)得2=g(2 +l)(4-a,)=(2 +l A(g)i,所以

18、 S“=3 *g)+5 x(I)+.+(2 +1)(；)i ，殳=3 x(?+5 x(与+(2 +1).(与 3 3 3 3一得：g s”=1 +2 g)+(g)+.+1-(2H+1)-(-)整理得：5“=6 -(+2)(，i .2%1 8.数列 满足 4 =1,。=号;-(.2,e N，).2（I）设=土，求数列电 的通项公式；a（I I）设c“=-!-，求数列%的前”项和为1.并证明（仇 +-1）%8【解答】解：（I ）由,=1,an2%,i2 +(4 -2)q1T N),可得_1=三%2%2 S%1 2 一1-1-2%2Q tl所以-4%4=2+3+5+(2n 1)=1 +n(l+2 -

19、1)=1 +/,即有4=1 +岛2(I I)证明：由(I)可得“二 至1则 cn=-(+?)2+in2+2n+2 1 1(n+1)2向 一 西+菽7(n+l)-2,+l1 +(+1)2-(1-)所以7；=4 f1-21 1-I-1-p-I-2 2-22 2-22 3-23 n-2(n+l)-2n+l_ _ _1_ 1一百十 -5 +1).2+|-2(+1)-2+,由数列 7；是递增数列，可得。.工=3，8所以O19.(2021春大竹县校级期中)记5,为数列%的前项和，2S,-4=9(“).(1)求4+4*；(2)令2=q,+2-a”，数列他,的前项和为4,证明对任意“w N*,1 ；.【解答】解：(1)数列“的前”项 和,2s,-、=击(e M),当.2 时,2s“+|一%+|=,一得：。,+1+/=-；证明：(2)由 于/+4=_，a 计2 +%=-1故：an+2 -an=7T；即勿=击，所以数列 4 是 以;为首项,，为公比的等比数列;211、x(l-)故7121 11/尹 5