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1、20220912高三数学周练（二）一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合4 =-1,1,2,4,B =|I-1|0 b B.a 5 0 C.6 a 0 D.b 0 a8.己知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.|B.C.吏 D.吏3 2 3 2二、多 选 题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分。）9.如图，四边形ABCD为正方形，EIXL平面力BCD，FB/ED,AB=ED=2 F B,记三
2、棱锥 E-4 C。，F-A B C,F 4C E的体积分别为必，必，%,则（A.匕=2%B.%=2匕C.%=%+4D.2%=3%1 0.已知函数，（工）=血（2工+州0 8 -2 C.x2+y2 2 D.x2+y2 11 2.已知O为坐标原点，过抛物线。：/=2 工,0）的焦点尸的直线与。交于4，B两点，点A在第一象限，点M（p,0）,若|4F|=M M|,则（）A.直线AB的斜率为2，百C.AB4OFB.OB=OFD.Z.OAM+Z.OBM 180三、填 空 题（本大题共4小题，共20.0分）13.随机变量X服从正态分布N（2 2）,若P（2 2.5）=.14.已知函数六工）=/（公2 工
3、一 2 一）是偶函数，则&=.15.（1 凹）（工+济 的展开式中46的系数为_ _ _（用数字作答）.16.已知椭圆C W +g=l（ab。），。的上顶点为A,两个焦点为尸i，玛，离心率为过用且垂直于A 耳的直线与。交于D,E 两点，|D E|=6,则 A Q E 的 周 长 是.四、解 答 题（本大题共4 小题，共 40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10.0分）记 A B C 的内角 A,B,。的对边分别为 a,b,c,已知8 i n C 8 i n（4-B）=si n B si n（C-4）.（1）若 A =2B，求 C:证明：2 a 2 =反+d.1 8
4、 .（本小题1 0.0 分）记 S”为数列 厮 的前n 项 和.已 知 也+n =2 0n+1.n 证明：册 是等差数列：（2）若 口 4,所,如成等比数列，求 S*的最小值.1 9.（本小题1 0.0 分）如图，PO是三棱锥P-4 B C的高，P A =P B,AB A.A C,E是 PB 的中点.（1）证明：OE平面P A O;（2）若 N 4 8 0 =NC80=3 0，尸。=3,P A=5,求二面角。一 A E 3正弦值.2 0 .（本小题1 0.0 分）已知函数了（z）=d H,g（x）=x2+a,曲线2/=/（工）在点（z i J（矶）处的切线也是曲线n =g（工）的切线.若 x
5、i =-1,求 a;（2）求 a 的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了集合的交集运算.【解答】解：方法一：通过解不等式可得集合B=工|0 W 4 W 2,则4 n B =1,2,故B正确.法二：代入排除法.1=1代入集合5=工呢 可得|工一1|=|一1一1|=21,x=-l,不满足,排除4、。;工=4代入集合B=却工一 1|1,可得忸-1|=|4 -1|=3 1,x=4,不满足，排除。，故8正确.2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数的模的运算以及共辗复数，复数的加减以及乘法运算，属于基础题.【解答】解：由 z=l +,故 四+舐=*1+。+3(1。=2
6、2晨 iz+Sz=2-2i=2/2.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查古典概型的概率计算，属于基础题.【解答】解：无放回随机抽取2张方法有 1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6;共15种，其中数字之积为4的倍数的是1,4;2,4;2,6;3,4；4,5;4,6;共 6种，P=*=10 04.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数图象的辨别，是基础题.【解答】TT 7T解：令/（X）=（3 -3-工）coax,X,则/（z）=（3-，3 ）co s（x）=（3,3 a）co s x=f（x）,所以切为奇函数，排
7、除B D;又当工G（0 吃）时，3s 3 T 0,c o s c 0,所以/（0 0,排除C.5 .【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.由 1）=-2,/（1）=0,可得求得a,b,从而求得/（工），即可得出答案.【解答】解：因为函数八乃定义域为Q+8）,所以依题可知，/（i）=-2,r=0,而（工）=:一白，所以b =-2,a-b =0，即a =-2,b =-2,所 以 加）=一9介 会9因此函数人工）在（0,1）上递增，在（1,+0 0）上递减，Z=1时取最大值，满足题意，即有/（2）=-1+|=-1.6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查线面角的
8、求解，属中档题.作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可.【解答】解：如图所示:不妨设AB =a,4D =b,44i =c,依题意及长方体的结构特征可知，Bi。与 平 面 所 成 角为 N B 1 D B,3。与平面4 4 田田所成角为NOB 4,所以s i n 3 0 =蠢=焉，即方=c,B iD =2c=d ,解得 a y/2c-对于 A,A B=a,AD=b，AB=V 2 AD.A 错误；对于B,过 B作BE_L4BI于E，易知B E J L 平面力B i 。，所以A B与平面力耳G。所成角为Z BAE,因为 t a n N B 4 E =避，所以 NB4 E#30,B错误；a 2对于
9、。，A C=/a?+接=,C B i=，&2+C2=/c,A C C B ,C 错误；对于D，3。与平面BBQC所成角为ND BQ,s i n N DB i。=黑=挈，B iD 2c 2而 0 N D B Q 正确.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查指数对数变换比较大小，属于中档题.【解答】解：由 9 m =1 0，可得m=l o ggl O e(1,1.5).根据a,6 的形式构造函数六句二:一工一 1(工 1),则/(工)=g m-i -1,令 f x=0,解得费=T Od s,由 m=l o gg 1 0 e(1,1.5)知 XQ G(0,1)./Q)在(1,+o o)上单调递增,所
10、以/(1 0)8),即a b,又因为八9)=型助1-1 0=0,所以a 0 6.8.【答案】。【解析】【分析】本题考查圆锥体积，最值计算.【解答】解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r,则7=名，2所 以 该 四 棱 锥 的 高 九 所 以 体 积v-y1 一日,设 a?=2),4(修一9 0,单调递减，所以当T时，V取最大，此时A当五 t 2,o9.【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查三棱锥的体积，属于基础题.【解答】i 4 I 9解：设4B =ED=2FB=2,则 =q x 2 x 2=司，/=Q x 2 x 1=石.连结 交 A
11、。于J J J oM f 连结 E M、F M 则 F M -v3，EM =/6，EF=3,故 SEMF=。,3 y/6 ，K=9ZEM FX4C=2,%=%+，2K=3%.o10.【答案】AD【分析】解：由题意得：/()=疝 1(芋+8)=0,V O47r 47r所以 v +8=k 7 r,即夕=+k7r,k w Z,o o27r又 0 W TT,所以 A:=2 时，9?=,V27r故/()=sin(2x+).o选项A:一。,金 时，2 x+y e(y,y),由V=sin u 图象知外r)在(0篇)单调递减；选项e(噎的+与呜冷 由y=sin u 图象知/(x)在(-A,恃)有 1个极值点;
12、选 项 C：由于了住)=sin37r=0,故直线s=,不 是/(x)的对称轴；选项D：令?(x)=2 cos(2z+与)=-1,得 cos(21+与)=-i,-27r 27r 八 27r 4TT 解得 2x+=+2fc7T 或 2c+=+2fc7T，k W Z,J J u u、7T从而得1=/0a或 劣=豆+加，k W Z,o令 去=0,则从而切线方程为y _ Y =_ Q _ 0),即a=渔_42 2【解答】本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的单调性、三角函数的对称轴与对称中心，函数的极值，切线方程的求解，属于中档题.1 1.【答案】B C【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属
13、于中档题.利用（X +y）2=1 +3xy 进行求解.【解答】解：因为 7 +y2 g/=1,所以（笈 +y）?=1 +3z?W 1 +3（土。尸，化简得3 +切2忘4,所以一2 W z +y4 2.故A错，8对；由，+y2=（z +y）2 2xy=l+x y,则（z +?=1 +3xy 故 叼41,则 x2+y2=1 +z y W 2，当工=y 时，满足/+y2 印=L但此时x2+y2 1不成立，故C对，D错.1 2.【答案】A C D【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题。【解答】p解：选 项4：设尸河中点为N，则T,_ 万+_3,所以XA 工N AP心=2 p 1 4
14、=2 p ,%=$2（以 0）,所 以 以=_ p,故版B选项B：声+画=今:空+西及 十5以所P-3=P-3冬.所以|0 8|=嗾+成=9+孚=告吟选项 C:AB=%+专 +p=浮 2p=4|0F|.选项。：由选项4,B知4%，苧P)B(*P)所以温,屈 =(%,今喝一#)=1 _/=_%0，所以/4 0 B为钝角；乂 MA.“8=(一今博P),(争-苧)=一 步2 0,所以/AW B为钝角,所以 Z.OAM+Z.OBM 2)=0.5,故P(X2.5)=P(X 2)-P(2 X 尸1（G。）鸟（G 0）则，A6 ：y=y/3x+/3c IED:y=x+c）23解得交点M坐标，直线0 E垂直平
15、分A E，即|E周=田玛|,川=|0局，联立方程结合韦12达定理可求得c=即可求得用 的周长.8【解答】解：由椭圆离心率为可，可得a=2 c,则b=，口2 4，则椭圆。：W +乙=1，4（0,后），g（c,0）,F2（C,0）,4（r故直线 D E垂直平分 4用，B P EA=EF2,DA=DF2,r2又-_L 2 I_=14 c2 十 3 c22/=(c+c)=-1 3 a;2+8cx 3 2 d =08 c+D+如=T TJ L o3 2 c2工D E=-j g-/.DE=3 XD XE=6 =(XD +ZE)2 如/E=2 7 =c=o所以 AD E 的周长 A D +A E+D E=D
16、 F2 +EF2 +=4 a=8 c=1 3.1 7 .【答案】解：*/A =2 B,知8 i n C 8 i n(4-B)=si n 8 si n(C-4),/.sm C si n B =si n B si n(C 2 B),又 si n B O,/.si n (7 =si n(C 2 B),可得C+C-2H=1 8 0,又 4 =2 1 3,A+B +C=1 80,可解得。=1 1 2.5 ;证明：由 8 i n C si n(A -B)=si n B si n(C 4)可化简为：si n (7 si n 1 co s B si n (7 co s A si n.B =si n B si
17、n C J co s A si n B co sC si n A,由正弦定理可得 QC co s B 6 c co s 1 =fee co s.4 ab co s C,即 ac co s B=2 bcco s A aft co s(7,由余弦定理可得a c x叱,=26cx-a b x)逢 二，即证得2(?=俨+c22 a c 2bc 2ab【解析】本题主要考查了正余弦定理的综合应用，以及两角和与差的正弦公式，考查了运算求解能力，属于中档题.1 8 .【答案】解：(1)因 为 空+n =2 0n+1,即2&+n 2 =2 n 0n+n ，n-当 m2 时，2 Sn_ i+(n-l)2=2(n
18、-1)-1 +(n-1)，一得，2 S+打？2Sn-i (n I)?=2 7 1 0n+”2(n 1)即一 i (n 1)，即 2 0n+In 1 =2 n an-2(n 1)而_ 1 +1,即 2(n -l)a -2(n -1)诙_ 1 =2(n -1),所以 4 O n-i=1，n22且 功丘 N*,所以 厮 是以1 为公差的等差数列.由(1)可得a 4 =5+3,a 7 =a i+6,a g =a i+8,又 a*a7,1 Q所以 =一1 3,所以 S。n =-12n+-n（n-1-）=1 n22-y25n =-1f/n-y25 1 2-62-5）所以，当n=12或n=13时（$”）如=
19、78.【解析】本题考查等差数列的判定与等比数列性质、等差数列前n项和最值问题.19.【答案】解：（1）法一：连接0 4、0B,因为P 0是三棱锥P-4 8。的高，所以P0_L平面A 3 0,所以PO_LO4,P O 1.O B,所以 Z.P0A=Z.P0B=90，又 PH=P B，P。=P。，所以POA经P 0 3，所以 0 4 =。口,作AB中点D，连接O。、D E,则有又4B L 4C，所以0。4。，又因为0 0 c平面PAC，4。仁平面9 4 0,所以0。平面PAC，又D、E分别为AB、P 8的中点，所以，在BPA中，D E/PA又因为D E 0平面R 4 C,4仁平面力。，所以。E平面
20、PAC，又O 0、。（2平面0。旧，0 D Q D E =D,所以平面ODE平面PAO,又OEC：平面O D E,所以OE平面法二：（1）连接 0 4、OB,因为P。是三棱锥P-4 8。的高，所以尸。_1 _平面A B O,所以PCLLOA,P 0 0 B,所以 NPO4=ZPOB=90，又PH=P B，P O =P O，所以POA空POB,所以。4 =。8，又4B_LA7，在4 8尸，。为B F中点，延长B。，交AC于F,连接PF,所以在P B F中，。、E分别为B F、P B的中点，所以EO P尸，因为E 0,平面P 4。，尸歹（2平面P 4。，所以E。平面R40;法一：过点。作OF O
21、P,以DB为a:轴，。为？轴，O F为z轴.建立如图所示的空间直角坐标系.C因为 P0=3,PA=5,由（l）0 4 =0B=4,又 N A B O =N OB O=3 0，所以。0=2,DB=2四,所以 P(0,2,3),B(2 v%0,0)，A(-2 5/3,0,0),E(V1,Q,设 4。=a,则。(一 2/,1,0),平 面 的 法 向 量 设为用=(H 1,被/1),直线4B 的方向向量可设为过=(1,0,0),直线OPU 平面A EB,直线0P的方向向量为7=(0,2,3)/同=0/x i=0苏=0 所以(2 yl+3 为=0 所以,i =0,设 阴=3,则 句=一 2,所 以 君
22、=(0,3,2);_ _ Q平面A E。的法向量设为否=(物彼，胃力=(0,a,0)AE=(3/3,1,-)zU,所以，3 ，所以例=0,设工2=通，则 2 2 =-6,I 女./=0 3,35+以+齐 2 =0 2所以”=(，5,0,-6);所以co s=同|园|=/1 3 x 3 9 =1 3 7 3 =二面角。一A E 3的平面角为。，则sin J=co sZ j =所以二面角C-AE-B 的正弦值为去法二：(2)过点A 作 A 尸。P,以4B 为了轴，为 3/轴，A 尸为z 轴建立所示的空间直角坐标系.因为 P O =3,P A=5,由(1)0 4 =OB =4,又 N 4 8 0 =
23、N C80=3 0，所以，A B =4，所以 P(2，,2,3),B(4 v,0 0)，Q4(0,0,0),E(3 V1,，设 4。=a,则。(0,a,0),Zi平面 4EB 的法向量设为存=(4/3,0)0),=(3/3,1,)f 4d .肃=0 4，i=02 一 ，所以厂 3 ，所以为=0 设 的=一 2,则%=3,1 AE 元=0 3 VdX i+y i 4-2?i=0所 以 君=(0,3,2);平面4EO的法向量设为苏=(吃”,z),而=(0,a,0)，A =(3A/3,1,1)前周=0 所以 哪=3-r=o 3瓜 s+y a +5 Z 2 =所以阴=0,设 数=四，则 Z 2 =-6
24、,所以用=(，9,0,6);而 N/T t、n t-n 5 1 2 V1 2 4 遮网 园|/1 3 x y/39 1 3A/3 1 3二面角。一 A E-B 的平面角为0,则8 i n J=，l 一一6 2 6=2,l u所以二面角。A E B 的正弦值为巳1.0【解析】本题考查线面平行与二面角的求解，考查学生的空间想象与计算能力，有一定的难度.20.【答案】解：(1).f(x)=3X2-1,./(-I)=2,且/(-l)=0故 V =在点(-1,0)处的切线方程为y=2x+2又 乡=2 2+2与 沙=9(工)相切，将直线y=2x+2代入y=gx)=炉+a 得，-22+a -2=0由 A =
25、4 4 a +8 =0 得 a =3(2)/fx)=3/_ 1,曲线y=六)在点Q i JQ i)处的切线方程为y (x i3 珀=(3 阳2 1)(2;i),即 y=(3 x i2 1)3 -2i8;由 g(i)=右+a 得 /(x)=2%,设 y=g(t)在点(g(此)处的切线方程为y-(x22+a)=2x2(x-x2),即 y=2X2X-X22+a，3 z J 1 =2x2-2 双3 =a_ 4卜/.a =X22-2x i3=i(9 i4 _ 8 x i3 6xi2+1).令 h(xi)=9 x i4 -6 1 J+1,则 hf(xi)=3 6 8 24 a?J-i2x1 =1 2xi(xi l)(3 z i +1)当的 一；或 ov6 i 时，(工 i)o,此时函数 =万(出 1)单调递减；当一:z i i时，（叼）0,此时函数？=单调递增又 （一3 a，九（）=1，九（1）=一4，二 Ml rn i n =M D =-4-4/.。-7 =-1，故。一14【解析】本题考查利用导数研究函数的切线方程，属于较难题.