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1、20220919数学周考（三）一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.集合4 =制/-4 x +3 2 0,B=x|/og/l ,则4 B 间的关系是（）A.4n B =0 B,AJ B=R C.A B D.B Q A2 .已知复数z =l +i,设复数w =，则w的虚部是（）z2A.1 B.1 C.i D.i3.已知直三棱柱ABC -A B iG 的6 个顶点都在球。的球面上.若AB=1,AC=V3.AB 1 AC,a&=4,则球。的表面积为（）A.5 兀 B.10/r C.2 0兀 D.变包34 .在等比数列 斯 中，已知。2 02 0
2、0,则。2 02 1。2 02 4”是“&2 02 2 。2 02 3”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5 .设P（4|8）=P（8 =提 P（彳）=|，则P=（）A.B.；C.J D.I62336,给定两个长度为2 的平面向量成和 而，它们的夹角为12 0。.如图所示，点C 在以。为圆心2 为半径的圆弧4 B 上运动，则 万 瓦 的 最小值为（）7.对任意的右/2 6（1,3,当 1小时，匕一上一111蜘0恒成立，则实数1的取值范围是（）3 4 2A.3,+O Q）B.（3,4-00）C.9,+oo）D.（9,+8）8.已知Fi，尸 2 是椭
3、圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且I P FJ|P F2|,线段P F1的垂直平分线过尸 2,若椭圆的离心率为双曲线的离心率为e2,则2+年的最小值（）el/A.V6B.3C.6D.V3二、多 选 题（本大题共4 小题，共 20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数/。）=sin 0）的图象与直线y=1的交点中，距离最近的两点间的距离为兀，贝lj（）A.3=2C.%=:是/（%）的一条对称轴1 0.函数/（%）=悬的大致图象可能是（）B.函数/（x）在 一?用上单调递增D.函数/（X）在 0,网上存在唯一零点詈1 1.如图，在直三棱柱4BC 4B1G 中，CC=V6.A
4、B=BC=2,AC=2 g 点M是 棱 的中点，则下列说法正确的是（）A.异面直线BC 与Bi M 所成的角为90。B.在JC上存在点D,使MO平面力BCC.二面角当-A C-B 的大小为6 0。D.Bi M 1 CM12 .曲线y =/1与曲线y =l n x()A.在点(1,0)处相交 B.在点(1,0)处相切C.存在相互平行的切线D.有两个交点三、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13.已知a b 0,a+b=5,则+7 7 的最小值为_ _ _ _ _ _。a+1 b+114 .数学家欧拉在17 6 5 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为
5、三角形的欧拉线.已知AABC的顶点4(2,0),8(0,4),C(-4,0),则其欧拉线方程为-1 5 .春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为P，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物1 0株，设X 为其中成活的株数，若X的方差D(X)=2.1,P(X =3)1使得/(与)=9(x2),则实数a的 最 大 值 为.四、解答题(本大题共4 小题，共 40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 7.(本小题1 0.0分)A B C 中，sin2/l-sin2B sin2 c=sinBsinC.求
6、 4(2)若B C =3,求 A B C 周长的最大值.1 8 .(本小题1 0.0分)如图，平面4 B C D 1 平面A B E,点E 为半圆弧油 上异于4B的点,在矩形A B C C 中,A B =&B C，设平面A B E 与平面C D E 的交线为，.(1)证明：1 平面力B C D；(2)当/与半圆弧B 相切时，求二面角A -D E-C 的余弦值.1 9 .(本小题1 0.0分)已知数列 an 前71 项和为5,且的=3,S”=an+1-1,数列%为等差数列,a2=b4,且一+=b?.(I)求数列 an 和出n 的通项公式；(n)若金=僦，求 0 的前n项和7；.2 0.(本小题1
7、 0.0分)已知函数/(%)=xlnx 4-(1 -a)x+a.(1)当Q=0时，求曲线y =/(%)在点(1 ,/(1)处的切线方程；(2)若对任意x (0,1),不等式/(%)0恒成立，求正整数a的最小值.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法以及对数不等式的解法，集合关系的判断，属于基础题.先利用一元二次不等式的解法以及对数不等式的解法求出集合4 B,然后由集合的关系进行判断即可.【解答】解：因为集合4=(xx2-4x 4-3 0=x|x 3),B=xlogc 1=x|0 x 0，a2O24=q 4 a 2 0 2 O 0,结合通项公式求出每一个条件下公比
8、的范围，再由充分、必要条件的定义判断即可.【解答】解：因为公比q*0,且&2020 ，则。2022=q 2 a 2020 a2024=Q4cl2020 所以&2021 02024 0 1 0 0?a2023=Qa2022=q a2024 是a2022。2023”的充分不必要条件.故选A.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查条件概率，属于基础题.解题时根据条件概率公式求解，分清P(B|4)与P(4|B)的区别.【解答】解：因为P(川B)=需，P(B|&=需，P(川B)=P(B|4)=J,所以P(B)=P(4)=1-P(A)=1-|=1.故选：C.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的几何
9、运用以及正弦型函数的最值，属于中档题.建立平面直角坐标系，并设乙AOC=0,从而可写出力，B,C三点的坐标，然后求丽.根，根据三角函数性质求最值.【解答】解：解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则4(2,0),B(2cosl20,2sinl20),即8(-1,6).设乙40c=a,a e 0,120,则C(2cosa,2sina),所以CB-CA=(-1 2coscr,V3 2sina)(2-2cosa,-2sina)=(1 2cosa)(2-2cosa)+(V3 2sina)x(2sina)=2 2cosa-2V3sina=2 4sin(a+30).因为a 6 0,120,所以a+3
10、0。G 30,150。,所以sin(a+30。)e 1,1 所以当sin(a+30)=1,即a =6 0。时，丽.琳 取得最小值2-4x 1 =-2故答案选：B.7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究恒成立问题，属于中档题.对于原不等式进行同构处理，可得a 方刀2 -3 工 2 -3 与，构造函数f（x）=a/n x -3 x,可知函数fG）在（1,3 上单调递增，求导，令f（久）0恒成立，即可求出a 的取值范围.【解答】解：对于任意看,%2 6 （1,3 ，当/0成立，即。仇2 -3g a，n x i -3 与恒成立，令f（x）=alnx 3x,&f（X2）在（1,3 上单调
11、递增,/0）=?-3。在（1,3 恒成立，:.a 3 x 在（1,3 恒成立，只需a（3%）m a x，X E （1,3 ,3 x 在（1,3 的最大值为9,a 9,则实数a 的取值范围是 9,+8）.故选C.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的概念和性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题.根据题意可知|尸 1 局=I F 2 P|=2 c,利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得看+件的表达式，通过基本不等式即得结论.【解 答】2 2 2 2解：不妨设椭圆，双曲线方程分别为：三+刍=1(1 名 0),三 一 刍=1 Q 0也 0),设椭圆和双曲线的焦距为2 c,
12、由 题 意 可 知:因 孙=1尸2 Pl =2 c,又|&P|+F2P=2的,|6 P|-|F 2 Pl =2 a2，二|&P|+2c=2%,|&P|-2 c =2 a 2，两式相减，可 得：at-a2=2 c,.2 e2 _ 2al c _ 4a1a2+c2,-i ,e1 2 c 2a2 2ca2：-2-1-e-2 4(2c+a2)a2+c2 8ca2+4a2+c2.2a2 c=-=-=4 H-1-9ex 2 2ca2 2ca2 c 2a2.也+92 2叵 二 匚=2,当 且 仅 当=白时等号成立,c 2a2 T c 2az c 2a2高+年的 最 小 值 为6.故答案选：C.9.【答 案】
13、AC【解 析】【分 析】本题主要考查正弦型函数的性质，属于基础题.先求出3,然后得到解析式，然后一一判断即可.【解 答】解：因为函数f(x)=Sin 0)的图象与直线y =1的交点中，距离最近的两点间的距离为兀，所以这个函数的周期为7T,所以=3=2,所以A正确，则/(x)=sin(2x+)D当x e 2x+=G 不是单调递增的，所以8错误；f。)=sin(2 x +=sin=1,所以 C正确；由 fO)=0,则 2x+?=6 Z,则 x=故 x=或 x=若,函 数/(x)在0,兀 上存在零点为工和詈，所以。错误.故选：AC.10.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，
14、讨论当a=0,a 0或a 0是是解决本题的关键，是中档题.分别讨论当a=0,。0时，对应函数的图象和性质即可.【解答】,xi 1 x 0解：当a=0时，乃=粤=2=,此时对应图象为4,*x%0时，/(%)的定义域为R,7(-%)=/(%),则f(是偶函数,X 1 1当x 0时，/(乃 二 亚 二”式 且 人 乃。，此时对应图象为C,X当a 0时，/(x)=V*=点，当芯67时，y=g(x)=%+为增函数，且y=%+：0,./(X)=-八为减函数，此时B图x x象不合适，故选：AC.11.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查空间中线面的位置关系、角的求法，要求学生熟练掌握空间中线与面平行或垂直
15、的判定定理与性质定理，以及通过平移的思想找出异面直线的平面角，并理解二面角的定义，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.选项A,连接M C,易知8CB】Ci，故4MBic1即为所求.由勾股定理可知4 名 1 名小，由三棱柱的性质可知由当 1 B G，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得E1G，即 NMBiC=90;选项B,连接B Q,交BiC于点、D,连接M D,再取BC的中点E,连接DE、A E,易知四边形4MDE为平行四边形，故M04 E,再由线面平行的判定定理即可得证；选 项 C,取4C的中点N,连接BN、B N,则4BNB1即为所求，在R t A B N
16、 B 1 中,由三角函数可求出tan4BNBi的值，从而得解；选项/),在ACMBi中，利用勾股定理分别算出CM、MB1和BiC的长，判断其结果是否满足CM?+MBl=8停2即可.【解答】解：选项4,连接M G，由三棱柱的性质可知，BC”B、Ci，4MB1G即为异面直线BC与AB=BC=2,AC=22 乙 ABC=Z-A1BICi=9 0 ,即AiB11 BCi，由直三棱柱的性质可知，平面&B1G，/。1=平面4 1 3 ,.8 8 1 1 3 传1，又41为 C l BB=B,4/1、BBi u 平面ABBiAi，:BiG J 平 面 力 BBiAi，A B G 1 M B1，即NMB1G=
17、90。，.,.选项 A 正确；选项B,连接BC】，交8传于点D,连 接 再 取 BC的中点E,连接DE、4 E,则DE/IM,DE =AM,.四边形4MDE为平行四边形，MD/AE,M D仁平面ABC,AE u 平面ABC,MD平面A B C,即选项8 正确；选 项 C,取A C 的中点N,连接B N、BN,v BBi 1 平面4 B C,NB N BI即为二面角/一4 C -B的平面角.在Rt/iB N B i 中，BB、=巫,BN*A B =近，t a n/B N B 1=鬻=遍，/B N B】=6 0 ,即选项C正确；选项。，在 C M B i中，C M?=AC2+A M2=y,MBl=
18、+ArM2=y,BtC2=B 2+B C2=1 0,显然C M?+M B l 丰BrC2,即与CM不垂直，.选项。错误.故选：ABC.1 2.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属中档题.令/(刀)=/-1,g(x)=ln x,由/(1)=g(l)=0,可判定 A 正确；由(1)=2,g(l)=1,可判定B 不正确；由f (l)=g C)，可判定C正确；令F(x)=x 2 i-n x,求得F(x),得出函数的单调性，结合零点的存在定理，可判定。正确.【解答】解：令/(%)=久 2 1,(%)=I n x,由/(l)=g(l)=0,所以两函数在点(L
19、0)处相交，所以A正确；又由/(x)=2 x,g M =p 可得(1)=2,g(l)=l,所以B 不正确；由/(x)=2 x R,g(x)=e(0,+8),存 在(l)=g G),故曲线y =/-1与曲线y =I n x存在互相平行的切线，所以C正确.令尸(x)=/(x)g(x)=x2 1 I n x,x 0,可得F (x)=2 x 当x e(0,等)时，FM O,所以F Q)在(0,另上单调递减，在(日,+8)上单调递增，又由F ()=g+gln 2 0,F(l)=0,F(e)=e2 2 0,故F(x)有两个零点，即曲线y =/-i与y =in x有两个交点，故。正确.故选：ACD.1 3.
20、【答案】山7【解析】【分析】本题考查了基本不等式求最值，根据已知条件(a +1)+(b +1)=7,即(a+l)；3+l)=1,根据乘1求最小值.【解答】解：因为a b 0,a +b =5知a 0,b 0,又 a +l+b +l=7,所以,(a +l+b +l)=l,而 言+念1 /2 1 =-(a +l+b +1)(-+-7、7a +1 b+lJ泞(3+2企)，经检验等号成立.1 4.【答案】x-y +2=0【解析】【分析】本题考查了直线的方程，新定义问题，三角形重心和外心的性质，属于基础题.根据AABC的顶点坐标，可得重心G.设ABC的 外 心 为 卬 利 用|4勿|=|W B|,解得a；
21、利用点斜式即可得出该三角形的欧拉线方程.【解答】解：因为力BC的顶点为力(2,0),B(0,4),C(-4,0),所以，ABC的重心G(-1 设AABC的外心为W(-l,a),则|4勿|=WB,所以J(-l -2+(-4)2,解得a=l,可得小(-1,1).所以，该三角形的欧拉线方程为y-l=3(x +l),化简得：x-y +2=0.15.【答案】0.7【解析】【分析】本题考查二项分布的的方差、次独立重复试验及其概率计算，属于较易题.先利用二项分布的方差公式求出p的值，然后验证p是否符合题意.【解答】解：因为每株成活率为p,且各株是够成活相互独立，所以XB(，p),所以 D(X)=10p(l-
22、p)=2.1,解得/?=。.3 或以7,当 p=0.3 时,P(X=3)=Cfox(O.3)3x(O.7)7,P(X=7)=C70 x(0.3)7x(0.7)3,不满足P(X=3)P(X=7),所以不符合题意，所以p=0.7.故答案为：0.7.16.【答案】4【解析】【分析】本题考查分段函数的值域及对数函数和指数函数的性质，同时考查集合关系中参数的取值范围，属于中档题.设9(%)=lg(a/_ 4%+1)的值域为4求得函数/(%)值域为(一 8 期,则由(一 8,0 c 4,可求得实数a 的取值范围，故得实数。的最大值.【解答】解：设g(%)=lg(a x2 一 4%+1)的值域为4当0 W
23、x 4 1 时，f(x)=号=1 三，则/。)在0,1 上单调递增，所以当0W xl 时，/(x)=2-ex,所以f(x)在(1,+8)上单调递减,所以当 x 1 时，f(x)2 -e,所以当 e 0,+8)时，/(X)的值域为(-8,0,若对任意与 G 0,+8),都存在外 G R，使/(与)=。0 2)，贝 心一8,0 A,h(x)=ax2 4 x +1 能取遍(0,1 中的每一个数，又；h(0)=1,a 0 或；j Q，即a 0 或0 a W 4,综上可得实数a 的取值范围为(-8,4,故a 的最大值为4.故答案为4.1 7 .【答案】解：(1)设 4 B C 的内角A,B,C 所对的边
24、分别为a,b,c,因为s iM A s iM B s iM C =sinBsinC,由正弦定理可得a 2 匕 2 一 c?=儿，即为炉+c?a 2 =b e,由余弦定理可得co s 4 =b2+c2-a2 _2.be-上 由0 A /3(|cosd-f s ind +cosd+/s ind)=3 +2y/3cosd，当d =0,即B =C=?时，力B C 的周长取得最大值3 +2 祗.【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题.(1)运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；(2)运用正弦定理和三角函数的和与差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值.1 8 .【答
25、案】解：(1)证明：四边形4 B C D 为矩形，4 B C D,4 B u 平面4 B E,C D C/平面4 B E,CO平面ABE,又CD u 平面C C E,平面ABE n平面CDE=I,1/CD,CO u 平面4BCD,/C 平面4BCD,.平面4BC0;(2)当l与半圆弧&相 切时，AE 1 EB,AE=EB,.-.AB=y2AE，平面ABC。1 平面4 B E,平面ABC。n平面ABE=AB,S.DA 1A B,DA u 平面ABC。,DA 1 平面 A B E,又 AE u 平面 4BE,:.DA LAE,同理C8 1 BE,不妨设BC=V2，则BE=AE=AD=42,AB=D
26、C=2,.,由勾股定理得。E=CE=2,取OE的中点F,连接4F,FC,AC,则 D E J.4F,DE 1 CF,N4FC是二面角A-D E-C的平面角，易知AF=DE=1,CF=DE=V 3.且4c=JAB2+BC2=瓜,.在 AFC中，有COSNAFC=产+(疗A*=_ 亚，2X1XV3 3二面角a-D E-c 的余弦值为一立.3【解析】本题考查了线面平行的判定，考查了二面角以及余弦的求法，属于中档题.(1)结合题意根据线面平行的判定定量即可得出；(2)结合题意首先求出乙4FC是二面角a-D E-。的平面角，根据余弦定量求出二面角A-D E-C的余弦值.1 9 .【答案】解：(I )的=
27、3,Sn=an+1-1,可得的=St=a2-l,即有。2=4,几之 2时，Sn-i=an-1,又5 n=。九+1 1,两式相减可得0n=Sn-Sn_i=an+1-1 -an+1,即有a九+i=2 a九，可得几之2时，an=4-2n-2=2n,则 册=贫n 2设等差数列%的公差为d,由a 2=九=瓦+3 d =4,坛+为=%，即为2瓦+5 d =+6 d,即瓦=df解得瓦=d=1,则%=n；(H)nN 2时,(n+2)dn+1712n 1/2n+2 2n+1.-I-(n+2)(n+l)2 kn+2 n+1所以前7 1项和=+*三-马+?2442n+2 2n+1-)n+2 n+lz=1 I,1 z
28、2n+2 8、2n+1 5(-)=-2 2、n+2 3y n+2 6【解析】本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题.(I)运用数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求通项公式；()求得712 2时，U=(二 一 二),再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和.(i l l /)I r v I X)4 I 十 4 i l l X2 0.【答案】解：(1)当a =0时，/(x)=xlnx+x,导数为/(x)=2 +I n x,所以切线的斜率为/(1)=2,又/(1)=1,所以切线的方程为y -1=2(%-
29、1),即为2 x-y-1=0；(2)当0%0,整理可得。警 二令 g。)=等，则g，。)=令八(%)=x bu r 2,则/i (x)=l 由=0,可得x=1,当0%1时，hx)0,九(x)在(0,1)上单调递减,因为九(1)=-1 0,所以以%)在(0,1)存在一个零点&,此时九(%0)=x0 lnxQ 2 =0,即 /=x0 2,所以当O v x V o时，h(x)0,即g(x)0,g(x)单调递增；当&v%vl时，/i(x)出,因为&e(o,l),所以正整数a的最小值为1.【解析】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题.(1)当a =0时，求得/(x)的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的方程；(2)根据条件构造函数gQ)=f,判断gQ)的单调性，结合零点存在性定理，求出g(x)的最大值，进而得到正整数a的最小值.