考研资料：线性代数.pdf

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1、第二部分线性代数第一章行列式及矩阵1 .(0,0,3 分)若 4 阶矩阵A 与 B 相似，矩阵A 的特征值为(d，则行列式甲 一 百=2 .(93,4,3 分)若ava2,ay/3v/32都是4维 列 向 量，且4阶 行 列 式=九 1，。2，62，。3|=则4 阶行列式匕，。2，%，丹+闾=(A)m+n (B)-(/+”)(C)n-m (D)m/?23.(0 47,4分)设 矩 阵 A=1201 O-2 0。矩 阵 8满 足 ABA*=2 BA*+E,其中A*为 A 的0 1伴随阵，则忸|=14.(0 5,2,4 分)设%,%，%均为3 维列向量，记矩阵4A =(ai,a2,ai),B=+a

2、2+a3,a,+2 a2+4 3,+3 a2+9a3),如 果 =1,那 么 悯=2%,+x2+=05.(98,3 分)齐次方程组，X,+2X2+X3=0的系数矩阵为A,若存在三阶矩阵8工0使得%+4 +丸七=0A B =O,则(A)2 =2 且 8 =0；(B)2 =2 且 8/0；(C)2 =l 且忸|=0；(D)/=l 且忸06.(99,1,3 分)设 A 是mx矩阵，B 是“X 机矩阵，则(A)当/篦“时，必有行列式|45|。0；(B)当2 时，必有行列式|AB|=O；(C)当 现时，必有行列式(D)当”加时，必有行列式|AB|=O。7.(99,3 分)设 A=101020101，而“

3、2 2为正整数，则A24T=-12-28.(97,1,3 分)设 A 二=4t3,B为三阶非零矩阵，且AB=0,则1=3-119.(95,4,3 分)设 n 维行向量a =(；,0,0,3),矩阵 A=E a a,B=E+2 a a ,其中E为n阶单位阵，则AB=1 0 010.(04,4,4 分)设 月=2 2 0,A*是A的伴随矩阵，则（A*3 4 511.设n阶方阵A非奇异（22）,A*是A的伴随矩阵，则（A）（A*）*=M A；（B）（A*y=K+，A（C）（A*）*=M)(A+B)-1 7.(0 0,2,3 分)设4=001 8.(0 1,3 分)设03-40005-60007且 3

4、 =(E+(EA),则(E+B)T=。31。32。33。41。42。431 0 0 0-0 0 10-0 1 0 00 0 0 1-0 0 0 14=01 0 000 1 010 0 0其中A可逆，则B-I等于(A)A-P ip2-,(B)PP2-,(C)()P2AP,1 9.(0 4,4分)设n阶矩阵A与B等价，则必有A.当A|=a(a 0 0)时)|B|=a；B 当 网=7(4看0)时，网=)C=pApT Q12 1 (0 4,4分)设A是3阶方阵，将A的 第1列与第2列交换到B,再把B的第2列2加到第3列得C,则满足A Q=C的可逆矩阵Q为010-01 0_-010-011A.100B.

5、101C.100D.1001010010110012 2(0 5,j 4分)设A为n(2 2)阶可逆矩阵，交换A的 第1行与第2行得矩阵B,4,3*分别为A,B的伴随矩阵，则A.交换A*的 第1列与第2列得B*B.交换A*的 第1行与第2行得C.交换A*的 第1列与第2列得-B*D.交换A*的 第1行与第2行得-8*2 3.(97,b 5分)设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。证 明B可逆 求一1 0 0-2 4.(98,3 分)设 A,B 满足 A*8 4=2 8 A-8 ：,其中 A=0 -2 0 ,则 B=0 0 12 5.(0 5,4,4 分)设 A,B,C

6、 均为 n 阶矩阵，8=E +AB,C=A+C 4,则 B-C 为(A)E(B)-E(C)A()-A2 6.(94,3分)设A是机x矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵B=A C的秩为 小 则A.r 4 B.r z;C.r=(D.r与4的关系依C而定2 7(95,3分).设矩阵4x“的秩r(A)=m,/?,都线性相关；B .a t ,-,a,“和/?,都线性无关；C.冈+4,4”+&，a,am-4.线性无关D.，+4,a“,+&,-笈,a,“一&线 性 相 关。8 .（9 6,8 分）设向量%,%，,见 是齐次方程组AX =0的一个基础解系，向量/不是方程组AX =0的解，即4 4 工

7、0。试证明：向量组尸+冈，尸+。2,广+生线性无关。9 .（9 7,3分）设 向 量 组%,的,出 线性无关，则下列向量组中线性无关的是A.错误!未找到引用源。B.a】+a 2，。2+2?,%+2a 2+3a 3C.%+2%,2%+3a 3,3%+aD.C +%+%,2/一3%+2 2%,3%+5%-5%-1 2-2-10（0 2,3分）设 4=2 12,a =（a,l,iy,已知Aa与a线性相关，则 a=3 0 411.（0 5,4分）设 4，4是 矩 阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为囚,。2,则囚,A（因+4）线性无关的充要条件是A.错 误！未 找 到 引 用 源。B.4

8、NO C .A,=0D.22=。12.（0 5,4分）设行向量组（2,1,1,1）,（2,1,a,a）,（3,2,1,a）,（4,3,2,1）线性相关，且a7l,则。=13(0 6,4分)设四,a,均为n 维列向量，A是矩阵，下列选项正确的是:A.若线性相关,则错误!未找到引用源。线性相关;B.若%,%线性相关,则A a i.A a?,线性无关;C若线性无关,则A4，A a 2,A a,线性相关;D.若 火,线性无关,则 A%,A a 2，A%线性无关。14.(0 7,4分)设向量组四,%，出 线性无关，则下列向量组线性相关的是A.%-a2,a2 _%，%一%B.a+%，%+%，%+%C.al

9、-2a 2，%-2%，%2%D.ax+2a 2，。2+2a 3，。3 +2a 15(9 3,1,6 分)设A是xz n矩阵，B是AHX及 矩阵，其中 九，E是 n 阶单位阵，若 A B=E,证明B的列向量线性无关。16.(0 1,4,8 分)设%二(%,如，(=1,，/)是 n 维实向量，且 a”%，火线性无关，已知方=(伪也，也)T 是线性方程组allxl+al2x2+=0Va2lxl+a22x2+a2nxn=0心玉+ar2x2+anixn=0的非零解向量，试判断向量组囚,。2,火，4 的线性相关性。17 .(9 5,9 分)已知向量组(I)：a,a2,a3;(I I)：ava2,a3,a4

10、；(I I I)：,如果各向量组的秩分别为r(I)=r(I D =3,r(I I I)=4.证明向量组囚,。2，。3，。5-。4的秩为 4.18 .(0 6,13分)设 4 维向量组囚=,2=(2,2+,2,2)r,a3=(3,3,3+,3)7,a4=(4,4,4,4+a)，,问 a为何值时，线性相关？当%,%，%，线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。19.（94,4,3分）设 有 向 量 组1 =（1,1,2,4），,a2=（0,3,1,2）r,a,=（3,0,7,14）,4=（1,-2,2,0）r%=（2,l,5,10）r,则该向量组的极大无关组是A.a

11、19a2,a3 B.aa2,a4 C,ax,a2,a5 D.aa2,aA,a520.（99,2,8分）设 向 量 组/=（1,1,1,3），,a,=（-1,-3,5,17,a,=（3,2-1,P+2）r,a4=（-2,-6,10,P）P为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量。=（4,12,10）7用囚,。2，&3，。4线性表出。P为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。第三章线性方程组1.（0 2,3分）设 A是mx/i矩阵，B是矩阵，则线性方程组（A3）X =0A.当加时仅有零解；C.当 时 仅 有 零 解；2（0 2,8 分）设齐次线性方程组ax+bx2+-bx

12、n=0bx+ax2+bxn=0bX+bx2 H-F axn-0B.当 时 必 有 非 零 解;D.当相时必有非零解其中。工0,。7 0,22,试讨论。/为 何 值 时，方程组仅有零解，有无穷多解？在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。（+/7）玉+电工2+。3工3+占=0aX1+（2+力）乙+3*3 1-+anXn=03 已知齐次线性方程组4 X +a2X2+（%+8）+,+anXn=0+2%2+用工3+一 +（。+）,1=0其中才 4 工0。试讨论,生，%和 b 满足何种关系时，/=1方程组仅有零解；方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。4.设 n 阶矩阵A的

13、伴随阵A*H0,若4,$，3，或是非齐次线性方程组AX =。的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系A.不存在；B.仅含有一个非零解向量；C.含有两个线性无关的解向量；D.含有三个线性无关的解向量5.（9 4,11分）设线性方程组（2 3X +4 元2+4 X3 =a2 3Xj+%*3=。3一2 3%+a3x3+a3 x3=%2 3 占 +a4x4+。4 Z =。4证明：若4,4，4，4 两两不相等，则此线性方程组无解；设 4 二名二幺生二包二一左伏/。），且 已 知 片，儿 是 该 方 程 组 的 两 个 解，其中-1P=1 ,夕 211=1写出此方程组的通解。-16.(00

14、,2,6 分)设 a =求解方程282A+y其中 qw%(/w /,i,/=1,2,n),则线性方程组A,X =B的解是1*/、,8.(02,2,6分)已 知 4 阶 方 阵 人=(,。2，&3，。4)，。1，。2，。3，%均 为 4 维列向量，其中线性无关，=2%-。3,如 果 尸=%+。2+&3+。4,，求线性方程组A X =尸的通解。9.(04,4,13分)设线性方程组&+AjC2+偿 3 +乙=0 2%+x2+x3+2X4=03芭 +(2+A)X2+(4+ju)x3+4X4=1己知(1,1,1,-l)7是该方程组的一个解。试求：方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解。

15、该方程组满足与=毛的全部解。110.(06,2%+%3+工4=-1,9 分)已 知 非 齐 次 方 程 组+3%+5 W-甚=T 有 3 个线性无关的解ax+3 忍+如=1证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2 求 a,b的值及方程组的通解。11.(00,3分)设,里 0是4元 非 齐 次 方 程 组 AX=8的 三 个 解 向 量，且厂 网=3,9=(1,2,3,4)r,a2+=(0,1,2,3)r,C 为任意常数,则线性方程组4 X=。的通解X=12.（00,1,3分）已知方程组无解，则”=13.（01,3分）设 A是 n阶方阵，a是 n 维列向量。若ya0ATa=7（A）,则线性方程组A.

16、A X =c必有无穷多解；B.AX=a必有唯一解；Z alFx,C.T=0 仅有零解;0 yATaa0XD.=0 必有非零解Y14.（00,3分）设 A为 n阶实矩阵，则对于线性方程组（I）:A X =0 和（口）：=,必有A.（n）的解是的解，的解也是（n）的解B.（n）的解是的解，但的解不是（n）的解c.（i）的解不是（n）的解,（n）的解也不是 的解D.的解是（n）的解,（n）的解不是的解16.（07,11分）设线性方程组X1+工 2+%3=0西+2%+以3=。与方程组 玉+2元 2+元 3=。-1有公共解，求。的值及所有公共解。xx+4X2+a2xi=017.（9 4,1,8分）设 4

17、 元齐次线性方程组：|玉=又 已 知 某 齐 次 线 性 方 程 组（口）的通解为勺（0,1,1,0）,+22（-1,2,2,1）7求齐次线性方程组（I）的基础解系；问方程组(i)和(n)是否有非零公共解？若有，求出所有非零公共解，若没有，说明理由。18.(9 8,4,7 分)已知下列非齐次线性方程组(I)和(口,2无4 =-64%-x2-x4=13%-X2-X3=3玉 +tnx2-X3-X4=Q(I I):+E 必有特征值3 2 25(03,1,10 分)设矩阵 A=2 3 22 2 3-0 0(94,8 分)设 4=x 11 06(A)/IE A=AE B；（8）A 与 8 有相同的特征值

18、和特征向量（C）A 与 3 都相似于一个对角矩阵；（。）对 V/J E-A 与 史 5 相似。1 b b人公j b l b8.（04,13分）设 n 阶矩阵A=b h 1（I）求 A 的特征值和特征向量；（II）求可逆矩阵P,使得pTA尸为对角阵。9.（00,4,9分）设矩阵4=x 4 y,已知A有 3 个线性无关的特征向量，4=2 是 A-3-3 5的二重特征值，试求可逆矩阵P,使得P AP 为对角阵。210.(03,2,10 分)若矩阵 A =802 02 a相似于对角阵A,试确定常数a的值，并求可逆矩0 6阵 P,使 一么尸=人。11.（05,4）1 3 分）设 A 为 3 阶 矩 阵，

19、是线性无关的三维列向量，且满足A a=%+a 2+。3,人&2=2a2+2 3,4二3=2a2+3a3（I）求矩阵 B,使 24（%，%）=（。1，%，。3）5（I I）求矩阵A的特征值；（I I I）求可逆矩阵P,使得p T A 尸为对角阵。24112（04,2，9分）设矩阵A1-11-3-35的特征方程有一个二重根，求。的值，并讨论aA是否可对角化。12-113.（9 7,1,6 分）已知专1是矩阵A5a-1b23-2的一个特征向量。试确定参数a,b 及特征向量g所对应的特征值;问 A能否相似于对角阵？说明理由。14.设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3。矩 阵 A属于特征值1,2 的特

20、征向量分别是求A的属于特征值3 的特征向量;求矩阵A15.(01,已知线性方程组AX=，有解但不唯一,试求：a的值;正交阵。，使 0 AQ=A16.（02,8分）设 A为 3 阶实对称矩阵，且满足条件A 2+2 A =0。已知A的秩r（A）=2。求A的全部特征值；当上为何值时，矩阵A +让 为正定矩阵。17.（06,13分）设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向 量 四=（一 1,2,-1），,4=（0,-1,1）7是线性方程组4=0 的两个解。求A的特征值与特征向量；求正交矩阵。和对角矩阵A,使 Q A Q =A；求A及（A|七）18 .（07,I I 分）设 3 阶实对称矩阵A的特

21、征值4 =2,4=一 2,%=（I T），是 A的属于4 的特征向量，记 6 =4 5 一443+。验证是矩阵8的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；求矩阵8.19 .（04,4,13分）设 三 阶 实 对 称 矩 阵 的 秩 为 2,4=4=6 是 A 的 二 重 特 征 值，若/=（1,1,0），=（2,1,1），。3=（一1，2，-3）,都是属于特征值6 的特征向量。求A的另一特征值和对应的特征向量；求矩阵Aa 1 1 -20.（02,4,8 分）设实对称矩阵A =1 a-i,求可逆矩阵尸，使 尸飞尸为对角阵，并1 -1 a求21（11.1,11分）设 4 为 3 阶实对称矩阵,r

22、（A）=2,且（I）求 A的所有特征值与特征向量；（I I）求矩阵A。第五章二次型1 .（95,10分）已知二次型f=4x；-3%+4m彳2-4M l+8%2工3写出二次型/的 矩阵表达式；用正交变换把二次型/化为标准形，并写出相应的正交矩阵。2.（03,13分）设二次型f=X，AX+2%一2后+2如 （）其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-1 2.求。力 的值；用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换及正交阵。3.（04,4分）二次型/=（%+/1+（一七）2 +（x,+X）2 的秩r=4.（02,1,3分）已知二次型f=a（x；+%2+考）+4玉%2 +4%毛+4x2x

23、3经正交变换X =P Y化成标准形7=6犬 则。=5.（90,18分）求一个正交变换，化二次型/=x；+4考+4后-4xtx2+4玉W 8刍为标准形。6.（05,1,9分）已知二次型/=（1。）龄+（1。）考+2月+2（1 +4）玉%2的秩为 2.求a的值；求正交变换X=Q Y,将二次型化为标准形；求方程/（百,赴,G）=的解。7.（97,3分）若二次型f=2x；+考+考+2X,X2+tx2x,是正定的，则t的取值范围是：1 o r8.（98,7分）设矩阵A=0 2 0矩阵8=（也+A 其中为实数，求对角阵A,使B1 0 1与A相似，并求k为何值时，8为正定矩阵。9.（99,7分）设A为加X”

24、实矩阵，已知矩阵B=试证：当;10时，矩阵B为正定矩阵。10.（00,9分）设有元实二次型/=（%+a,%2）2+（x2+4七+（X,T+）2+（%+。,玉 其中 4（i =1,2,鹿）为实数，试问：当q,g，凤满足何种条件时，二次型/（七,，王）为正定二次型。-A C1 1 .（0 5,1 3分）设。=T 为正定矩阵，其中AB分别为机阶，阶对称矩阵，C为C B机矩阵E -ACPTD P ,其中 P=；0纥利用的结果判断矩阵3-C A T C是否为正定矩阵，并证明你的结论。1 2 .（9 1,1,6分）设A是阶正定阵，证明A +E的行列式大于1.1 3 .（9 9,1,6分）设A为 加阶正定矩

25、阵，8为机x实矩阵，试证：8 7 A B为正定矩阵的充要条件是r（f i）=-0 1 0 o-,八、10 0 01 4 .（9 6,8分）设矩阵A =0 0 y 10 0 12 已 知A的一个特征值为3,求y 求可逆矩阵P,使（A P）,（A P）对角阵。1 5 .（9 7,3分）设A,3为同阶可逆矩阵，则：A.AB=BA,B.存在可逆矩阵P,使 尸一么尸=3C.存在可逆矩阵C，使C，A C =8,D存在可逆矩阵尸和Q,使=B A1 6 .（0 1,8分）设A为阶是实对称矩阵，/（A）=J（%,%，当）=Z Z育 也/=j=记X ,X,J,把/写成矩阵形式，并证明二次型x）的矩阵为二次型g（x）=X7 X与/（x）的规范型是否相同？说明理由。1 7.（0 7,4分）设矩阵A2 -1-1 2-1 -1A合同且相似；A合同但不相似;C不合同，但相似；D既不合同，也不相似A合同且相似；A合同但不相似；C不合同但相似：D既不合同也不相似1 1 1 1 4 0 0 O-1 1 1 10 0 0 018.(01,1,3 分)设 A=1 1 1 1,3=0 0 0 0,则A与B1 1 1 10 0 0 0_