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1、19 特征值和特征向量特征值和特征向量 19.1 引言和定义引言和定义 例：考虑两个一阶线性常微分方程构成的方程组 容易用矩阵形式表示这个方程组：令未知向量 系数矩阵 则方程组表示为 19.1 引言和定义引言和定义 回顾单个数量方程 解为 其中 受此启发，对方程组 ，我们来寻求下列形式的解 或用向量记法表示为 19.1 引言和定义引言和定义 把预期的这个解代入方程组 得到 或者，把 代入 给出 消去公因子后得 即 19.1 引言和定义引言和定义 注：对任意 值，向量 总满足 但 只能产生 我们关心的是有非零向量 满足 的特殊的 值.含非零向量 不可逆 19.1 引言和定义引言和定义 定义：对方
2、阵 若存在数 和非零向量 满足 则称 为矩阵 的特征值(eigenvalue)，称 为 的属于特征值 的特征向量(eigenvector).数 为方阵 的特征值 这个方程称为矩阵 的特征方程(characteristic equation).19.1 引言和定义引言和定义 回到例子，这是关于 的二次多项式，称为 的特征多项式(characteristic polynomial).的特征值就是特征方程 的解,也即特征多项式 的根，它们是 19.1 引言和定义引言和定义 要求属于特征值 和 的特征向量，只需求相应齐次线性方程组 的非零解.故 的属于 的所有特征向量为 19.1 引言和定义引言和定义
3、 故 的属于 的所有特征向量为 注：特征向量不唯一，(称为相应于特征值 的特征子空间(eigenspace)中任何非零向量都是特征向量.我们只需求得特征子空间的一组基.19.1 引言和定义引言和定义 回到微分方程 已求得两个特解 这两个特解的线性组合 给出原微分方程的通解.解这类微分方程的关键是求系数矩阵的特征值和特征向量.19.1 引言和定义引言和定义 注：1.表示特征向量 是使得其被 左乘后与自身共线的特殊向量.2.求矩阵特征值和特征向量的方法：(1)计算特征多项式(2)求特征方程 的解,即为特征值.(3)对每个特征值 求解齐次线性方程组 其所有非零解即为属于 的所有特征向量.19.2 例
4、例 例1：不可逆，有非零解：故 是 的特征值.命题：矩阵 不可逆 有零特征值.19.2 例例 例2：求矩阵 的特征值和特征向量.解：故 的全部特征值为 19.2 例例 对 的一个基础解系为 故 的属于 的全部特征向量是 19.2 例例 对 的一个基础解系为 故 的属于 的全部特征向量是 19.2 例例 对 的一个基础解系为 故 的属于 的全部特征向量是 19.2 例例 例3：投影矩阵 的特征值为 和 对 的一个基础解系是 故 的属于 的全部特征向量是 对 的一个基础解系是 故 的属于 的全部特征向量是 19.2 例例 事实上，设 是到子空间 的投影矩阵.则 其中 若 则 若 则 故投影矩阵的特
5、征值是 和 19.2 例例 例4：反射矩阵 的特征值是 和 对 的一个基础解系是 故 的属于 的全部特征向量为 19.2 例例 对 的一个基础解系是 故 的属于 的全部特征向量为 19.2 例例 事实上，设 则 为关于与 正交的超平面的反射矩阵.若 则 若 则 故反射矩阵 的特征值是 和 且相应的两个特征子空间正交.19.2 例例 例5：为上三角矩阵，则 故 的特征值为其对角元 事实上，三角矩阵的特征值为其所有对角元.19.2 例例 例6：旋转 矩阵 无实特征值.19.2 例例 但 故 是 的属于 的全部特征向量.是 的属于 的全部特征向量.19.2 例例 例7：Markov矩阵 故 的特征值
6、为 对 有一个基础解系为 故 的属于 的全部特征向量为 19.2 例例 对 有一个基础解系为 故 的属于 的全部特征向量为 注：是Markov矩阵的特征值.19.3 特征值的性质特征值的性质 一般的，复数域上 阶矩阵 的特征多项式 是一个关于 的 次多项式.在复数域上有 个根(可能有重根).19.3 特征值的性质特征值的性质 例：有特征值 例：若 是矩阵 的一个特征值,则 是 的一个特征值,是 的一个特征值.事实上，若 则 且 19.3 特征值的性质特征值的性质 一般的，命题：设 是矩阵 的一个特征值.1.设 为关于 的多项式函数，则 是矩阵 的一个特征值.2.若 可逆，则 为 的一个特征值.证明：只证2,已知 则 19.3 特征值的性质特征值的性质 定理：设 阶矩阵 有 个特征值(可能重复)则 19.3 特征值的性质特征值的性质 证明：按第一行展开，得 除了 外，均为关于 的次数 的多项式.递推讨论 知，关于 的系数是 而 关于 的系数是 故 19.3 特征值的性质特征值的性质 最后，在 中令 得 故 19.3 特征值的性质特征值的性质 例：一个 阶置换阵 的行列式 是正交阵 例如，一次行交换 二次行交换