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1、浙江省宁波市2019年中考数学试卷一、选择题（每小题4 分，共 48分）1.-2的绝对值为（）A.一,B.2 C./D.-2【答案】B【考点】绝对值及有理数的绝对值【解析】【解答】解：|-2|=2.故答案为：B【分析】因为一个负数的绝对值等于它的相反数，而-2 的相反数是2,所以-2 的绝对值等于2。2.下列计算正确的是（）A.a3+a2=a5 B.al al=a c.D.=【答案】D【考点】同底数落的乘法，同底数幕的除法，合并同类项法则及应用，幕的乘方【解析】【解答】解：A、=az和 a3不是同类项，不能加减，故此答案错误,不符合题意；B、V 加=此答案错误，不符合题意；C、；，=卢/,.此
2、答案错误，不符合题意；D、0力=,.一.此答案正确，符合题意。故答案为：D【分析】（1）因为a3与 a?不是同类项，所以不能合并；（2）根据同底数幕相乘，底数不变，指数相加可判断求解；（3）根据哥的乘方，底数不变，指数相乘可判断求解；（4）根据同底数哥相除，底数不变，指数相减可判断求解。3.宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资1526000000元人民币数1526000000用科学记数法表示为（）A 126x10 B.156xlO8 C.U 5 2 6 x d D.1.526*1010【答案】c【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：15
3、26000000=U526X id。故答案为：c【分析】任何一个绝对值大于等于1 的数都可以用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为axicr其中lS|a|2B.x#2C.XHOD.XH-2【答案】B【考点】分式有意义的条件【解析】【解答】解：由题意得：X-2 M 解得：xx2.故答案为：B【分析】分式有意义的条件是：分母不为0,从而列出不等式，求解即可。5.如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（）口【答案】C【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线。故答案为：C,【分析】简单几何体的三视图，就是分别从正
4、面向后看，从左面向右看，从上面向下看得到的正投影，能看见的轮廓线需要画成实线，看不见但又存在的轮廓线需要画为虚线，故空心圆柱的主视图应该是一个长方形，加两条虚竖线。6.不 等 式 与 4）工的解为（）A.xl B.x1 D.x-1【答案】A【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】解：去分母得：3-x 2 x,移项得：-x-2 x-3,合并同类项得：-3 x -3,系数化为1 得：x 1.故答案为：A【分析】解不等式的步骤是：去分母、移项、合并同类项、系数化为1.根据解不等式的步骤计算即可求解。7.能说明命题“关于x 的方程x2-4x+m=0 一定有实数根”是假命题的反例为（）A.m=-l B.
5、m=0 C.m=4 D.m=5【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：b2-4ac=14产-4xlxm20,解不等式得：x4,由一元二次方程的根的判别式可知：当烂4时，方程有实数根，当m=5时,方程x2-4x+m=0没有实数根。故答案为：D【分析】由一元二次方程的根的判别式可知，当b2-4ac=（-4）2-4xlxm 20时，方程有实数根，解不等式可得m的范围，则不在m的取值范围内的值就是判断命题是假命题的值。8.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 1 0棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示：甲乙丙TX2424
6、2320S22.11.921.9今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.T【答案】B【考点】平均数及其计算，方差【解析】【解答】解：.从平均数可知：甲、乙比丙和丁大，.排除选项C和D；从方差看，乙的方差比甲的小，排除选项A。故答案为：B【分析】因为平均数越大，产量越高，所以A和B符合题意；方差越小，波动越小，产量越稳定，所以B、D符合题意，综合平均数和方差可选B。9.已知直线mil n,将一块含45。角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若Z 1=25。，则N 2的度数为（）A.60 B.65 C.70
7、 D.75【答案】C【考点】平行线的性质，三角形的外角性质【解析】【解答】解：设直线n与A B的交点为E。1 Z AED是 BED的一个外角，Z AED=N B+Z 1,Z B=45,Z 1=25,Z AED=450+25=70m II n,Z 2=N AED=70o故答案为：C,【分析】设直线n与A B的交点为E。由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得Z AED=N B+Z 1,再根据两直线平行内错角相等可得N 2=Z AED可求解。10.如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个
8、圆锥的侧面和底面，则 A B 的 长 为（）B.4cmC.4.5cmD.5cm【答案】B【考点】圆锥的计算【解析】【解答】解：设 AB=X,由题意，得 嗯 於=佰 一*上解得x=4.故答案为：Bo【分析】设 A B=x,根据扇形的弧长计算公式算出弧A F的长，根据该弧长等于直径为（6-x）的圆的周长，列出方程，求解即可。11.小慧去花店购买鲜花，若买5 支玫瑰和3 支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3 支玫瑰和5 支百合，则她所带的钱还缺4 元.若只买8 支玫瑰，则她所带的钱还剩下（）A.31 元 B.30 元 C.25 元 D.19 元【答案】A【考点】三元一次方程组解法及应用【解析】【
9、解答】解：设玫瑰花每支x 元，百合花每支y 元，小慧带的钱数是a 元，由题意，祀（5x+3y=a-lC登+5y=a+4将两方程相减得y-x=7,y=x+7,将 y=x+7 代入 5x+3y=a-10得 8x=a-31,若只买8 支玫瑰花，则她所带的钱还剩31元。故答案为：A【分析】设玫瑰花每支x 元，百合花每支y 元，小慧带的钱数是a 元，根据若买5 支玫瑰花和3 支百合花所带的钱还剩10元，若买3 支玫瑰花和5 支百合花所带的钱还差4 元，列出方程组，根据等式的性质，将两个等式相减即可得出y-x=7,即y=x+7,将 y=x+7代入其中的一个方程，即可得出8x=a-31.从而得出答案。12.
10、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书 周醉算经中早有记载。如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2 的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）O o图1图2A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知：较小两个直角三角形的面积之和=较大正方形的面积，所以将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，所以知道了图2阴影部分的面积即可知道两小
11、正方形重叠部分的面积。故答案为：C【分析】根据勾股定理及正方形面积的计算方法可知：将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，从而即可得出答案。二、填空题(每小题4分，共24分)13.请写出一个小于4的无理数：【答案】答 案 不 唯 一 如 技，H等【考点】实数大小的比较，无理数的认识【解析】【解析】解：开放性的命题，答案不唯一，如 右 等。故答案为：不唯一，如 旧 等。【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：开方开不尽的数，卸的倍数的数，像0.1010010001.(两个1之间依次多一个0)这类有规律的数，根据定义，只要写出一个比4小的无理数
12、即可。14.分解因式：x2+xy=.【答案】x(x+y)【考点】因式分解-提公因式法【解析】【解答解:x2+xy=x(x+y).【分析】直接提取公因式x即可.15.袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球.从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为_ _ _ _ _ _ _ _.【答案】|【考点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解：P倭中舞姬星的都里;=1 故答案为：擀.【分析】袋中有8 个小球，它们除颜色不同外其他的都相同，其中红色的小球共有5 个，故从中摸出一个共有8 种等可能的结果，其中能摸出红球的只有5 种等可能的结果，根据概率公式即可算出答案。16.如图，某海防响所。发现
13、在它的西北方向，距离哨所400米的A 处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60。方向的B 处，则此时这般船与哨所的距离OB约为 米。（精确到1米，参考数据：C=1.414,亚=1.732）【答案】566【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【解答】解：设 A B与正北方向线相交于点C,根据题意OCJ_AB,所以N ACO=90,在 RtA ACO 中，因为N AOC=45。，所以A E C=卑Q=2 0咂RtZkBCO 中，因为N BOC=60。，所以 OB=OC+cos60=400 万=400 x1.414=566（米）。故答案为：5 6 6。【分析】根据等腰直角三
14、角形的性质得出必/c r c/J T，RtABCO中，根据锐角三角函数的定义，2002由 OB=OC+cos60。即可算出答案。17.如图，Rt/XABC中，NC=90。，A C=12,点 D 在边BC上，CD=5,BD=13.点P 是线段AD上一动点，当半径为 6 的 0 P 与 ABC的一边相切时，A P的长为.AD【答案】号或赤【考点】勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：在 RtAACD中，Z C=90,AC=12,CD=5,=AD=13；在 RtA ACB 中，Z C=90,AC=12,BC=CD+DB=18,AB=6 4 录过点 D 作 DMLAB 于点
15、M,AD=BD=131.AM=,8=3 3；在 RtA ADM 中，AD=13,AM=313,DM=213；.1当点P 运动到点D 时，点 P 到 A C 的距离最大为CD=56,半径为6 的。P 不可能与AC相切；当半径为6 的O P 与 BC相切时，设切点为E,连 接PE,PE_LBC,且 PE=6,PEJLBC,ACBC,，PE II AC,ACD-PED,PE：AC=PD：AD,即 6：12=PD:13,PD=6.5,AP=AD-PD=6.5;当半径为6 的O P 与 BA相切时，设切点为F,连 接PF,PFJ_AB,且 PF=6,PFBA,DMAB,DM II PF,.A APF-A
16、 ADM,AP:AD=PF:DM 即 AP：13=6:咄7，AP=s j n，综上所述即可得出A P的长度为：号 或3晅故答案为：呈 耳 国IW【分析】根据勾股定理算出AD,AB的长，过点D作DM_LAB于 点M,根据等腰三角形的三线合一得出AM的长，进而再根据勾股定理算出D M的长；然后分类讨论：当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为C D=5 0)的图象交于A,B两点，点A在第一象限点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D.AE为N B A C的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E,连结DE.若AC=3DC,ADE的面积为8,则k的值为.【考点】反比例函数系数k的几何意义，平
17、行线的判定与性质，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：连接OE,0D,过点A作AN_Lx轴于点N,过点D作DM_Lx轴于点M,根据正比例函数与反比例函数的对称性得出OA=OB,/B E A E,Z AEB=90,在 RtAABE 中,/AO=BO,/.OE=OA,Z OEA=Z OAE,-AE 平分N BAC,/.Z OAE=Z CAE,/.Z CAE=Z OEA,OEII AC,ADO的面积=ADE的面积，ADO的面积=梯形AD M N的面积，梯形AD M N的面积=8,.,AN_Lx 轴，DM_Lx 轴，AN II DM,:&CDM-CAN,，D
18、M：AN=CD:AC=1:3,.设 DM 为 a,则 AN=3a,Jr tA(岩,3a),D(,a)：.0N=k L-2k4,0 M=i/MN=OM-ON=叁上;3a a 3a梯形 ADMN 的面积=(a+3a)-MNx/=8,k=6.故答案为：6【分析】连接OE,0D,过点A作AN_Lx轴于点N,过 点D作DM_Lx轴于点M,根据正比例函数与反比例函数的对称性得出OA=OB,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OE=OA,根据等边对等角及角平分线的定义得出N CAE=N OEA,根据内错角相等二直线平行得出OEII A C,根据同底等高的三角形的面积相等得出 ADO的面积=ADE的面
19、积，根据反比例函数k的几何意义及割补法得出 ADO的面积=梯形ADMN的面积，从而得出梯形ADMN的面积=8,根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AN II D M,根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出ACDM”CAN,根据相似三角形对应边成比例得出DM:AN=CD:AC=1:3,设DM为a,则AN=3a,进而表示出A,D两点的坐标，得出ONQM,MN的长，再根据梯形的面积计算方法建立方程，求解即可。三、解答题(本大题有8小题，共78分)19.先化简，再求值：(x-2)(x+2)-x(x-1),其中 x=3.【答案】解：原式=X2-4+2+X=x-
20、4当x=3时，原式=3-4=-1【考点】利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】根据平方差公式及单项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项化为最简形式，然后代入x的值算出答案。20.图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形。(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形。(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)【答案】(1)解：画出下列其中一种即可（2）解：画出下列其中一种即可【考点】轴对称图形，中心对称及
21、中心对称图形【解析】【分析】（1）开放性的命题，答案不唯一，把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，根据定义即可给合适的三角形填上颜色；（2）开放性的命题，答案不唯一：根据把一个图形绕着某一点旋转180。后能与其自身重合的图形就是中心对称图形即可给合适的三角形填上颜色，从而解决问题。21.今年5 月 15日，亚洲文明对话大会在北京开幕.为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动。为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识 测 试（测试满分100分,制作了如下统计图表。too名学生知识*的*的
22、同敛*得分均为整数），并根据这100人的测试成绩,100名学生知识*IX成袋的短敷口方用成绩。（分）(A)1015MIOSfl9040901001)MB(A)820100“8 70 8 90 100由图表中给出的信息回答下列问题:(1)m=,并补全额数直方图.（2）小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗?请简要说明理由；（3）如果80分 以 上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数.【答案】（1）20；100名学生知识测试成绩的频散直方田（2）解：不一定是，理由：将 100名学生知识测试成绩从小到大排列，第 5 0 名与第
23、51名的成绩都在分数段80sa90中，但它们的平均数不一定是85分(3)解:42+45X120 0=6 0100（人）.答：全校1200名学生中，成绩优秀的约有660人【考点】用样本估计总体，频 数（率）分布表，频 数（率）分布直方图【解析】【解答】解：（1）m=100-10-15-40-15=20（人），故答案为：20.补全频数直方图如下：【分析】（1）用样本容量分别减去成绩是504x60,604x70,80Sx90,904x4100,各组的频数即可算出m的值，根据m 的值即可补全直方图；（2）不一定，将样本中的100名同学的测试成绩按从小到大排列后，第 50名与51名的成绩都在808 9
24、0 分数段，但这两个成绩的平均数不一定是85分，故不确定；（3）用样本估计总体，用全校的学生总人数乘以样本中成绩是80及以上同学所占的百分比即可估计出全校学生中成绩优秀的学生人数。22.如图，已知二次函数y=x?+ax+3的图象经过点P（-2,3）./O X(l)求a的值和图象的顶点坐标。(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.当m=2时，求n的值；若 点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.【答案】(1)解：把 P(-2,3)代入 y=x?+ax+3,得 3=(-2)2-2a+3,解得a=2.y=x2+2x+3=(x+l)2+2,，顶点坐标为(-1,2)(2)解：把 x=2
25、代入 y=x?+2x+3,求得 y=l：l,当 m=2 时，n=ll.2s11【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax9+bx+c的性质【解析】【分析】(1)将 点P的坐标代入抛物线尸=五2+奴+3即可算出a的值，从而求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式配成顶点式，即可求出其顶点坐标；(2)将点Q的横坐标x=2代 入(1)所求的抛物线的解析式即可算出对应的函数值，该值就是n的值；(3)由于该函数顶点坐标是(口,2),且函数开口向上，点Q的横坐标横坐标是2的时候，对应的函数值 是1 1,故点Q到到y轴的距离小于2的时候，对应的函数值n的取值范围是2 4 n 4 0,解得 n24.5
26、,小 聪最早坐上第5 班车.等班车时间为5 分钟，坐班车所需时间：1200+150=8（分），步行所需时间:1200+（1500+25）=20（分）20-（8+5）=7（分）。小 聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7 分钟。【考点】一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出第一班车离入口的路程y 与时间x 的函数关系式；（2）将 y=1500代 入（1）所求的函数解析式即可算出对应的自变量的值，进而再用该值减去该函数起点的横坐标即可得出答案；（3）设小聪能坐上第n 班车，由于两班车的发车时间间隔10分钟，且
27、每班车从入口行到塔林需要10分钟，则第n 班车到达塔林时，时间已经过了 10n分，由于小聪比第一班车早出发20分钟，从入口到塔林用时25分，在塔林玩了 40分钟，故第n 班车到达塔林的时间应该不少于45分钟，从而列出不等式求解再取出最小整数解即可；班车的速度是1500+10=150米每分，小聪的速度是1500+25=60米每分，用小聪直接去草甸的时间-小聪等车的时间-坐车去草甸的时间即可算出小聪节约的时间。25.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.（1）如图1,在 ABC中，AB=AC,A D是 ABC的角平分线，E,F分别是BD,A D上的点.求证：四边
28、形ABEF是邻余四边形。（2）如图2,在5 x4的方格纸中，A,B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形A B E F,使A B是邻余线，E,F在格点上，（3）如图3,在（1）的条件下，取EF中点M,连 结D M并延长交A B于点Q,延长EF交AC于 点N.若N为AC的中点，DE=2BE,Q B=3,求邻余线A B的长。【答案】（1）解：；AB=AC,A D是 ABC的角平分线，ADBC.Z ADB=900.Z DAB+Z DBA=90.Z FAB 与N EBA 互余.A四边形ABEF是邻余四边形(3)解：AB=AC,A D是 ABC的角平分线,BD=CD.DE=2BE,BD=CD=3BE.
29、CE=CD+DE=5BE.,-Z EDF=90,M 为 EF 中点,.DM=ME.Z MDE=Z MED.AB=AC,Z B=Z C.DBQ AECN.QB BDNC=CE=：QB=3,/.NC=5.AN=CN,.AC=2CN=10.35AB=AC=10.【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质【解析【解析】(1)解：AB=AC,A D是 ABC的角平分线，ADBC.Z ADB=90Z DAB+Z DBA=90.Z FAB 与N EBA 互余.四边形ABEF是邻余四边形【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一得出AD _LBC,故NADB=90。
30、，根据直角三角形的两锐角互余得出N FAB+N EBA=90。，根据邻余四边形的定义即可得出结论：四边形ABEF是邻余四边形；(2)开放性的命题，答案不唯一：在过点A的水平线与过点B的竖直线上各取一个格点F,E再顺次连接A,F,E,B即可得出所求的邻余四边形；(3)根据等腰三角形的三线合一得出BD=CD,进而得出CE=5BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出D M=M E,根据等边对等角得出N MDE=Z MED,Z B=N C,根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出 DBQ”&E C N,根据相似三角形对应边成比例得出QB:NC=BD:CE=3:5,根据比例式得出NC的长，进而
31、即可得出AC的长，最后根据AB=AC即可得出答案。26.如图1,。经过等边 ABC的顶点A,C(圆心0在 ABC内)，分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连结DE,BF_LEC交AE于 点F.(1)求证：BD=BE.(2)当 AF：EF=3:2,AC=6 时，求 AE 的长。(3)设 j=xztanZ DAE=y.EF 求y关于x的函数表达式；如 图2,连结O F,O B,若AA E C的面积是A O FB面积的1 0倍，求y的值【答案】(1)证明：ABC为等边三角形，Z BAC=Z C=60*,/Z DEB=Z BAC=60 D=Z C=60 Z DEB=Z D.BD=BE(2)解：如图，
32、过点A作AG LEC于点G.ABC为等边三角形，AC=6,BG=4BC=AC=3.在 RtA ABG 中，AG=BG=3 0.BFEC,BFII AG.AF BGE F=EB：AF:EF=3:2,2.BE=可 BG=2.EG=BE+BG=3+2=5.在 R t A AEG 中，AE=.8+/=4 +5 2 =邛7（3）解：如图，过点E作E H LA D于点H.Z EBD=Z ABC=60o,在RtA BEH中，号 旨=sin 6 0上UK卑有BG AFEB=E F=X-：BG=xBE.AB=BC=2BG-2xBE.AH-AB+BH=2xBE+BE=(2x+)BE.也 r在 RtA AHE 中,
33、tan =EH 2 _ 13团=(2r+加 =4X+14x+l 如图，过点。作 0M_LEC于点M.设 BE=a.BG AFEB=EF=XCG=BG=xBE=x.EC=CG+BG+BE=a+2ax.AM=EC=ga+ax.BM=EM-BE=ax-BFII AG EBF EGA.BF BE a _ _ LAG=BF=-=-4AG=43 a x1+x 1+x OFB 的面积=BF-BM 1*赵 竺/1)-2-=2xx+ir 2flJ AEC 的面积=x 3 ax ffl+2ax)1 AEC的面积是A OFB的面积10倍/x 收gx(a+2gx)=10 x/x ax 2xl-7x+6=0解得 x1=
34、2JXj=【考点】圆的综合题【解析】【分析】(1)根据等边三角形的三个内角都等于60。得出N BAC=NC=60。，根据同弧所对的圆周角相等得出N DEB=Z BAC=60,Z D=Z C=60。,故N DEB=Z D,根据等角对等边得出BD=BE；(2)如图，过点A作AGJLEC于点G,根据等边三角形的三线合一得出B G=3,在R 3 A B G中，根据含30。角的直角三角形的边之间的关系得出AG的长，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出BFII A G,根据平行线分线段成比例定理得出：EF=BG:EB,根据比例式即可算出EG的长，最后在RtAAEG中，根据勾股定理即可算出AE
35、的长；(3)如图，过点E作EH_LAD于点H,在R 3 B E H中，根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出 EH=_ _ _ _ 由于 BG:EB=AF:E F=x,故 BG=xBE,AB=2xBE,最后根据 AH=AB+BH2 bX,D ti=ZLfc表示出A H,在R 3 A H E中，根据正切函数的定义，由tanN EAO=EH:AH,即可建立出函数关系式；如图，过点 0 作 OM_LEC 于点 M,设 BE 为 a,根据 BG:EB=AF:E F=x,得出 CG=BG=xBE=ax,故EC=CG+BG+BE=a+2ax,根据垂径定理得出E M的长，进而根据线段的和差表示出B
36、 M的长，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 EBF-&E G A,根据相似三角形的对应边成比例表示出BF的长，根据三角形的面积计算公式分别表示出O F B的面积及AAEC的面积，然后根据 AEC的面积是4 0FB的面积的1 0倍建立方程，求解算出x的值，进而即可得出答案。初中数学重要公式1、几何计数：当一条直线上有n个点时，在这条直线上存在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _条线段.(2)平面内有n个点，过两点确定一条直线，在这个平面内最多存在 条直线.如果平面内有n条直线，最多存在 个交点.如果平面内有n条直线，最多可以将平面分成 部分.(
37、5)、有公共端点的n条射线(两条射线的最大夹角小于平角)，则存在 个角.2、AB/CD,分别探讨下面四个图形中N 4/T与/用 反 力 的 关 系。PD3、全等三角形的判定方法：a.三条边对应相等的两个三角形全等（简记为）.b.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为）.c.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为）.d.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为）.e.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为）.4、坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那么位 似 图 形 对 应 点 的 坐 标 的
38、比 等 于.5、n 边形的内角和等于；多 边 形 的 外 角 和 都 等 于.6、在四边形的四个内角中，最多能有 3_个钝角，最多能有 3_个锐角.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加 180 度.4.n 边形有 条对角线.5、用、完全相同的一种或几种 进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片，就 是 平 面 图 形 的.注意要实现平面图形的镶嵌，必 须 保 证 每 个 拼 接 点 处 的 角 恰 好 能 拼 成 .总结平面图形的镶嵌的常见形式用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：个正三角形或 个正四边形或 个正六边形.（2）用两种正多边形镶嵌用正三角形和正四边形镶嵌：
39、个正三角形和 个正四边形；用正三角形和正六边形镶嵌：用 个正三角形和 个正六边形或者用 个正三角形和 个正六边形；用正四边形和正八边形镶嵌：用 个正四边形和 个正八边形可以镶嵌.用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m 块正三角形、块正方形、k 块正六边形，则有60m+90n+120k=360,整理得,因为m、n、k 为整数，所以m=,n=，k=,即用 块正方形，块正三角形和 块正六边形可以镶嵌.6、梯形常用辅助线做法：7、如 图：R t&B C 中,ZACB=90,CD AB D,则 有：(1)、Z A C D=Z B Z D C B=Z A(2)由 M/X A
40、 B C s Rt/xACD$JAC1=A D-A B由 RtABC s RtACBD 得到BC?=B D A B由 RtZxACD s RtACBD 得到CD=A D B D(3)、由等积法得到A B x C D =ACxBC8、若 将 半 圆 换 成 正 三 角 形、正方形或任意的相似形5 1+5 2=5 3 者 F成主9、在解直角三角形时常用词语：1.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视 线 在 水 平 线 上 方 的 叫 做,视 线 在 水 平 线 下 方 的 叫 做.2.坡度和坡角11，特殊锐角三角函数值X3045,60通常把坡面的铅直局度h和水平宽度1之比叫_ _ _ _ _ _
41、 _ _,用字母i表示，即i=Sin QV2旦_ _ _ _ _ _ _ _,把坡面与水平面的夹角叫做,记作a,于是i=222tana,显然，坡度越大，a角越大，坡面Cos QV2J_2就越陡.tan aV31V31 0.正多边形的有关计算/180边长：a 2R sin面 积：S,=a r-n上以 2 X180内角：nN a 3600外 角：nn周 长：P=n a*、口 匚 180边 心 距：r R*cosn、A 360中心角：nCot a1V 312、某些数列前n项之和l+2+3+4+5+6+7+8+9+.+n=n(n+l)/2l+3+5+7+9+ll+13+15+.+(2n-l)=n22+
42、4+6+8+10+12+14+.+(2n)=n(n+l)13、平行线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：a匕c,直线/i与/2分别与直线a、b、c相交与点八、8、C和D、E、F,则有空匹AB DE BC EF RCEFCDFCDF(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。如图：ABC中，DE/BC,0 E与A8、AC相交与点0、E,则有：AD _ AE AD _AE _ DE DB _ ECD S-EC*AB-AC-B C A B -AC14、极差、方差与标准差计算公式:极差：用一组数据的最大值
43、减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差,即：极差=最大值-最小值；方差：数据丫、丫，丫的方差为,2,A1 4 2 An)则-丫(-V-_ I Xj _ X I +I X、_ X I +.+(Xfl-X I标准差：数据丫、Y ,Y的标准差S，人 4 2 人 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。15、求 抛 物 线 的 顶 点、对称轴的方法公式法:y a x2+b x+c a x +I 2a、24c，,顶点7 c b 4 a c-b2.9 对称轴-i-(-,-)4a72Q 4a是直线 b ox-2a 配 方 法：运 用 配 方 的 方 法，将 抛 物 线 的 解
44、 析 式 化 为,=4缶 _ 刈2+z的 形 式，得到顶点为(/?，%)，对 称 轴 是 直 线x =。运 用 抛 物 线 的 对 称 性：由于抛物线 是 以 对 称 轴 为 轴 的 轴 对 称 图 形，对称轴与抛物线的交点 是 顶 点。若已知抛物线上两点a，y）、Q”y）（及 y值相同），则对称轴方程可以表示为：16、直线与抛物线的交点）轴与抛物线）=“2 +6 x+c 得交点为。C）。抛物线与X 轴的交点。二次函数丫4，、的图像与X 轴的两个交点的横坐标r、丫，是对应一元二次方程办2 +云+c =0 的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：a有两个交点
45、。（）=抛物线与x 轴相交；b有一个交点（顶点在x 轴上）o（A=O）U抛物线与x 轴相切；c没有交点=（A 0）=抛物线与x 轴相离。平行于X轴的直线与抛物线的交点同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为2,则横坐标是欠2+C=A的两个实数根。一次函数y=丘+伍。0）的图像/与二次函数,=依2+公+电 工 0）的图像6 的交点，由方程组 y=n 的解的数目来确定：y=ax2+hx+ca方程组有两组不同的解时=/与G有两个交点；b方程组只有一组解时o /与G只有一个交点；c方程组无解时=/与G没有交点。抛物线与工轴两交点之间的距离：若抛物线）,=
46、Q R+以+C与轴两交点为A（知0）,夙和0 则AB=1_可图形的定义、性质、判定一、角平分线性质：角的平分线上的点到角两边的 相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 上.二、线段垂直平分线1.性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 点拨线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：1.定义：有两 相等的三角形是等腰三角形.2.性 质：等 腰 三 角 形 两 个 腰.(2)等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角(简 写 成 等 边 对 等 角).等 腰 三 角 形 的 顶 角，
47、底边上的,底边上的_ _ _ _ _ _ _互相重合.等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴.注意(1)等腰三角形两腰上的高相等.(2)等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：1.定义法.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”).注意(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.(2)一边上的高与这边所对角的平分线重合的
48、三角形是等腰三角形.一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形1.等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等.等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60.等边三角形是轴对称图形，并且有 条对称轴.注意等边三角形具有等腰三角形的所有性质.2.等边三角形的判定三条边相等的三角形叫做等边三角形.三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角等于6 0 的_ _ _ _ _ _ _ _ 三角形是等边三角形五、直角三角形1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.直角三角形的性质 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角.直 角 三 角 形 的 斜 边 上 的 中
49、 线 等 于 斜 边 的.在直角三角形中，3 0 的 角 所 对 的 边 等 于 斜 边 的.(4)在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。(5)、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为。、b,斜边长为c,那么/+62=.3.直角三角形的判定(1)、判定：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是_ _ _ _ _ _ _ _ 三角形.(2)、如果三角形的三边长分别为。、b、C,满足/+b2=c 2,那么这个三角形是 三角形.(3)、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。(4)、直径所对的圆周角是90度。(5)、
50、如果一个三角形的外心在三角形的一条边上，那么这个三角形是直角三角形。缶)、圆的切线垂直于过切点的半径。六、相似三角形1.相 似 三 角 形 的 对 应 角,对应边的比.相似多边形对应角相等，对应边的比相 似 多 边 形 周 长 的 比 等 于,相似多边形面积的比等于 的平方.2.相 似 三 角 形 的 周 长 比 等 于.3.相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的.注意相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.判定定理：1.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.2.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角