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1、2019 年浙江省宁波市初中学业水平考试 数 学(满分150分,考试时间120分钟)一、选择题：本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得 4 分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分 1(2019 浙江宁波,1 题,4 分)2 的绝对值为 A.12 B.2 C.12 D.2【答案】B【解析】负数的绝对值是它的相反数,|2|2,故选 B.【知识点】绝对值 2(2019 浙江宁波,2 题,4 分)下列计算正确的是 A.a2+a3a5 B.a3a2a6 C.(a2)3a5 D.a6a2a4【答案】D【解析】A.不是同类项,不能计算,故 A
2、 错误;B.a3a2a5,故 B 错误;C.(a2)3a6,故 C 错误;D.a6a2a4,故 D 正确;故选 D.【知识点】同底数幂的乘除,幂的乘方,积的乘方,合并同类项 3(2019 浙江宁波,3 题,4 分)宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市,项目总投资为 1 526 000 000.数 1 526 000 000 用科学记数法表示为 A.1.526108 B.15.26108 C.1.526109 D.1.5261010【答案】C【解析】1 526 000 0001.526109,故选 C.【知识点】科学记数法 4(2019 浙江宁波,4 题,4 分)若分式
3、12x有意义,则 x 的取值范围是 A.x2 B.x2 C.x0 D.x2【答案】B【解析】要使分式有意义,需要使分母不为零,即 x20,x2,故选 B.【知识点】分式 5(2019 浙江宁波,5 题,4 分)如图,下列关于物体的主视图画法正确的是 第 5 题图【答案】C【解析】如图所示是一个空心圆柱,其左视图轮廓应该是长方形,内部的两条线段看不到,应该用虚线表示,故选 C.【知识点】三视图的画法 6(2019 浙江宁波,6 题,4 分)不等式32xx的解为 A.x1 B.x1 D.x1【答案】A【解析】不等式两边同乘 2,得 3x2x,移项,合并,得 33x,x1,故选 A.【知识点】解不等
4、式 7(2019 浙江宁波,7 题,4 分)能说明命题”关于 x 的方程 x24x+m0 一定有实数根”是假命题的反例为 A.m1 B.m0 C.m4 D.m5【答案】D【解析】方程的根的判别式(4)24m164m,当0 时,方程无实数根,应使 164m4,可得原方程无实数根,四个选项中,只有 m5 符合条件,故选 D.【知识点】一元二次方程根的判别式,解不等式,反例 8(2019 浙江宁波,8 题,4 分)去年某果园随机从甲,乙,丙,丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵,每棵产量的平均数x(单位:千克)及方差 S2(单位:千克2)如下表所示:甲 乙 丙 丁 x 24 24 23 20 S2
5、 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植,应选的品种是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】方差体现的是一组数据的稳定情况,方差越小,越稳定,故选乙和丁,二者的平均产量乙大于丁,故应选乙进行种植,故选 B.【知识点】方差,平均数 9(2019 浙江宁波,9 题,4 分)已知直线 mn,将一块含 45角的直角三角板 ABC 按如图方式放置,其中斜边 BC与直线 n 交于点 D.若125,则2 的度数为 A.60 B.65 C.70 D.75 第 9 题图【答案】C【解析】B45,125,31+B70,mn,2370,故选 C.第 9 题
6、答图【知识点】三角形的外角,平行线的性质 10(2019 浙江宁波,10 题,4 分)如图所示,矩形纸片 ABCD 中,AD6cm,把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩形纸片EFCD 后,分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则 AB 的长为 A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm 第 10 题图【答案】B【解析】AE124AB,右侧圆的周长为DE,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,124ABDE,AB2DE,即 AE2ED,AE+EDAD6,AB4,故选 B.【知识点】弧长,圆锥展开图 11(2019 浙江宁波,11 题,4 分)小慧去花店购买鲜
7、花,若买 5 支玫瑰和 3 支百合,则她所带的钱还剩下 10 元;若买 3支玫瑰和 5 支百合,则她所带的钱还缺 4 元,若只买 8 支玫瑰,则她所带的钱还剩下 A.31 元 B.30 元 C.25 元 D.19 元【答案】A【解析】设一支玫瑰 x 元,一支百合 y 元,小慧带了 z 元,根据题意得:5x+3yz10,3x+5yz+4,x+y34z,3x+3y394z,2x314z,8xz31,即小慧买 8 支玫瑰后,还剩 31 元,故选 A.【知识点】二元一次方程组,消元法 12(2019 浙江宁波,12 题,4 分)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图
8、1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 第 12 题图【答案】C【思路分析】由勾股定理可知,两个小正方形面积和等于大正方形面积,表示出阴影部分面积,即可得到结论.【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则 S阴影c2a2b2+b(a+bc),由勾股定理可知,c2a2b2,S阴影c2a2b2+S重叠S重叠,即 S阴影S重叠,故选 C.第 12 题答图【知识点】勾股定
9、理,阴影面积 二、填空题：本大题共 6 小题,满分 24 分,只填写最后结果,每小题填对得 4 分.13(2019 浙江宁波,13 题,4 分)请写出一个小于 4 的无理数:_.【答案】【解析】常见无理数有,开方开不尽的数,故本题可填,2,15,32,365等.【知识点】无理数 14(2019 浙江宁波,14 题,4 分)分解因式:x2+xy_.【答案】x(x+y)【解析】利用提公因式法分解因式,可得 x2+xyx(x+y).【知识点】提公因式法分解因式 15(2019 浙江宁波,15 题,4 分)袋中装有除颜色外其余均相同的 5 个红球和 3 个白球.从袋中任意摸出一个球,则摸出的球是红球的
10、概率为_.【答案】58【解析】袋中共有 8 个球,任意摸一次,有 8 中等可能的结果,其中,摸到红球的结果有 5 中,摸出的球是红球的概率58【知识点】概率 16(2019 浙江宁波,16 题,4 分)如图,某海防哨所 O 发现在它的西北方向,距离哨所 400 米的 A 处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为_米.第 16 题图【答案】566【解析】在 RtAOH 中,OHAOcos45200 2,在 RtBOH 中,BO400 2566cos60OHo.第 16 题答图【知识点】三角函数 17(2019 浙江宁波,17 题,4
11、分)如图,RtABC 中,C90,AC12,点 D 在边 BC 上,CD5,BD13.点 P 是线段 AD 上一动点,当半径为 6 的eP 与ABC 的一边相切时,AP 的长为_.第 17 题图【答案】132或3 13【解析】半径为 6 的eP 与ABC 的一边相切,可能与 AC,BC,AB 相切,故分类讨论:当eP 与 AC 相切时,点 P 到 AC 的距离为 6,但点 P 在线段 AD 上运动,距离最大在点 D 处取到,为 5,故这种情况不存在;当eP 与 AC 相切时,点 P 到 BC 的距离为 6,如图 PE6,PEAC,PE 为ACD 的中位线,点 P 为 AD 中点,AP113=2
12、2AD;当eP 与 AB 相切时,点 P 到 AB 的距离为 6,即 PF6,PFAB,过点 D 作 DGAB 于点 G,APFADGABC,PFACAPAB,其中,PF6,AC12,AB22ACBC6 13,AP3 13;综上所述,AP 的长为132或3 13.【知识点】切线性质,中位线,相似三角形,勾股定理 18(2019 浙江宁波,18 题,4 分)如图,过原点的直线与反比例函数kyx(k0)的图象交于 A,B 两点,点 A 在第一象限,点 C 在 x 轴正半轴上,连接 AC 交反比例函数图象于点 D.AE 为BAC 的平分线,过点 B 作 AE 的垂线,垂足为 E,连接 DE,若 AC
13、3DC,ADE 的面积为 8,则 k 的值为_.第 18 题图【答案】6【思路分析】连接 OE,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半,得到等腰三角形,结合平分线得到平行,将ADE 的面积转化为ADO 的面积,再利用反比例函数的性质,将ADO 的面积转化为梯形 AMND 的面积,再根据相似三角形和反比例函数的性质,可依次得到AMC 和AOM 的面积,则 k 值可求.【解题过程】连接 OE,在 RtABE 中,点 O 是 AB 的中点,OE12ABOA,OAEOEA,AE 为BAC的平分线,OAEDAE,OEADAE,ADOE,SADESADO,过点 A 作 AMx 轴于点 M,过点 D 作 DNx
14、 轴于点 N,易得 S梯AMNDSADO,CAMCDN,CD:CA1:3,SCAM9,延长 CA 交 y 轴于点P,易得CAMCPO,可知DCAP,CM:MOCA:AP3:1,SCAM:SAMO3:1,SAMO3,反比例函数图象在一,三象限,k6.第 18 题答图【知识点】直角三角形斜边中线等于斜边一半,等边对等角,平行线判定,反比例函数k的几何意义,三角形面积转化,相似三角形的性质 三、解答题：本大题共 8 小题,满分 78 分,要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19(2019 浙江宁波,19 题,6 分)先化简,再求值:(x2)(x+2)x(x1),其中,x3.【思路分析】先进行化
15、简,然后将 a 的值代入化简结果,进行计算.【解题过程】原式x24x2+xx4,当 x3 时,原式x4341【知识点】整式化简求值,平方差公式 20(2019 浙江宁波,20 题,8 分)图 1,图 2 都是有边长为 1 的小等边三角形构成的网格,每个网格图中由 5 个小等边三角形已图上阴影,请在余下的空白小等边三角形中,按下列要求选取一个图上阴影:(1)使得 6 个阴影小等边三角形中组成一个轴对称图形;(2)使得 6 个阴影小等边三角形中组成一个中心对称图形;(请将两个小题一次作答在图 1,图 2 中,均只需画出符合条件的一种情形)第 20 题图【思路分析】(1)找到原图形的对称轴,在对称轴
16、上增加三角形即可;(2)将原图形补成平行四边形,即为中心对称图形.【解题过程】(1)画出下列其中一种即可 (2)画出下列其中一种即可 【知识点】轴对称图形,中心对称图形.21(2019 浙江宁波,21 题,8 分)今年 5 月 15 日,亚洲文明对话大会在北京开幕.为了增进学生对亚洲文化的了解,某学校开展了相关知识的宣传教育活动.为了解这次宣传活动的效果,学校从全校 1200 名学生中随机抽取 100名学生进行知识测试(测试满分 100 分,得分均为整数),并根据这 100 人的测试成绩,制作了如下统计图表.100 名学生知识测试成绩的频数表 成绩 a(分)频数(人)50a60 10 60a7
17、0 15 70a80 m 80a90 40 90a100 15 100 名学生知识测试成绩的频数直方图 第 21 题图 由表中给出的信息回答下列问题：(1)m_,并补全频数直方图;(2)小明在这次测试成绩中成绩为 85分,你认为 85 分一定是这 100 名学生知识测试成绩的中位数吗?请简要说明理由;(3)如果 80 分以上(包括 80 分)为优秀,请估计全校 1200 名学生中成绩优秀的人数.【思路分析】(1)总人数减去其他成绩范围的人数即为 70a80 分数段的人数 m;(2)根据中位数的定义,为第 50 和51 名成绩的平均数,但这两个成绩并不确定,故不一定;(3)根据样本百分数估计总体
18、.【解题过程】(1)m20,频数直方图如图所示:第 21 题答图(1)(2)不一定是,理由如下:将 100 名学生知识测试成绩从小到大排列,第 50 名与第 51 名的成绩都在分数段80a90 中,但他们的平均数不一定是 85 分,85 分不一定是这 100 名学生知识测试成绩的中位数;(3)49151200660100(人),答:全校 1200 名学生中,成绩优秀的约有 660 人.【知识点】频数,频数直方图,中位数,样本估计总体 22(2019 浙江宁波,22 题,10 分)如图,已知二次函数 yx2+ax+3 的图形经过点 P(2,3).(1)求 a 的值和图象的顶点坐标;(2)点 Q(
19、m,n)在该二次函数图象上:当 m2 时,求 n 的值;若点 Q 到 y 轴的距离小于 2,请根据图象直接写出 n 的取值范围.【思路分析】(1)将点 P 坐标代入解析式,可得 a 的值,进而求得顶点坐标;(2)将 m2 代入解析式即可求得 n 的值;点 Q 到 y 轴的距离小于 2,即2m2,求出函数值的范围,即可得 n 的取值范围.【解题过程】(1)把 P(2,3)代入 yx2+ax+3,得 3(2)2+a(2)+3,解之,得 a2,yx2+2x+3(x+1)2+2,顶点坐标为(1,2);(2)把 x2 代入 yx2+2x+3,得 y11,当 m2,时,n11;当点 Q 到 y 轴的距离小
20、于 2 时,即2m2,函数可以取得最小值为 2,当 x2 时,y3,当 x2 时,y11,n的取值范围为 2n11.【知识点】二次函数解析式,求函数值,二次函数的最值 23(2019 浙江宁波,23 题,10 分)如图,矩形 EFGH 的顶点 E,C 分别在菱形 ABCD 的边 AD,BC 上,顶点 F,H 在菱形ABCD 的对角线 BD 上.(1)求证:BGDE;(2)若 E 为 AD 中点,FH2,求菱形 ABCD 的周长.第 23 题图【思路分析】(1)由菱形和矩形的性质,得到对应边,对应角相等,从而证明全等,得到结论;(2)连接 EG,由矩形性质得到 EGFH,证明四边形 AEGB 和
21、四边形 EGCD 都是平行四边形,得到菱形边长,则周长可得.【解题过程】(1)在矩形 EFGH 中,EHFG,EHFG,GFHEHF.BFG180GFH,DHE180EHF,BFGDHE,在菱形 ABCD 中,ADBC,GBFEDH,BGFDEH(AAS),BGDE;(2)如图,连接 EG,在菱形 ABCD 中,ADBC,ADBC,E 为 AD 中点,AEED,BGDE,AEBG,四边形ABGE 是平行四边形,ABEG,在矩形 EFGH 中,EGFH2,AB2,菱形周长为 8.【知识点】矩形性质,菱形性质,全等三角形,平行四边形的判定 24(2019 浙江宁波,24 题,10 分)某风景区内的
22、公路如图 1 所示,景区内有免费的班车,从入口除法,沿该公路开往草甸,途中停靠塔林(上下车时间忽略不计),第一班车上午 8 点发车,以后每隔 10 分钟有一班车从入口处发车,小聪周末到该风景区游玩,上午 7:40 到达入口处,因还没到班车发车时间,于是从景区入口处除法,沿该公路步行 25 分钟后到达塔林,离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数关系如图 2 所示.(1)求第一班车离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数表达式;(2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间;(3)小聪在塔林游玩 40 分钟后,想坐班车到草甸,则小聪最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到草甸,比他在塔林游
23、玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟?(假设每一班车速度均相同,小聪步行速度不变)第 24 题图【思路分析】(1)利用待定系数法,将两点坐标代入解析式,即可求解析式;(2)将 1500 代入解析式,即可求出所需时间;(3)根据题意列出不等式,求得小聪坐的车,然后分别算出坐车和步行到草甸的时间,即可求出二者相差的时间.【解题过程】(1)由题意可设,函数表达式为 ykx+b(b0),把(20,0),(38,2700)代入,可得020 270038kbkb,解得150 3000kb,第一班车离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数表达式为 y150 x3000(20 x38);(2)把 y150
24、0 代入 y150 x3000,解得 x30,302010(分),第一班车到塔林所需时间为 10 分钟;(3)设小聪坐上第 n 班车,3025+10(n1)40,解得 n4.5,小聪最早坐上第 5 班车,等班车时间为 5 分钟,坐班车所需时间:12001508(分),步行所需时间:1200(150025)20(分),20(8+5)7(分),小聪坐班车到草甸比他游玩结束后立即步行到草甸提早了 7 分钟.【知识点】待定系数法求一次函数解析式,一元一次方程,不等式的应用 25(2019 浙江宁波,25 题,12 分)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图
25、 1,在ABC 中,ABAC,AD 是ABC 的角平分线,E,F分别是 BD,AD 上的点.求证:四边形 ABEF是邻余四边形;(2)如图 2,在 54 的方格纸中,A,B 在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形 ABEF,使 AB 是邻余线,E,F 在格点上;(3)如图 3,在(1)的条件下,取 EF中点 M,连接 DM并延长交AB于点Q,延长EF交 AC于点N.若N 为AC的中点,DE2BE,求邻余线 AB 的长.第 25 题图【思路分析】(1)由等腰三角形三线合一可得 ADBD,FAB 与EBA 互余,进而得到邻余四边形;(2)采用类似(1)问的方法,将A 和B 放在同一个直角三角形中
26、,即可得到图形;(3)直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得MEMD,MDEMED,证得DBQECN,进而由图形中线段的等量关系,结合相似比例式,可得邻余线 AB的长度.【解题过程】(1)ABAC,AD 是ABC 的角平分线,ADBC,ADB90,DAB+DBA90,FAB 与EBA 互余.四边形 ABEF 是邻余四边形;(2)如图所示,四边形 ABEF 即为所求.(答案不唯一)第 25 题答图(3)ABAC,AD 是ABC 的角平分线,BDCD,DE2BE,BDCD3BE,CECD+DE5BE.EDF90,M 为 EF 的中点,DMME.MDEMED.ABAC,BC,DBQECN,35QBBD
27、NCCE,QB3,NC5,ANCN,AC2CN10,ABAC10.【知识点】等腰三角形三线合一,直角三角形两锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等边对等角,相似三角形 26(2019 浙江宁波,26 题,14 分)如图 1,eO 经过等边三角形 ABC 的顶点 A,C(圆心 O 在ABC 内),分别与 AB,CB的延长线交于点 D,E,连接 DE,BFEC 交 AE 于点 F.(1)求证:BDBE;(2)当 AF:EF3:2,AC6 时,求 AE 的长;(3)设AFEFx,tanDAEy.求 y 关于 x 的函数表达式;如图 2,连接 OF,OB,若AEC 的面积是OFB 面积的
28、10 倍,求 y 的值.第 26 题图【思路分析】(1)利用等边三角形的性质和圆周角定理,得到BEDBDE,由等角对等边,得到结论;(2)由三线合一求出 AG,BG 长,利用平行线分线段成比例,求得 EB,进而通过勾股定理得到 AE 的长;(3)构造直角三角形,利用比例关系,写出 EH,AH 的代数式,进而求得 y 关于 x 的表达式;构造相似,得到比例式,表示出两个三角形的面积,根据 10 倍关系,得到方程,即可解得 y 的值.【解题过程】(1)ABC 为等边三角形,BACC60,DEBBAC60,DC60,DEBD,BDBE.(2)如图,过点 A 作 AGEC 于点 G,ABC 为等边三角
29、形,AC6,BG12BC12AC3,在 RtABG 中,AG3BG3 3,BFEC,BFAG,=AFBGEFEB,AF:EF3:2,BE23BG2,EGBE+BG3+25,在 RtAEG 中,AE222 13AGEG;第 26 题答图(1)(3)如图,过点 E 作 EHAD 于点 H,EBDABC60,在 RtBEH 中,EHEBsin6032,EH32BE,BH12BE,=BGAFEBEFx,BGxBE,ABBC2BG2xBE,AHAB+BH2xBE+12BE(2x+12)BE,RtAHE中,tanEAD332=14122BEEHAHxxBE,y341x;第 26 题答图(2)如图,过点 O
30、 作 OMEC 于点 M,设 BEa,=BGAFEBEFx,CGBGxBEax,ECCG+BG+BEa+2ax,EM12EC12a+ax,BMEMBEax12a,BFAG,EBFEGA,1=1BFBEaAGEGaaxx,AG3BG3ax,BF11xAG31axx,OFB 的面积1312212BF BMaxaxax,AEC 的面积13222EC AGax aax,OFB 的 面 积 是 AEC 的 面 积 的 10 倍,13110212axaxax1322ax aax,2x27x+60,解之,得 x12,x232,y39或37.第 26 题答图(3)【知识点】等边三角形的性质,圆周角定理,等角对等边,三线合一,平行线分线段成比例,勾股定理,三角函数,相似三角形,一元二次方程