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1、第 58练 空间点、直线、平面之间的位置关系基础对点练考 点 一 基 本 事 实 的应用1.（2022 南昌模拟）如图，E,F,G,，分别是菱形ABCD的边AB,BC,CD,D 4 上的点,且 BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,现将4B。沿B D折起，得到空间四边形A B C D,在折起过程中，下列说法正确的是（）ACA.直线EF,4 G 有可能平行B.直线EF,HG 一定异面C.直线ERD.直线所，答 案 C解析 ：BE=2AE,DH=2HA,”G 一定相交，且交点一定在直线4 c 上HG 一定相交，但交点不一定在直线AC上 A E _ A H _ 旗=丽=,则 E H
2、 B D,且又 CF=2FB,CG=2GD,QL=CG B F G D Z,2则 F G/B D,且 F G,B D,C.EH/FG,且 EH 于 FG,四边形EFGH为平面四边形，故直线EF,HG 一定共面，故 B 错误；若直线E F 与 H G 平 行,则四边形EFGH为平行四边形，可得E H=G F,与 E H W F G 矛盾,故 A 错误；1 2由E”尸 G,且 EHWFG,E H 巧 BD,F G 巧 B D,可得直线EF,”G 一定相交，设交点为O,则。GER 又 EBU平面A B C,可得O C 平面A B C,同理，。右平面ACD,而平面A8CC平面ACQ=AC,；.O e
3、A C,即直线EF,4 G 一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误.42 .在空间，已知直线/及不在/上的两个不重合的点A,B,过直线/作平面a,使得点A,8到平面a的距离相等，则这样的平面a的个数不可能是（）A.1 B.2 C.3 D.无数答 案C解 析（1）如图，当直线A B与/异面时，则只有一种情况；A-B（2）如图，当 直 线 与/平 行 时，则有无数种情况，平面a可以绕着/转动;（3）如图，当/过线段A 3的中垂面时，有两种情况.3 .（多选）设a,夕表示平面，/表示直线，A,B,C表示三个不同的点，给出下列命题，其中正确的是（）A.若 A G/,A W a,BEI,B
4、G a,则/U aB .若 a,不重合且 A da,A Ba,B G。,则 a n =A BC.若 IQa,A&l,则 M aD.若 A,B,CSa,A,B,则 a 与 0 重合答 案A B解析 若 A W/,A da,B e/,B G a,则/U a,A 正确；若A da,A C/?,BGa,B ,则直线A B既在平面a内，又在平面”内，所以a n.=A B,B正确；若H a,则直线/可能与平面a 相交于点A,所以A d/时，AGa,C 不正确；若 A,B,CWa,4,B,C,当A,B,C 共线时，a 与可能不重合，D 不正确.考点二空间位置关系的判断4.（2022山东省百师联盟联考）已知平
5、面a,“，直线?，n,则下列命题中正确的是（）A.若小a,“U a,则机”B.若 a工8，ntUa,n C.fi,则,_LC.若 aC=l,tn/a,m/p,则?/D.若 aD y?=/,，*U a,，*_!_/,则，_1_夕答 案 C解析 对于A,若机a,U a,则?与平行或异面，故 A 错误；对于B,若a工6，mUa,n U ,则，与 相 交、平行或异面，故 B 错误；对于C,若 aA=/,m/a,m/fi,则由线面平行的性质得机/,故 C 正确；对于D,若 aC=/,mC.a,m V l,则 小与夕不一定垂直，故 D 错误.5.若 a,6 是异面直线，b,c 是异面直线，则（）A.a/c
6、B.a,c 是异面直线C.a,c 相交D.a,c,平行或相交或异面答 案 D解析 若 a,6 是异面直线，6,c,是异面直线，则 a,c 可以平行，可以相交，可以异面.6.如图，在正方体ABC。-4 8 1 G d 中，例 为 棱 A G 的中点.设 AM与平面B 8 Q Q 的交点为O,则（）A.Di,O,8 三点共线，且 0 8=2 0 2B.Di，O,8 三点不共线，且 0 8=2 0。C.Di,O,B三点共线,且。3=。|D.Di，O,B 三点不共线，且 0 8=0。答 案 A解析 在正方体ABCDA/iG D i中，连接A。，BCt,如图,C D/C D/A B,连接 B）i,平面
7、ABCQj n 平面 B3|Q=Bi,因为M 为棱。C i的中点，则 M C平面ABC。”而 4 G 平面ABC。，即AMU平面ABC。，又。G A M,则 0G 平面 ABCQi,因为AM 与平面881。的交点为。，则 OG平面于是得O eB。，即 A,O,B三点共线，显 然 例AB 且 于是得 0。|=/0,即。8=2 0。,所以D”O,B 三点共线，且 0 8=2 0 9.考点三空间几何体的切割（截面）问题7.已知正方体ABCOA iB C Q i的棱长为3,E,F,G 分别为棱A 4,AB,C G 上的点，其3中AE=1,AF=2,C G=y 平面a 经过点E,F,G,则 a 截此正方
8、体所得的截面为（）A.三角形 B.四边形C.五边形 D.六边形答 案 C解 析 如图所示，取 3 5 的中点H,BM=1,3因为 AE=1,AF=2,CG=3,所以 EF/AH,GM/DE,所以五边形EFMGDi在平面a 上,所以截面是五边形.8.（2022 长沙质检）我国古代的数学著作 九章算术商功中，将两底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-AiBiG中，AB=AC=A4i=2,M,N 分别是 8 和 4 G 的中点，则平面4MN截“堑堵”ABC4 8 c l 所得截面图形的面积为（）A 旭A.3r27J 3答 案 A解析 延长A N,与 C G 的延长线交于
9、点P,则 P G 平面BBiCiC,连接P M,与 B iG 交于点E,连接NE,则四边形AMEN即是平面AMN截“堑堵”ABC4 81cl所得截面图形，如图所示,由已知可得AW=AN=小，B C=2小.因为N 是 4 G 的中点，所以罢=罢=；，即 PG=C G,则 PG=8 田,又 M 为 3 8 的中点，所以8|M=；PG.BiE 1由得三台=2,可得 8 E=：8 G=平，C iE=%M E=7（平乎,N E=/（华）+2 _ 2*华 义 IX cos 4 5 =,MN=7AN2+AiM?=#.所以平面AMN截 堑 堵”ABC4 8 iG 所得截面图形的面积S=；X,X9.（2022山
10、西大学附属中学质检）在棱长为4 的正方体ABCD-AIBJGQI中，E,F 分别是BC和 C Q i的中点，经过点4,E,尸的平面把正方体ABC。-AiBCiOi截成两部分，则截面与平面BCGBi的 交 线 段 长 为.解 析 如图，连接A E并延长交力C 的 延 长 线 于 连 接 FM 交 C G 于 G,连接EG 并延长交 B C i的延长线于N,连接N F并延长交4。于 H,连接A H,则五边形AEGFH为经过点A,E,F 的正方体的截面，因为E 为 BC的中点，所以CE=3BC=2,因为 CE4 O,所以M CEs/M D4,所以 而=彳5=2，所以 CM=CD=4,因为 所以MCG
11、S/FCIG,所以所以 C G=gX 4=*所以 EG=CE2+C G222+2=-y,所以截面与平面B C CxBy的交线段长为学.1 0.已知三棱锥P-A B C 的所有棱长为2,D,E,尸分别为以，PB,PC 的中点，则此三棱锥的外接球被平面OE尸所截的 截 面 面 积 为.答 案T解析 作 PN_L平面A8C于 N 点，交平面OE尸于何点，取三棱锥P-A B C 的外接球球心为O,设外接球半径为r,则OP=OB=r,263则在RtZONB中，於=(2坐)+(2半 解得r=坐，又。，E,尸分别为%,PB,P C 的中点，则 P M=3 P N=*,则球心到平面DEF的距离0M=幸 一 幸
12、=幸.2 3 0此三棱锥的外接球被平面。E F所截的截面为以产 而 户=平 为半径的圆,则截面面积为兀=专.能力提升练1 1.(多选)如图，点 E,F,G,”分别是正方体45。一人小心1)|中棱41,AB,BC,G A的中点，贝 1()A.G H=2 E FB.G H W 2 E FC.直线ER GH是异面直线D.直线EF,GH是相交直线答 案 BD解析 如图，取棱C G 的中点N,的中点M,连接EM,MH,HN,NG,FG,AC,AC,在正方体 A B CD-481G。中，：MH/AC/AC/FG,：.M,H,F,G 四点共面，同理可得E,M,G,N 四点共面，E,F,H,N 四点共面,：.
13、E,M,H,N,G,尸六点共面，均在平面E F G N H M 内,:EFHN,H N C H G=H,HN,HG,E F U 平面 EFGNHM,：.E F与G H是相交直线.由正方体的结构特征及中位线定理可得E F=H N=N G=F G=E M=M H,:.事EF=GH,即 GHW2EF.1 2.（多选）如图，在长方体ABCQ-AiBiCiOi中，AB=4,BC=BBi=2,E,尸分别为棱AB,4 G的中点，则下列说法中正确的有（）A.DBLCEQB.三棱锥。一CEF的体积为1C.若P是棱G A上一点，且。砂=1,则,C,P,尸四点共面D.平面CEF截该长方体所得的截面为五边形答 案BC
14、D解析 连接。E,iE,如图所示，因为E为AB的中点，所以EB=BC=2,所以 CE=BE2+BC2=2 2,同理 DE=CE=2y2,又 0 c=4,所以。序+EC=DC2,E P DEL EC,又因为QQi_L底面A8CQ,CEU底面ABCQ,所以 i_LCE,又 DECDDi=D,所以 CE_L 平面。d E,即 CE_LiE,又。E D d B=D,即D E与A B不平行，所以CE不垂直于。由，故A错误；1 1 Q由等体积法可得三棱锥D-CEF的体积VD-CEF Vf-cD-3X2X 4 x 2 x2=3,故B正确;作出P,使。iP=l,取Gi的中点G,则尸为DiG的中点，连接尸P,C
15、P,AiG,因为F,P分别为A。1，G G的中点，所以 FPAG,又A1Q1G 丝C8E,且 AQiBC,DG/EB,所以4 G E C,所以FPEC,所以E,C,P,F四点共面，故C正确；由选项C 可得E,C,P,尸四点共面，平面CEF即为平面CEFP,作 E修C P,交A4i于 H,如图所示,所以E,H,P,C 在同一平面内，即，点在平面EC P内,所以E,C,P,F,77在同一平面内，所以平面CEF截该长方体所得的截面为五边形，故 D 正确.1 3.已知直四棱柱ABC。一A B C。的棱长均为2,/84=60。.在矩形8 C C E 内有一点P,使 口P 与平面BCGBi所成的角的正切值
16、为坐，则点P 的 轨 迹 长 度 为.答案2解析 如图，取 B Q 的中点E,BBi的中点尸，C G 的中点G,连接。|E,DB,DF,DiG,EF,EG,EP.因为N8A=60。，直四棱柱ABC。-4 B G O 1 的棱长均为2,所以G BICI为等边三角形，所以DiE=4,DELBC,又四棱柱ABCD-AIB C QI为直四棱柱，所以BBi J_平面A B C。，所以BBi工DiE,因为 B B iC B C=B i,所以 iE_L侧面 BiCtCB,又 EPU侧面BiGCB,所以。ELEP,所以N A P E 为 Q P 与平面BCGBi所成的角，ta n/O|P E=?*=W=乎，解
17、得 痔=也,H,r tLr Z IT IT故点P 的轨迹为扇形FEG的 F G，易知/B|E F=/G E G=i，所以/F E G=,所以F G =x&=华.1 4.在正方体A 8 C -4 8 C 1 A中，E,尸分别为棱A 4|,CG的中点，则在空间中与三条直线4A，EF,C Q都相交的直线有 条.答 案 无数解析 在E F上 任 意 取 一 点 如 图，直线A i。与M确定一个平面，这个平面与C D有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与C D有不同的交点N,而 直 线 与 这3条异面直线都有交点.故在空间中与三条直线A b D i,EF,C 都相交的直线有无数条.