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1、2023届甘肃省高考数学模拟试题（三）一、单选题1.已知全集。=R,集合 M=x|-2 4x 4 3,N=x|x 4 ,那么集合（C“M）c（C0 N）等于A.x|3x4 B.x|x4 C.x|3x4 D.x|-lx3【答案】A【分析】先分别求出C M,C N,再求（孰 知）门（孰 2即可【详解】：C uM=xx3,CuN=x|-24xV 4,.（CuM）c（CuN）=x|3xV4.故选A.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，属于中档题1 42.在复平面内，复数z2=-i-2,z=z,+z2,则复数z 对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【分析】根据
2、复数加法计算出实部和虚部，根据复数平面判断即可.【详解】因为z=z/+z2=+w i-2=-2+i,所以实部小于0,虚部大于0,故复数z 对应的点位于第二象限故选:B3.若向量,瓦工,满足3/而且2 _ L ,则机伍+涕）=b 0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两 点.若 AB的中点坐标为(1,-1),则 E的方程为A片+亡=14 5 3 6B.反+片=13 6C.+=1D.x+工=12 7 1 8T i【答案】D=1【详解】设 A(X,%)、B(x2,y2),所以，h1运用点差法，所以直线AB的斜率为A =，设+直线方程为 =%(x-3),联立直线与椭圆的方程(/+尸)/
3、一6。2 光+9/-。4=0,所以玉+9=挈=2；又因为/一 片=9,解得=9,/=i 8.a2+b-【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.6 .执行右面的程序框图，如果输入的n是 4,则输出的P是/输 啊/（熹）A.8 B.5C.3D.2【答案】C【详解】试题分析：k=l,满足条件k 4,则执行循环体，p=O+l=l,s=l,t=lk=2,满足条件k V 4,则执行循环 体,p=l+l=2,s=l,t=2k=3,满足条件k 4,则执行循环 体,p=1+2=3,s=2,t=3k=4,不满足条件k =2/-/在 卜2,2 的图象大致为（）【答案】D【详解】试题分析：
4、函数F(x)=2 x 2-e 刈在-2,2 上是偶函数，其图象关于y 轴对称,因为/(2)=8-e2,0 8-e2/3+4=/7，三棱锥P-8 C D 的外接球的表面积为47tx7=28兀.【点睛】方法点睛：一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构
5、成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径.1 1.如图，已知椭圆耳和双曲线 在X轴上具有相同的焦点耳，F2,设双曲线心与椭圆居的上半部分交于A,8两点，线段4尼与双曲线心交于点C.若|人用=2忸闾=3|C用，则椭圆片的离心率是（）【答案】C【分析】设I A八|=2|叫|=3|C&|=6,可得析耳|-|%|=2 a =3,（“为则双曲线心的实半轴），%|=5,又Ak+A C 2 =6C 2,AF,1 AF2,则W 7|=j 3?+62 =3石,即可求椭圆月的离心率.【详解】解:如 图，设I伍4 2|5层如31 c玛|=6,则|A f；H B E b 3,|A C|=4,Y伍|=|%|=6,.|
6、班|-|3玛|=2=3,（。为则双曲线与 的实半轴）,根据双曲线定义可得l 5|-|C%|=3,|C币=5,在 州C 中，S：AF,2+AC2=FtC2,:.AF,LA F2,则|月入|=存二，=3正，则椭圆4的离心率是ij11 I Drj J故选：C.1 2.设函数犬)=1 1 1(1+附-12三,则使f(x)“2 x-l)成立的x的取值范围是【答案】A【详解】试题分析：x)=l n(l +|x|)-七，定义域为及，=.函数/(X)为偶函数，当x0时，/(x)=b(l+x)一一，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得 x)/(2 x 1)1+x成立，国|2 x-l|,.VAQX-I)2，的范围
7、为，1)故答案为A.【解析】抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记.根据函数的表达式可知函数人x)为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把/(x)f(2x-1)可转 化 为 国 及-1|,解绝对值不等式即可.二、填空题x 013.变量x,y 满足约束条件,则5=空号的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.X+13x +4y-120【答案】2,8【分析】作出不等式组对应的平面区域，数形结合即可求解【详解】画出可行域如图，即三角
8、形A 08及其内部且A（0,3）,因为S=3=2X含，言表示点（x,y）与点（-L T）连线的斜率,由图可知：点A 与 连 线 斜 率 最 大 为 需=4点。与 连 线 斜 率 最 小 为 含=1,所以s=矍 机 的取值范围为2,8.故答案为：2,8.1 4.已知U3C的三个顶点为4（1,4）津（一 2,3）,（7（4,-5）,求 血?。的外接圆方程.【答案】x2+/-2 x +2y-23=0【分析】设出圆的一般方程，代入点的坐标解方程组即可.【详解】设AABC的外接圆方程为产+瓜+小+尸=0厕1 +16+O+4E+尸=04+9-2D +3E+F=0，解得 0),/（）+/图=o,且 段）在区
9、间 马 上 递 减，则CfJ【答案】2T T【分析】由辅助角公式对函数化简4x）=2sin（0 x+）,求出函数的单调递减区间，结合题意可得G A），+,求 出 12%+修3、上 卢/e Z，进而由函数的周期可得iSuw J,6 2 6。co 6a）co 3 3兀 万 军+生由，（）+/（W）=0,可得V 6 2 _ 万对称中心的横坐标，进而可得结果.6 2 x=-2 3【详解】因为於)=sin(ox+5/3 cos Gx=2sin&x+y),T T T T 3 4由-2k7 c a)x-卜2卜兀,kRZ,2 3 2/口 乃2匕 r得 蕊 十7万 2kl-X 7 1+2%乃66。C D7 1n
10、k+=50即 2 T-2 50，即2“52.易知：当“4 4时，2+|25=3226=6452,使5+”2n+l 50成立的正整数 的最小值为5.1 8.如图，在三棱台A8C-DEF中，平面BCFEJ 平面ABC,ZACB=90,BC=2,AC=3,BE=EF=FC=1.（I）求证：3尸_L平面ACED；（I D求二面角B-A D-F的平面角的余弦值.【答案】（I）见解析；（H）3.4【分析】（I）延长A。，BE,C尸相交于一点K,先证3 F 1 A C,再证B F L C K,进而可证BFL平面ACFD；（II）方法一：先找二面角3-4）-歹的平面角，再在RtZBQ尸中计算，即 可 得 二
11、面 角-厂的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面ACK和平面ABK的法向量，进而可得二面角3-A D-尸的平面角的余弦值.【详解】（I）延长AO,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE 平面ABC,平面 BCFEc 平面 ABC=8 C,且 AC NBC,所以4CJ_平面BCK,BFu平面B C K,因此3F_ZAC.又因为 EF/BC,BE=EF=FC=,BC=2,所以ABCK为等边三角形，且尸为CK的中点，则 BF_LCK,CKnAC=C.所以3尸_L平面ACFD.KQ（I D 方法一：过点尸作FQ LA K 于 Q,连结8。.因为 3尸 _L 平面 A C
12、 K,所以 BFJ_AK,BFyFQ=F,则 AK_L平面8 Q F,所以BQ_LAK.所以N8Q尸是二面角5-A。-尸的平面角.在RQACK中，AC=3,CK=2,得FQ=M .13在 RtABQF 中，F =*p,BF=E，得 COS/8 Q F =.所以二面角8-A O-尸的平面角的余弦值为3.4方法二：如图，延长A）,8E,C尸相交于一点K,则ABCK为等边三角 形.取 8 c 的中点。，则 K 0L 3C,又平面BCFEJ_平面A 5 C,所以，KO_L平面ABC.以点。为原点，分别以射线。8,0 K 的方向为x,z 的正方向,建立空间直角坐标系。xyz.A由题意得 30,0,0),
13、C(-l,(),0),K(0,0,6),A(-1，-3,0),E(；,0,*)，F(,0,-).因此，AC=(0,3,0),底=(1,3,6),丽=(2,3,0).设平面ACK的法向量为机=(%,加4),平面A8K的法向量为3 =（孙M，Z 2）AC m=O,3%=0由 一 ，得 厂AK m=0 百 +3 y +V3 Zj =0取“=（G,o,-i）；AB n=O/口 2%+3），2=。AK n-0 x2+3y2+/3z2=0取 5 =（3,-2,6）.于是,COS（私力=m n _ 3 /3 -3pp-7 3 +1-7 9 +4 +364 所以，二面角3-A -尸的平面角的余弦值为也.4【点
14、睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误.证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线.1 9.某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表:项目A投资金额x（单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用7百万元对A、B两个项目进行投资.若公司对项目B投资x（1 4 x W 6）百万元所获得的利润y近似满足：y =0.1 6 x-+0.4 9,求A、B两个项目投资金额分别
15、为多少时，获得的x+i总利润最大？附.对于一组数据（西，匕）、亿，%）.（七,%），其回归直线方程5*=应+6的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b=q-=y-bx.X 2-2LXi-nXZ 匕%-x.y线性相关系数，=,一”一.一般地，相关系数，的绝对值在0.9 5 以上(含0.9 5)J(f 汨-V 1=1 /=i认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.5 5 _参考数据：对项目A投资的统计数据表中=1 1，Z 货=2 2 4,牛 2.1.1=1 J=1【答案】(1)厂 0.9 5,用线性回归方程9 =Q 2 x 对该组数据进行拟合合理；(2)对 A、B 项 目分别投资4.5 百万元
16、，2.5 百万元时，获得总利润最大.【分析】(1)根据给定数表，计算出,亍，再代入最小二乘法公式及线性相关系数公式计算即得；(2)由题设条件列出获得的总利润的函数关系，再借助均值不等式求解即得.【详解】对项目A投资的统计数据进行计算得：口 3,亍=().6,”5 5,=|5 _ _于是得各二母-1=11 1-5X3X0.6.-；=0.25 5-5 x 3?a=y-bx=0.6 -0.2 x 3 =0,所以回归直线方程为：？=0.2 x,线性相关系数j辱2刊辱Fl_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ n-9 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2(55-5 X 32)X(2.24-
17、5 X 0.62)月X 0.9 5 3 4 0.9 5这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程y =0.2 x 对该组数据进行拟合合理；(2)设对8项目投资M 1 4 X 4 6)百万元，则对4项目投资(7-X)百万元,所获总利润0 4 9 0 4 9 1 In 4 0-卬=0.1 6 x-j-+0.4 9 +0.2(7-x)=1.9 3-+0.0 4*+1)6 0)经过点(1,4)，一个焦点为(G，0).a b 2(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y =k(x-l)(Z r O)与X 轴交于点尸，与椭圆C交于A、8两点，线段AB 的垂直平分线与X 轴交于点。，求
18、扁的取值范围.【答案】（1）+/=1;（2）（4,4 石）.4【解析】（1）依题意C =K，代入点（1，等），结 合 条 件 求 解 匕 的 值，则椭圆方程可求；（2）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A,8横纵坐标的和与积，进一步求得A 3的垂直平分线方程，求得。的坐标，由两点间的距离公式求得I P Q I,由弦长公式求得|A8|,作比后求得A B PQ 的取值范围.1 3【详解】（1）由 题 意 得/=3,/+3=1，解得。=2、6 =1,椭圆C的方程是工+2=1；4.2(2)把 y=%(x-l)代入土+V=1 得(1 +4 公)/-8公 工 +4 4 2 _ 4 =0 ,()恒成立
19、，4 “2 4 4 2 一 4设 4 X)、8 2，%)，则有玉+=万，X,-X2=-1 +4%-1 +4 KM+%=k(%+x2-2)=-2：，线段 AB 的中点坐标为(耿.,-J),1+4 攵 1 +4 女-1 +4 攵 k 1 4 A2线段AB的垂直平分线方程为y-(-J )=-U-,1 +4/k 1 +4/于是，线段A B的垂直平分线与x 轴的交点Q(=J,O),1 +4 公又点尸（1,0）,.闸=3 k 2 +k2-1+4 严-1+4 公又|AB|=J(1 +公)(与)2-4 冷 1 =V 1 +4%1 +4%函+公）（1 +3 公）1+4 小于是,4+4 2)(1+3 与)1 +4
20、/_ 4PQ +k21 +4 公：kO,1 3 J 1 时，/(x)1,当xe(l,x)时，恒有/(x)Mx-l).【答案】(I )(o,笥 耳；(H)详见解析；(H I)(F 1).【详解】试题分析：(1)先求出函数的导数，令导函数大于0,解出即可；(2)构造函数F(x)=f(x)-x+1,先求出函F(x)的导数，根据函数的单调性证明即可)(3)通过讨论k的范围，结合函数的单调性求解即可试题解析：(1)W/，(x)=-x +l=r+X +1.xe(0,+oo).X X/(力0得 C，解得0 0 2故f M的单调递增区间是(0,上走)2(2)令=/(%)“-1)6 (0,欣)，r(x)=-则有
21、 X当xe(l,+oo)时，F,(x)0所以尸(x)在 1,+0 0)上单调递减，故当xe(l,+c o)时，F(x)F(l)=0,即当xw(l,+oo)时，/(x)1满足题意.当女1 时，对于x l,有/(x)xl Z(xl),则/(x)1满足题意.当 k 1 时，令 G(x)=f(x)-k(x-l),xe(0,+8),G，(X),T+1=*+(+X X由 G(x)=0得，-x2+(l-f c)x+l=0.解得 x=l d +(l-%)2+o,故G(X)在 1/2)内单调递增.从而当犬(1,与)，G(x)G 6 =0 4 l f(x)k(x-l),综上吗，k的取值范围是()【解析】利用导数研
22、究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用2 2.已知直线1在直角坐标系x O y中的参数方程为X =4 +f C O SQy=2 +%s i n a(t为参数，a为倾斜角)，曲线C的极坐标方程为p=4 c os 0(其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度).(1)写出曲线C的直角坐标方程：(2)若曲线C与直线1相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.【答案】(1)x2+y2=4 x；(2)(4,4A/2【分析】(1)把极坐标公式代入p2=4 pcos 0即得曲线C的直角坐标方程.(2)把直线的参数方程代入曲线C的方程化简得t2+4(si
23、n a+cos a)t+4=0,再利用直线参数方程的几何意义求出|PM|+|PN|=|川+|t 2l=|t i+t 2|=4(sin a+cos a)=40sin(a +?j ,再求函数的值域即得|PM|+|PN|的取值范围.【详解】(l);p=4 cos。，.p2=4 pcos0,曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4 x.x =4 +tco s c i(2)直线1的参数方程 一.：(t为参数)，代入x 2+y 2=4 x,得y=2+tsina.”2A=16(sina +cosQ)-16,t2+4(sin a+cos a)t+4=0,J 0,又 Oga v兀，且 t】vO,t 2 0.|PM|
24、+|PN|=|t 1 1 +|t 2|=|t i +12|=4(sin a+cos a)=4&+,由aG(0,9,得a+5仔胃 sin +1,故正1|+9川的取值范围是(4,4夜 .【点睛】(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，考查三角函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)直线参数方程中参数f的几何意义是这样的：如果点A在定点户的上方，则点A对应的参数就表示点A到点P的距离1抬1,即 八=|/%|.如果点B在定点P的下方，则点B对应的参数勿就表示点B到点尸的距离|PB|的相反数，即灰=-1阳.由直线参数方程中参数的几何意义得：
25、如果求直线上A B两点间的距离|A B|,不管4 8两点在哪里，总有|4 8|=|/;|.2 3.已知函数.f(x)=k +2|-2 k-l|解不等式/(司2-2；(2)对任意x w,+8),都有/(x)4 x-a成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)|x|-|x 6 j(2)a 4【分析】(1)通过对x 4-2,-2 x l与三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；x-4,x -2,(2)在坐标系中，作出x)=，3x,-2 x 1,分-“2 2与-a 2讨论，即可求得实数的取值范围.【详解】(l)f(x)=|x+2卜2|x-l|壬2,当 x-2 时,x-42-2,即 让2,故 xG0；2 2当2x-y当 xl 时,-x+4N-2,即 xS6,故 lx-2的解集为|x|-|x 6.X-43 -2,(2)f(x)=3x,-2 x 1,令 y=x-a,当直线 y=x-a 过点(1,3)时,-a=2.故当-aN2,即a-2时，即往上平移直线y=x-a,都有f(x)2+y,B|J a4 时，对任意 xFa,+),-x+4x-a.综上可知,a 的取值范围为a4.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题.