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1、北京市门头沟区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、单选题（共8题；共16分）1.（2 分）已知 2a=3b（abH 0）,则下列比例式成立的是（）A-=-B-C-=-D-2 b-3 2 b 3 a 2【答案】B【解析】【解答】A、等式的左边除以4,右边除以9,故 A 错误；B、等式的两边都除以6,故 B 正确；C、等式的左边除以2 b,右边除以当，故 C 错误；D、等式的左边除以4,右边除以b 2,故 D 错误；故答案为：B.【分析】根据等式的性质进行计算判断.2.（2 分）二次函数y=（%-3/+1的顶点坐标是（）A.（-3,1）B.（3,1）C.（-3,-1）D,（3,-1）
2、【答案】B【解析】【解答】二次函数y=（x-3）2+1的顶点坐标是（3,1）故答案为：B【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。3.（2 分）已知。的半径为5,点P到圆心。的距离为8,那么点P与。的位置关系是（）.A.点P在。外 B.点P在。内 C.点P在。上 D.无法确定【答案】A【解析】【解答】；OP=85,.点P 与。O 的位置关系是点在圆外.故答案为：A.【分析】根据点到圆心的距离与圆半径的大小比较即可得到点和圆的位置关系。4.（2 分）在4BC中，zC=90。，tan4=2,则sin4的值是（）A.|B.J C.等 D.【答案】C【解析】【解答】解：由ta n A=2,设B
3、C=2x,则AC=x,YRtAABC 中，ZC=90,.根据勾股定理，得 A B=JBC2+4.2 =J（2X）2+%2=0,m .11,人 B C 2%25/5因此,s in A R =谆 =可,故答案为：C.【分析】根据tan4=2,设B C=2x,则A C=x,再利用勾股定理求出A B的长，最后利用正弦的定义求解即可。5.(2分)如图，线段A B是。0的直径，弦C D，AB,ZC A B=20,则NAO D等 于()【答案】C【解析】【解答】解：线段A B是。O的直径，弦CD_LAB,：.CB =B D,VZCAB=20,.ZBOD=40,.*.ZAOD=140.故选：C.【分析】利用垂
4、径定理得出CB =B D,进而求出/BOD=40。，再利用邻补角的性质得出答案.6.(2分)如果将抛物线y=2/先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是()A.y=2(x-2)2+3 B.y=2(x+2/3C.y=2(x 2)2 3 D.y=2(%+2)2+3【答案】D【解析】【解答】解：这条新的抛物线的表达式是y=2(%+2/+3,故答案为：D.【分析】根据抛物线解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。7.（2 分）如果4（1,yD与B（2,丫 2）都在函数V=的图象上，且丫 1 丫 2，那么k的取值范围是（）A./c 1 B./c 1 C.
5、k。1 D.任意实数【答案】A【解析】【解答】解：%）与8（2,乃）都在函数丁=空的图象上，且乃丫 2，1 0,得k 1,故答案为：A.【分析】根据当 当，1 0,再求出k l 即可。8.（2 分）如图，抛物线y=lx2-4与%轴交于A、B两点，P是以点C（0,3）为圆心,2 为半径的圆上的动点，Q 是线段P A的中点，连 结 0Q 则线段0 Q 的最大值是（）/O R；3A.B.历一27-2C4-DC答【解析】【解答】抛物线y=/4 与 x 轴交于4、B 两点/.A（-4,0）,B（4,0）,即 OA=4.在直角三角形COB中BC=y/0C2+0B2=V32+42=5；Q 是AP上的中点，O
6、 是 AB的中点AOQ为A ABP中位线，即OQ=1 BP又Y P在圆C 上，且半径为2,.当B、C、P共线时B P 最大，即OQ最大此时 B P=B C+C P=7O Q=1 B P=Z .【分析】根据二次函数解析式，求出抛物线与x 轴的交点A B。在直角三角形C O B 中，勾股定理求出B C。Q是线段PA的中点，O是 AB的中点，判断QO是 OQ为 A B P 中位线。据其性质，1-2点P圆上，直径是最长的弦，故 B C P 三点共线时，B P 最长，故 OQ此时最大。二、填空题（共 9 题；共 9 分）9.（1 分）已知尹|,那 么 密=【答案】|【解析】【解答】解：.4=1,2.x+
7、yA+y_r一9一故答案为:1.【分析】根据尹|可得x=|y,再代入中计算即可。1 0.（1 分）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园.该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2 米的正六边形，那么这个地基的周长是 米.【答案】1 2【解析】【解答】解：如图所示:DE：正六边形的半径为2 米,.OA=OB=2 米,，正六边形的中心角NAOB=婴=60,6 AOB是等边三角形，AB=OA=OB,，AB=2 米，正六边形的周长为6x2=12（米）；故答案为：12.【分析】根据正多边形与圆的关系可求得 AOB是等边三角形，从而求出
8、AB的长，进而可得正六边形的周长.11.（1 分）如果两个相似三角形的相似比是1：3,那么这两个相似三角形的周长比是【答案】1：3【解析】【解答】解：两个相似三角形的相似比是1：3.这两个相似三角形的周长比是1：3故答案为：1：3【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案。12.（1 分）如图，扇形的圆心角NAOB=60。，半径为3cm.若点C、D 是 的 三 等 分 点，则图中所有阴影部分的面积之和是 cm2.【答案】兀2【解析】【解答】解:S 扇 形OAB=603 _ 3360 2S BUB5=S iiiOAB=X故答案为上 乃【分析】根据图象可得，阴影部分的
9、面积等于$做0 八 的9,再利用扇形的面积公式求解即可。13.(1分)把二次函数y=x 2-2x+3化成y=a (x -h)2+k 的形式为.【答案】y=(x-1)2+2【解析】【解答】解：y=x2-2x+3=x2-2x+l +2=(x-l)2+2,所以,y=(x T)2+2.故答案为y=(x-l)2+2.【分析】利用配方法进行解答即可.14.(1分)写出一个图象位于第一，三象 限 的 反 比 例 函 数 的 表 达 式.【答案】y =2J X【解析】【解答】解：位于第一，三象限的反比例函数的表达式是y =j故答案为：y=【分析】利用待定系数法求解反比例函数解析式即可。15.(1分)九章算术是
10、我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？其意思是：”如图，现有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是 步.【答案】6【解析】【解答】设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：r；依据直角三角形的性质：可得斜边长为：V 82+152=17依据直角三角形面积公式：S=1 ah，即为S =*x 8 x l 5 =6 0；内切圆半径面积公式：S=r（a+b+c）,即为S=x（8+15+17）；所以60=r（8+15+17）,可得：r=3,所以直径为：d=2
11、r=6；故填：6；【分析】由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为r,利用面积相等可得出关于r 的方程，可求的内切圆的半径，则可求得内切圆的直径。16.（1 分）函数y=的图象如图所示，在下列结论中：该函数自变量x的取值范围是支。0；（2）该函数有最小值|；方程%+1 =3有三个根；如果（Xi，%）和小，乃）是该函数图象上的两个点，当41犯0时一定有丫 1当所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】【解答】解：:y =：/+则，即函数图象与y轴无交点,二该函数自变量 的取值范围是于0；故符合题意；根据函数图象可知，该函数图象不存在最小值，故不符合题意；如图
12、y=%2+与V=3存在3 个交点，则 方 程+=3有三个根；故符合题意当K 0时，y随X的增大而减小，如果（%1，%）和（%2,丫2）是该函数图象上的两个点，当 1必 y2-故不符合题意故正确的有故答案为：【分析】根据函数图象与y轴无交点，得出函数自变量x的取值范围；根据函数图象可知，该函数图象不存在最小值；根据y =3%2+与y =3存在3个交点，则方程:/+=3有三个根；当x 0时，y随的增大而减小，如果（右,y i）和（不，丫2）是该函数图象上的两个点，当 均 X2 为 即可得出答案。17.（1分）已知：如图，在X ABC中，点D在BC上，点E在AC上，D E与AB不平行.添加一个条件，
13、使 得XCDE CA B ,然后再加以证明.c【答案】乙CDE=【解析】【解答】解：添加条件为：乙CDE=乙4,理由：ZC=ZC,Z-CDE=Z-A,CDE s CAB.故答案为：ZCDE=Z.A.【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可.三、解答题（共11题；共101分）18.（5 分）计算：2sin6（T+V H+|-5|-（兀一或）.【答案】解：2sin6（T+a i+|-5|-（兀一四）F 5=2 X F 2V3+5 1=3V3+4.【解析】【分析】先利用特殊角的三角形函数值、绝对值的性质、0 指数事的性质及绝对值的性质化简，再计算即可。1
14、9.（7 分）下面是小明设计的“作等腰三角形外接圆”的尺规作图过程.已知：如图1,在A4BC中，AB=AC.求作：等腰2MBe的外接圆.图1图2作法:如图2,作Z B 4 C 的平分线交B C 于 D；作线段AB的垂直平分线E F；E F 与 AD交于点0；以点。为圆心，以0 B为半径作圆.所以，。就是所求作的等腰2 M B e的外接圆.根据小明设计的尺规作图过程，（1）（5 分）使用直尺和圆规，补全图形（保留痕迹）;（2）（2 分）完成下面的证明.A B=A C,B A D=Z.DA C,v A B 的垂直平分线E F 与AD交于点0,.-.O A=O B,O B=O C（填写理由：）.,.
15、O A=O B=O C.【答案】（1）解：补全图形；（2）AD垂直平分B C.（或 A D LB C,B D=D C）；线段垂直平分线上点到线段两端距离相等【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据垂直平分线的性质和判定求解即可。2 0.（1 0分）已知二次函数y=ax1 2+bx+c图象上部分点的横坐标%、纵坐标y的对应值如下表：（1）（5 分）求该二次函数的表达式；（2）（5分）直接写出该二次函数图象与%轴的交点坐标.X 01234y-3-4-305【答案】（1）解：由抛物线经过三点（0,-3）、（2,-3）和（1,-4）可知，抛物线对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1,-4）.
16、设抛物线表达式为y=a（x l）2 4将（0,-3）点代入，解 得 a=1二次函数的表达式为y=/-2x-3（2）解：二次函数图象与x 轴的交点坐标为（3,0）和（-1,0）【解析】【分析】（1）由已知的三点坐标得到二次函数的对称轴，然后设顶点式即可求出二次函数的解析式；（2）由二次函数表达式即可得.21.（10分）如图，在 RM ABC中，ZACB=90,CD是边AB上的高.(2)(5 分)如果 AC=4,BC=3,求 BD 的长.【答案】(1)证明：.CDLAB,NBDC=90。.r.ZA+ZACD=90.VZACB=90,.ZDCB+ZACD=90o.，NA=NDCB.XVZACB=ZB
17、DC=90,/.ABCACBD；(2)解：V ZACB=90,AC=4,BC=3,AB=5,小 门 _ A C,B C 12 D=-7 B-=T VCD1AB,*-BD=VFC2-CD2=【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定，由已知可证/A=N D C B,又因为ZACB=ZBDC=90,即证 ABCsCBD,（2）根据勾股定理得到A B=5,根据三角形的面积公式得到CD=组 等=?，然后根据勾股定理即可得到结论./i o 2 2.（1 0分）如图，在平面直角坐标系x O y 中，一次函数y=-2 x 的图象与反比例函数y#的 图象的一个交点为A （-1,n）.（1）（5 分）求反比例函
18、数y=J 的解析式；（2）（5 分）若 P是坐标轴上一点，且满足P A=O A,直接写出点P的坐标.【答案】（1）解：.点A （-1,n）在一次函数y=-2 x 的图象上.A n=-2 x （-1）=2点A的坐标为（-1,2）点A在反比例函数的图象上.：.k=-2.反比例函数的解析式是y=-：（2）解：（-2,0）或（0,4）【解析】【解答解：（2）V A （-1,2）,O A=J（-I）2+22=店,点P在坐标轴上,当点P在 X 轴上时设P (x,0),V P A=O A,J(x +l)2+(0-2)2=V 5 解得x=-2；当点P在 y 轴上时，设 P (0,y),，J(0+1)2 +(”
19、2)2 =遍,解得y=4；当点P在坐标原点，则P (0,0)舍去.二点P的坐标为(-2,0)或(0,4)【分析】(1)先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；(2)分两种情况，再利用两点之间的距离公式列出方程求解即可。2 3.(5 分)“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动.如图，他们先在点D 处用高L5米的测角仪4。测得塔顶M 的仰角为30。，然后沿D F 方向前行7 0 7 n 到达点E 处，在点E 处测得塔顶M 的仰角为6 0。.求永定楼的高M F.(结果保留根号)【答案】解：根据题意，得CF=B E=A D=1.5,A
20、 B =DE=7 0.设M C 为x m.在Rt Z k MC B 中，tan乙MB C=版Dr%7 3tan600 3同法可求A C =V3x./3x x +7 0 .解得久=35 V3.M F =M C +CF=35 V3+1.5 0).答：永定楼的高为35 国+1.5 米.【解析】【分析】设M C 为wn,先利用三角函数可得t a n/MB C =整，求出B C,A C,再根据题意列出方程gx=苧+7 0 求出x的值，再利用M F=M C+C F 计算即可。24.（1 5 分）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边C C 和Z M足够长），用287 n 长的篱笆围
21、成一个矩形花园4 B C D （篱笆只围A B 和 两 边）.设 A B =x m,ABCD=y m2.（1）（5 分）求y 与之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（2）（5 分）当矩形花园的面积为1 9 27 n 2时，求A B 的长；（3）（5 分）如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙D C 和D A 的距离分别是1 5 7 n 和6m,如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值.【答案】（1）解：由题意得y =x（28-x）=-/+28%.0 x 1 5,即为 0,开口向上,分两种情况进行讨论：当m 2 1时，:乃 当 丫 2，1 (m l)m 11
22、(/ri 1)m +2 1,(m+2)l m 1不等式组无解；当山 1 m11-(T Y I-1)771+2-1,(m+2 1 1 m解得：0 V zn V综合可得:1-2m m 1 1 (m-1)1 m(3)根据题意得出，1 (m l)m +2 1或 1 (m 1)m+2 1,解不等式组即可。(m+2)-l 1 m27.(10 分)在 ABC 中，ZBAC=45,CDLAB 于点 D,AE工BC 于点 E,连接 DE.(1)(5 分)如 图 1,当 ABC为锐角三角形时,依题意补全图形，猜想N8AE与/B C D 之间的数量关系并证明；用等式表示线段AE,CE,0 E 的数量关系，并证明；（
23、2）（5 分）如图2,当NABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE,CE,DE的数量关系.【答案】（1）解：依题意，补全图形，如图1所示.猜想：ZBAE=ZBCD.理由如下：VCDAB,AEBC,ZBAE+ZB=90,ZBCD+ZB=90.AZBAE=ZBCD.证明：如图2,在AE上截取AF=CE.连接DF.VZBAC=45,CDAB,.ACD是等腰直角三角形.,.AD=CD.XZBAE=ZBCD,ADFACDE(SA S).ADF=DE,ZADF=ZCDE.VABCD,ZADF+ZFDC=90.ZCDE+ZFDC=ZEDF=90.EDF是等腰直角三角形.：.EF=42DE.VAF+E
24、F=AE,JCE+V2 DE=AE.(2)解：依题意补全图形，如图3 所示.在CE上截取CF=AE,连接DFVCD1AD,AE1BCNADONAEO90。AZEAB+ZABE=90,ZDBC+ZDCF=90,ZABE=ZCBDAZEAD=ZDCFZBAC=45.NDCA=45。AD=CDXVCF=AE，ADEACDF ED二 DFZADE=ZCDF?ZCDF+ZADF=90AZADE+ZADF=90，ZEDF=90.EDF是等腰直角三角形EF=V2DE,.,CE=CF+EF=AE+&E线段 AE,CE,DE 的数量关系：CE-V2 DE=AE.故答案为：CE-V2 DE=AE【解析】【分析】（
25、1）依题意补全图形，由直角三角形的性质得出：B+BAE=B+BCD=90,即可 得 到 BAE=BCD；在 A E 上截取AF=CE.,连接D F.利用“SAS”证明 ADF CDE,得到边、角相等，再利用等腰直角三角形的性质求解；（2）在 CE上截取CF=AE,连接DF,证明ADE CDF,利用全等的性质得到边、角相等，再利用等腰直角三角形的性质求解。28.（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，C（0,2）,。的半径为1.如果将线段AB绕原点。逆时针旋转葭0。180。）后的对应线段4B所在的直线与O C 相切，且切点在线段4B上，那么线段就是。C 的“关联线段”，其中满足题意的最小a就是
26、线段4B与O C 的“关联角”.（1）（1分）如 图 1，如果4（2,0）线段04是O C 的“关联线段”，那么它的“关联角”为(2)(1 分)如图 2,如果 1(一 3,3)、Bi(2,3)、42(1 1)、B2(3,2)、似 3,0)、%(3,2）.那么O C 的“关联线段”有（填序号，可多选）.线段为Bi；线段42B2；线段/3B3（3）（1分）如图3,如果B（l,0）、D（t,0）,线段8D是。C的“关联线段”，那么t的取值范围是.（4）（1分）如图4,如果点M的横坐标为M,且存在以M为端点，长度为6 的线段是。C的“关联线段“，那么m的取值范围是.【答案】（1）60。，（3）t V3
27、（4）-2m4【解析】【解答】（1）解：如图所示：作 OD与O C 相切，ACD 1 OD,：CD=1,OC=2,1A CD=OC,工乙COD=30,N40D=60。此时的角度最小，且0。=V22-I2=V3 4 5 xF i(3,3),BK2,3).OB、=V22+32=V13 3，切点不在线段上，不是。C的“关联线段”；4(1,1).&(3,2),042=V l2+I2-V2 0B2 V22+32-/13VV2 3 6 时，线段BD是。C 的“关联线段”,故答案为：t V 3;(4)解：如图所示：当m取最大值时，M 点运动最小半径是0到过点(小，0)的直线1 的距离是m,VCD=1,MD=
28、V 3，MC=J I2+(V 3)2=2：.OM=4,.m 的最大值为4,如图所示：当 m取小值时，开始时存在M E与0 c 相切,V CE=1,M E =V 3-MC=卜2+(遮)2=2,V0o a 2,综上可得：-2 m W 4,故答案为：-2 m S 4.【分析】(1)画图确定相切位置确定关联角即可；(2)连接0B0A2,0B2,0B3,根据线段扫过的位置判断即可；(3)根据点D 的运动轨迹判断题的最小值，即可得出取值范围；(4)结合题意作出得出m 的最大值和最小值，即可得出m 的取值范围。试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：126分分值分布客观题（占比）17.0(13.5%)主观题（
29、占比）109.0(86.5%)题量分布客观题（占比）9(32.1%)主观题（占比）19(67.9%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）填空题9(32.1%)9.0(7.1%)解答题11(39.3%)101.0(80.2%)单选题8(28.6%)16.0(12.7%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(71.4%)2容易(25.0%)3困难(3.6%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1实数的运算5.0(4.0%)182二次函数图象的几何变换2.0(1.6%)63圆内接正多边形1.0(0.8%)104圆-动点问题4.0(3.2%)285三角
30、形的中位线定理2.0(1.6%)86相似三角形的性质1.0(0.8%)117三角形的内切圆与内心1.0(0.8%)158解直角三角形2.0(1.6%)49待定系数法求二次函数解析式10.0(7.9%)2010等腰直角三角形10.0(7.9%)2711定义新运算4.0(3.2%)2812二次函数y=axA2+bx+c的性质15.0(11.9%)2613圆的综合题4.0(3.2%)2814垂径定理2.0(1.6%)515二次函数y=a(x-h)A2+k的图象2.0(1.6%)216平行线分线段成比例10.0(7.9%)2517圆周角定理12.0(9.5%)5,2518通过函数图象获取信息并解决问题
31、1.0(0.8%)1619二次函数的实际应用-几何问题15.0(11.9%)2420切线的性质10.0(7.9%)2521二次函数图象与坐标轴的交点问题12.0(9.5%)8,2022相似三角形的判定与性质10.0(7.9%)2123比例的性质1.0(0.8%)924线段垂直平分线的性质7.0(5.6%)1925三角形-动点问题10.0(7.9%)2726二次函数y=axA2+bx+c与二次函数y=a(x-h)人 2+1 的转化16.0(12.7%)13,2627反比例函数与一次函数的交点问题10.0(7.9%)2228二次函数的其他应用1.0(0.8%)1629等式的性质2.0(1.6%)130点与圆的位置关系2.0(1.6%)331待定系数法求反比例函数解析式1.0(0.8%)1432相似三角形的判定1.0(0.8%)1733扇形面积的计算1.0(0.8%)1234线段垂直平分线的判定7.0(5.6%)1935作图-线段垂直平分线7.0(5.6%)1936反比例函数的性质2.0(1.6%)737两点间的距离10.0(7.9%)2238锐角三角函数的定义2.0(1.6%)439解直角三角形的应用-仰角俯角问题5.0(4.0%)23