新高考数学一轮复习讲义：集合、常用逻辑用语、不等式.pdf-淘文阁

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1、新高考数学一轮复习讲义：集合、常用逻辑用语、不等式 1.1 集合【考试要求】1 .了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2 .理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3 .在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.5 .能使用V e n n 图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.【知识梳理】1 .集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号且或g 表示.(3)集合的表示法：列

2、举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*（或 N JZQR2 .集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合4 B,如果集合4 中任意-个元素都是集合6中的元素,就称集合4 为集合5的子集，记作力U 8 或回.(2)真子集：如果集合力=6,但存在元素x G 2 且就称集合力是集合 6的真子集，记作 4 B 或 B A.(3)相等：若 A G B,且茎则1=8.(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算、表示运文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合/

3、现属于集合6的元素组成的集 x x GA,或了 6 6 00A U B交集所有属于集合4 旦属于集合6的元素组成的集合XXELA,且X 必3E1ATV B补集全集中不属于集合/的所有元素组成的集合称为集合/相对于全集U的补集 x x R U,且廨力U0【思考】1 .若一个集合中有个元素，则集合/有几个子集，几个真子集?提示子集：2”,真子集：2-1.2 .从 ACB=A,中可以分别得到集合4 8有什么关系？提示 AD BA AQ S,AU 8=A o厄 4【基础自测】题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.(X )(2)x

4、 y x +l -y y x+l)(x,y)|y=/+l).(X )若 1 C V,*,则*=-1 或 x=l.(X )(4)对任意集合4 B,都有(4C 庾U(/U.(V )题组二教材改编2.(多选)若集合=x N 2 x+1 0 3 x,则下列结论正确的是()A.2出阵4 B.8 马C.4 e j D.0 j答案 A D3 .己知集合 1,a,Q=1,3 ,若 P=Q,则 a=_.答案 04.设全集=R,集合 4=x|0 x W 2,8=y|l W j 2 或 K O ,B y|1WZ3,所以(C M U B(,0)U 1,+).题组三易错自纠5 .已知集合4=x|x-a 0,8

5、=*|x l,若 B,则实数a的取值范围是.答案(1,+8)6 .已知集合a=0,W x|a x 1=0 ,若 1 犷1 1=凡则实数a的值是答案 0 或 1 或一 1解析易得 JU a.,:M C 忏 N,J.NQ M,；.=0或 N=M,a=0 或 a=l.题型一集合的含义与表示1 .(多选)已知集合=x|x=3 4 1,A C Z ,则下列表示正确的是()A.一1 3 B.C.3 N-1 C 4 D.-3 4 C J答案 B CD解析当衣=0 时，x=-l,所以一 164所以A错误；令-1 1 =3 A 1,得 k=六 Z,所以一1 1 4 4 所以B正确；因为A

6、G Z,所以则3 芯一 1 G 4,所以C 正确；令-3 4=3%1,得 k=-1 1,所以一3 4 G 4,所以D正确.2 .已知集合=(*,。|六+/1,x 0L,y e Z ,则集合中的元素的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6答案 C解析当 x=-1 时，y=0；当 x=0 时，y=1,0,1;当 x 1 时，y 0.所以=(-1,0)，(0,1),(0,0),(0,1),(1,0),共有5 个元素.3 .若集合 4=a 3,2 a 1,才一4,且一3G 4,则实数 a=.答案 0 或 1解析当 a 3 =-3时，即 a=0,此时 4=-3,-1,-4,当 2 a 1 =3

7、时，即 a=1,此时 4=-4,-3 1 3 舍，当步一4=3 时，即&=1,由可知a=1 舍，则 a=l 时，A=2,1,3),综上，a=0 或 1.4.已知 a,Z?G R,若a,1 1=a,a+b,0),则 a?必 +夕3=_ _.答案 T解析由已知得 a W O,则丝 0,a所以 6=0,于是，=1,即 a=l 或 a=1,又由集合中元素的互异性知a=l 应舍去，故 a=-1,所以 a 2 2 l +b 2 M=(-i)2 M+o 2 M=L思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式

8、解决相应问题.特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.题型二集合间的基本关系例 1 已知集合仁 x G R f _ 3 x+2=0,8=x W N 0K5,则满足条件力U 区 8的集合C 的个数为.答案 4解析由题意可得,/=1,2,5=1,2,3,4).又：区&氏1,2 或 1,2,3 或 1,2,4 或 1,2,3,4 ,共 4 个.已知集合/=x|3 W x W 4 ,B=x 1 2 f f l-K z w+1),且反 4 则实数卬的取值范围是.答案 -1,+8)解析,JBQ A,当 6=0 时，2m 1 叶 ,解得勿 2,2m

9、1 W/z?+1,当期时，2 加一1 2 3,7 7+1 W 4,解得一1 W 忘2.综上，实数加的取值范围是 1,+8).思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Ve nn图等来直观解决这类问题.跟踪训练1 (1)(八省联考)已知M /V均为R的子集，且卜忙M则#U(加等于()A.0 B.M C.#D.R答案 B解析画 Ve nn图即可，注意最后求并集.己知集合4=x|f 4 x 5 W 0,8=x|-5

11、即可）答案 0 或 0,1 或 0,2 或 0,1,2 解析 4=x|V 3x+2 =0 =1,2 ,.3U8=0,1,2 ,，。6区.集合 8 可以是 0 或 0,1 或 0,2 或 0,1,2 .命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)例 3(1)已知集合=x|J-3x 0 ,B=,a ,且 4r 1 8 有 4 个子集，则实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(0,1)U(1,3)C.(0,1)D.(一8,1)U(3,+8)答案 B解析因为4n 8 有 4 个子集，所以4 n 6中有2个不同的元素，所以 a G/,所以才一3水0,解得0 a 3.又 a W l,所以实数a的取

13、算，如果集合中的元素是离散的，可用Ve n n 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算.跟踪训练 2 (1)已知全集 QR,集合力=x|2 4,B x (x-1)(x-3)4=x x2,=x|xW 2,B x Kx3.()0 6=xlxW2.(2)设集合力=x|lWx2,B=xxa,若 Z G#。，则 a 的取值范围是()A.-l a 2C.1 D.a 1答案 D解析在数轴上画出集合人庾如图)，-10 1 2 x观察可知a -l.题型四集合的新定义问题例 4(1)已知集合4=xeN|

14、x2-2x-3W 0,27=1,3 ,定义集合4 6 之间的运算“*”：4*6=3*=小+如为 6 4 在6 因，则 4*6中的所有元素数字之和为()A.15 B.16 C.20 D.21答案 D解析由2x3 W 0,得(x+1)(x3)W 0,得/=0,1,2,3.因为 4*8=x|矛=为+如为力,&E8,所以/*8 中的元素有：0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去)，3+3=6,所以 4*6=1,2,3,4,5,6,所以 4*8 中的所有元素数字之和为21.(2)若集合4,4 满足 4 1 2=4,则称(4,为集合力的一

15、种分拆，并规定：当且仅当4=4 时，(4,4)与(4,4)是集合4 的同一种分拆.若集合4 有三个元素，则集合/的不同分拆种数是.答案 27解析不妨令4=1,2,3,也=力,当 4=0 时，Ai 1,2,3,当 4=1时，4 可为2,3,1,2,3共 2 种,同理4=2,3时，4 各有两种，当 4=1,2时，4 可为，1,3,2,3,1,2,3共 4 种，同理4=1,3,2,3时,也各有4 种,当 4=1,2,3时，4 可为4 的子集，共 8 种，故共有1+2X 3+4X 3+8=27种不同的分拆.素养提升解决集合新定义问题的关键是(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本

16、质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.(3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养.跟踪训练3定义一种新的集合运算：A X B=x x G/1 且痣6.若集合/=*|f -4 x+3 0,6=x|2 W x W 4 ,则按运算，6/等于()A.x|3 4 B.*|3 W _r 4 C.x|3 K4 D.x|2 W x 4 答案 B解析由题意知，A=U|1 X3，在数轴上表示出A,8的区间，可得豚 A=X|3W

17、A 4.课时精练【基础保分练】1 .已知集合=1,2,3,4,5,6,7,4=2,3,4,5,6=2,3,6,7,则 8n(加等于()A.1,6 B.1,7 C.6,7 D.1,6,7)答案 C解析：/=1,2,3,4,5,6,7,4=2,3,4,5,1,6,7).又 8=3,6,7,.8。(4)=6,7.2 .设集合除=x|f=x,A-x l l g x W O ,则机等于()A.0,1 B.(0,1 C.0,1)D.(-8,1 答案 A解析：M=0,1,N=3(Kx W 1),x I OW x W l.3.设集合/=(x,y)x+y=2,6=(x,y)y=x ,则 4 n 8

18、等于()A.(1,1)B.(-2,4)C.(1,1),(-2,4)D.0答案 C解析首先注意到集合A与集合8 均为点集，x+y=2,x=l,(x=-2,联立 2 解得，或，y=x,y=l t y=4.从而集合 0 3=(1,1),(-2,4).4 .设集合#=x|x=4+l,Z,N=x x=2n-V ,Z,则()A.M N B.N M C.M G N D.N M答案 A解析 N=x x=2n-j Z,当=2 4,4 Z 时，4 x|x=4 +L k Z=M,当=2 4+1,4 e Z 时，/V=x|x=4 4+3,AGZ),所以 N.5 .已知集合/=卜ez/GZ I，则集合/中的

19、元素个数为()A.2 B.3 C.4 D.5答案 C3解析因为:;一W Z,且 XGZ,所以2 X 的取值有-3,1,1,3,所以X 的值分别为5,3,1,乙一X-1,故集合4中的元素个数为4.6 .(多选)已知集合4=1,2,3,4,B=y y=2x-,x A ,则集合力A 6的真子集可以为()A.0 B.1 C.3 D.1,3 答案 ABC解析由题意，得 6=-1,1,3,5,故集合4 C 6 的真子集可以为0,1,3.7 .(多选)已知集合4=x|V 3 x+2 W 0,6=x|2 2 W 8,则下列判断正确的是()A.A U B=BB.(1 曲 U 4=RC.H n 6=x l

20、 2 答案 CD解析因为x3 x+2 W 0,所以 1WA 2,所以 A=x|1WXW2；因为 2 2*W 8,所以 1XW 3,所以 8=川 l x W 3.所以 U 5=*|1 W 后 3,4 C 8=x l 3,(C曲 U(加=x x W l 或 x 2.8.(多选)已知集合A=1,2,B=UI m x=1,勿 GR,若医 4 则实数m可能的取值为()A.0 B.1 C.1 D.2答案 ABC解析当 m=0时，B=0JA成立;当 WO时，则，=x|而r=L必 WR=%,:归A,一=1 或一=2,m m解得m=1 或 m=；.综上所述，实数次可能的取值为0,1,1.9.已知集合

21、力=1,3,yfm,8=1,血，若为 4则勿=.答案。或 3解析因为医/,所以勿=3 或必.即/=3 或加=0 或应=1,根据集合中元素的互异性可知*1,所以勿=0 或 3.10.已知集合=*【一5 矛 1,B=AH xni)(x2)0,若 4 C16=(1,n),则叶 =答案 0解析 V z in 5=(-1,n),m 1,n 1,m+n=0.11.己知集合=川-2 矛 3,6=x|欣求叶 9 ,若 4C 屏 0,则实数 m 的取值范围是答案屈一 11 冰3解析若 4。8=0,则有勿+9W-2 或心 3,解得 11或小3,所以当4 n 院。时，实数勿的取值

22、范围为加一 11 水3.12.已知集合 A 1,2,3,B 3,5,则用列举法表示 A*B=2ab|aGA,bG&i.答案一 1,-3,1,3)解析当 a=l,b=3 时，2a 6=1,当 a=l,6=5 时，2 a-6=-3,当 a=2,6=3 时，2a6=1,当 a=2,6=5 时，2a2?=-1,当 a=3,6=3 时,2 a 6=3,当 a=3,6=5 时，2ab 1,：.A*B=2a b a A,=一3,1,3.【技能提分练】1 3.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 1 0

23、0 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有9 0 位，阅读过红楼梦的学生共有8 0 位,阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有6 0 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5 B.0.6C.0.7 D.0.8答案 C解析根据题意阅读过红楼梦西游记的人数用V e nn图表示如图，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为7需0=0.7.1 4 .已知集合 4=x (x-1)(x a)2 0,B x x a-l ,若 4 U 6=R,则实数 a 的取值范围为.答案(一 8,2 解析当 a 时，/!=(一8,1

24、u a,+8),+0),当 a-l W l 时，4 U 8=R,故 l a W 2；当 a=l 时，4=R,8=x|x 2 0,AU BR,满足题意；当 a l 时，4=(8,a U 1,+8),5=a-l,+o),又.U 8=R,故水 1 满足题意,综上知aS(8,2.【拓展冲刺练】1 5 .已知集合=x|V 3 x+2=0,6=对/一ax+3 a5=0 ,若 A C B=B,则实数 a 的取值范围是()A.0B.C.(2,1 0)D.2,1 0)答案 D解析由题意，可得3X+2=0=1,2,因为所以医4（1）当 6=0 时，方程十 ax+3 a5 =0 无解，则 z J 4 （3 a5

25、）0,解得 2 a0 是一个戴德金分割B.没有最大元素，有一个最小元素C.有一个最大元素，N有一个最小元素D.M 没有最大元素，上也没有最小元素答案 B D解析对选项 A,因为.Q x;r0,1/U A J x|x W 0 W Q,故 A 错误；对选项B,设,Q *G Q|x q且中pP 是 q的必要不充分条件炉。且q=p。是。的充要条件P 是 q的既不充分也不必要条件产4 且cfip1微思考1若条件P，g以集合的形式出现，即/=x|0（x）,B=x q x）,则由北 8 可得，。是。的充分条件，请写出集合4 6 的其他关系对应的条件p,g 的关系.提示若 4 B,则。是 q 的充分

26、不必要条件；若 QB,则p是 g的必要条件；若B,则。是。的必要不充分条件；若力=8,则 0 是的充要条件；若 6且a B,则是g 的既不充分也不必要条件.|J_基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“或“X”）（1）当夕是p的必要条件时，。是 g的充分条件.（V ）（2）己知集合4 B,则的充要条件是4=8.（V ）（3）不是。的必要条件时，“0 g”成立.（V ）（4）若片则是 g 的充分不必要条件.（X ）题组二教材改编2.“x 3=0”是“（一3）（犬-4）=0”的条件.（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）答案充分不必

27、要3.“s i n a=s i n ”是“。=万”的条件.（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）答案必要不充分4.函数f（x）=*2+w x+l 的图象关于直线x=l 对称的充要条件是.答案勿=一 2题组三易错自纠5.设 x 0,HR,则“X”是“x3”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析由推不出 x|y|,由 x3能推出x y,所以“x y”是“x3”的必要不充分条件.6.已知0：x a是 g：2 矛 a,aW 2.题型一充分、必要条件的判定例 1(1)已知。：，(4q：l o

28、 g 2 A o,则P是 0 的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B解析由知所以。对应的片的范围为(0，+),由 l o g z x 0知 0 2,力2”是“a+6 4,ab4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若 a 2,b2,则 a+b 4,ab4.当 a=l,6=5 时，满足 a+6 4,ab A,但不满足 a 2,b2,所以 a+6 4,a6 4#a 2,b2,故 a 2,6 2”是“a+6 4,ab4n的充分不必要条件.思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定

29、义法：根据户 O 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p,q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.跟踪训练1 (1)已知a,b,c,d 是实数，贝 ij“ad=bc”是“a,b,c,d 成等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析当 a=8=c=d=0 时，ad be,但 a,b,c,d 不成等比数列，当 a,b,c,d 成等比数列时，a d=b c,则“ad=6c”是“a,b,c,d 成等比数列”的必要不充分条件.设 AGR,则“八=一3”是“直线2+(才1)尸 1 与直线6

30、x+(l 4)尸 4 平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线2 4 x+(4一l)y=l与直线6x+(1 4)y=4 平行，则 2 d(1 4)6(4 -1)=0,解得 H =1 或八=3,经检验 a=1或 4 =-3 时两直线平行，故选A.题型二充分、必要条件的应用例 2 已知集合 4=x|8 x2 0 0,非空集合 8=x|1 r W x W I+r .若是的必要条件，求加的取值范围.解由 x 8 x2 0 0.得一2 WxW1 0,.A x -2 WxW1 0.由 x W/是的必要条件，知医/.则

31、 1 0 一2,.,.0 Wz W3.,.当0 2,1+/X 1 0 U+忘 1 0，解得 0 RW3 或 0 W 3,.0 W/W3,故小的取值范围是 0,3.思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.9跟踪训练2 (1)使-成立的一个充分不必要条件是()xA.K X 3 B.0 X 2C.水2 D.0 xW2答案B2解析由-2 1得0 xW2,x依题意由选项组成的集合是(0,2 的真

32、子集，故选B.(2)若关于x的不等式|x-成立的充分不必要条件是0 K 4,则实数a的取值范围是答案 3,+8)解析|x-l!l-a K l+a,因为不等式|x-l|a成立的充分不必要条件是0 求4,所1 a WO,以(。,4)(1-a,l+a),所以 +苏4l-a 4C.D.a l答案B解析要使“对任意xe 1,2),v一a W O”为真命题，只需要a4,所以a 4是命题为真的充分不必要条件.(2)关于x的方程a+b x+c=0(a H O)有一个正根和一个负根的充要条件是.答案a*0f 4 =Z 24 a c 0,解析a V

33、+/+c=O(a O)有一个正根和一个负根的充要条件是彳c-0,1 a即 ac8”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A3 5 3解析由 lo g 2（2 x-3）5,所以“lo g 2（2 x3）l”是“4*8”的充分不必要条件，故选A.2.设 a,6 G R,则“（a 6）才 0 是“水的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由（a 6）才 0 可知才#0,则一定有a 一伏0,即水6；但是 a 6 即 a 长。时,有可能a=0,所以心一6）成0 不一定成立，故（a 6）3 0”是“

34、ab”的充分不必要条件，故选A.3.“|x1|2”是“求3”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由|x-1|2,可得一V x|KA3 x|X 3 ,.“以一1|2”是“水3”的充分不必要条件.4.“x0”是“ln（x+l）0 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析由 ln(x+l)O=Ol”是“不等式2a-x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.a 3 B.水3C.a4 D.水4答案 A解析若 2a x,即 2*+力a.设/U)=2 +x,则函数f(x)为增函数

35、.由题意知 2+xa成立，即/(x)a 成立”能得到“xl，反之不成立.因为当xl时，f(x)3,6.已知/?：x k,7：(x+1)(2%)2,又 p 是 2,即实数4的取值范围是(2,+o),故选B.7.(多选)若 x2。是一2 C K a 的充分不必要条件，则实数a的值可以是()A.1 B.2 C.3 D.4答案 BCD解析由x 一x20,解得一K X 2.VX-A20是一2力0”是 a Z/(GN,22)”的充要条件答案 BC解析 A 项，a c=6 c 不能推出a=6,比如a=l,b=2,c=0,而 a=6 可以推出a c=6 c,所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充

36、分条件，故错误；B 项,另不能推出水 4 比如g 一，但是 2 3；水8 不能推出另，比如一21”是“a6 (GN,22)不能推出 a 6 0,比如 a=l,6=0,1 O(WN,22)满足，但是a 6 0不满足，所以必要性不满足，故错误.9.已知命题p-.命题 0,则 p 成立是g 成立的条件.(选填“充分不必要”“必要不充分“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要,(3=0,解析命题p等价于 0 a 4.命题q：对V xCR,a?+a x+l 0 等价于或f a 0,2则 0 W a 4,所以命题。成立是命题。成立的充分不必要条件.(a-4a0,b0,则“a

37、6”是“a+ln a Z+ln b”成立的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“即不充分也不必要”)答案充要解析设 f(x)=+l n x,显然f(x)在(0,+8)上单调递增，V ab,.f(a)f(6),Aa+l n ab+l n b,充分性成立；V 5 H-In a 6+In b,ab,必要性成立，故uabn是“a+ln ab+I n bn成立的充要条件.注技能提升练13.对于任意实数x,力表示不小于x 的最小整数，例如 1.1=2,(-1.1)=-1,那么 u x-y -L 是“力=y)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必

38、要条件答案 B解析令 x=1.8,y 0.9,满足|x但 1.8=2,0.9=1,X)#(y),可知充分性不成立.当 *=(y)时，设 X x+m,(y)=y+n,m,/?0,1),则|x=l 一加1,可知必要性成立.所以“lx是“x=/一 10,得 1/-,即Q：K/K-因为夕是q 的充分条件，所以彳 3乙乙 4 a1 3解得不6 o手拓展冲刺练15.己知集合 1 ,若 x G 是x G B 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.答案(一 8,0解析由W 1,得x6 20,解得x W 2 或 x3,则=*|x W 2 或 x23 .由log 3(x+a)l,得

39、x+a 2 3,即 x23 a,则户=x|x23 a .由题意知6 A,所以 3 a 3,解得a 0,x,p：|x|+Wl,q：x+yr,若夕是q 的必要不充分条件，则实数r的取值范围是.答案（0,孚解析画出3+皆I T忘 1 表示的平面区域（图略），由图可得。对应的平面区域是一个菱形及其内部，当 x0,y 0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x+=l,即 2 x+y-2=0.由 P是 q 的必要不充分条件，可得圆/+/=产的圆心（0,0）到直线2 x+y 2 =0的距离d=_ 2 _ 2乖y j 22+l 52r,又 r 0,所以实数r 的取值范围是0,1.3 全称

40、量词与存在量词r 考试要求1 .理解全称量词和存在量词的意义.2 .能正确地对含一个量词的命题进行否定.1 .全称量词和存在量词（1）全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“旦”表示.（2）存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“3”表示.2 .全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对中任意一个X,有夕（X）成立Yx R M,夕(x)三照机夕（xo）特称命题存在.”中的一个旗，使p（x j成立三即物（/）Yx R M,0(x)【思考】1 .怎样判断

41、一个特称命题是真命题？提示要判定特称命题“三刘三伙。（加”，只需在集合找到一个加，使。（加）成立即可.2 .命题。和。可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？提示命题0和。的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.1_基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)至少有一个三角形的内角和为n是全称命题.(x)(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题.(X)(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词.(V )题组二教材改编2.命题“VxWR,*+*+10”的否定是.答案 3A(IG R,/+A S)+1 W 03.命

42、题勺施CN,/W 0 的否定是_ _ _ _ _ _.答案 VxdN,/04.命题”对于函数/U)=+-U e R)，存在aR，使得f(x)是偶函数”为命X题.(填“真”或假”)答案真解析当a=0时，f(x)=*2(/0)为偶函数.题组三易错自纠5.(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有()A.3xoGR,xoxo+0,x+2r+2=(+1)+10,所以AC均为特称命题且为假命题，故选A C.6.若命题“八”R,42 2。一水0”是假命题，则实数a的取值范围是.答案(-8,1解析命题“mtoWR,to21()一水0”是假命题，等价于r-2 t

43、 a 2 0是真命题,/=4 +4aW 0,解得aW-1.实数a的取值范围是（-8,-1 ,题型一全称命题、特称命题的真假例1 （1）以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（）A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x,使C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数使：2答案B解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题;B中当x=0时,f=0,满足/（J,所以B既是特称命题又是真命题；C中因为镜+（啦）=0不是无理数，所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有乂0,不满足匕2,所以D是假命题.X X（2）下列四个命题：mx0 e(0,+8),l o g XQ;

44、2 3 V xG(0,+8),/1Y l o g,X ;2V xG(a S出）成立，故是假命题;对于，当时，有1 =1 081工=1。81 1 1 08|1成立，故是真命题;zi 2 3 3 5 2对于，当0水;1时，log】2 12,7对于，03，故是假命题;l0B.V xG N*,U-l)20C.3%oe R,lg%olD.mxoG R,ta n x02答案 B解析当 xe N*时，x 1 eN,可得(xI”。，当且仅当x=l 时取等号，故 B不正确；易知 A,C,D正确，故选B.已知函数f(x)=x 贝 1()A.3AOGR,f(x o)0B.V x G(0,+8),f(x)0C.A

45、2 G 0,+),-f(xz)答案 B解析幕函数f(x)=R 的值域为 o,+8),且在定义域上单调递增，故 A 错误，B正确,C错误，D选项中当M=0 时，结论不成立.题型二含有一个量词的命题的否定1 .已知命题0：勺的G R,e-xol W O ，则。为()A.mxoG R,e Xo1 2 0B.3AOGR,e 一Xo1 0C.V xG R,e*x1 0D.V xG R,e x 1 0答案 C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得p 为“V xC R,e -x-D O ，故选C.2 .设命题0：所有正方形都是平行四边形，则为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四

46、边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形答案 C解析“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即P为有的正方形不是平行四边形.3.命题：m*oG R,si n Ab+c os 刘 2的否定是.答案 V xG R,si n x+c os 启 24.若命题。的否定是“对所有正数x,胃 x+l”，则命题。是.答案 3A)e (0,+8),，W xo+i思维升华对全称命题、特称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；(2)对原命题的结论进行否定.题型三根据命题的真假求参数的

47、取值范围例 2已知命题0：V xG R,V-a 2 0；命题q：*+2 a x+2 a=0.若命题p,q 都是真命题，则实数a的取值范围为答案(-8,-2 解析由命题为真，得 a W O,由命题q 为真，得 4=4-一4(2 一 )0,即且忘2或 2 1,所以a 一2.(2)已知/X x)=ln(x+1),g(x)=(；)加，若对V x y 0,3 7 及G 1,2 ,使得 fix)2g(生),则实数in的取值范围是.答案+8)解析当*6 0,3 时，f(x)川=f(0)=0,当 xG 1,2 时,g(x)-nn=g(2)=*卬，由题意得即 0 2:一勿，所以m 2；.引申探究本例中

48、,若将勺改为 V x2 G 1,2 ”，其他条件不变，则实数0 的取值范围是.答案+j解析当 X G 1,2 时，g(x)ma x=g(l)=2 一m,由题意得 f i x)N g C O ma x,即 o 2 g )，.1思维升华(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.跟踪训练2 (1)由命题/+2 x 0+0 W O”是假命题，求得实数r 的取值范围是(a,+).则实数a=.答案 1解析由题意得命题“V xW R,V+2 x+z 0”是真命题

49、，所以 4=44 成0,即而 1,故实数0 的取值范围是(1,+8),从而实数a 的值为1.(2)若/(/)=V2x,g(x)=ax+2(a 0),V xi G 1,2,3%(e 1,2 ,使 g(xi)=f(xo),则实数a的取值范围是_.答案(o,1解析由于函数g(x)在定义域1,2内是任意取值的，且必存在使得以为)=尸(扬)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集.函数/X x)的值域是一1,3,因为a 0,所以函数g(x)的值域是2-a,2+2a,则有2 a 2-1 且 2+2 a W 3,即aw g.故a的取值范围是(0,1 .课时精练用基础保分练1 .下

50、列命题中是假命题的是()A.mX o W R,lo g 2A b=0 B.mX o W R,C O S XQ=1C.V%C R,x 0 D.V xSR,2”0答案 C解析因为 lo g=0,co s 0=1,所以选项A,B均为真命题，。2=0,选项 C为假命题,2,0,选项D为真命题，故选C.2.命题0：Fe w,的否定为（）A.V%e N,1-2B.V丽,C.打脚*,5ri/1 Y iD.3 o C N,-2答案 D解析命题p的否定是把“v 改成勺，再把“七）.”改为 g，g”即可，故选 D.3.下列命题是真命题的是（）A.所有的素数都是奇数B.V xW R,x+1 0

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