2022年全国统一高考数学试卷新高考2卷含答案解析.pdf-淘文阁

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1、2022年全国统一高考数学试卷(新高考n)一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合人=-1 ,1 ,2 ,4 ,B =x|x 1L,1 ,贝!|4口8 =()D .-1,4 A .-1,2 B.1 1 2 c.1,4)2 .(2+2/)(1-2/)=()A .-2 +4/B .-2-4/c.6+2/D .6-2i3.图1是中国古代建筑中的举架结构，4V ,9,C C ,9是桁，相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中D R ,CC,B B,州是举，。，O G(4 是

2、相等的步相邻桁的举步之比分别为0=0.5，隼=4，L./jR R A A迫=院，”=&.已知&，院，心成公差为0.1的等差数列，且直线0 4的斜率为0.72 5 ,贝！J&=()图1A .0.75B.0.8图2C .0.85 D .0.94 ,已知向量)=(3,4),=(1,0),c =a-t b，若 v M ,1 =5 ,贝!/=()A .6 B .5 C .5 D ,65 .甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A.1 2 种 B.24 种 C.3 6 种 D .4 8 种6.若$山(+)+久 (+/7)=2应：0$(+马$1

3、11力，贝!)()4A .tan(a+/7)=l B .tan(a+/)=-l C .tan(a-/3)=I D .tan(+/?)=-l7 .已知正三棱台的高为1 ,上、下底面边长分别为36和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A .100z r B.12 8万 C .14 4 D .192万228.已知函数/(x)的定义域为尺,S./(x +y)+f x-y)=/(x)/(y),/(1 )=1,则，/(幻=k=()A .-3 B .-2 C .0 D .1二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的

4、得2 分，有选错的得0 分。_O -rr9.已知函数/(x)=sin(2x+。)(0 0 4|O F|D.NOAM+NO3A/V180。11.如图，四边形4JC D 为正方形,D_L平面ABC。，FBHED,AB=ED=2FB.记三棱推E ACO,F-A B C ,尸一ACE的体积分别为乂，匕，匕，贝 ()A.V3=2V2 B.%=K12.若 X ,y 满足V+y2 一肛=,则(A x+y”1 B.x+y.-2c.%=q+匕)C.x2+y2 2D.2匕=3KD.x2+y2.A三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.已知随机变量X 服从正态分布N(2Q2),且 P(2 2

5、.5)=.14.曲线y=/|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.15.设点A(-2,3),3(0,a)，若直线AB关于y=。对称的直线与圆(x+3+(y+2=1有公共点，则”的取值范围是.2,16.已知直线/与椭圆+4=1 在第一象限交于A,8 两点，/与.r轴、丁轴分别相交于用，6 3N 两点，且|MA|=|N8|,|M N|=2 g ,则/的方程为 .四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知U 是等差数列，也是公比为2 的等比数列，且出心.(1)证明：q=仇；(2)求集合伙|bk=%,+4,掇如 500 中元素的个

6、数.18.(12分)记 AABC的内角A,B,C 的对边分别为a,6,c,分别以a,b，。为边长的三个正三角形的面积依次为加，S2,S,.已知岳-5+5 3=等，sinB=；.(1)求 AABC的面积；(2)若 sin Asin C=-，求6.19.(12分)在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间 40,50)的

7、人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 40,5 0),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间2 0.(12分)如图，PO是三棱锥P-A B C 的高，PA=PB,ABYAC,E 为 P 3 的中点.(1)证明：O E/平面R1C；(2)ZABO=ZCBO=3(f,PO=3,PA=5，求二面角 C 一隹 B 的正弦值.2 22 1.(1 2 分)已知双曲线 C:二-5=1(4 0/0)的右焦点为内2,0),渐近线方程为a by=y/3x.(1)求 c 的方程；(2 )过尸的直线与C 的两条渐近线分别交

8、于A ,B两点，点y,),Q(X2,y?)在 C 上,且西/0 ,%0.过。且斜率为-G 的直线与过Q且斜率为G的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.M 在他上；P Q/M 8 ；|M 4|=|例.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2 2 .(12 分)已知函数 f(x)=x*-/.(1)当。=1时，讨论的单调性；(2 )当x 0 时，./(%)/(+1).#+1 汇 +2 y/n2+n2022年全国统一高考数学试卷(新高考n)参考答案与试题解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

9、题目要求的。1 .已知集合4 =-1,1 ,2 ,4 ,B =x|x-l|l,贝!|4 0|8=()A .-1,2 B.1,2 C .1 1 4 D .-1,4【思路分析】解不等式求集合B ,再根据集合的运算求解即可.【解析】l x-”,1 ,解得：滕W 2 ,.集合 8 =x|喷/2).AQB=1,2.故选：B .【试题评价】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键.2 .(2+2 i)(l-2 z)=()A .-2 +4/B.-2-4;C .6+2/D .6-2/【思路分析】由已知结合复数的四则运算即可求解.【解析】(2 +2 0d-2 j)=2-4 t+2 i-4

10、i2=6-2 i .故选：D .【试题评价】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.3.图1是中国古代建筑中的举架结构，8 8 ,C C ,9是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中D Dt,CC,BB仅是举，O。,8 A是相等的步相邻桁的举步之比分别为黑=0.5，卷=占，毁=幺，M=仆已知K ,占，七成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.72 5 ,C g 8 A贝U勺=()A .0.75C .0.85D .0.9【思路分析】由题意器接谓瑙=办,结合等藜列的性质求解即可【解析】设。A =G=C B、=B A=1,贝!J

11、 C G =匕，=k2,AA=k3,由题意得：K=%-0.2 ,心=勺-0，D R+C G+B B i+M =解得占=0.9,故选：D .【试题评价】本题主要考查等差数列的性质，结合阅读材料，考有学生的知识运用能力，是基础题.4 .已知向量a=(3,4),6=(1,0),c-a +tb，若,c =E ,利用向量夹角余弦公式列方程，能求出实数的值.【解析】【解法1 ,.响量占=(3,4),方=(1,0),c =a+tb,c=(3 4-f,4),*=,|6Z|C|L ,空出=必，解得实数”5 .故选：c .闻5 1【解法二】(补解)：*=,.c os=cos ,|c|-cos=|

12、c|-cos z=,.25+3=，解得实数.=5 .IR 5 1故选：C .【解法三】(补解)：记函=,砺=无=，由题意可得，OC 为 0 A 与 0 8 为邻边的棱形对角线，且 1 1=5，故仁 5.故选:C.【试题评价】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5 .甲、乙、丙、丁、戊 5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A.1 2 种 B.2 4 种 C.36 种 D.4 8 种【思路分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果.【解析】【解

13、法一】把丙和丁捆绑在一起，4 个人任意排列，有 A：=4 8种情况，甲站在两端的情况有=2 4 种情况，甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有4 8-2 4 =2 4 种，故选：3.【解法二】(补解)：先把丙和丁捆绑在一起有A；=2 种情况，然后把丙丁当成一个元素和乙、戊三个元素一起排有A；=6 种情况，最后利用插空法排甲，三个元素排好有四个空，首尾各一个空，但是根据题意甲不能站两端,所以甲只能站在中间的两个空中，所以排甲有8 =2 种情况，最后总情况数为6 A；q =2 4 种情况.故选：B.【试题评价】本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属

14、于基础题.6.sin(a+cos(a+)=2A/2 cos(a+)sin(3，则()4A.tan(cr-y?)=l B.tan(a+)=l C.tan(cr-)=-l D.tan(4-/?)=-l【思路分析】由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求a-夕，进而可求.【解析】【解法一】因为 sin(a+/?)+cos(2+)=2/5cos(a+M)sin，4所以/sin(a+；0+军)=2应 cos(a+)sin 力，4 4即sin(a+/?+三)=2cos(a+工)sin/,4 4所以 sin(a+)cos 尸 +sin 尸cos(a+)=2 cos(a+)sin 0 ,4 4

15、 4冗乃所以 sin(an)cos B-snB cos(a+)=0,4 4JT JT所以sin(an-Z?)=0，所 ad-B-k n ,k e Z ,4 4fifrUZa-(3 =k j i-,所以tan(a-/7)=1 .故选：D.4【解法二】(补解):sin(a+)+cos(a+=2 0 co s(a+马 sin。,4fifrlU/2 sin(+B+)=2x/2 cos(a+)sin/7,4 4式JI即sin(a+n)=2cos(cd)sin/7,4 4由和差化积公式得 2 cos(a+?)sin =sin(a+?+y0)-sin(a +?-/?),jr-rr jr所以 sin(a

16、+4 +)=sin(a+4 +)sin(a+-B),4 4 4jr jr所以sin(a+-/?)=0,所以a +-0 =kjr,k Z ,4 4jr所以夕_,=攵4-i 所以tan(a /)=1故选：D.4【解法三】(补解)：(特值法)令/?=0，则原式为sina+cosa=2&cos(a+马 sin0=0,4.sintz4-cosa=0,.tana=1 ,ta n(a-)=tana=-l.故选:D.JI 7 7 yz【解法四】(补解)：(特值法)令 a=0,可排除 A,D.令 a=i，可排除 B.故选：。.【试题评价】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的

17、应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题.7.已知正三棱台的高为1 ,上、下底面边长分别为和 4百，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A.1004 B.1284 C.1444 D.192zr【思路分析】求出上底面及下底面所在平面截球所得圆的半径，作出轴截面图，根据几何知识可求得球的半径，进而得到其表面积.【解析】【解法一】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为冷=3,下底面所2 sin 60设球的半径为R,则轴截面中由几何知识可得V/?2-32+V/?2-42=1或 JR2-3?-,片-42=1 解得 R=5,该球的表面积为4万/?2 =4万x 25=100万.

18、故选：A.【解法二】(补解)：设 0 a =x(x0),:.OO2=-XBX-,在 RtAOOA 中，O O；+A。：=O A，即 f +3?=R?,在 R t O O 中，OOj+=042,即(_ _ 力?+42=R2.-.X2+32=(1-X)2+42,=4,;.7?=B+4 2 =5,/.该球的表面积为4%R2=4zr x 25=1 OOzr.故选：A.【试题评价】本题考查球的表面积求解，同时还涉及了正弦定理的运用，考查了运算求解能力，对空间想象能力要求较高，属于较难题目.8.已知函数/(x)的定义域为 R,f i/(x +y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1 )=1 ,则

19、 /(4)=(A=1)A.-3 B.-2 C.0 D.1【思路分析】先根据题意求得函数/(x)的周期为6,再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解.【解析】【解法-1 令 y=l,则/(x +l)+f(x-l)=/(x),BP f(x+1)=/(x)-f(x-1),.-./(x+2)=/(x +l)-/(x),/(x +3)=/(x +2)-/(x +l),.,./(x+3)=-/(x),贝!/(x+6)=-/(x+3)=/(x),丁./(x)的周期为6,令 x=l,y=0 得/(1 )+/(1 )=/(1 )x/(0),解得 0)=2,X/(x+l)=/(x)-/(x-l),(2)=/

20、(1 )-/(0)=-1 ,/(3)=/(2)-/(1 )=-2,/(4)=/(3)-/(2)=-l,/(5)=/(4)-/(3)=1,/(6)=/(5)-/(4)=2,6=1-1-2-1+1 +2=0,k=E f(k)=3x0+/(19)+/(20)+/(2 1)+/(22)=f (1 )+/(2)+/+f(4)=3.k=故选：A.【解法二】(补解)：因为x+y)+x-，令 x=l,)，=0 可得，2/=7/，所以4 0)=2,令 x=o 可得，/(y)+-y)=2/()，),g p/(y)=/(-y)，所以函数 x)为偶函数，令 y=i得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l

21、)=/(x),即有 x+2)+x)=x+l),从而可知/(x+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(-4),故/(x +2)=/(x-4),即/(x)=/(x+6),所以函数/(x)的一个周期为6.因为/(2)=/(1)-/(0)=1_2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=_1_1=_2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1 ,/(6)=/(0)=2，所以一个周期内的/。)+/(2)+/(6)=0.由于22除以6 余 4,22所以2 4)=1)+2)+3)+4)=1-1-2-1 =-3.h l故选：A.【解法三】(补解)：jr取 x)=2 co S

22、 X 符合条件，则 T=6，计算可得(2)=/(1 )-/(0)=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-2 ,f (4)=f(3)-f (2)=-1,/(5)=/(4)-f (3)=1,/(6)=/(5)-/(4)=2 ,6/(A:)=l-l-2-l+l +2 =0,*=!【试题评价】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题.二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。9.已知函数/(x)=si n(2 x +e)(0e;r)的图像关于点G y,0)中

23、心对称，则()A ./(x)在区间(0,葛)单调递减B./在区间(方,告)有两个极值点C.直线=卫是曲线 y =f(x)的对称轴6D.直线y =*-x是曲线y =/(x)的切线【思路分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A、B、C、。的真假._ 一 _ O 万【解析】因为/(X)=si n(2 x +9)(0 0 4)的图象关于点(k ,0)对称，所以2x2+9=/：乃，k e Z ,3所以二攵万一手，因为。乃,所以夕=与,故/(x hsi nQ x +y),7C .2 7T 3 4 Z t T j/p q TV 5 兀令一v 2 x +,解得

24、%4|O F|D .Z O AM+Z O BM 2p =4|O F|,故C正确；1。4=袈，|0BF =*,1AMi2=,|四 =萼，|A B|2 =富.，16 9 16 9 14 4-,OA 2+OBA B2,A M +BM 1A B2,Z A O B ,Z A M B 均为钝角，可得 Z O A M +Z O B M 2 p =4OF,C IE5 ；3 P p 瓜P 3P*=-1-=-u.4 3 2 2 4则 Z A O B 为钝角，又MA-MH=_匕I 40,则 Z A M 8 为钝角，5 L Z A O B+Z A M B+Z O A M +Z.OBM =360 ,贝！I A M+通

25、径=2 P =41 O尸|,C 对.【试题评价】本题考查抛物线的几何性质,考查运算求解能力，是中档题.11.如图，四边形A8C为正方形，ED_L平面ABC。,FBI I E D ,A B=E D=2 F B .记三棱锥E-ACD,F-A B C ,尸-ACE的体积分别为乂，匕，匕，则（）A.V,=2V2 B.%=M C.%=K+匕 D.2 匕=3匕【思路分析】利用等体积法，先求出几何体的体积V，再求出三棱锥E-ACD,尸-A 8 C 的体积匕、匕，匕=-匕-匕，可得匕、匕、匕之间的关系.【解析】【解法一】1&AB=E D=2 F B =2,E D，平面A B C D .J E D 为四棱锥E

27、（2）2=|a3,匕=/3枷=卜 3（2 4=|/,连接由）交 AC于点M,连接,易得B D V A C ,又 EO_L 平面 ABC。,ACu 平面 ABC。,则 EDLAC,又 E D C B D =D ,ED,B D u 平面 B D E F,则 AC _ L 平面 B DEF,又B M=D M=；B D =6 a ,过F作尸G _ L O E于G ,易得四边形3 D G F为矩形，则F G=B D =2ylla,E G =a,贝！I EM=小伽丫 +（壶aj=R a,F M=.+（岛 j=3，E F =+Q可丫=3a,E M +FM?=EF ,贝 1 EM L F M,SE FM=

28、EM-FM =a2,A C =2 缶,贝!匕=匕一.+.=：A C S M=2/,贝（2匕=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.【试题评价】本题主要考查组合体的体积，熟练掌握棱锥的体积公式是解决本题的关键.12 .若 x ,y 满足炉+y 2 f=,则（）A .x+y 1 B.x+y.-2 C.x2+y2 2 D .x2+y2.l【思路分析】原等式可化为，。亨+=1,进行三角代换，令X-=COS0厂2 ，则73.A y =810百x=si n 6+cos 632 x/3.y =-sm u3,结合三角函数的性质分别求出x +y与V +V的取值范围即可.【解析】【

29、解法一】由 f +2 -x y=l 可得，（-/2 +（:y）2 =1,令yx-=cos 0厂2 ，则,y =si n，x=si n +cos”32 5/3.Qy =-si n”3x +y =5/3 si n+cos 0-2 si n（0+）e-2 ,2 ,故 A 错,8 对,6x2+y2=（si n+cos 0）2+（si n。）2=si n 2 0-cos 20+=si n（2 0-）+e ,3 3 3 3 3 3 6 3 32 ,故C对，错，故选：B C .【解法二】（补解）：画出A-2+V -何=1图像，由解析式分析出函数关于y图像过（i,o）,（o,i），a/M-i,T）,猜

30、测解析式所对应的图像是关于y=X对称的椭圆.画出图像.对于A选项，画出尤+y =1直线的左下方是x+y l ,椭圆有一部分在直线的左下方，有一部分在直线的右下方，因此A选项错误；对于B选项，画出x +y =-2 ,直线的左下方是x+y-2 ,椭圆全部在直线的右上方，因此B 选项正确；对于C 选项，画出f +丁=2 ,此曲线是以原点为圆心V 2 为半径的圆，V +丫2 4 2 表示圆的内部和圆上的点，通过画图发现曲线/+丁-町=1上的点全部在圆的内部或在圆上，因此C 选项正确；对于 D 选项，画出V +V =1 ,此曲线是以原点为圆心1为半径的圆，V +V 4 1表示圆的内部

31、和圆上的点，通过画图发现曲线/+/一孙之上的点有一部分在圆内，有一部分在圆外，因此D 选项错误；故选：B C .【解法三】(补解)：(+-3.=1 ,(x +y)2-2 x+y 2.2 2另一方面，/+了2-1 =孙士,解得一+,2 42.,2I21-孙=幺+/2|孙|,解得一孙,所以f +y 2=i+盯 e-,2 .古嫡：3 C.【试题评价】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.已知随机变量X服从正态分布N(2,),且 P(2 2.5)=014 .【思路

32、分析】利用正态分布曲线的对称性求解.【解析】.随机变量X服从正态分布N(2,)，P 2 2.5)=0.5 ,.1.P(X 2.5)=0.5 -0.36=0.14 ,故答案为：0.14 .【试题评价】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.14 .曲线y =/|x|过坐标原点的两条切线的方程为_ x-e y 0_,.【思路分析】当 x 0 时，y =/nr ,设切点坐标为(%,/%),利用导数的几何意义表达出切线的斜率，进而表达出切线方程，再把原点代入即可求出X。的值，从而得到切线方程，当 x 0 时，y=lnx,设切点坐标为(/,小 ),，.切线的斜率4=工，.切线方程为y-g)=一

33、(x-x0),又切线过原点I.*I nx 1 r.切线方程为v-l=1(x-e),即 x-ey =。,e当 x v 0 时，y=ln(-x),与 y=加的图像关于y轴对称，切线方程也关于y 轴对称，.切线方程为x+ey=0/综上所述，曲线y=z|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为工-a=0 ,工+纱=0,故答案为：x-ey=G,x+纱=0【试题评价】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题.15.设点4-2,3),8(0,0,若直线AB关于y=对称的直线与圆(x+3)?+2)2=1有公共点，则。的取值范围是/|_ 【思路分析】求出他的斜率，然后求解直

34、线他关于y=。对称的直线方程，利用圆的圆心到直线的距离小于等于半径,列出不等式求解”的范围即可.【解析】【解法一】点 4-2,3),3(0,“)，心8=等，所以直线A 3关于y=a 对称的直线的向量为：,所以对称整方程为：一?.,即：ceg+叱。,(x+3)2+(y+2)2=1 的圆心(-3,-2),半径为 1 ,所以|3(：-3)+4+24|“，得 2a2_22a+6,0,解得j4 +(3-a)2 3故答案为3 2【解法二】(补解)：圆(x+3 y+(y+2 f=l 的圆心为(-3,-2)，半径为1 ,则这个圆关于尸。对称的圆的方程的圆心为(-3,2“+2)泮径为1 ,则对称

35、圆的方程为(x+3+(y-2a 2)2=1,A(-2,3),B(0,a),左的=辞，直线他的方程为 y-3 =y(x+2)，即：(a 3)x 2y+2a=，根据题意直线上与对称圆(x+3)、(y-2 a-2)、1有公共点，所以1-3(二：)-2(2。+2)上2色|,1，j4 +(a-3)21 3得 6/-lla+3“0,解得,-.故答案为：；，1 .【试题评价】本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.2。16.已知直线/与椭圆、+4=1 在第一象限交于A,8 两点，/与.轴、y 轴分别相交于用,N 两点，且 IMARN3I,|M N|=2百

36、，则/的方程为_ x +&y-2 及=0 _.【思路分析】设,y),BX2,y2),线段 A B 的中点为石,可得/1E +3,&,设直线/的方程为：y=kx+m ,k 0 ,M（,+x2 x2-xx 2 k0）,N（Qjn）,可得E（-差,y）,kOE=-k,进而得出Z,再利用I MN|=26，解得机,即可得出/的方程.【解析】【解法一】设A（x ,y）,B（X2,y2）,线段43的中点为石，由一，+=1 ,6 3 6 3相减可得：X2 X22贝心“辽9=44=1，X,+x2 X2-X1 尤2%2设直线/的方程为：y=kx+tn,k 0 ,M(-,0),N(0,m),

37、km一次5-1解得人-*.I MN|=,化为：（+二3m=12 ,m 0 ,解得 m 2.的方程为 y =-3 x+2,即 x +四y-20 =O ,故答案为：x +&y-2&=0.【解法二】（补解）：设线段4?的中点E（x。,%），/1.点也是MN的中点，因为何在x轴的正半轴上,所以M（2%,0）,又因为N在），轴的正半轴上，所以 N（0,2%）.根据点差法结论心屋分=-,/2,%=1.所以 x+42y-2&=0.【试题评价】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

38、步骤。17.(10分)已知 q 是等差数列，电是公比为2的等比数列，且 a2a=%-4=仇-%.(1)证明：4 =伉；(2 )求集合 kbk=am+q,掇帆 5 00)中元素的个数.【思路分析】(1 )设等差数列 4 的公差为d,由题意可得4+-2 4=4+2 4-4 ，q+d-2 4=4 d-(q+3 d),根据这两式即可证明4=；(2 )由题设条件可知2 i =2 z ,由m的范围，求出k 的范围，进而得出答案.【解析】(1 )证明：设等差数列仅“的公差为d,由%a=%4，得 4 +一 3 1 =4 +2 d-44，则 d=纥，由 4 Z 2 =一，得 4 +d 2 4 =幽(q

39、+3d),即 q+d 2b、=4 (q+3d),a、=b、.(2)由(1 )知，d=2b、=2a、，由4=4”+q 知，&,2*T=q+(/n_l)d+a1,.4 2%T=1+(加 _ 1),2bl+，即 2T=2m,又啜如 5(X),故 2 融*“1000,贝！2 瓢1(),故集合伙I 4 =am+a,，掇如 5 00 中元素个数为9 个.【试题评价】本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查运算求解能力,属于中档题.18.(12 分)记 A 4 8 C 的内角4 ,B,C 的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c 为边长反 i的三个正三角形的面积依次为S,$2，S3.已知-S2+S3

40、=，si n fi =-.(1)求 A A 8 C 的面积；(2 )若si nAsi nC=,求。.【思路分析】(1 )根据H-邑+5 3=，,求得标-从+2=2 ,由余弦定理求得近的值，根据S=，4 csi n8,求 A 4 B C 面积.2(2 )由正弦定理得.a=变生4,。=处,且=逑,求解即可.si n B si n 3 4【解析】(1 )d=a2 22 si n60 =-a-2,1 S2=-ft2 2 2 si n 60 =5,=-0 ,BP cosB03 2夜/.cos B=-,3Da2+C2-b2 2/2cos B=-=-tlac解得：ac二匹,4c J-垃SABC=-

41、s i n =Z o.AAH C的面积为年.o3(2)由正弦定理得：焉=hsinA fesi nC a=/c =si n B si n B由（1）得“c=挛，4bsinA bsinC 3收ac =-=-si n 3 si n B 41B已知，si n B,si n Asi n C =，3 3解得 T【试题评价】本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式.19.(12分)在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2 )估计该地区

42、一位这种疾病患者的年龄位于区间 2 0,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间 4 0,5 0)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 4 0,5 0),求此人患这种疾病的概豕以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).4频率/组距0.023-0.020-q0.017-1-0.012-|0.006-10.002-J_.0 nni 1=1-1-1-0 10 20 30 40 50 60 70 80 90年龄/岁【思路分析】(1 )利用平均数公式求解即可.(2 )利用频率分布

43、直方图求出频率，进而得到概率.(3)利用条件概率公式计算即可.【解析】(1 )由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：x =5 x 0.001x10+15x 0.002x10+25 x 0.012x10+35 x 0.017x10+45x 0.023x104-55 x 0.020 x10+65 x 0.017x104-75 x 0.006x10+85x 0.002x10=47.9岁.(2)该地区T立这种疾病患者的年龄位于区间 20,70)的频率为：(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)x10=0.89 z，估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 20,70)

44、的概率为0.89.(3)设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间 40,50)为事件8，此人患这种疾病为事件C,则 P(C 3)=为=O 1%23X1%0.0014.P(B)16%【试题评价】本题考查频率分布直方图求平均数、频率，考查条件概率计算公式，属于基础题.2 0.(12分)如图，PO是三棱锥尸-他C 的高，PA=PB,A B L A C,为 P 8 的中点.(1)证明：OE平面以C；(2)若 ZABO=NC8O=30。，P O =3,PA=5，求二面角 C-的正弦值.【思路分析】(1 )连接OA,O B，可证得。4=0 8，延长8 0 交 AC于点F，可证得O E/PF,由此得

45、证；(2)建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面ACE及平面A3E的法向量，利用向量的夹角公式得解.【解析】(1 )【解法一】证明：连接OA,OB,依题意，平面A8C,又。4 u 平面 ABC,O 8u 平面 ABC,则 OP_LCW,O P Y O B ,:.NPOA=N P O B =90。,又 PA=PB,O P=O P,贝,:.OA=OB ,延长3 0 交 AC于点尸，又 ABJLAC,则在RtAABF中，O 为 B F 中点,连接PF,在AP肝中，O,E分别为BF,BP的中点，贝 JOE/P尸,PAC,P尸 u 平面以C,，0 7/平面；【解法二】(补解)：连

46、接OA,O B，因为OP是三棱锥P-A 8 c的高，.OP，平面A B C，又.Q4,Q8u平面ABC:.O P rO A,O P rO B ,Z.POA=ZPOB=90,.PA=PB,PO=PO,APO A/.APOB,：.OA=OB,取 4?的中点 ,连接 OROE,.OD Y AB,-.-AC AB,:.OD/AC,又.ODU平面小C,A C u平面9C,.O)平面必C.又E分别是的中点，./,又E(z平面E4C,申 u平面如C，二E平面小C.又;OD C DE=DQD,DE u 平面 O D E，平面 ODE平面融C.又.QEu平面ODE,.,.O7/平面 RIC.(2

47、 )【解法一】过点A作A /O P，以相，AC,A F分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于尸0 =3,PA=5，由(1 )知04=。3=4,又 ZABO=NC8O=30。,贝！|AB=4 G ,，P(26,2,3),8(4G,0,0),A(0,0,0),E(3G,l，m ,2设 AC=f，则 C(0,f,0),设平面训的 T法向量为为=(x,y,z),又通=(4xQ,O,O),荏=(3后1,|),则n-AB=0_ r 3 则可取万=(0,3,-2),n-AE=313x+y+z=0设平面AEC的一个法向量为沅=(4,)，又/=(01,0),通=(3 6,1,|),

48、则th-AC=th=O r 3 则可取而=(一G,0,6),m-AE=3,3。+Z?+c=02.?4、/1设锐二面角C-,-8的平面角为。则8S”|8 S ,小丽上着,【解法二】(补解):过点D 作 DFHOP,以DB,DO,止分别为 x,y,2轴建立空间直角坐标系D-xyz.-.-PO=3,PA=5，由(1 )得04=03=4,X ZABO=ZCBO=30,/.OD=2,DB=2j3,.-.P(0,2,3),4 2 点 0,0),A(-2疯 0,0),设 AC=a,则2 g M,0),AB=(4/3,0,0)丽=(0,2,3),AC=(0,a,0),AE=.=M-Z、n.-AB=4/3

49、x.=0设平面M B 的法向量为，4=(x“y,z J ,一 1，则n-DP=2y+3z)=0X)=02yl+34=0令 3=3,则 Z|=-2,.=(),3,2).设平面AEC的法向量为n2=(x2,j2,z2)丐 AC=ay2=0tty AE=3/32+g z=0y2=0则.1 r 3，令/=1/2 =-2 6，.质=(1,0,-2石).3,3x5+万 “2=0设锐二面角的平面角为 0，则 cose=(cos=|冬斗|=竽,旧|旧|13sin 0=l-cos20=,即二面角 C-A E-3 正弦值为 U .【试题评价】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正

50、弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.2 221.(1 2 分)已知双曲线 C:=-与=1(0/0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为a by=+?x.(1)求 C 的方程；(2)过尸的直线与C 的两条渐近线分别交于A,8 两点，点 P(玉 ,),Q G ,必)在C 上，且为 0,x 0 .过 P 且斜率为的直线与过 Q 且斜率为G 的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.M 在 4 3 上；PQ/A 8；|M4|=|M8|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【思路分析】(1 )根据渐近线方程和=%2+C，即可求出；

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