《2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国2卷).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国2卷).pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 2 卷）文科数学本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题
2、共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1（5 分）已知集合 Ax|x1，Bx|x2，则 AB（）A（1，+）B（，2）C（1，2）D2（5 分）设 zi（2+i），则（）A1+2iB1+2iC12iD12i3（5 分）已知向量（2，3），（3，2），则|（）AB2C5D504（5 分）生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标若从这5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为（）ABCD5（5 分）在“
3、一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙6（5 分）设f（x）为奇函数，且当x0 时，f（x）ex1，则当x0 时，f（x）（）Aex1Bex+1Cex1Dex+17（5 分）设，为两个平面，则 的充要条件是（）A 内有无数条直线与 平行B 内有两条相交直线与 平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面8（5 分）若 x1（）A2BC1D，x2是函数 f（x）sinx（0）两个相邻的极值点，则
4、9（5 分）若抛物线y22px（p0）的焦点是椭圆A2B3C4+1 的一个焦点，则p（）D810（5 分）曲线 y2sinx+cosx 在点（，1）处的切线方程为（）Axy10C2x+y2+1011（5 分）已知（0，ABB2xy210Dx+y+10），2sin2cos2+1，则 sin（）CD12（5 分）设F 为双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆 x2+y2a2交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为（）ABC2D二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13（5 分
5、）若变量 x，y 满足约束条件则 z3xy 的最大值是14（5 分）我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为，有 20 个车次的正点率为，有 10 个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为15（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 已知 bsinA+acosB0，则 B16（5 分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图
6、2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共有个面，其棱长为三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：（一）必考题：共共 6060 分。分。17（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BE
7、EC1（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AEA1E，AB3，求四棱锥 EBB1C1C 的体积18（12 分）已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a2+16（1）求an的通项公式；（2）设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和19（12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表y 的分组企业数，0）20，）24，）53，）14，）7（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组
8、中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到）附：+1（ab0）的两个焦点，P 为 C 上的点，O20（12 分）已知 F1，F2是椭圆 C：为坐标原点（1）若POF2为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围21（12 分）已知函数 f（x）（x1）lnxx1证明：（1）f（x）存在唯一的极值点；（2）f（x）0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做
9、，则按所做的第一题计分。第一题计分。选修选修 4444：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（1010 分）分）22（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点 M（0，0）（00）在曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A（4，0）且与 OM 垂直，垂足为 P（1）当 0时，求 0及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 选修选修 4545：不等式选讲：不等式选讲（1010 分）分）23已知 f（x）|xa|x+|x2|（xa）（1）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）当 x（，1）时，f（x）0，求 a 的取值范围2
10、0192019 年全国统一高考数学答案解析（文科）年全国统一高考数学答案解析（文科）（全国（全国 2 2 卷）卷）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1【分析】【分析】直接利用交集运算得答案【解答】【解答】解：由 Ax|x1，Bx|x2，得 ABx|x1x|x2（1，2）故选：C【点评】【点评】本题考查交集及其运算，是基础题2【分析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【解答】【解答】解
11、：zi（2+i）1+2i，12i，故选：D【点评】【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3【分析】【分析】利用向量的坐标减法运算求得的坐标，再由向量模的公式求解【解答】【解答】解：（2，3），（3，2），|（2，3）（3，2）（1，1），|故选：A【点评】【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题4【分析】【分析】本题根据组合的概念可知从这 5 只兔子中随机取出 3 只的所有情况数为有 2 只测量过该指标是从 3 只侧过的里面选 2，从未测的选 1，组合数为出概率，恰即可得【解答】【解答】解：由题意，可知：根据组合的概念，可知：从这 5 只兔子
12、中随机取出3 只的所有情况数为恰有 2 只测量过该指标的所有情况数为，p故选：B【点评】【点评】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础题5【分析】【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果【解答】【解答】解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲乙乙：丙乙且丙甲丙：丙乙只有一个人预测正确，分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙乙，乙甲，乙
13、预测不正确，而丙乙正确，只有丙甲不正确，甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾不符合题意只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲乙，乙丙故选：A【点评】【点评】本题主要考查合情推理，因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾从而得出正确结果本题属基础题6【分析】【分析】设 x0，则x0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得 x0 时的 f（x）【解答】【解答】解：设 x0，则x0，f（x）ex1，设 f（x）为奇函数，f（x）ex1，即 f（x）ex+1故选：D【点评】【点评】本题考查函数的解析式即常用求法，考查函数奇偶性性质的应用，是基础题7【分析】【分析】充要条件的定义
14、结合面面平行的判定定理可得结论【解答】【解答】解：对于 A，内有无数条直线与 平行，或；对于 B，内有两条相交直线与 平行，；对于 C，平行于同一条直线，或；对于 D，垂直于同一平面，或 故选：B【点评】【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题8【分析】【分析】x1，x2是 f（x）两个相邻的极值点，则周期 T2（是函数 f（x）sinx（0）两个相邻的极值点，），然后根据周期公式即可求出【解答】【解答】解：x1T2（2，故选：A），x2【点评】【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属基础题9【分析】【分析】根据抛物线的性质以及
15、椭圆的性质列方程可解得【解答】【解答】解：由题意可得：3pp（）2，解得 p8故选：D【点评】【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题10【分析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x 时的导数，再由直线方程点斜式得答案【解答】【解答】解：由 y2sinx+cosx，得 y2cosxsinx，y|x2cossin2，曲线 y2sinx+cosx 在点（，1）处的切线方程为 y+12（x），即 2x+y2+10故选：C【点评】【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题11【分析】【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sincos
16、2cos2，结合角的范围可求sin0，cos0，可得 cos2sin，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin 的值【解答】【解答】解：2sin2cos2+1，可得：4sincos2cos2，（0，），sin0，cos0，cos2sin，sin2+cos2sin2+（2sin）25sin21，解得：sin故选：B【点评】【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题12【分析】【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|OF|列式求 C 的离心率【解答】【解答】解：如图，由题意，把 x代入 x2+y2a2，得 PQ，
17、再由|PQ|OF|，得，即 2a2c2，解得 e故选：A【点评】【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13【分析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】【解答】解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数 z3xy 为 y3xz，由图可知，当直线 y3xz 过 A（3，0）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 9故答案为：9【点评】【点评】本题考查简单的线性规划，考
18、查数形结合的解题思想方法，是中档题14【分析】【分析】利用加权平均数公式直接求解【解答】【解答】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为，有 20 个车次的正点率为，有10 个车次的正点率为，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：故答案为：【点评】【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题15【分析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得 sinAsinB+sinAcosB0，由于 sinA0，化简可得tanB1，结合范围 B（0，），可求 B 的值为【解答】【解答】解：bsin
19、A+acosB0，由正弦定理可得：sinAsinB+sinAcosB0，A（0，），sinA0，可得：sinB+cosB0，可得：tanB1，B（0，），B（10+20+10）故答案为：【点评】【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16【分析】【分析】中间层是一个正八棱柱，有 8 个侧面，上层是有 8+1，个面，下层也有 8+1 个面，故共有 26 个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45倍x+x1，【解答】【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+226 个面，设其棱长为x，
20、则x+解得 x11故答案为：26，【点评】【点评】本题考查了球内接多面体，属中档题三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：（一）必考题：共共 6060 分。分。17【分析】【分析】（1）由线面垂直的性质可得 B1C1BE，结合 BEEC1利用线面垂直的判定定理可证明 BE平面 EB1C1；（2）由条件可得 AEAB3
21、，然后得到 E 到平面 BB1C1C 的距离 d3，在求四棱锥的体积即可【解答】【解答】解：（1）证明：由长方体 ABCDA1B1C1D1，可知B1C1平面 ABB1A1，BE 平面 ABB1A1，B1C1BE，BEEC1，B1C1EC1C1，BE平面 EB1C1；（2）由（1）知BEB190，由题设可知 RtABERtA1B1E，AEBA1EB145，AEAB3，AA12AE6，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 BB1C1C，EAA1，AB平面 BB1C1C，E 到平面 BB1C1C 的距离 dAB3，四棱锥 EBB1C1C 的体积 V36318【点评】【点评】本题考查了线面
22、垂直的判定定理和性质，考查了四棱锥体积的求法，属中档题18【分析】【分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的an的通项公式代入 bnlog2an，得到 bn，说明数列bn是等差数列，再由等差数列的前 n 项和公式求解【解答】【解答】解：（1）设等比数列的公比为 q，由 a12，a32a2+16，得 2q24q+16，即 q22q80，解得 q2（舍）或 q4（2）bnlog2an；，b11，bn+1bn2（n+1）12n+12，数列bn是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，则数列bn的前 n 项和【点评】【点评】本题考查等差数列与等比数列的
23、通项公式及前 n 项和，考查对数的运算性质，是基础题19【分析】【分析】（1）根据频数分布表计算即可；（2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可【解答】【解答】解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的 100 个企业中产值增长率不低于40%的企业为：21%，产值负增长的企业频率为：2%，用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）企业产值增长率的平均数2+24+53+14+730%，产值增长率的方程 s2，（）22+（）224+0253+14+7产值增长率的标准差 s，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分
24、别为30%，17%【点评】【点评】本题考查了样本数据的平均值和方程的求法，考查运算求解能力，属基础题20【分析】【分析】（1）根据POF2为等边三角形，可得在F1PF2中，F1PF290，在根据直角形和椭圆定义可得；（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得 b4，根据 x2b2，从而 a2b2+c22b232，故 a4（c2b2），所以 c2，【解答】【解答】解：（1）连接 PF1，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|故曲线 C 的离心率 e1c，于是 2a|PF1|+|PF2|（+1）c，（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当：
25、|y|2c16，1，+1，即 c|y|16，x2+y2c2，+1，由及 a2b2+c2得 y2，又由知 y2，故 b4，由得 x2（c2b2），所以 c2b2，从而 a2b2+c22b232，故 a4，当 b4，a4时，存在满足条件的点P，+）所以 b4，a 的取值范围为4【点评】【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题21【分析】【分析】（1）推导出 f（x）的定义域为（0，+），f（x）lnx，从而 f（x）单调递增，进而存在唯一的x0（1，2），使得 f（x0）0由此能证明f（x）存在唯一的极值点（2）由 f（x0）f（1）2，f（e2）e230，得到 f（x）0 在（x0，+）内存在唯
26、一的根 xa，由ax01，得，从而是 f（x）0 在（0，x0）的唯一根，由此能证明 f（x）0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【解答】【解答】证明：（1）函数 f（x）（x1）lnxx1f（x）的定义域为（0，+），f（x）lnx，ylnx 单调递增，y单调递减，f（x）单调递增，又 f（1）10，f（2）ln2存在唯一的 x0（1，2），使得 f（x0）0当 xx0时，f（x）0，f（x）单调递减，当 xx0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）存在唯一的极值点（2）由（1）知 f（x0）f（1）2，又 f（e2）e230，f（x）0 在（x0，+）内存在唯一的根 xa，由 ax
27、01，得f（）（）ln，0，0，是 f（x）0 在（0，x0）的唯一根，综上，f（x）0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【点评】【点评】本题考查函数有唯一的极值点的证明，考查函数有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值、极值等基础知识，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。第一题计分。选修选修 4444：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（1010
28、分）分）22【分析】【分析】（1）把 0直接代入 4sin 即可求得 0，在直线 l 上任取一点（，），利用三角形中点边角关系即可求得l 的极坐标方程；（2）设 P（，），在 RtOAP 中，根据边与角的关系得答案【解答】【解答】解：（1）当 0时，在直线 l 上任取一点（，），则有故 l 的极坐标方程为有；，（2）设 P（，），则在 RtOAP 中，有 4cos，P 在线段 OM 上，故 P 点轨迹的极坐标方程为4cos，【点评】【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用，画图能够起到事半功倍的作用，是基础题 选修选修 4545：不等式选讲：不等式选讲（1010 分）分）23【分析】【分析
29、】（1）将a1 代入得 f（x）|x1|x+|x2|（x1），然后分x1 和 x1 两种情况讨论 f（x）0 即可；（2）根据条件分 a1 和 a1 两种情况讨论即可【解答】【解答】解：（1）当 a1 时，f（x）|x1|x+|x2|（x1），f（x）0，当 x1 时，f（x）2（x1）20，恒成立，x1；当 x1 时，f（x）（x1）（x+|x2|）0 恒成立，x；综上，不等式的解集为（，1）；（2）当 a1 时，f（x）2（ax）（x1）0 在 x（，1）上恒成立；当 a1 时，x（a，1），f（x）2（xa）0，不满足题意，a 的取值范围为：1，+）【点评】【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题