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1、绝密启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学|注意事项-1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若z1+V3i f 则ZZ Z-1A.-
2、1+A/31.c+招G 3+3D，四3 3课】C.,.至舁W W W W W 弋 W弋W W 弋弋弋弋飞弋W 弋弋弋陵弋弋弋弋弋W W 葭弋弋鼠战弋弋弋黑弋黑:【解析】由共辄复数的概念及复数的运算即可得解.z=-l-V 3i,=(-1+V 3 i)(-l-V 3 i)=l+3=4.=-1+乎i故选:co Jz32.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：100%-95%-90%-7 0%,所以 A 错;%:讲座后问卷答题的正确率只有一个是8
3、 0%,4 个 8 5%,剩下全部大于等于9 0%,所以讲座后问卷答题的：7 正确率的平均数大于8 5%,所以B对；：讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准：7差，所以。错；;讲座后问卷答题的正确率的极差为1 0 0%-8 0%=2 0%,讲座前问卷答题的正确率的极差为9 5%-60%=3 5%2 0%,所以。错.7故选:B.3.设全集 U=-2,1,0,1 2 3 ,集合。=-L 2 ,B=c I d 如+3 =。,则(A U B)=(TA.1,3 B.0,3 。-2,1 D.-2,0 ：工於之，F i r ：r ：1七皆生裳悉恚蛀m 上:三
4、 三 km二 三 三 m 受 二 不 匚 三；密滨三 三 三 二 不 受 二 三 三 三 三 三 受 二 不 受 三 三 二 三 二；:受 二 二 工 三 三 三 三 不 笠f【解析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B=*2-4,+3 =0 =1,3 ,所以A；UB=-1,1,2,3 ,所 以 力 U B)=-2,0 .故选:D.第 2 页 共 1 2 页【解析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.令/Q)=(33f)c o s c 避:一拳 则=3,3，)c o s(/)=(3X-3-I)c o s x =/(x)，所以/为奇函数，排除Z B D；e
5、?:又当，(0,手)时，3*3x 0,c o s%0,所 以/0,排除C.故选:A.6 .当工=1 时,函数/3)=a nx+方 取得最大值一2，则/=、()A.-1 B.C.D.1f【解析】根据题意可知八1)=-2,/(1)=0 即可解得a,b,再根据/(工)即可解出.因为函数/Q)定 义，域为(0,+8),所以依题可知，/(1)=-2,/(1)=0,而/(力)=旦-与,所以6 =-2,(1 6 =0,即&=X x -2,6 =-2,所以0=-2 +3,因此函数/3)在(0,1)上递增,在(1,+8)上递减，3；=1时取最大值，满足题意，即有r=一 1+4=一十.故选：B.7 .在长方体A
6、B C D-A Ri GR中，已知瓦。与平面A B C D和平面A A 5B 所成的角均为30,则()A.A B=2 A D B A B 与平面A B i G。所成的角为30 C.A C C B,D.5。与平面B B C Q所成的角为4 5【解析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.如图所示:不妨设A B =a,AD =b,A AX=c,依题以及长方体的结构特征可知，与平面A B C D所成角为N B D B,J 3Q 与平面AA.B.B所成角为,所以s in 3(T =焉=磊，即b=c,D yU jD jyB Q=2c -V a2+62+c2,W W-a =V 2c.对于 A,A
7、B =a,A D=b,4 8 =7 4 0,A 错误；对于B,过 B 作 B E _ L A B 于E,易知 B E，平面A B QQ,所以A B 与平面AB.C.D所成角为ZB A E,因为t a n ZBAE =夸，所以/B4 E W 30,B 错误；，对于 C,47=5 ,CBi=4 二=旧，A C 手 C B。错误；对于D,与平面B B QQ所成角为Z D B Q,s i n N D B C=5号=白=容，而 0 NO B QD ZC 2第 3 页 共 12页 故选：D8.沈括的 梦溪笔谈 是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，检 是 以O为圆心，0 4为
8、半径的圆弧，。是的A 3中点，。在 检 上，8 _ L 4 3.“会圆术”口给出A B的弧长的近似值s的计算公式：s=A B+-.当OA=2,Z4O B=60 A时,s=()/411-3 n U-4 V 3 r 9-3V3 /；【解析】连接O。,分别求出A B O C,C D再根据题中公式即可得出答案懈:如 D1 图，连接O C,因为。是A B的中点，所以4 8,又。，4 3,所以0,。,。三点共线，即 OO=OA=OR=2,又NAOB=60,所以 A B=O 4 =OB=2,/则。=遍，故CD=2，所以6=AB+覆/11-4代o;2-故选：B.9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心
9、角之和为2兀,侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为片；和 吃.若 毅=2,则 瞿=()3乙 乙A.V5 B.2V2 C.V105V104/7：二 ；_ ：乙：；-；：；：；：；：；：；：；.；.；：；：.：；：；：；I-r-M，型 c.1；.*.1 I,(.4 J.【-M.F【解析】设母线长为甲圆锥底面半径为乃，乙圆锥底面圆半径为如根据圆锥的侧面积公式可得乃=):2乃，再结合圆心角之和可将小心分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.设母线长为Z,甲圆锥底面半径为外，乙圆锥底面圆半径为乃，则 患=黑=2,；所以鼻=2如 又 竿+竿=2兀，则=夸%,乙 圆 锥
10、的 高 色=一 吉 俨=故选：C.色 产=i,所 以 乃=制 年 宗 所 以 甲 圆 锥 的 高 巧春：挈Z,所 以 患 二含 兀 1%1 等 户x手怖2 吉 产X岑=V10.1 0.椭圆。：营+卷=1(&60)的左顶点为4,点。，(2均在。上,且关于3/轴对称.若直线A P,4 Q的斜 率 之 积 为:，则。的离心率为()A 卑 B.挈 a 3 D.42 2 2【解析】设。&,如，则Q(,根据斜率公式结合题意可得一J=4,再 根 据 吟+粤=1，将-X+Q 4 C b 0?y第4页 共12页功用g 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.A（a,0）,设P（2i，%）,则 Q（如功），则心产%
11、Xi+a；KAQ=x a 故 人做=,2(/一犹)yiG+Q-Xi+a=1_ 又 W+-x f +a2-4 人 a2Vx等=1,则/=%皿所以d27,艮 吟 7,所以椭圆。的离心率e/=故选：A x+a21 1.设 函 数 心）=s i n（3z +m）在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则 3 的取值范围是()岛豹 B.修，罕）。.（普 用 D （卷 号 I.VI-1，决-.&3 上爸差e *三 三 二 二 三 三 注 安 可 晨 运 三 三 不 上 工:立 三 不 立 三 m 三 二 土 女 ：二Z【解析】由名的取值范围得到3/+g 的取值范：围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解
12、得；即可.:解:依题意可得3 0,因为:re （0,7 T）,所以0Z:有三个极值点、两个零点，又夕=s i n c,x G2 传,3兀）的图象如下所示:则萼诉+3兀，解得呈 6 a B.b a c C.a b cX.-D.a c b_J+三 E3劭f 解析 5 5 由 卷=4 t a n -结合三角函数的性质可得c b；构造函数/=c o s/+-1-x2 l,x G （0,+8）,利用导数可得9Q,即可得解.因为点=4 t a n；,因为当标（。制 1,所以 c 6；设/(c)=c o s c +-x2 l,x G (0,+o o),/x)=s i n e +0,所以/(力)在(0,+o
13、o)单2?调递增，则/（1）/（。）=0,所以 co s -装 0,所以 b a,所以 c b Q,故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13.设向量乙方的夹角的余弦值为，且 同=L 帆=3,则（2 五+初日=r”,.z .wI i i.I.-7*1 1 1（.-AH，+：.I【解析】设左与，的夹角为巴依题意可得co s J =，再根据数量积的定义求出3-b,最后根据数量积的运算律计算可得.解:设五与日的夹角为6,因为五与，的 夹 角 的 余 弦 值 为 即 co s 0 =4,又 同=1,3 3 1 1第 5 页 共 12 页I9=3,所以3 b=同 cos。=1 x 3
14、x/=l,所以(2a+b)b=2 a b+庐=24 b+,=2 x 1+32:?=11.;故答案为：11.L w1 4.若双曲线峭一案E g。）的渐近线与圆+婿一旬+3=相切 则恒=一f【解析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依 题 意）2:圆心到直线的距离等于圆的半径,即可得到方程，解得即可.解:双曲线始一4=1（馆 0）的渐近线：为9=,B P x 7ng=0,不妨取c+zng=0,圆+姬一例+3=0,即炉+2)2=1,所以圆心为（0,2）,半径=1,依题意圆心（0,2）到渐近线。+馆 9=0 的距离d127nlVl+m2=1，解得m=或O；?7
15、2=舍去）.故答案为：二 .,5.从正方体的8 个顶点中任选4 个,则这4 个 点 在 同 一 个 平 面 的 概 率 为.）/【就析】根据古典概型的概率公式即可求出.从正方体的8 个顶点中任取4 个，有 九=/=70个结果，:，这 4 个点在同一个平面的有m=6+6=12个，故所求概率P =等 二得=4.?故答案为：35j16.己知A3。中，点。在边B C 上，NADB=120,AO=2,CD=2 B D.当 笑 取 得 最 小 值 时，BD=AD【防柝】设 CD=2BO=2 m 0,利用余弦定理表示出笑后，结合基本不等式即可得解.设CD=2BD=2m 0,则在4 3。中,A B2=BD2+
16、AD2-2BD ADcosZADB=m2+4+2m,在 4ACD 中,AC2=CD2+AD2-2CD-AD cosAADC 4m2+4-4gr-rJ/C 2 _ 47n2+4 4m _ 4(病 +4+2771)12(1+m)_m，AB2 m2+4+2m m2+4 4-2m4-5 4 /1?-=4-2 V 3,（m+l）+赤T 2V（m+1），7+T当且仅当加+1=信1 即m=皿 T时,等 号 成 立,所 以 当 笫 取 最 小 值 时=故答案为：V3 1.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每自题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要
17、求作答.（-）必考题:共60 分.17.记 S”为数列%的前几项 和.已 知 等+n=2%+l.II第 6 页 共 12页 证 明：%是等差数列；若 电,3,的成等比数歹U,求 S 0 的最小值.【沛析】依题意可得2 s n +r?=2 7 m,+n,根据册=S i,7 2=1,Sn Sn-i,，作差即可得到。九 一Q n-1 =1,从 1而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出他，即可得到%的通项公式与前n项和，再根据二次函数，的性质计算可得.彳【小问1详解】解：因为+=2 a +1,即 2 S +4=2 n a”+r i ，；当九 2 时，2 S r 1+（九一1）2 =2 （n一l）a
18、n-i +-1），一得，2 S n +疗-2 Sn_ i （7 1 I 1 =2?z zn+Ti-2（n 1）。几-1 （九一1）/即 2。门+2 n 一1 2nc in2（7 1 l）an_ i 4 1,即 2（九一l）an 2（r i l）an_ i=2（n 1），所 以%Qn_ i =1,2 且 n e N*,;所以 a“是以1 为公差的等差数列./【小问2 详解】解：由（1）可得=+3,。7=+6,。9=。1+8,；又。4,。7,。9 成等比数列，所 以 谄=。“。9，；即（Qi +6）2 =（S +3）（5 +8）,解得 的 =1 2,所以册=汴一1 3,所以Sn=-1 2 八+也/
19、=夕2 号 n =等）2 一 等,所以，当n=1 2 或n =1 3 时（&）1 nt n=-7 8.1 8.在四棱锥 P -A B C D 中，P D _ L 底面 ABCD,C D 1/A B、A D=DC =C B=LA B =2,D P=V3.(1)证明：B OL PA；(2)求 PO与平面PA B 所成的角的正弦值.【答案】。）证 明 见 解 析;（2【解析】作 OEL4 3于E,于尸，利 用 勾 股 定 理 证 明 根据线面垂直的性质可得P D _ L B O,从而可得80,平面P A D,再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点。为原点建立空间直角坐标系,利用向量法即可得出答案.
20、【小问1 详解】证明：在四边形A B C D中，作。E _ L A B 于E,C F JL A B 于尸，因为C D 43,力。=。=怎=1,43 =2,所以四边形4 88为等腰梯形，所以A E =B F=g，故。=乎,加=序 短 守=同,所以4 DU 3 加=力 严,所以A D _ L 3。,因为P D _ L 平面 A BC D,RDu 平面 4 B C D,所以 P D _ L B D,又P D A A D=。,所以B D 平面P A D,又因P A U 平面 P A D,所以 B D _ L P 4；【小问2 详解】如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，3。=通,则 A（1,O,O）,
21、B（O,，,O）,Is P（0,0,V3）,则 存=（-1,0,通）,加=（0,）,加=（0,0,代），设平面P4 B 的法向量和=（x,y,z）,1第 7 页 共 1 2 页则 有 产.竺=一 吃 瓜；，可取布=(如,1,1)，则 cos伍，9=等竺I=咨 所 以 P D 与平面;n-BP=-V3y+V3z=0、nDP 5PAR所成角的正弦值为理.5i 9.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分,负方得0分，没有平局.三济项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获
22、得冠军的概率；(2)用X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望.5().设抛物线C:y2=2px(p 0)的焦点为尸，点D(p,0),过户的直线交。于N 两点.当直线MD垂直于；r 轴时，同=3._ 7【例析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为4 B C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，：利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；(2)依题可知，X 的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布歹,即可求出期望.【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A B,。，所以甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC
23、)+P(ABC)-0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.8 4-0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.【小问2 详解】依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,所以，p(X =0)=0.5 x 0.4 x 0.8=0.16,P(X=10)=0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2=0.44,P(X=20)=0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2+0.5 x 0.6 x 0.2=0.34,P(X=30)=0.5 xO.6
24、 x0.2=0.06.即X 的分布列为期望 E(X)=0X0.16+10 x 0.44+20 x 0.34+30 x 0.06=13.X0102030P0.160.440.340.06第 8 页 共 12页 求。的方程；(2)设直线MO,NO与。的另一个交点分别为力，B,记直线MN,为6 的倾斜角分别为a,.当。一0 取得最大值时，求直线力B 的方程.F A fr /-1 O A T-f i x ,：E1.答.案.】1：)麻后.：4.g.(2MB：x=V2?/+、！.,.,.(),独仇=-4,y 4劣由 斜 率 公 式 可 得=贲窗二际4,4 4加一 34遗 遗 筑+仇1 T直线皿。：7=土2
25、Vi V+2,代入抛物线方程可得y2-4(-2)Vig _ 8=0,A 0,沙妫=一8,所以例=2仇，同理可得小=2幼,44_所以比18=训+纨 2(功+仪)2又 因 为 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为 a,所以镰B=tan=kwiN _ tana若要使a 6 最大，则0G2(0,夕)2tana tan0k11 W设 kM N=2kA B=2fc0,则 tan(a 6)1+tanatan/S 1+2fc2 工+2kk当且仅当%=2k即 仁 察 时，等号成立，K 乙所以当a 最大时，如3=,设直线4 3:力=，/+九,代入抛物线方程可得y2-4 n =0,0,y3y4 =-4n=4nly2=
26、-1 6，所以九二4，所以直线AB:x=V2y+4.2 1.已知函数/(力)=lnx4-x a.(1)若 八*)0,求 Q的取值范围；(2)证明：若/(c)有两个零点g,如 则环gc2 V 1.【解析】第 9 页 共 12页（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；利用分析法,转化要证明条件为与-xe-2 nx 一方行一5）0,再利用导数即可得证.【小问1 详解】/（c）的定义域为（0,+8）,小）=-力-1 1 =和-%+（1 七）=？（号+1）令/（%）=0,得 3 =1当 2 e（0,1）/3）0,/3）单调递增 f（x）y（l）=e+1 -a,若 f（力 0,则 e+1 a 0,即
27、a&e+1所以Q的取值范围为（8,e+1 【小问2 详解】由题知,/（乃一个零点小于1,一个零点大于1不妨设gVl V 6 2要证立巡2 VL即证的因 为 如 上（0,1）,即证人0）/（）因为/（）=/（曲），即证/（g）/（七）即 证 c e 一 21 l n6一 力!）0下面证明力 1 时，x e 0,l na;/（力*）1,则g 3）=（5 一 方）e -6 +火上（一十）=5（1 一 !,”一 3（1 一=（1 ）（-.e =，二（V-x x f x x f设。=*3 1），0（。）=（十 一 十）e“=与 泠 e”0所以 0（力）0（1）=,而 0,所以43）0所以g Q）在（L+
28、8）单调递增即 g x 5(1)=0,所以4 xe 0令 hx)=nx-!)，力1 =!2x x2 12x2 3-1)2 0所以九Q）在（1,+8）单调递减即 h（x）V 八 =0,所以 Inr c ），所以1 2V 1.【点睛】关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法,构造函数证明不等式“G=l n0 这个函数经常出现，需要掌握第 1 0页 共 1 2页三j虚滂遗；痴 方 芬.着 蓍 逊 瞽 碗 I熊 遹 词 i 连 二 版 海 茹巢董祕湎屐而秘懒二窗彳芬1；选修4-4：坐标系与参数方程L=2+122.在 直 角 坐 标 系，Oy中，曲 线 G 的 参 数 方 程 为 -6 (为
29、 参 数)，曲 线。的参数方程为住=2旦 2p c os。一 p s i n。=0,即 G 的普通方程为 2r c g =0.联立g =6L,3 0),解得：卜=+或 产=即交点坐标为(J,1),(1,2)：联立?=一 6。；2(八0),解得：卜=_/或?=一；,即交点坐标为(一4 一1),(-1,-2).2 x-y =0 y =T g=-2 2，选修4 5：不等式选讲2 3.已知a,b,c 均为正数，且 3./【解析】!(1)根据&2+/+4。2=U2+标+(2C)2,利用柯西不等式即可得证;；(2)由(1)结合已知可得0 V a+4c,再根据权方和不等式即可得证./【小问1详解】;证明：由柯西不等式有 成+/+(2C)2(12+l2+l2)(a+6 +2c产，；所以 Q+b+2c&3,S 当且仅当a=b=2c=l时，取等号，；所以 Q+6+2C&3；:【小问2 详解】/证明：因为b=2 c,a 0,b 0,c 0,由 得 a+b+2c=a+4c&3,第 11页 共 12页；即 0 V Q+4c&3,所 以 一 ）,Q+4c 3:由权方和不等式知上+1=+芥 （1：?=*4 3,a c a 4c Q+4c Q+4c当且仅当工=年，即a=l,c =J时取等号，a 4c 2，所 以 工+工 3.a c第12页 共12页