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1、电磁场理论基础习题集(说明：加重的符号和上标有箭头的符号都表示矢量)-、填空题矢量场的散度定理为，斯托克斯定理为(2)。【矢映点】：1.2【难易度】：C【参考分】：3【答案】：(1)吟，r(2)2.矢量场2满足时，可用个标景场的梯度表示。【知识点】：1.4【难易度】：C【参考分】：L5【答案】(1)V x=0真空中静电场的基本方程的积分形式为，,微分形式为，。【知识点】：3.2【难易度】：B【参考分】：6【答案 1 dl =0 jsD o dS =X Vx E =0(4)V H 1 =p(r)【知识点】：36【难易度】：B【投分】：L 5t答案】：(l)v/=O【答案】“=+P=E+P有面 电
2、 流1的不同介质分界 面 匕 恒 定 磁 场的边界条件为，。【知识点:38【难易度】：B【参考分】：3【答案】：0 X (7力-4)=JS焦耳定律的微分形式为(1)。【知i只点】：38【难易度】：B【参#分】：L5【答案】：Q)P=J E=.E2磁 场 能 量 密 度=(1),区 域V中 的 总 磁 场 能 景 为=(2)【知 识 点】：5 .9 【难易度】：B理 想 导 体 中，时变电磁场的5 =(1 ),H-6 2)。【知识点】：61【难易度】：A【参考分】：3【答案】：(1)0m i :（i）A/JH1（2）l-Pdr（2）09.理想介质中，电磁波的传播速度由（D 决定，速度v=（2）,
3、【知识 点】：7.3【难 易 度】：B【参 考 分】：3【答案】：，f/=1 0.均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场强度利磁场强度在时间上，空间上（2）,且都与垂直.【知识 用：7.3【难易度】：B【例分】：4.5【答 案 1 同 相（2）垂 直（3）电磁波传播方向矢莆场2满足时，可用另个矢景场的旋度表示。【知识点】：1.3【难易度】：C真空中静电场的电位函数0 在无源空间满足方程,在电荷密度为P的空间满足方程【知识E：3.4【难 易 度 1 B【参考分】：3【参考分】：1 5t答案】：(l)v/=O【答案】：v V =。W=不同介质分界面上有密度为cr的面电荷时，静电场的边界条件为，
4、用电位函数表示为，(4)o【知识 点 1 3.7【难易度】：B【参考分1 6【答案】：(l)x(fi-J&)=0 (2),如=a(3)(px =(pz (4)T,2-=cr o n o n磁场强度5、磁化强度M 和磁感应强度5 满足关系【知识 点 1 5.5【难易度】：B【参考 分 1 1.5【答案】：(l)B=ju o ip+M)1 5.电场能量密度%=0),区域V中的总电场能量为=(2)。【知识点】：3.6【难易度】：B【参考分】：3【答 案1 (1)I s/f W g d T2 加21 6.介电常数为/：,电导率为y的媒质的等效介电常数=。【矢砌口：7.5【难易度】：B【参考分】：1【答
5、案】：(01 7.均匀平面电磁波的电场强度、磁场强度、坡印廷矢景之间有关系。易度】：C【例分】：1.5【答案】：S =E x l l1 8.麦克斯韦方程的微分形式为，。【知识点1 6.5【难【知识点1 63【难易度】：B【参考分】：6【答案】：Vx HcB doD+dt(2)V x EP电磁波有，（2）,等二种极化形式。【知识点】：7.4【难易度】：C【投 分】：4.5【答案】：线 极 化（2）圆 极 化（3）椭圆极化体枳t中体分布有电荷，电荷体密度为p,那么该体积内的电荷在空间点F 处产生的电场强度（尸）X 1）,产生的电位函数炉（尸）=6。【知识点】：2.6,3.3【难易度】：B【参考分】
6、：3【答案】：E（r）=-(2)(Pip)1 一，4&o上k/i+c坡印廷矢量云二。平均玻印廷矢景 二。【知识点】：6.5,7.2【难易度】：B【参考分】：3【答案】：(1)S =Ex l l (2)22.介质中静电场基本方程的积分形式为，微分形式为，(4)o【知识点】：3.2【难易度 1 B【参考分】：6【答案】：d =(2)jE dl=0(3)V 5 =p(4)V x =023.恒定电场的边界条件为【知识点】：3.8【难易度】：B【参考分】：3【答案】二 林外79=0 愀()=024.恒定电场条件下，均匀导体内部电位函数满足的方程为(D o【难易度】：B【参考分】：1.5【答案】V =0电
7、磁波在强导电介质中传播时，衰减常数a E l),相位常数6 X2),相速尸，波 长 入=。【知识点】：7.5【难易度】：B【知识点：3.8【参考分】：6【答案】：a =47(3)u =-=1W-(4)*=2.|(2)/?=V电磁波从本质阻抗为V,的媒质垂直入射进入本质阻抗为n i的媒质时，在界面处的反射系数冲，透射系数r X 2)。【知识点】：7.6【难易度】：B【参考 分1 3【答案】：27.拉普拉斯算符足个矢性算符，在直角坐标系中V=(l)【知识点】：1.2【难易度】C【参考分】：1.5【答案】：(1)=邑 人+泛+邑 圣ox d y c z欧姆定律的微分形式为。心口识点】：3.8【难易度
8、】：B【第 分】：L5【答案】：/-y E恒定磁场中，已知矢m磁位/h c os少+q,s i n x ,它们给咄的磁场5=，产生这个磁 场的电流/E 2)。【知识点】：5.2,5.3【难易度】：B【参考分】：5【答案】：(1)i?=V x y 4=7c os i +s i n 少)(2)/=1(V x f i)=l f e co s y +e s i n j c)/电场的两个基本变量之间的关系为：(1)【知识点】：3.1【难易度】：D【参考分工L 5【答案】：(1)D =eE二、问答题什么是矢量场的通电？【知识点】1.2【难易度】：B【参考分】：4【答案】：矢 景 穿 过 面 元 必(r)的
9、 通 量 定 义 为 与 必(r)的 标 量 积，即.(f)t/5(r)=4 R c os 6 ,其中波=(e,n),e为矢:U(r)方向的单位矢景，n是面元法向单位矢量,=c()s取闭合曲面S,并将各面元的决分必W相加，就表示矢量穿过闭合曲面S的通莆。“足闭合面的外法向单位矢景。矢莆场通景的值为正、负或0分别表示什么意义？【知识点】1.2 1难易度】：B【参考分14【答案】：通量少必。通量的值为正，则表示每秒有净流童流出，说明体枳内必定存在流体的“源”，通量的值为负，则表示每秒有净流景流入，说明体积内必定存在流体的“沟”，通莆的值为0则表示每秒流入流出的流景相等，即体积内“源”和“沟”的总和
10、为零或体积内既无源也无沟。什么是散度定理？它的意义是什么？【知识点】1.2【难易度】：A【参考分14【答案】：散度定理为，为 T所包围区域的表面积它的意r义是在矢量场中，矢景通过某一封闭曲面的积分，就 等 于 矢 景 的 散 度 在 这 曲面所包围的区域中的积分。什么足矢景的环流？环流的值为正、负或零分别表示什么意义？【知识点】1.3【难易度】：B【参考分】：4【答案】：矢量的环流就是在矢景场4(r)中，d(r)沿某闭合回路的线积分，即就称为矢景的环流。矢量的环流为正值表明矢量与积分方向同向(沿逆时针方向积分)，而负值则表明沿矢量与积分方向反向(回路顺时针方向积分)，足有漩涡的。为零时则表明没
11、有蜗旋的流动。什么是斯托克斯定理？它的意义足什么？【矢映点】：1.3【难易度:B 位移矢量乃、极化强度P 和电场强度左满足关系（1）。【参考分】：4【答案】：斯托克斯定理 i r f/=j x 必，它的意义楚矢量场3 的旋度V x W 在 曲 面 S 上的面积分等于矢量场3 在限定曲面的闭合曲线C 上的线积分。点电荷的严格定义是什么？【知识点】：2.1【难易度】：B【参考分】：4【答案】：点电荷是电荷分布的种极限情况，可将其视为个体积很小而电荷密度极大的带电小球极限。当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时.，带电体的形状及无中的电荷分布已无关紧要，就可以将带电体所带电荷看成是集中在带电体的
12、中心上.，即将带电体抽象为个几何模型，称为点电荷。点电荷电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？【知识点】：2.4【难易度】：A【答 案】：答：点 电 荷 电 场 强 度 满 足 库 仑 定 律，与 距 离 的 平 方 成 反 比。4 飞 R电偶极子电场强度E eg=e0,与距离的二次方成反比【参考分】：巳2 n e（）r4似。尸简述E=0所表征的静电场特性。【知识点】：3.2【难易度】：B【参考分1 4【答案】：式表明空间任意点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。二式表明静电场是无旋场。简述V i B =V X B =,1/所表征的静磁场特性。【矢
13、 映 点】：5.2【难易度】：B【参#分】：4【答案】：式表明磁感应强度B的散度恒为0,即磁场是个无通莆源的矢景场。二 式表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。极化强度是如何定义的？极化电荷密度与极化强度有什么关系？【难易度】：A【参考分】：3【答案】：单位体积内电偶极距的矢景和称为极化强度，表示为嘶 砥：3.6极化电荷体密度印=o极化电荷面密什么是时变电磁场？知识点:6.1【难易度】：C【参考分】：4【答案】：当电流、电荷随时间变化时，产生的电场和磁场也会随时间变化，时变的电场要在空间产生磁场，时变的磁场也要在空间产生电场，电场和磁场构成了统电磁场的两个不可分割的部分，称之为
14、时变电磁场。写出微分形式的麦克斯韦方程组，并简要阐述其物理意义。【矢 映点】：6.3【难易度】：A【参考 分1 5【答案】：微分形式及物理意义：城ILJ+一：时变磁场不仅由传导电流产生，也由位移电流产生。位移电流代表dt电位移的变化率，因此该式揭示的是时变电场产生时变磁场。V x =：时变磁场产生时变电场。dt B=0 ：磁通永远楚连续的，磁场是无散度场。(4)D =p ：空间任意点若存在正电荷体密度，则该点发出电位移线；若存在负电荷体密度，则电位移线汇聚于该点。写出积分形式的麦克斯韦方程组，并简要阐述其物理意义。【知识点】：6.3【难易度】：A【参考分】：5【答案】：+磁场强度沿任意闭合曲线
15、的环最，等于穿过以该闭合曲线为积分形式及 枇J物理意义：周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和电场强度沿任意闭合曲线的环章：，等于穿过以该闭合曲线为周界L J,dt的任曲面的磁通章变化率的负值。B d S=O：穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通最恒等于0。jp-dS =q：穿过任意闭合曲面的电位移的通景等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和。什么是电磁场的边界条件？请说出时变电磁场在理想导体表面的边界条件。【知识点】：6.4【难易度】：A【参考分】：5【答案】：把电磁场矢量E,D,B,I I 在不同媒质分界面上各自满足的关系称为电磁场的边界条件。当分界面是理想介质和理想导体分界面时，边界条件为：f
16、H o之 A电位是如何定义的？E V 中的负号的意义是什么？【知识点切3.3【难易度】：B【参考分】：5(xP,y p,z,)【答案】：炉(,4=E-dl,因为电位的梯度是电场中电位增大最快的方向上的 x,y,z)变化率，而电场是由高电位指向低电位，二者方向相反，所以要加负号。电容是如何定义的嘴写出计算电容的幕本步骤。【难易度】：A【参考分】：5【答案】：电容：任导体上的总电荷量与两导体之间的电位差之比，即 C =【知识点】：3.5基本步骤：根据导体的几何形状，选取合通的坐标系；假定两导体上分别带电量+分和 根 据 假 定 的 电 荷 求E;由沿求的电位差；求出比值C =f什么是矢量磁位板简述
17、在恒定磁场下引入3的优点。【知识点】:5.3【难易度】：A【参考分】：5【答案】：利用磁场的无散度特性，用矢景的旋度V x J来计算磁感应强度B,A就是矢量磁位；并令=0阵伦规范）。引入4使B的计算更加简便.什么是标量磁位?曾述在恒定磁场下引入小的优点。【知识点】:5.7【难易度】：A【参考分】：5【答案】：在无自由电流的空间H是无旋的，V x H =0,因而H可用个标量函数的负梯度表示，即H =-V 1实际中标莆磁位主要用来分析磁介质的磁化问题，磁介质中可得到磁位的泊松方程和拉普拉斯方程，可以看出，无电流区域的磁场边界M题和无自由电荷区域的静电场边值问题完全相似，引入可使分析磁介质的磁化问题
18、更加方便。写出B,H表示的计算磁场能量的公式【矢 I联点】：5.9【难易度】：B【参考分14熠 疑：W,=-dT=-XdT=-BHdT 2 J r/2 2在保持磁链不变的条件下，如何计算磁场力？在保持电流不变的条件下，如何计算磁场力？二者计算的结果有无异同？【知 识 点 I 5.9【难易度】：A【参考分】：4【答案】：保持磁敏不变F=保持电流不变F=二者虽然公式不同，但计算结果是相同的。什么是静态场的边值问题？【知识点I 3.4【难易度】：C【参考分】：2【答案】：静电场的边值问题足在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。用文字叙述第类、第二类及第二类静态场的边值问题。【知识点】3.5【
19、难易度】：A【参考分】：5【答案】：第类边值问题是整个边界上的电位函数均已知；第二类边值问题是已知整个边界上的电位法向导数；第二类是部分边界上电位已知，而另部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。什么是静像法？其理论依据是什么？【知识点1 4.2【难易度】：C【参考分】：4【答案】：将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线 电 荷（在场区域外的某位置处）替代并保证边界条件不变。原电荷与等效点电荷（统称为像电荷）的场即所求解.理论依据就是唯性定理。什么是分离变量法？【难易度】：B【参考分】：4【知识点】：4.1【答案】：根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平
20、面边界，则选直角坐标系；一柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标系。以便以简单的形式表达边界条件。将电位函数表 示成二个维函数的乘积，通过分离变景将拉普拉斯方程变为二个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足边界条件的特解。什么是坡印廷定理？匕的物理意义足什么？【知 识：6.5【难易度】：A【参考分】：5【答案】：=，+；）+:蛆坡印廷定理数学的表示式。物理意义是:穿过闭合面S进入体积内的功率等于体积V内每秒电场能莆和磁场能电的增量及体积V内变为焦耳热的功率。时谐电磁场的复矢景是如何定义的?t：与瞬时场矢量之间是什么关系？【知识点】：7.1【难易度】：A【参考 分1 421【答案】：时谐电磁场的复
21、矢量定义为 笄?人(f)，e,Fyr VM+e 2Fj?y*与瞬口寸场矢量之间的关系为P(F,t)=Re 下j r y j5 7.时谐场的平均坡印廷矢南楚如何定义的?i n 何由复矢景计算平均坡印廷矢量？【知识点】：7.2【难易度】：C【参考分】：5【答案】：玻印廷矢量在个周期内的平均值定义为平均坡印廷矢量=-jS dt,由复矢景平均坡印廷矢景的计算式为=-Re x”r。25 8.试写出复数形式的麦克斯韦方程组.它与瞬时形式的麦克斯韦方程组有何区别？【知识点】：7.1【难易度】：A【参考 分 1 5【答案7：Vx ff=J+j f o D Vx E =-j co B 云R V-D =p a数形
22、式的麦克斯韦方程组没有时间因子，所以方程变景就减少了.5 9.什么是均匀平面波？平面波与均匀平面波有何区别？【知识点】：7.3【难 易 度 1 C【参考分】：5【答案】：所谓均匀平面波，是指场矢量(电场E 和磁场I D 只沿着传播方向变化.在电，H的方向匕振幅和相位保持不变的波。【参考分】：2 2与波传播方向垂直的无限大平面内，均匀平面波的E,H 方向上，振幅与相位保持不变,而平面波只是相位保持不变。波数是怎样定义的沱与波长有什么关系？【矢瞅点】：7.3【难易度】：C【参考分】：5【答案】：包含在2;r 空间距离内的波长数称为波数=2,冗中A 为波长.A什么足媒介的本征阻抗？自由空间中本征阻抗
23、的值是多少？【知识点】：7.3【难易度】：B【参考分】：5【答案】：电场的振幅与磁场的振幅之比，具有阻抗的量纲故称为波阻抗通常用/7 表示,由于v 的值与媒质有关，因此有称为媒质的本征阻抗。自由空间中本征阻抗值1 2 0*2 o23电磁波的相速是如何定义的?A由空间中相速的值是多少？【知识点】:7.3【难易度】：C【参考分】：4自由【答案】：电磁波的等相位面在空间中的移动速度，称为相位速度，简称相速。间 空中相速足3 x K W.96 3.在理想介质中，均匀平面波的相速是否与频率有关？【知决点】：7.3【难易度】：C【的 分】：4【答案】：在理想介质中，均匀平面波的相速与频率无关，但与媒质参数
24、有关，V:6 4.在理想介质中，均匀平面波有哪些特点？【知识点】：7.3【难易度】：A【参考分】：5【答案】：答：在理想介质中，均匀平面波的传播的特点可归纳为：2462.100电场E和磁场H与 传 播 方 向 之 间 相 互 垂 直，是 何 波。25电场与磁场的振幅不变。7波阻抗是实数，电场与磁场同相位。8电磁波的相速与频率无关。电场能量密度等于磁场能量。在导电媒介中，均匀平面波的相速是否与频率有关【知识点1 7.5【难易度】：B【参考分】：4【答案】：在导电媒质中，均匀平面波的相速与频率有关，在同种导电媒质中，不同频率的电磁波的相速是不同的。良导体中趋肤深度是如何定义的？他与衰减常数有何关系
25、？【知识点】：7.6【难易度】：B【参考分】：4【答案】：趋肤深度定义为电磁波场景的幅值衰减为表面值的！所经过的距离，记为e力之程上常用趋肤深度来表征电磁波的趋肤程度，趋肤深度与衰减常数成反比。266 7.亥姆霍兹定理的内容足什么？【矢 瞅 点】：1.5【难易度】：C【参考分】：4【答案】：一个矢量场所具有的性质，可完全山它的散度和旋度来表明；一个标量场的性质则完全可由它的梯度米表明。两个相互垂直的线极化波叠加，在什么条件下是直线极化波？【矢映点】：7.4【难易度】：A【参 分】：5【答案】：设两个相互垂直的线极化波分别为：JX =E*”c o s(c o t-k z-i/i)E y =E c
26、 o s (c o t-k z-t/取特定点z =G 简化分析一2)=力或 /,里卜1 8 0”时，电场的水平分景与垂直分m 相位相同或相差1 8 0”,这种情况下二者叠加形成线极化波。两个相互垂直的线极化波叠加，在什么条件F 是圆极化波?【知识点】：7.4【难易度】：A【翱分】：5【答案】：答：设两个相互垂直的线极化波分别为：Ey=E v c o s G t-i f2)当/?0 两分量的振幅相等但相位差 9 0 ,这种情况下形成圆极化波。7 0.两个相互垂直的线极化波叠加，在什么条件下形成椭圆极化波？【知识点】：7.4【难易度】：A【参 物1 ：5【答案】：设两个相互垂直的线极化波分别为：K
27、 J v T C 的当 即 两 分 莆 的 振 幅 和 相 位 均 任 意 时 为 椭 圆 极 化。什么是波的极化？什么是线极化？【矢7.4【难易度】：B【答案】：电磁波的极化表征在空间给定点上电场强度矢景的取向随时间变化的特性。一般沿Z方向传播的电磁波，其电场可分解为X 和 y 方向的两个分景。而两量合成后*N：4的合成电场的大小虽然随时间变化，但其矢端轨迹始终与X轴保持夹角为常数，这样的波成为直线极化波。什么是线极化波？【知 识 点 I 7.4【难易度】：B【参考分】：4【答案】：般沿z 方向传播的电磁波，其电场可分解为x 和 y 方向的两个分量。而两景合成后的合成电场的大小虽然随口寸间变
28、化，但充矢端轨迹始终与x轴保持夹角为常数，这样的波成为直线极化波。什么是圆极化波？【知识点】：7.4【难易度】：B【参考分】：4【答案】：般沿z 方向传播的电磁波，其电场可分解为x 和 y 方向的两个分莆。而两量合成后的合成电场的大小不随时间变化，但方向却随时间改变。合成电场的矢端在 个圆上并以角速度 旋转，称为圆极化波。什么是椭一极化波？【矢 映 点】：7.4【难易度】：B【参考分】：42980.【答案】：般沿z方向传播的电磁波，其电场可分解为x和 y方向的两个分量，而当两分i 的振幅和相位均任意时，合成电场矢端在椭圆上旋转，视为为椭圆极化波。什么是群速？它与相速有何区别？【知识点I 7.5
29、【难易度】：B【参考分】：4【答案】：、群速是包络上任恒定相位点的推进速度。相速足波的等相位面移动的速度，而群速才是电磁波传播的速度。什么是波的色散?【知识点】：7.5【难易度】：C【参考分】：4【答案】：电磁波的传播速度（相位）随频率改变的现象称为波的色散;矢瞅点:7.5【难易度】：C【参考分】：4【答案】：相速随频率的升高而减小的现象，即群速小于相速。这种情况称为正常色散;30何为反常色散？【知识点1 7 5【难易度】：C【参考分】：4【答案】：相速随频率的升高而增加的现象，即群速大于相速。这种情况称为反常色散；请叙述法拉第电磁感应定律。【知识点】：6.1【难易度】：A【参考分】：5【答案
30、】：当穿过导体回路的磁通发生变化时，回路中就会出现感应电流，这表明回路中感应了电动势，且感应电动势的大小等于磁通的时间变化率“=-&。dt什么是互感？什么是自感？【知识点】：5.8【难易度】：B【参 物】：4【答案I 当磁场由自身回路的电流产生，则穿过回路磁链与自身电流之比称为自感系数,简称自感。L =5如果有两个回路，而第二回路电流/,产生的磁场与第路交链的磁链为y z,其比值 称为互感系数帆才。318 0.什么是时谐场？【知识点】：7.1【难易度】：C【参诩：4【答案】：随时间按照正弦规律变化的电磁场就足时谐场。如果4 忍=4.是否意味着忍=C?为什么？【矢瞅点】：1.1【难易度】：B【参
31、考分】：432【答案】：并不意味着B=因为在空间中=保持没不变，以 5 为母线旋转所得锥面上的所有向量与点乘结果都相等，故原命题不成立。如果j x/?=j x C 足否意味着5 =C?为什么？【知识点】：1.1【难易度】C【参考分】：4【答案】：原命题不正确.假设在空间中J 和 5 的夹角为 9,则|“5|=3 如 I，方向满足右手螺旋定则 x Q .而如果J和 C的夹角为;r 一 则 同 样 卜 娟=A C s inO,再如果2C,贝I J&C j x i B,y 所以原命题不正确.均匀平面电磁波的电场强度的瞬时值(z,t)=e*E,a c o s (c o t -fe)+e,E”s i n
32、 一-k z)该波向什么方向传播？在任等相面上，电场是按照什么时针方向旋转？该波是左旋波还是右旋波？【知识点】：7.3,7.4【难易度】：C【参考分】：4【答案】：根据电场的表达式，在向也方向传播的过程中，相位是滞后的，所以该波向也方向传播。在任等相面上，电场是按照逆时针方向旋转。结合电磁波传播的方向，该波是右旋波。三、计算题半径为a 的带电导体球，芳电位为U （无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位和电场强度。（球坐标下的拉氏运算为:1 d V +L in(f J+1r、dr)F s in 汐 V!Udo),i，八 dAr s in2 W)/r【知识点】：3.4,3.3【难易度】：B【参考
33、分】：10【答案】：解：球外空间的电位满足拉氏方程=0由题意可知电位及电场具有球对称性=所以，球坐标下的拉氏运算为：冬（V 字）r dry dr）直接积分外）=-立.（：2r由电位满足的边界条件（NjWH =0 ICFOr,=aU因 此=rE (r)=-V (p=-er 今or r34如阁所示，同轴线内外导体半径分别为 c b,填充的介质,如，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U,求漏电介质内的 和单位长度的漏电电导。(圆柱坐标系的拉普拉斯运算为：乌)r dr y dr )r d(p J dzU%【知识点】：3.3,3.5,3.8【难易度】：B【参考分】：15【答案】：解：设同轴线内外导体是理
34、想导体，则导体内6 =0,导体表面是等位面，于是漏电介质中的电位X是径向r 的函数，拉普拉斯方程为柱坐标系中对 求拉氏运算。d(p r-1-dr.r drJt 通解 p=Anr+B边界条件为Mr：U导电媒质中的电场强度 g=字 U35电流密度单位长度上的漏电流/n 1 2 y lT bI n 一单位长度上的漏电导 I n yu个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为和/2 外加电压U,求 介 质 分 界 面上的自由电荷密度。7幽I I I H幽M【知识点】：3.7,3.8【难易度】：A【参考分】：1 5【答案】：解：设电容器极板为理想导体，故极板是等位面，电流沿z 方向 山边界条件E,相应的电
35、场 7 7/广 一=一7 i r236自+4九 Y,*)外加电压U 等于U =U 1+U 2=E d+后d得.一；*、：2 于是 Z),4,包=&e,Y Yi由 边 界 条 件=c r上极板的自由电荷面密度q *二-Y 下极板的自由电荷面密度或=7 介质分界面上的自由电荷=/)D,。Y)+/id2j如阁示部分填充介质的同轴线，半径分别为层)的同轴线，外加电压u。B I 柱电极间在阁示 A 角部分填充介电常数为6 的介质，丸余部分为空气，求介质与空气中单位长度内的电场能：(圆柱坐标系的拉普拉斯运算为：*|：|：卜D【知识点】：3.3,3 4,3.6【难易度】：A【参考分】：20【答案】：解：问题
36、具有轴对称性，选用柱坐标系,在柱坐标系下待求函数炉I 二 炉 I(r),(P2(Pi(r)d(dtp、一 r 一dr dr,于是电位炉，满足的拉普拉斯方程为：r a r df)其通解为炉，刃历L Z 同理炉2 +D无中系数A、B、C、D可由边界条件确定炉|U=。人边界条件虬=0U-Ana+B0/4 In/+5=u=LTna 黄 0=Clnft+DA C ln-In-Unb 方 一 一于是得炉i=(P2=r InIna由此可知 I =E2=-Vp=er ya2于是介质中的能量密度为：=-nsEf=fInJ单位长度的能景 rd rd ipU(1)use,丁 6Ina38空气中的能景密度为:U7Ty
37、In单位长度的能景%2=e,Erdrdcp=-3-1In一89.在z0的下半空间是介电常数为f的介质,上半空间为空气(h),距离介质平面A处有个点电荷 如果用镜像电荷法求空间的场,请求;1 1满足条件的镜像电荷的位置和电景值。【知识点】:4.2【难易度】：A【参考分】：20解：考虑上半空间的场时，在点电荷卜一方,对称的地方放置/点电荷1L,12|_ l x4；是)4庇。采用球坐标系，取原点为球心。点，z轴与6)6重 合，则 球 外 任 意 点 处 有R =(r2+df-2 r dx c o s 0R z=(r2+d 一2rd2 c o s带回上面的表达式可得:(PL+=_?L1 ：n (r2+
38、d x-Ir d x c o s S*f dy(1 +d l -l r d2 c o s 6 y9 1.半径为a的无限长直导体通有电流I,计算导体内外的基本场变量好(r)【知况点】：5 242【知识点】：52【难易度】：B【参 翔】：1 5【答案】：解：很显然，场变量与坐标无关，磁力线是圆心在导线轴上的簇同心圆。由幕本方程 1 1 d/=/回路c 所包围电流的代数和。设电流均匀分布于导体横截面在时，H d/=|U-rd（p =27TfH一一二Jc Jc n a得7r o 所以在时，H d/=f l Kr d =/得.=士所以 夕 卜）成 义=e L7T T 27T T两 个 半 径 为 的 圆
39、 柱 相 交，圆 心 距 离 为 C,下阁是相交的截面，不重叠的地方通有大小相等，方向相反的电流，求证：重叠区域内的磁场是均匀的。【难易度】：B【参考分】：15【答案】：44证明：将圆柱放入柱坐标系，轴向与Z 轴重合，应用叠加原理每个圆柱单独存在时，柱内的磁场强度为：由基本方程 1 1 4/=;7,得：圆柱内n f a 切 1 m1 I J J J1=衫凡 1=2*1 -*|=y.1 A X er=Xr,2=e 九 2=-7 小门重叠区域的场叠加后可得：H=H,+H2=e,x (r-r2)-ex c -eyc 证明完毕。铁质的无限长圆管中通过电流I,管的内外半径分别为a 和 b。己知铁的磁导率
40、为/,求管壁中和管内外空气中的B,并计算铁中的Af 和人等。【知识点】：52【知识点】：5.2,5.5【难易度】：A【参考分】：20【答案】：解：如阁建立坐标系，设电流沿2方向，则场分布是轴对称的，只有p 分童。利用基本方程的积分形式，有arblt&=h2,2(b)JHrdl=H W =Ihr(X Hx(c)1 品 d l =H -2n r =0 0r282;=X（忐）泼因为磁场能量W.-1 7/机 2自感：l=2%=1 n-7 2打a无限长同轴线，内导体半径为a,外导体内半径为b,外导体的外半径为c,线上通有大小为J的电流，求内导体和外导体单位长度内的磁场能景和电感。【知识点】：5.2,5.
41、8,5.9【难易度】：A【参考分】：2 0【答案】：解：由 好.加/得：ITTTn a ITTT4I j r r d r=v2I n aC2，1 c-b=-，/%=-”（一），纪彳 Jo 11 m m）1 6/rWr a 3=*H*r d r =fj-c4.c _ d必nb4（茨-甘），-L|2=W“+W m L,内自感：L,，r外套管壁内的电感：n +4海水的电导率为/=4S/a w,相对介电常数为&=8 1 ,求频率为1 MH z时，位移电流与传导电流的比值。【知识点】：6.2【难易度】：B.c S c2-b4（d/）51【参考分】：1 0【答案】：解：设电场随时间作正弦变化，表示为=G
42、E m i；/则位移电流密度为人=-=e*co s（E sin co to t其 幅 值 为/如 区=4.5 x 1 O,传导电流的幅值为（七=4EK故 _ =it&x n）cm在两导体平板（,=0 和左d）之间的空气中传播的电磁波，已知其电场强度为E =erEQs m；co s/co t YWy 式中,是常数，试求：（1）磁场强度好；两导体表面上的面电流密度人。【矢映E ：6.3【难易度】：A【参考分】：20乃#/【答案】：解：（1）取如阁所示的坐标。由ct52即.；E o co a 一 z co s(y r 一 二 v)+ezkxE o sin 一 z sin y/-j c)=%co s(
43、ft J r -kxx)+%sin -z s inC -kxx)dt =、EexOsin fu l -A j c)+e,E dr=-I n-+y2 i b -/i l n-2 r/,a 27rry 2 b 21rr/4 I _ 2nry j2 UA I n-4-I n-ab极细的圆铁杆和很薄的圆铁盘放在磁场札中，使它们的轴与圮平行，请求出两样品内的B 和。如已知化=1 7 /y=5 0 0 0/y 0,请求出两样品内的A/。【知识点】:5.6【难易度】：A【参考分】：1 0【答案】：解：铁杆好。=么由边界条件所以铁杆中汉=么=_ 1,W 5 =/*=/=5 0 0 0 M o所以铁杆中的M =
44、1（5-丑）=，0 fJQ Bo圆铁盘中由边界条件5 川=啕济所以=_ L f 上 B 4T o 9/圆 铁 盘 中 B=化=1,H=60所以圆铁盘中M -(B-ji)=Bo-/o J=-1 A o /f 4 9 9 9A o V A o V 0 5 0 0 0 A,求(1)矢量3 =g：c 2+g C)2+匕2 4祀2/的散度；求V.j对中心在原点的一个单位立方体的枳分；(3)求4对此立方体表面的积分，验证散度定理。【知识点】：1.2【难易度】：B【参考分】：10【答案】：肪.，dx d x y)d(24x y z)2-2,2 解：()/R.A =exx +e/+沿砂平面上的个边长为2的正方
45、形回路的线积分，此正方61形的两边分别与;C 轴和轴相重合。再求vx j 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。【知识点】：1.3【难易度】：B【参考分】：10【答案】：加-、&2y z t&2xs )X 耳 各I1 2所以 (x J)必 匚 (ex 2y z +e.2x)edx dy -8 故有+U/=(V x/1)必106.利用直角坐标，证明(/4)=_/V d +V/【知识 点 I L L L 2,L 4【难易度】：B【参考分】：1 0【答案】：证明：在直角坐标中A+A f-f+V -f-Ax+A-X-I S x dy dz )8x dy dz)62,-d A x df、.df、，
46、tdA,.df、o x o x dy dy dz dz去(/o+l;(/j,)+(a)=M/4107.电荷按体密度/7(/0=/7 o (1-/)分布于半径为a 的球形区域内，i算球内外的电位移矢莆(电通密度)。【知识点】：3.2【难易度】：B【参考分】:10【答案】：解：电场具有球对称性，浩 ra jD gdS=Q/,4 g4 K=l p(r*2d r =4 o JJ r d r =n p a 于是力。2-P)一1 5 r r (o riinO66球内的电荷体密度为J -R v =e,*)3E2 二-JI razodr az,_l_ _CJ_-女口 o C w2-、(/*2+CS-、而半径为
47、怒。的圆内的电荷产生在z轴上 Zo处的电场强度为卞/_ 在。1 1 4.两平行无限长直线电流/，和/方 相 距 为 求 每 根 导 线 单 位 长 度 受 到 的 安 培 力/【知识点】：2.7【难易度1 A【参考分】：1 0解：无限长直线电流/,产生的磁场为 2nr直线电流力每单位长度受到的安培力为2 =J V:X 5 I d z =-8式 中 是 由 电 流/，指向电流/2的单位矢量。同理可得，直线电流&每单位长度受到的安培力为R-Fi en2nd1 1 5.68【的：证明在不均匀的电场中，某电偶极子P绕坐标原点所受到的力矩为r x (/?)+/?x 五。【矢瞅点】：2.4【难易度】：A【
48、参考分】：15【答案】：证明：如下阁所示，4则电偶极子/7绕坐标原点所受到的力矩为69T=r2xqE2)-x AqEr d/,d/,di d/、(r+-)xqE(r+-)-(1-)xqE(i-)=qrxE(r+)E(i )+dlxE(r+-)+E(r)当 d/l 时，有 E(r+)E(r)Hy)E(r)E(r)-E(r)-CV)Elr)故得到 五(r)+d/x*(r)=/*x(/V)+pxE电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为K/m：,两圆柱面半径分别为 和 轴线相距为+卜4,如阁(a)所示。求空间各部分的电场。【知识点】：3.2【难易度】：A【参考分】：2 0【答案】：国11670解：
49、由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能葭接用高斯定律求解。但可把半径为的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为土P。的两种电荷分布这样在半径为A的整个圆柱体内具有体密度为的均匀电荷分布，而在半径为的整个圆柱体内则具有体密度为-停的均匀电荷分布，如卜阁所示。空间任点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。F X V+X 1在/*6区域中，由高斯定律 五必=厂1可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点p 产SQE.c V 0 _ Pph E,c,二几O生的电场分别为：Tl r ko 7*2 Vp,b2r a rf点*处总的电场为“一、在 且 区 域 中，同 理 可 求 得 大、小 圆 柱 中 的 正、负 电
50、 荷 在 点 P产生的电场分别(1)p r C ,-71.a 2p pa 2 re2mor 2so 2m;(/26*orE=Ez+E=二 一 (r、点 P处总的电场为在 f f l 的空腔区域中，大小圆柱中的iE 负电荷在点P产生的电场分别为八1=私 分 0=直 2ntqT 2GQ!2 o/2to711 1 7.半径为的球中充满密度的体电荷，己知电位移分布为J t中3为常数，试求电荷密度【知识点】：3.2【难易度】：A【参考分】：10【答案】：解：由 /=/?,有 p =/)r dr让一故 在 区 域P(r)-o-TT 2(Z +偌)=(5+0r dr,、1 d r2(a3-h/a4)iAp(