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1、 第 4 章 传输线理论基础 凡是能够传输电磁能量和信号的线路都称为传输线。传输线的作用是将能量和信号从一个点传输到另一个点，特别是从电源传输到负载。例如，常见的例子包括通信发射机和天线之间的连接，网络中计算机之间的连接，有线电视服务供应商与电视机之间的连接；不太常见的例子包括发射机或接收机内部组件之间的连接，射频电路板上电子元件之间的互连等。所有这些例子都有一个共同点，那就是待连接的设备被以波长或更大的尺度距离隔开。而在经典低频或直流（集总参数）电路中，信号波长很大，因此元件之间的连接线长度是可忽略的。在射频（分布参数）电路中，传输线上的信号频率很高，电路的尺度变得很大，时延效应明显，延迟诱
2、导的相位差不能忽略。事实上，研究射频传输线上点对点能量传输的问题本质上就是要研究电磁波的传播问题。这也是本章的主要研究内容。本章的学习目标是建立分布参数电路的电磁场理论体系，包括：第一，通过学习用波动方程和电报方程描述传输线上的电磁波，理解传输线是具有复杂阻抗特性的电路元件，而且阻抗是线路长度和频率的函数；第二，通过学习电磁波在线路上的基本传播特点，学会分析端接负载的传输线的工作特性。4.1 长线与短线 按照线上信号的频率（波长）与电路尺度的关系，传输线可分为长线和短线。所谓长线，就是指传输线的几何长度和线上传输的电磁波波长的比值（电尺寸）大于或接近所谓长线，就是指传输线的几何长度和线上传输的
3、电磁波波长的比值（电尺寸）大于或接近1；反之则称为短线；反之则称为短线。例如，在射频电路中，工作于300MHz的传输线的波长为 863 10 m/s=1m300 10 Hzcf 此时，电路尺度与信号波长是可比拟的，应视为长线；在电力工程中，即使长度为1000m的传输线，对频率为50Hz（波长为6000km）的交流电来说，仍远小于波长，应视为短线。然而，对于远距离电力传输，如线路长达几千km时，又应视为长线。长线和短线的区别还在于前者为分布参数电路，后者为集总参数电路长线和短线的区别还在于前者为分布参数电路，后者为集总参数电路。低频（直流）信号的波长是km量级（无限长）的，远大于电路元件和硬件系
4、统的尺寸，可视为无限小。因此认为电场能量全部集中在电容中，而磁场能量则全部集中在电感中，电阻元件是消耗电磁能量的，元件的引线是理想导体（无欧姆损耗）。这类电路中的信号仅是时间的函数，电路中的信号仅是时间的函数，电磁场与电磁波 124 在线上不同位置可视为处处相等，称为集总参数电路。在直流和低频电路中（元件均属于理想模型）采用基尔霍夫定律求解可以得到令人满意的结果在线上不同位置可视为处处相等，称为集总参数电路。在直流和低频电路中（元件均属于理想模型）采用基尔霍夫定律求解可以得到令人满意的结果。然而，随着频率的升高，电路元件的辐射损耗、导体损耗和介质损耗增加，电路元件的参数也随之变化。当电路传输的
5、信号波长与电路尺度可比拟时（一般信号频率已达微波频段），电路中存在明显的分布电容和分布电感，线上信号不仅是时间的函数，还与位置有关，这种电路称为分布参数电路电路中存在明显的分布电容和分布电感，线上信号不仅是时间的函数，还与位置有关，这种电路称为分布参数电路。例如，在图4.1-1中，某双导线上载有频率为3GHz的微波信号，在0.6m的长度上包含6个波长。在每个波长范围内，线上各点的电压、电流信号的振幅和相位都是不同的，它们既是时间的函数，又是位置的函数。此时，长线上的电容、电感和电阻的分布效应不敢忽略。要研究这类传输线的工作原理，需要介入电磁场理论，采用场路结合的分析方法分析元件的分布参数效应长
6、线上的电容、电感和电阻的分布效应不敢忽略。要研究这类传输线的工作原理，需要介入电磁场理论，采用场路结合的分析方法分析元件的分布参数效应。图 4.1-1 微波传输线上的信号 与之相对应，低频信号的波长往往与电路尺度相比为无穷大，因此，线上各点的电压、电流信号的振幅和相位都近似相同，它们仅仅是时间的函数；线上的电容、电感和电阻的分布效应忽略不计，这是短线的典型特征。注意：本章要学习的传输线指的是长线。4.2 平行板传输线 如图4.2-1所示，平行板传输线是一对长直平行板导体。作为传输线，平行板导体能够引导的电磁波是多样的，这也是微波传输线的共性。但本章只研究平行板传输线引导的横电磁波（TEM波）的
7、传输，这也是最简单的情形。图 4.2-1 平行板传输线 一般情况下，传输线可引导三种形式的波型：横电磁波、横电波和横磁波，分别简称为传输线可引导三种形式的波型：横电磁波、横电波和横磁波，分别简称为TEM波、波、TE波和波和TM波：波：TEM波的电矢量与磁矢量都与传播方向垂直；波的电矢量与磁矢量都与传播方向垂直；TE波的电场矢量与传播方向垂直，或者说传播方向上没有电矢量；波的电场矢量与传播方向垂直，或者说传播方向上没有电矢量；TM波的磁场矢量与传播方向垂直，或者说传播方向上没有磁矢量波的磁场矢量与传播方向垂直，或者说传播方向上没有磁矢量。关于TE波和TM波传输线，将在第8章进一步学习。本节首先从
8、麦克斯韦方程出发，按照场路结合的分析方法推导平行板传输线满足的电路方程，并给出电路传输参数；然后从波动方程出发求其TEM波的电磁场分布。从以上两第 4 章 传输线理论基础 125个角度可以全面透视平行板传输线TEM波的物理性质。4.2.1 平行板传输线的电报方程 如图4.2-1所示，平行板传输线的截面尺寸的宽度为w，间距为d，且wd（可忽略边缘效应），填充介质的参数为、，金属板沿z方向无限长，即能量在z方向上传输。对于TEM波，平行板传输线中的电磁场均只有一个分量，分别是Ey和Hx，它们满足方程jEH 和jHE，具体可写成 djdyxEHz（4.2-1a）djdxyHEz（4.2-1b）式中，
9、场量仅为z的函数，因此式中只出现了常微分。将式（4.2-1a）从0到d对y积分，得 00ddjddddyxEyHyz或susud()j()j()j()dU zdJz dJz wLI zzw 即 d()j()dU zLI zz （4.2-2）式中，0()ddyU zEy 为上、下两板间的电压；su()()I zJz w为总电流；而 dLw（H/m）（4.2-3）为平行板传输线单位长度的电感。同理，将式（4.2-1b）从0到w对x积分，得 00ddjddwwxyHxExz或d()j()j()j()dyyI zwEz wEz dCU zzd d()j()dI zCU zz （4.2-4）而 wCd（
10、F/m）（4.2-5）为平行板传输线单位长度的电容。式（4.2-2）和式（4.2-4）构成了相量构成了相量()U z与与()I z的传输线方程，也称为电报方程的传输线方程，也称为电报方程。对它们分别求导数后组合代换，可分别整理出关于两个独立物理量的二阶微分方程 222ddU zLCU zz （4.2-6a）222ddI zLCI zz （4.2-6b）注意：这里的电报方程是在忽略欧姆损耗的前提下得出的结论，双导体系统遵循的一般规律将在后面进行介绍。电磁场与电磁波 126 对于沿正z方向传播的波，以上两式的解为 j0ezU zU（4.2-7）j0ezI zI（4.2-8）式中，相位常数 LC （
11、4.2-9）式（4.2-9）考虑了式（4.2-3）和式（4.2-5）的结果。通过式（4.2-7）和式（4.2-8）可求出0U和0I的关系为 000U zULZI zIC（4.2-10a）利用式（4.2-3）和式（4.2-5），式（4.2-10a）变为 0ddZww（4.2-10b）即传输线的特性阻抗。其中，为平行板间介质的本征阻抗，即 （4.2-10c）可见，该平行板传输线的特性阻抗为本征阻抗的d/w倍。4.2.2 平行板传输线中的电磁场 对于时谐场，在无源电介质区域，满足齐次亥姆霍兹方程220Ek E，即 2222222(,)(,)0E x y zk E x y zxyz（4.2-11）对于
12、TEM波，0zzEH，两导体间的电场只可能有x和y两个分量，又考虑到平行板传输线在z方向上无限长，可令 j(,)(,)ezE x y ze x y（4.2-12）式中，(,)e x y为横向电场；jez是正z方向波的传播因子，为z向传播常数。在不考虑介质和导体损耗时，为实数，且等于自由空间中的传播常数k，即 k （4.2-13）鉴于式（4.2-12）的形式，有222EEz。利用式（4.2-13），式（4.2-11）可化为 2222(,)0E x y zxy（4.2-14a）式中，22222txy。显然，式（4.2-14a）可简化为 2(,)0te x y（4.2-14b）它与二维拉普拉斯方程2
13、(,)0tx y具有相同形式的解，因此可以借助求解横截面上的二维场分布来求解TEM波传输线的场结构。如图4.2-1所示，假设下板接地，上板电势为V0，两板间的电势函数及边界条件满足 第 4 章 传输线理论基础 127 20(,)0(,0)0(,)tx yxx dV（4.2-15）若忽略边缘效应，则x方向上的电场无变化，解得 0(,)/x yV y d 因此 0(,)(,)/e x yx yyVd 即 j0(,)ezVE x y zyd 故在z轴正方向上传播的TEM波的相量解可写为（令00/EVd）j0ezyEyEyE（4.2-16a）利用方程jEH，可求得与之伴随的磁场为 j0ezxEHxHx
14、 （4.2-16b）式中，为介质的本征阻抗，与式（4.2-10c）相同。考虑到介质和理想导体界面的边界条件，在y=0（下板）处，有 j0ezssyy DEE下下（4.2-17a）j0ezssxEyHJJzHz 下下（4.2-17b）在y=d（上板）处，有 j0ezssyy DEE 上上（4.2-18a）j0ezssxEyHJJzHz 上上（4.2-18b）式（4.2-16）式（4.2-18）都是随时间满足简谐（j te）变化的量，因此导体板上的面电荷和面电流沿z方向呈正弦分布，电场和磁场也一样按照正弦规律变化，如图4.2-2所示。图 4.2-2 平行板传输线上的场分布、电荷分布和电流分布 以上
15、分析表明，采用电路方法研究传输线可以比较容易得到阻抗特性等电路参数，而电磁场分析可以清晰地透视传输线横截面上的电磁场分布及纵向传输规律。因此，场路结合的分析方法在传输线研究中被普遍采用。平行板传输线的研究过程再次印证了电路与电磁场的统一性。电磁场与电磁波 128 4.3 双 导 线 4.3.1 传输线的集总电路模型 双导线是广泛应用于米波和短波频段的传输线。它与同轴线一样，也工作于TEM波，其横截面上的场分布与静态场的分布相同，因而可引进电容、电感、电导等电路参数，通常将它作为分布参数电路来分析。参看图4.3-1（a），当信号通过这类传输线时，将产生如下分布参数效应：导线因电流流过而发热，表明
16、导线具有分布电阻；导线周围有磁场，因而导线上存在分布电感；导线间存在漏电流，表明有分布电导；导线间有电压，从而形成电场，于是在导线间存在分布电容。因此，微分长度为z的一段双导线的等效电路如图4.3-1（b）所示。它可用下面四个参数来描述。（1）单位长度（两导体上）的电阻1R，/m。（2）单位长度（两导体上）的电感1L，H/m。（3）单位长度（两导体间）的电导1G，S/m。（4）单位长度（两导体间）的电容1C，F/m。其中，1R和1L为串联元件，1G和1C为并联元件。在射频频段，传输线的长度可与信号波长相比拟或更长，因此传输线又称为长线，传输线理论又称为长线理论。与低频电路不同，传输中存在波动效
17、应，必须按分布参数电路进行分析在射频频段，传输线的长度可与信号波长相比拟或更长，因此传输线又称为长线，传输线理论又称为长线理论。与低频电路不同，传输中存在波动效应，必须按分布参数电路进行分析。图 4.3-1 双导线与其微分长度的等效电路 在时谐情形下，设在z和zz 处的（复）电压分别为 U z与U zz，（复）电流分别为 I z与I zz，由基尔霍夫电压定律可得 1111()()j()()0()()()j()U zRzI zL zI zU zzU zzU zR I zL I zz 当0z 时，上式可化为 11d()j()=Z()dU zRL I zI zz（4.3-1）第 4 章 传输线理论基
18、础 129同理，对图4.3-1（b）中的节点a应用基尔霍夫电流定律，得 11()()j()()0I zGzU zzCzU zzI zz 将上式除以z，并令0z，化为 11d()j()()dI zGC U zYU zz（4.3-2）式（4.3-1）和式（4.3-2）称为时谐传输线方程，也称为时谐长线方程，又称为时谐电报方程。为求解 U z，对式（4.3-1）求导后将式（4.3-2）代入，得 22ddU zZYU zz，即 222ddU zU zz（4.3-3）式中 1111jjjZYRLGC（4.3-4）式中，称为传播常数；为衰减常数（Np/m）；为相位常数（rad/m）。同理可得 222d=d
19、I zI zz（4.3-5）式（4.3-3）和式（4.3-5）的解分别为 eezzU zUU（4.3-6a）eezzI zII（4.3-6b）式中，UI、和UI、分别表示z方向的行波（入射波）与z方向的行波（反射波）在z=0处的电压、电流复振幅（初始振幅）。对于无限长传输线，含z的指数项必须为零（不可能有无穷大量），因而不存在反射波，即 ezU zU（4.3-7a）ezI zI（4.3-7b）注意：图4.3-1中的z坐标原点位于负载端。由式（4.3-6a）可知，电源端（z=r）和传输线上任意点（z=l）的电压分别为i=erUU zrU，lUU zl elU()ier lU。可见，由电源端传输r
20、l=b距离后，电压振幅的变化为 ()ieelr lbU zlUUU zr （4.3-8a）传输距离b后，实际传输功率的变化为 222i=eblU zlP zlPPP zrU zr （4.3-8b）4.3.2 特性阻抗 根据式（4.3-1）的电流和电压的关系d()()dU zI zZ z，将式（4.3-6a）代入式（4.3-1）电磁场与电磁波 130 并考虑式（4.3-4）的关系，可得 ()eezzI zUUZZ 比较上式和式（4.3-6b）可得IUZ和IUZ，因此 cUIZZZY和cUIZZZY （4.3-9）正负号的出现完全是由于规定的电压、电流及z的正方向造成的，并不是出现了负阻抗。其中c
21、Z定义为传输线的特性阻抗，即 11ccc11jjjRLZRXGC（4.3-10）和cZ是传输线的主要特性参数，下面讨论两种重要情形。1无耗传输线 无耗传输线的分布电阻和电导忽略不计，即10R，10G，此时，式（4.3-4）简化为 11jLC，0，11LC（4.3-11）传输线的特性阻抗，即式（4.3-10）简化为 1c1LZC，1c1LRC，c0X （4.3-12）以电压波信号为例，线上行波解，即式（4.3-7a）可写成 jezU zU（4.3-13a）其瞬时表达式为 +jj+(,)Reeecos()ztU z tUUtz（4.3-13b）假设初始相位=0，则+(,)cos()U z tUtz
22、，它既是时间的周期函数，又是空间的周期函数。该信号的时间相位项是t、空间相位项是z。我们知道，时间相位变化2意味着信号在时域中运动了一个周期，记为2T，这里 2T（4.3-14）称为信号周期。按照相同的理念，空间相位变化2意味着信号在空域中运动了一个周期，而一个周期运动的距离是一个波长（），因此有2，即 2（4.3-15）而电压波的整体相位要按照关系tz变化，当其等于常数，即=const.tz时，代表某时刻波的等相位面。我们知道，等相位面的移动速度实际上是信号的传播速度，因此由dd=0tz可得电压波的相速为 p11d1=dzvtLC（4.3-16）式（4.3-16）利用了式（4.3-11）。第
23、 4 章 传输线理论基础 1312低耗传输线 当1111RLGC，时，式（4.3-4）简化为 111111111jj2CLRGLCLC（4.3-17）式中，相位常数11=LC，与无耗情形相同。因此，传输线上的相速与无耗情形也相同，即 p111=vLC（4.3-18）此时的特性阻抗，即式（4.3-10）简化为 1/21/2111111c1111111111jj2jLRGLRGZCLCCLC（4.3-19a）考虑到1111RLGC，虚部可进一步近似，结果为 11ccc110LLZRXCC，（4.3-19b）结果与无耗传输线的特性阻抗，即式（4.3-12）相同。由上可见，低耗传输线与无耗传输线的特性
24、相近，近似地也具有恒定的相速和恒定的实特性阻抗；衰减常数不为零，是恒定的。这是很有意义的，因为信号通常由许多频率分量组成，只有在不同的频率分量都以相同的速度沿传输线传播，同时沿线传播的衰减也相同时，才能实现信号无失真地传播。对于双导线和同轴线，将以上式中的四个参数L1、C1、R1和G1总结在表4.3-1中。其中，式（4.3-20）和式（4.3-21）是无耗时的特性阻抗cZ。这里式（4.3-20）已考虑到双导线都架设于空气中，取r=1。表 4.3-1 双导线和同轴线的分布参数 双导线 同轴线 1ln(/)Cda 12ln(/)Cb a 1lndLa 1ln2bLa 11ln(/)GCda 112
25、ln(/)GCb a sc1c122RfRaa ssc1c11224RRfRabab c120lndZa （4.3-20）cr60lnbZa （4.3-21）工作于2GHz的铜制同轴线的参数为b=2cm，a=0.8cm，中间介质r=2.5，=108 S/m。电磁场与电磁波 132 由表4.3-1求得此同轴线的分布参数为711.83 10LH/m，910.15 10CF/m，10.32R 102/m和G1=6.8108 S/m，特性阻抗为cZ=35。并且得312.3 10L/m和1C 1.89S/m。可见，有11RL,11GC。例例4.3-1 由半径为1.5cma 的导线构成的双线传输线的特性阻
26、抗为300，架于空气中，衰减常数为0.02dB/m，试求：双导线的间距d；双导线单位长度的电导、电阻、电容和电感；波的传播速度；当波传播100m和1km后，传输功率减小到百分之几？解：解：这是低耗传输线，已给定c300Z，特性阻抗可按式（4.3-20）来确定，从而得 300ln2.5120da 2.5e12.18da 将1.5cma 代入，得18.27 cmd。由表4.3-1求得 9120111036F/m11.1 10ln(/)2.5CdaF/m 7601410ln2.5H/m1 10dLa H/m 由于此双线传输线的特性阻抗为实数，所以由式（4.3-19a）可得 11110RGLC 因此
27、3111S/mS/m13.33 10300CGL 111300/mRG 由式（4.3-18）可得 8p111=3 10vLCm/s 由式（4.3-8b）可得 2ie/blPP 10.02dB/m=0.02Np/m0.0023Np/m8.686 当波传播b=100m后，有 2 0.0023 1000.46i/ee63.13%lPP 即功率衰减到原来的63.13%。当波传播b=1km后，有 2 0.0023 10004.6i/ee1%lPP 即功率衰减到原来的1%。第 4 章 传输线理论基础 1334.4 端接负载的无耗传输线 本节研究实际应用的端接负载的传输线（长线）问题。在大多数情形下，传输线
28、的损耗可以忽略，即可看成是无耗的。这里只研究无耗的情形。这些分析可直接应用于双导线和同轴线，原理上也适用于其他射频传输线。例如，微波波导中可基于反射系数引入等效的归一化输入阻抗等参数。4.4.1 长线上的信号与输入阻抗 图 4.4-1 端接负载的无耗传输线 考察终端接任意负载阻抗的有限长无耗传输线情形。如图4.4-1所示，在传输线上的z=0处，应有式（4.3-6）成立，并有 cUUZII （4.4-1）对于无耗传输线，j，从而在z处有 jj()eezzU zUU（4.4-2a）jj()eezzI zII（4.4-2b）在负载端（z=0），由式（4.4-1）和式（4.4-2）求得 LUUU Lc
29、cUUIIIZZ 以上两式相除，得负载阻抗为 LLcLUUUZZIUU 在负载端（z=0），反射波和入射波的电压复振幅之比称为终端的电压反射系数：j00eUU（4.4-3）将其代入求负载阻抗的公式可知 0Lc011ZZ（4.4-4）Lc0LcZZZZ（4.4-5）并有 电磁场与电磁波 134 0II （4.4-6）可见，负载端的反射波与入射波的电流复振幅之比即终端电流反射系数，等于0。在离负载端l距离（z=l）处，式（4.4-2a）和式（4.4-2b）可化为 jj0eelllUU（4.4-7a）jj0ceelllUIZ（4.4-7b）或 Lj(2)j0e1elllUU（4.4-7c）Lj(2)
30、j0ce1elllUIZ（4.4-7d）我们知道，式（4.4-7a）的两项jelU和j0elU分别表示入射波与反射波，那么，可以求得传输线上任意一点的反射系数，即 Lj(2)0()ell（4.4-8）将式（4.4-7a）和式（4.4-7b）相除，或者将式（4.4-7c）和式（4.4-7d）相除，便求得z=l处的等效阻抗Zl，它也就是在z=l处向负载看去的输入阻抗：jj0incjj0eeeelllllllUZZZI 或 j20incj201e1elllZZZ（4.4-9a）把式（4.4-9a）中的0用式（4.4-5）代入，并利用三角函数与指数函数的关系式jjsin(ee)/2jxxx和jjcos
31、(ee)/2xxx，可求得在z=l处向负载看去的输入阻抗（传输线上任意一点的输入阻抗）的下述重要表达式：LcinccLjtanjtanZZlZZZZl（4.4-9b）4.4.2 几种典型情形 下面来考察传输线接几种典型负载的情形。1匹配负载（LcZZ=）由式（4.4-5）可知此时0；由式（4.4-9a）可知，incZZ。由于无反射波项，所以此时其电压和电流分布与传输线无限长时相同，只有入射波分量：jellUU（4.4-10a）jellcUIZ（4.4-10b）这种工作状态称为匹配状态匹配状态。电压波的瞬时表达式为 第 4 章 传输线理论基础 135+jj+(,)Reeecos()ltlU l
32、tUUtl（4.4-11）当处于匹配状态时，传输线上传输简谐行波。2短路传输线（L0Z=）由式（4.4-5）可得此时1。因此，式（4.4-7a）和式（4.4-7b）化为 j2sinlUUl（4.4-12a）c2coslUIlZ（4.4-12b）电压波的瞬时表达式为 j(,)Re j2sine2sin()sintlU l tUlUtl（4.4-12c）对于式（4.4-12c），当sin0l时，信号有不变的零点位置，不同时刻的幅值不同，按照简谐规律变化。事实上，短路传输线上的电压和电流都为驻波，其变化规律如图4.4-2（a）所示。由于传输线上的电压和电流都是入射波及与之等幅的反射波的叠加结果，所以
33、信号最大点（波腹）是同相相加的结果，信号最小点（波节）是反相相消的结果。在电压波节处，电压最小且min0U，电压取零点的位置为/20,1,2,3,dnn，；电流与电压在相位上相差90，即电压波节处的电流最大，且max2|II。在电流波节处，电流最小且min0I，电流取零点的位置与电压取零点的位置相距/4，满足21/40,1,2,3,dnn，；电流波节处的电压最大，且max2UU。式（4.4-12a）和式（4.4-12b）相除，得传输线上任意点的输入阻抗为 inincjjtanZXZl（4.4-13）式中，inX随l的变化关系（输入阻抗分布）如图4.4-2（b）所示。可以看出，在终端（z=0）处
34、，输入阻抗等于零，电流最大，这个性质类似于串联LC谐振电路；当0/4l，且inX为正值时，输入阻抗呈感性；而当/4/2l 且inX为负值时，输入阻抗呈容性；当l=/4时，输入阻抗为j（实际上是开路），电压最大，这个性质类似于并联LC谐振电路。图4.4-2（c）给出了不同长度的传输线阻抗特性对应的等效电路。3开路传输线（LZ=）由式（4.4-5）得此时1。式（4.4-7a）和式（4.4-7b）化为 +2coslUUl（4.4-14a）c2jsinlUIlZ（4.4-14b）电压的瞬时表达式为 j(,)Re 2cose2cos()costlU l tUlUtl（4.4-14c）对于式（4.4-14
35、c），当cosl=0时，信号有不变的零点位置，不同时刻的幅值不同，按照简谐规律变化。传输线上的电压和电流都为驻波分布。此时，短路与开路传输线见图4.4-2（d）上的电压、电流幅度分布与inX随l的变化曲线均与端接短路线时相同，只是电磁场与电磁波 136 坐标系右移了/4。此时，输入阻抗为 inincjjcotZXZl （4.4-15）可见，当0/4l 时，输入阻抗呈容性，这与短路线的感性恰好相反；而当/4/2l 时，输入阻抗呈感性；当l=/4时，输入阻抗为零，相当于短路。这种开路传输线在短波时可用来实现无限大的负载阻抗；但是随着频率的升高，开路端的辐射和邻近耦合将变得严重。图 4.4-2 短路
36、与开路传输线特性曲线 4电阻性终端（LLZR）当LLZR时，式（4.4-5）可化为 LcLcRZRZ 此时，电压反射系数为纯实数，有两种情形：LcRZ与LcRZ。（1）LcRZ：为正实数，L0。传输线上的电压和电流分布可由式（4.4-7c）和式（4.4-7d）得出，传输线上形成行驻波分布，如图4.4-3（a）所示。电压波腹处的最大值maxU发生于 第 4 章 传输线理论基础 137 22ln，0,1,2,n（4.4-16a）负载处（0n）为电压波腹（电流波节）；其他电压波腹（电流波节）依次出现在22ln，即/2ln（1,2,n）处。电压波节处的最小值minU发生于 221ln，0,1,2,n（
37、4.4-16b）电压波节（电流波腹）依次出现在2(21)ln，即(21)/4ln（0,1,2,n）处。（2）LcRZ：为负实数，L。由式（4.4-16b）可知，负载处（0n）为电压波节（电流波腹），相隔/2依次出现电压波节（电流波腹）。而在(21)ln/4（0,1,2,n）处，则依次出现电压波腹（电流波节），如图4.4-3（b）所示。（a）RL Zc（b）RL 1）就等于电压驻波比就等于电压驻波比。例如，。例如，MP点可读出点可读出2r。但是，当。但是，当r 1时，归一化电阻的倒数等于电压驻波比。时，归一化电阻的倒数等于电压驻波比。例如，mP点是1r 的点，此时1/r。对于P点，可读出1/3，
38、28，1.7。图 4.5-2 极坐标系中的史密斯圆图 2阻抗点的转换 以上通过两组坐标系的重叠便可由归一化负载阻抗Ljzrx读出负载端反射系数值和相角L或反之。为了详解史密斯圆图的进一步应用，下面来考察由式（4.4-9a）得出的归一化输入阻抗inz与式（4.4-4）所表示的归一化负载阻抗Lz：j2inj21e1ellz L11z 式中，是负载处（终端）的反射系数；l为传输线的长度（正值），起点坐标是负载处。比较以上两式可知，用j2el代替负载端的反射系数，就可得到任意点zl 处（传输线全部位于z=0的负半轴上）的输入阻抗inz。也就是说，把的相角减小2 l，就如同从负载端移到了任意点zl 处，
39、移动时保持值大小不变。这样，已知负载阻抗Lz，在史密斯圆图上沿等圆按顺时针方向转动2 l就得到了任意点的输入阻抗inz。由于2 l变化360在史密斯圆图上移动了一圈，对应移动的距离l变化了半个波长。因第 4 章 传输线理论基础 143此为了方便起见，在史密斯圆图外圈画上了变化0.5的刻度（见图4.5-3）。这样，史密斯圆图就完成了。而且，通常给出两个刻度：一个是按照顺时针方向移动的距离（按照顺时针方向移动的距离（/l），标为“向电源的波长数”；另一个是按照逆时针方向移动的距离，标为“向负载的波长数”），标为“向电源的波长数”；另一个是按照逆时针方向移动的距离，标为“向负载的波长数”。实用的史密
40、斯圆图见附录F。综上所述，史密斯圆图上的阻抗转换关系可归纳为以下几点。史密斯圆图上的阻抗转换关系可归纳为以下几点。（1）对于史密斯圆图上的任意点，可读出其归一化阻抗值z=r+jx及对应的反射系数模值和相角=2 l=4l/。（2）若该点为负载阻抗Lz，则沿等圆按顺时针方向转过2 l（看外圈），就能得到对应点的归一化输入阻抗inz。（3）若该点为输入阻抗inz，则可沿等圆按逆时针方向转过2 l（看里圈），就得到归一化负载阻抗Lz。注意史密斯圆图上的三个特殊点。（1）圆心O（1r，0 x），该点阻抗in1z，输入阻抗等于传输线特性阻抗，为阻抗匹配阻抗匹配（impedance matching）点点。
41、（2）实轴左端点scP（0r，0 x）为短路短路（shorted-circuit）点点。（3）实轴右端点ocP（r ，x）为开路开路（open-circuit）点点。另外，史密斯圆图上还有三条特殊线。（1）圆图上实轴为x=0的轨迹，其中正实半轴为电压波腹点轨迹，线上的r值即驻波比的读数，电压波腹点对应的输入电阻最大，等于Z0。（2）负实半轴为电压波节点的轨迹，线上的r值即行波系数K（驻波比的倒数）的读数，电压波节点对应的输入电阻最小，等于Z0/。（3）最外面的单位圆为r=0的纯电抗轨迹，即反射系数模为1的全反射系数圆的轨迹。下面举两个例子来说明史密斯圆图的应用。例例4.5-1 利用阻抗圆图计算
42、长为0.1、特性阻抗为50、终端短路的无耗传输线的输入阻抗。解：解：在史密斯圆图上找到实轴左端点（0r，0 x），沿1（0r）圆按顺时针方向转过“向电源的波长数”0.1至1P点，如图4.5-3所示，读出0.725x，故 inincinj0.72550(j0.725)j36.25zZZ z，用式（4.4-13）验证：inc20.1jtanj50tanj50tan36j36.3ZZl 例例4.5-2 长为0.434、特性阻抗为100的无耗传输线的终端接负载阻抗为L(260j180)Z，试求：驻波比；电压反射系数；输入阻抗；传输线上何处电压最大？此处的输入阻抗是多少？解：解：A计算归一化负载阻抗，L
43、Lc/2.6j1.8zZZ，在圆图上找到此点，见图4.5-3中的2P点。B过2P点作原点为圆心的圆，交于右实轴的MP点，读出该点的归一化电阻r=4.2，即驻波比=4.2，因此10.621，解毕。C作直线2OP并延伸，与外圆相交于2P点，读出“向电源的波长数”0.220。由于圆周电磁场与电磁波 144 上的角度以2 l即4/l计，反射系数相角对应2OP与正实轴的夹角，故 4(0.250.22)rad0.377rad21.6 因此，je0.62 21.6，解毕。图 4.5-3 例 4.5-1 和例 4.5-2 史密斯圆图的计算 D由2P点转过“向电源的波长数”0.434，即转至0.220.4340
44、.50.154处的3P点；作直线3OP，与0.62 圆交于3P点；读出该点0.7r，1.2x，故 incin100(0.7j1.2)(70j120)ZZ z 解毕。E.过2P点的0.62圆与右实轴的交点MP是电压最大点，它与负载的距离为 /0.250.220.03l 此处输入阻抗呈纯电阻性，inc=1004.2=420RZ，解毕。3导纳圆图 史密斯圆图也可用于导纳运算，这样用时，称之为导纳圆图。无耗传输线上任意点的输入导纳公式为 第 4 章 传输线理论基础 145 cLcLLcinccincLccLLc11jtanjtanjtan1111jtanjtanjtanlZZlYYYYlYYYZZZZ
45、lYYllYY（4.5-7a）此式与输入阻抗公式的形式完全相同。因而导纳圆图与阻抗圆图的形式也完全相同，只是物理意义不同，归一化阻抗injzrx换为归一化导纳injygb。注意：关于导纳圆图与阻抗圆图的区别，读者应该明晰以下几点。（1）导纳圆图的实轴左端点scP（0g，0b）为开路点。（2）导纳圆图的实轴右端点ocP（g ，b ）为短路点。（3）导纳圆图的实轴上方0b，呈容性；实轴下方0b，呈感性。（4）归一化导纳的确定。由归一化阻抗公式可知 j2j(2)inj2j(2)in11e1e1e1ellllyz（4.5-7b）式（4.5-7b）表明，由inz求iny只需沿等圆按顺时针方向转过180即
46、可。同样，由iny求inz也只需沿等圆转过180。通常，导纳圆图在用于处理并联结构的阻抗匹配时更为方便，而串联问题则使用阻抗圆图求解更方便。对于混合问题，需要灵活切换两种工具。4.5.2 传输线匹配的意义 1传输线完全匹配的含义 传输线的完全匹配有两个含义，下面分别讨论。首先研究第一种情况：电源端匹配第一种情况：电源端匹配。此时，振荡器输出功率最大。设振荡器内阻为gggjZRX，传输线在电源端处的输入阻抗为iiijZRX，则传输线电源端的等效电路如图4.5-4所示。此时，电源端的电流为 ggigigigi()j()UUIZZRRXX 传输给负载的功率为 2gi*iiii22gigi11Re22
47、()()URPI I RRRXX 上式分母中的平方项均为正值，当其第二项为零时，可使Pi最大：gi0XX 此时有 2gi2gi2()iURPRR Pi最大发生于 图 4.5-4 传输线电源端的等效电路 电磁场与电磁波 146 22ggiigii4igi2()d0d2()URRR RRPRRR（+）此时giRR。综上可见，为使输出功率最大，要求giRR，giXX，即 ggiijjRXRX 或 giZZ （4.5-8a）式中，iZ是iZ的共轭复数。因此，电源端匹配的条件是电源端传输线的输入阻抗与振荡器的内阻相共轭，称为共轭匹配。此时，振荡器的输出功率最大，且为 2gimaxg8UPR（4.5-8b
48、）第二种情况：负载端匹配。此时，负载端无反射。设负载阻抗为LLLjZRX，传输线的特性阻抗为cccjZRX。为使负载无反射，0，由式（4.4-5）可知，要求：LcZZ（4.5-9）即 LcRR，LcXX （4.5-10）可见，负载端匹配的条件是负载阻抗与传输线的特性阻抗完全相等，称为恒等匹配。通常也把这一状态直接称为阻抗匹配。由上可以看到，只有当传输线特性阻抗为纯电阻（这时它与它的共轭数是相同的）且振荡器内阻等于传输线特性阻抗时，上述两种状态才可能同时出现。因此，为实现传输线的完全匹配，要求：传输线特性阻抗为纯电阻；振荡器内阻和负载阻抗均为纯电阻，且等于传输线特性阻抗。为实现传输线的完全匹配，
49、要求：传输线特性阻抗为纯电阻；振荡器内阻和负载阻抗均为纯电阻，且等于传输线特性阻抗。为此，实用的传输线一般都设计成特性阻抗为纯电阻的标准传输线，而且以50和75的特性阻抗居多。相应地，各种仪器设备的接口或电路的测试端口也都使用50或75的特性阻抗。2阻抗匹配的意义 当传输线终端所接负载阻抗LZ等于其特性阻抗cZ时，传输线上传输行波，此即阻抗匹配状态，其意义如下。（1）负载无反射，即全部输出功率都传输给了负载。若存在反射，则0，由式（4.4-7c）、式（4.4-7d）和式（4.4-8）可知，负载端反射功率为负载端入射功率的2倍：2LLPP 因而阻抗匹配效率为 22LL2L141111zPPP （
50、4.5-11）传输线的驻波状态通常用电压驻波比来表示，将不同的值所对应的及阻抗匹配效率z列在表4.5-1中。可见，当2.0时，z88.9%；而若1.2，则z97.2%。第 4 章 传输线理论基础 147表 4.5-1 电压驻波比与阻抗匹配效率典型值 2 R/dBL z/dBz 1.0 0 100%0 1.2 0.8%20.8 97.2%0.04 1.5 4.0%14.0 96.0%0.18 2.0 11.1%4.2 88.9%0.51 3.0 25.0%6.0 75.0%1.25 10 66.9%3.5 33.1%4.81 （2）传输线功率容量最大。当负载阻抗LZ不等于传输线特性阻抗cZ时，传