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1、2022年中考数学压轴题1.如 图1,已知点。在四边形/8 C。的边工8上，且C M =O 8=O C=O O=2,O C平分NBO D,与8。交于点G,Z C分别与8。、0。交于点E、F.(1)求证：o c z。；4 E(2)如 图2,若DE=DF,求7 7的值；AFDE(3)当四边形438的周长取最大值时，求二:的值.：.ZOAD=ZADO,。平分/8。，/DOC=/COB,又:ZDOC+ZCOB=ZOAD+ZADO,：./ADO=NDOC,：.CO/AD；(2)解：如 图1,U：OA=OB=OD,：.ZADB=90,设N Z M C=a,则N 4 C O=N A 4 C=a.第1页 共i
2、 o页9：OA=ODf DA/OC,：.ZODA=ZOAD=2af：./D FE=3a,：DF=DE,：.ZD EF=ZD FE=3afA 4a=90 ,a=22.5,：.ZDAO=45,Z。和46。为等腰直角三角形,：.AD=y/2AO,丝 一 BAO :DE=DF,：./D F E=/D EF,ZDFE=ZAFOf：.NAFO=NAED,又N4DE=N4OF=90,，AD EsdAO F,A.E工=AD茄 3i-(3)解:如图2,D图2：OD=OB,/B O C=/D O C,：./B O C/D O C (SAS),:BC=CD,设 BC=CD=x,C G=m,则 OG=2-m,第2页
3、共1 0页9：OB2-OG2=BC2-CG2,A4-（2-加）2=f -加 2,解得：m=j x2,q，OG=2-#1 9,：OD=OB,/DOG=NBOG,；.G 为 8。的中点，又Y O为A B 的中点，1 9 力。=20G=4 尹 2,11 1二四边形 ABCD 的周长为 28C+ZZ+/8=2x+4-x2+4=-x2+2x+8=-2）2+10,1.一 0,；.x=2 时，四边形N8CZ）的周长有最大值为10.:.BC=2,.8C。为等边三角形，：.ZBOC=60,OC/AD,:.N D A O=N COB=60,A ZADF=ZDOC=60o,ZDAE=30,A ZAFD=90,DE
4、V3 i/.=,DF=TZDA FDA 3 2.竺 _ 2/3.=DF 32.如图，在矩形Z8C。中，AB-I6cm,A D=6cm,动点P、。分别从Z、C 同时出发点尸以每秒3c?的速度向8 移动，一直达到8 止，点。以每秒2CTM的速度向。移动.(1)P、。两点出发后多少秒时，四边形P 8 C 0的面积为36C?2；(2)P、。两点出发后多少秒时，四边形P8C。是矩形；(3)是否存在某一时刻，使四边形P8CQ为正方形？第3页 共1 0页解：(1)在矩形 4 8 C D 中，CD=AB=1 6,B C=A D=6,由运动知，AP=3t,CQ=2 t,：.BP=AB-AP=6-3t,丁四边形P
5、 B C Q的面积为3 6c 31(1 6-3 r+2/)X 6=3 6,2，E=4,:.P、。两点出发后4秒时，四边形P 8 C 0 的面积为3 6c 加 2；(2)四边形尸3C0是矩形，：.BP=CQ,.*.1 6-3 f=23.LJ 丑5,:.P、。两点出发后当秒时，四边形P 8 C。是矩形；(3)由(2)知，仁 号 秒时，四边形P 8 C 0 是矩形，：.CQ=2 t=3 2,V S C=6,:C Q 丰BC,不存在某一时刻，使四边形P 8 C。为正方形.3.如图，在 R t 4 8c中，ZACB=90 ,以斜边48上 的 中 线 为 直 径 作。0,与 B C 交于点/，与 的 另
6、一 个 交 点 为 及 过“作垂足为M(1)求证：是OO的切线；第 4 页 共 1 0 页(2)若。的直径为5,s in 8=|,求 EQ 的长.：OC=OM,：.NOCM=ZOMC,在 R tZ/8C 中，CD是斜边Z 8 上的中线,：.CD=AB=BD,:.NDCB=NDBC,：.NOMC=NDBC,J.OM/BD,:MNLBD,J.OMLMN,过 O,.A/N是。的切线；图2(2)解：连接 DM,CE,CD是。的直径，第5页 共1 0页：.ZCED=90 ,ZDMC=90 ,B P D M IBC,CELAB,由(1)知：B D=C D=5,M 为 8 C 的中点，3V sin5=引.八
7、 4 COSn=，在 RtZXBMD 中，B M=B DcosB=4,:B C=2 B M=8,在 RtACEB 中，B E=B C s B=可，32 7：.ED=BE-8。=寺-5=g4.已知NMPN的两边分别与0 0 相切于点4 B,。0 的半径为八(1)如 图 1,点 C 在点4,8 之间的优弧上，NA/PN=80,求N ZC 8的度数；(2)如图2,点 C 在圆上运动，当尸C 最大时，要使四边形ZP8C为菱形，/尸8 的度数应为多少？请说明理由：(3)若尸C 交。于点。，求 第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含，的式子表示)./孙。=/尸 8。=90,第6页 共1 0页V ZAPB+
8、ZPAO+ZPBO+ZAOB=360,Z A P B+Z A O B ,V ZAPB=SO,.4 0 8=1 0 0 ,A ZACB=50；(2)如图2,当/尸 8=60 时，四边形/P 8 C 是菱形,连接04 OB,由(1)可知，N4OB+N4PB=180,V ZAPS=60,.4 0 2=1 20 ,A Z/4 C B=60 =NAPB,；点 C运动到PC距离最大，经过圆心，：P A,尸 8为。的切线，:.PA=PB,NAPC=NBPC=30,又,：PC=PC,:A A P g A B P C (SAS),：.ZA C P ZB C P 30,AC=BC,./P C=N/C P=3 0
9、,：.AP=AC,：.AP=AC=PB=BC,四边形/P 8 c 是菱形；(3);。的半径为r,：.OA=r,OP=2r,第7页 共1 0页：.AP=V3r,PD=r,V ZAOP=90-/尸。=60,.尬的长度=607r r _ n180=3r.阴影部分的周长=刈+尸。+彳&=8 什 厂+*=（V3+1+J）r.5.如图，口 为。的切线，P8C 为。的割线，AD1.OP于点D,ZDC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接O/,OB,OC,BD.JOAA.AP,AD1.OP,由射影定理可得：R42=PD.PO,AD2=PD,OD.（5分）又由切割线定理 可
10、 得PF=PBPC,:.PBPC=PD，PO,:.D、B、C、。四点共圆，（10分），ZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODC,NPBD=A COD,：./P B D C O D,PD BD 八=,（15 分）CD OD:.BDCD=PDOD=AD2,BD ADAD-CD又 NBD4=NBDP+9G=ZOOC+900=A ADC,：.A B D A s AADC,；.N B AD=/AC D,:.A B 是/D C 的外接圆的切线，：.NBAE=NACB.第8页 共1 0页6.如图，点/为夕轴正半轴上一点,4 8两点关于x 轴对称，过点/任作直线交抛物线y =#于 P,0两点.（1）求证：NAB
11、P=2ABQ；（2）若点4的坐标为（0,1）,且N P 8 0=6O ,试求所有满足条件的直线尸。的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设 点/的 坐 标 为（0,/）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线P0的函数解析式为歹=h十八并设尸，0的坐标分别为（xp,yp）,（x。，J 0）.由y=kx+ty=lx2x2 kx t=0,于是%P%Q=_|t,即t =xPxQ.BC于 是 一 二BDyP+t|x p 2+|x p 2一|%p%Q|x p(x p-%Q)Xp%+t|X Q2+C XQ2-XpXQ XQ(XQ-Xp)XQ又因为而PC=一x五P
12、 所”以,B访C=而PC因为/8。尸=/8。0=9 0,所以 BCPSB。，第9页 共1 0页故 N 4 B P=N A B Q；（2）解：设PC=a,D Q=b,不妨设a 2 6 0,由（1）可知ZABP=ZABQ=30 ,BC=V 3 a,BD=V 3 b,所以/C=V 5a-2,AD=2 -Wb.因为 PC。，所以ACPSAA D Q.于 是 些=9,即屋，DQ AD b 2-y/3b所以Q+力=娼ab.由（1）中 pxQ=-9 t,即一ab=一去 所以ab=9，c i b 于是可求得a=2 b=V 3.将力=*代 入y=4%2,得到点0的 坐 标（g,二）.乙。Z L再将点。的坐标代入了=b+1,求得/=-*.所以直线尸。的函数解析式为y=-孚+1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y=-苧x+1或y=x +l.第io页 共io页