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1、2020中考考点必杀500题专练13（几何压轴大题）（30道）1.（2019安徽省中考模拟）已知如图1,在 ABC中，ZACB=90,B C=A C,点 D 在 AB上，DEAB交 BC于 E,点 F 是 A E的中点（1）写出，线 段 FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2,将ABDE绕点B 逆时针旋转a（FVaVW。），其它条件不变，线段FD 与线段FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将ABDE绕点B 逆时针旋转一周，如果BC=4,B E=2 0,直接写出线段B F的范围.D FLCF.理由见解析；结论不变.理由见解析；（3）V2 BF 372.【解析】解：（1）结论：FD=
2、FC,DF1CF.理由：如 图 1 中，图1NADE=/ACE=90,AF=FE,:.DF=AF=EF=CF,.ZEADZFDA,ZFACZFC-A,：.ZDFE=ZFDA+ZFAD=2ZFAD,ZEFC=ZFAC+ZFCA=2ZFAC,：CA=CB,ZACB=90,：.N8AC=45,.F 是 AE 的中点，E F=g（A3 3E）,又 BE=2A/2，：.BF=BE+EF=BE+g（AB-BE）=2也+；（4邑2吟=3血,即3 户的最大值为3 g.图 5当点E落在AB延长线上时，BF取得长最小值，如图 6所示，B C=4,A C=BC.Z ACB =90，4 8=4/，,尸是4 的中点，；
3、4尸=3(48 +8 E)，又 BE=2 7 2，：.BF=AB-AF=A B-(AB+BE)=4y!2-4y2+2y/2)=y/2,即 的 最 小 值 为 J 2.图 6综上所述，72 N2=MN2.【答案】(1)BF,AED；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】(1)、:ADE绕点A 按顺时针方向旋转，使 AD、AB重合，得到 ABF,V DE=BF,ZAFB=ZAED.(2)、将4 ADQ绕点A 按顺时针方向旋转9 0 ,则 AD与 AB重合，得到 A B E,如图2,则/D=/A B E=90。，即点 E、B、P 共线，ZEAQ=ZBAD=90,AE=AQ,BE=DQ,VZPA
4、Q=45,NPAE=45 NPAQ=NPAE,.,.APEAAPQ(SAS),.PE=PQ,而 PE=PB+BE=PB+DQ,；.DQ+BP=PQ；(3)、四边形 ABCD 为正方形，NABD=NADB=45。，如图，将AADN绕点A 按顺时针方向旋转90。，则 AD与 AB重合，得到 ABK,则NABK=NADN=45。，BK=DN,AK=AN,与（2）一样可证明 AM NgZAM K,得到 MN=MK,V ZMBA+ZKBA=45o+45=90o,.BMK 为直角三角形，.BK2+BM2=MK2,/.BM DNM N2.考点：（1）、旋转的性质；（2）、全等三角形的判定与性质；（3）、勾股
5、定理：（4）、正方形的性质.3.（2019内蒙古自治区中考模拟）如图,4 8 C 内接于。0 4 8 是。的直径,CO平分N 4C 5交。于点。，交AB于点居弦AELC。于 点 ，连 接CE、OH.延长AB到圆外一点P,连接PC,若尸。=尸眇出,求证:PC是。O的切线；求证:CFAE=4CJ?C;若 一=一,。0 的 半 径 是 可，求 tanNAEC和 O”的长.BF 23【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)tanZAC=-,OH=.2【解析】PC PA(1)证明：VPC2PB PA,.-.=,VZBPC=ZAPC,.PBCs4pCA,.：NB A C=NP CB,连接OC,如图所示，
6、.,AO=OC,.,.ZACO=ZBAC,.ZACO=ZPCB.：A 8 是。的直径，.：/AC5=90。，：Z B CO+Z A CO=90,：/8CO+NPC8=90,.：N P CO=90。.r o c是半径，.：PC是。的切线.（2）证明：A 3 是。的直径，.：NA C8=90。.:,CO 平分ZACB,.ZACD=ZFCB=45.rA EC D,.：ZC4E=45=ZFCB.在 ACEVA CFB 中,ZCAE=Z FCB,ZAEC=Z FBC,AAC.：ACEs CFB、；.CFAEBC/.CFAE=ACBC.(3)作 FMA.AC 于 M,FN1BC 于 N,CQVAB 于。，
7、延长 AE.CB 交于点 K.:CD 平分 ZACB,/.FM=FN.1I:Sx ACF=-A C-FM=-A F C Q,2 2SA BCF=-BCFN=-BFCQ,2 2o-ACFM -CQAF 3 _ 2_ 2 s 1 1 ，BCF BCFN-CQBF.AF ACBFBCAC是。的直径，.：NAC8=90。且 tan/A 8C=.BCA/7 3:=一且 Z.AEC .ABC,BF 2AC 3.：tanNAEC=tanNABC=-=.BC 2设 AC=3k,BC=2k,丁在 RtA ACB 中,A/A G+B C2且 A8=2：(3女 产+(2幻2=Q V 13)2,4=2仕=2舍去),：
8、AC=6,8C=4,7/FCB=45,Z CHK=90ZK=45=ZCAE,.：HA=HC=HKCK=CA=6.:，CB=4,.：BK=6-4=2,；OA=OB,HA=HK,.：0”是 A8K 的中位线,.：0 H=LBK=1.2【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识的综合应用.4.（2017营口市老边区柳树镇中学中考模拟）如图所示,四边形ABCD是正方形,M 是 AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E 在 AB边上滑动（点 E 不与点A、B 重合），另一直角边与ZCBM 的平分线BF相交于点
9、F.（1）如 图 1,当点E 在 AB边得中点位置时：通过测量DE、E F的长度，猜 想 DE与 EF满足的数量关系是；连接点E 与 AD边的中点N,猜想NE与 BF满足的数量关系是,请证明你的猜想；（2）如图2,当点E 在 AB边上的任意位置时，猜想此时DE与 EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想.【答案】（1）DE=EF；NE=BF；理由见解析；（2）D E=EF,理由见解析.【解析】解：（1）DE=EF；NE=BF；理由如F：.四边形ABCD为正方形，AD=AB,ZDAB=ZABC=90,VN,E 分别为AD,A B中点，1 1；.AN=DN=-AD,AE=EB=-AB,2 2；.DN=
10、BE,AN=AE,ZDEF=90,NAED+NFEB=90。，又:ZADE+ZAED=90,/.ZFEB=ZADE,又：AN=AE,AZANE=ZAEN,又：NA=90,ZANE=45,.,.ZDNE=180-ZANE=135,又.,NCBM=90。,BF 平分NCBM,；./CBF=45。，ZEBF=135,ZADE=ZFEB在 DNE 和 EBF 中 四边形 C D E F 是正方形，A F=E F=A D=0 ,：BE=AB=2,.BE=V2 AF,故答案为B E=0 A F；（2）无变化；如图 2,在 RtzABC 中，AB=AC=2,/.ZABC-ZACB=45,A sin Z A
11、B C=-=,CB 2在正方形 CDEF 中，ZFE C=-ZFED=45,2在 R sC E F 中，sinZFEC=,CE 2.CF CA,.-=-，CE CB：ZFCE=ZACB=45,ZFCE-ZACE=ZACB-ZACE,ZFCA=ZECB,A ABE CB 1-.A C F s/X B C E,=J2./.BE=J2 AF,AF CA线段BE与 A F的数量关系无变化；（3）当点E 在线段AF上时，如图2,由 知，CF=EF=CD=0,在 R SBCF 中，C F=0,B C=2 0,根据勾股定理得，BF=#，；.BE=B F-E F=C -0，由（2）知，B E=0 A F,：.
12、AF=y/3-1,当点E 在线段BF的延长线上时，如图3,在 Rt/iABC 中，AB=AC=2,A ZABC=ZACB=45,.sinZABC=,CB 2在正方形 CDEF 中，ZFE C=-ZFED=45,2P tA r c c i l,-_ CF V2.CF CACE 2 CE CBV ZFCE=ZACB=45,，NFCB+NACB=NFCB+NFCE,A ZFCA=ZECB,A ABE CB r-/.ACFABCE,=6，/.BE=V2 AF,由（1）知，CF=EF=CD=V ,在 RS B CF 中，C F=0,BC=2 0,根据勾股定理得，BF=娓,，BE=BF+EF=+0，由（2
13、）知，BE=0 AF,.,.A F=V 3+1.即：当正方形CDEF旋转到B,E,F 三点共线时候，线段AF的长为6 -1 或 JJ+1.6.（201 9山东省中考模拟）如 图 1,在 用 AA8C中，Z A=90,A B-A C,点。、E 分别在边45、A C上，A D A E,连结。C,点M、P、N 分别为 E、D C、3 c 的中点.（1）观察猜想图1 中，线段与PN的 数 量 关 系 是,位置关系是；（2）探究证明把AM应绕点4逆时针方向旋转到图2 的位置，连结M N、B D、C E,判断APMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把AM应绕点A在平面内自由旋转，若 A D=4,A B
14、=10,请直接写出APMN面积的最大值.【答案】（1）P M =P N,P M L P N ；（2）M M N是等腰直角三角形，理由见解析；（3）APMN面积的4 9最大值为一.2【解析】解：（1）点尸、N 是 C D、8 C 的中点 PNHBD,PN=、BD2 点P、M是CD、E的中点PM/CE,PM=CE2V AB=AC-AD=AE：.BD=CE：.PM=PN：PN/BD:./DPN=ZADC,/PMUCE二 ZDPMZDCA：ABAC=90：.ZADC+ZACD=9Q二 ZMPN=ZDPM+4 DPN=ZDCA+ADC=90二 PM YPN(2)结论：PMN是等腰直角三角形.证明：由旋转
15、知，ZBAD=ZCAEV A B A C，ADAE：./ABD/ACESAS)：.ZABDZACE,BD=CE .由三.角形中位线的性质可知，PN=BD,PM=-C E2 2/.PM=PN，PMN是等腰三角形 .同(1)的方法得，PMUCE,ZDPM=ZDCE同(I)的方法得，PNHBD、4 PNC=/DBC：.ZDPN=ZDCB+4 PNC=ZDCB+ZDBC：,4MpN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ADBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+/DBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC:ABAC=90：.ZACB+ZABC=90:./M PN=9Q。PMN是
16、等腰直角三角形；(3).由(2)得，PMN是等腰直角三角形，MN最大时，PMN的面积最大，DE/BC且DE在顶点A上面时，MN最 大 值=AM+AN,连接AM,A N,如图：在 AD E 中，AZ)=A=4，NZ ME=90二 AM=2V 2在 ABC 中，A B =AC=1 0,Z BAC=90AN=5y/2：.MV最大值=AM+AN=7叵i i i i /l 2 4 9 s 佰-W2=-X(7V2.PMN/大值 2 2 2 4 、1 2故答案是：(1)PM=PN,PM VPN,(2)PMN是等腰直角二角形，理由见解析;4 9的最大值为一2面积【点睛】本题考查了三角形中位线的判定和性质、等腰
17、直角三角形的判定和性质、旋转的性质以及求最大面积问题等知识点，属压轴题目，综合性较强.7.（2018河南省中考模拟）已 知:在 ABC中,AZ）是 BC边上的中线，点E是AO的中点;过点A 作 A F/B C,交 8 E 的延长线于F,连 接 C尸.（1）求证：四边形AOC厂是平行四边形；（2）填空：当 A B=A C 时，四边形AOC尸是 形；当ABAC=9（）时，四边形ADCF是 形【答案】（1）见解析；（2）矩：菱.【解析】证明：AF/BC,：.ZAFE=ZEBD.在AE产 和DEB中ZAFE=DBEE,过点3作OE的垂线，交CQ于点M,交A O边的延长线于点N.备用图(1)连接EN,若
18、B E=B D,求证：四边形B E N。为菱形；(2)在(D的条件下，求 的 长；(3)设C E =x,B N =y,求 关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)BM=-ViO：(3)6 J+36 0 x/2 AE.(2)如图中，结论：A F=0 A E.理由：连接EF,D F交 BC于 K.四边形ABFD是平行四边形，；.ABDF,；.NDKE=NABC=45,AEKF=180-ZDKE=I35,ZADE=180-ZEDC=180-45=135,/.ZEKF=ZADE,VZDKC=ZC,，DK 二 DC,:DF=AB=AC,，KF=AD,在 EKFfDA ED
19、A 中，EK=DKNEKF=N A D E,KF=ADAAEKFAEDA,AEF=EA,ZKEF=ZAED,J ZFEA=ZBED=9O,AAAEF是等腰直角三角形，AF=血AE.(3)如图中，结论不变，AF=V2 AE.理由：连接E F,延长FD 交 A C于 K.V ZEDF=18O-ZKDC-ZEDC=135-ZKDC,ZACE=(90-ZKDC)+ZDCE=1350-ZKDC,/.ZEDF=ZACE,V DF=AB,AB=AC,:.DF=AC在仆 EDFHA ECA 中，DF=AC=90。，请直接写出点A 到 族 的距离.【答案】（1）60；加;跳：；（2）ZAB=90,AE=BE+2
20、 cM，理由见解析；（3）点A到BP的距离 为 叵 口 或 县1.2 2【解析】解：(1)如图1.ACB和 OCE均为等边三角形，：.CA=CB,CD=CE,NACB=NDCE=60。，/.ZACDZBCE.A C B C在 ACD 和小 BCE 中，ZACD=NBCE,CD=CE：.AACDABCE(SAS),ZADC=ZBEC./XDCE 为等边三角形，AZ CDE=Z CD=60.;点A,D,E在同一直线上，.ZADC=120,Z BEC=120,：.NAEB=NBEC-Z CD=60.故答案为60.V AACDABCE,：.AD=BE.故答案为AQ=BE.(2)ZAEB=90,AE=B
21、E+2CM.理由：如图2.4C8和AOCE均为等腰直角三角形，：.CACB,CDCE,N4CB=NDCE=90。，A ZACD=ZBCE.CA=CB在4 ACD I1A BCE 中，V NACD=ABCE,CD=CE：./XACD/XBCE(SAS),：.AD=BE,ZADC=ZBEC.:O C E为等腰直角三角形，：.Z CDE=Z CED=4 5.,点A,D,E在同一直线上，/.Z A DC=1 35,.Z BC=1 35,：.Z AEB=Z B E C-Z CD=90.:C D=CE,C M A.D E,:DM=ME.V Z D C E=90,:DM=ME=CM,：.AE=AD+DE=B
22、E+2CM.(3)点A到8 P的距离为 叵 口 或 避 土L2 2理由如下：1,.点P在以点。为圆心，1为半径的圆匕./8PC=90。，.点尸在以8。为直径的圆上，点P是这两圆的交点.当点P在如图3所示位置时，连接尸。、P B、P A,作AHL 5 P,垂足为H,过点4作AE L AP,交BP于点E,如图3.:四边形 A B CD 是正方形，A Z ADB=4 5.AB=AD=DC=BC=血，Z BAD=90,：.BD=2.DP=,：,BP=y/3.；/BP D=NBAD=90。,二4、P、。、8 在以 80 为直径的圆上，/.Z AP B=Z ADB=4 5,二B4 E是等腰直角三角形.乂8
23、AQ是等腰直角三角形，点8、E、P共线，A/L 8 P,，由(2)中的结论可得：BP=2AH+P D,:.布J 3-1=2A H+1,:.AH I2当点P在如图3所示位置时，连接尸力、P B、P A,作A，J_ 8 P,垂足为，过点A作AE L AP,交P B的延长线于点E,如图3.同理可得：BP=2AH-P D,；.&=2AH-1,1上1 .2综上所述：点4到8尸的距离为XI二1或 避 土 .22【点 睛】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体
24、 现 新 课 程 理 念 的 一 道 好 题.而 通 过 添 加 适 当 的 辅 助 线 从 而 能 用（2）中 的 结 论 解 决 问 题 是 解 决 第（3）的关键.14.（2019浙江省中考模拟）如 图，在平面直角坐标系中，矩 形OABC的 顶 点B坐 标 为（4,6）,点P为线 段OA上 一 动 点（与 点O、A不 重 合），连 接C P,过 点P作PE_LCP交AB于 点D,且P E=P C,过 点P作PFJ_OP且PF=PO（点F在第一象限），连 结FD、BE、B F,设OP=t.（1）直 接 写 出 点E的 坐 标（用 含t的代数式表示）：；（2）四 边 形BFDE的 面 积 记
25、 为S,当t为 何值时，S有最小值，并求出最小值;（3）A BDF能否是等腰直角三角形，若 能，求 出t；若不能，说明理由.【答 案】、（t+6,t）：（2）、当t=2时,S有 最 小 值 是1 6；（3）、理由见解析.【解析】(1)如图所示，过点E 作 EGJ_x轴于点G,则NCOP=/PGE=90。，由题意知 C0=AB=6、OA=BC=4、OP=t,VPECP.PFOP,；./C P E=/F P G=9 0,即/CPF+NFPE=/FPE+NEPG,A ZCPF=ZEPG,又,.COLOG、FPXOG,；.COFP,NCPF=NPCO,NPCO=/EPG,在APCO 和AEPG 中，V
26、 ZPCO=ZEPG,NPOC=NEGP,PC=EP,.*.PCOAEPG(AAS),；.CO=PG=6、OP=EG=t,贝 ij OG=OP+PG=6+t,则点 E 的坐标为(t+6,t),AAAD PA AD 4-r(2)：DAEG,.,.P A D A P G E,:.=,：.=-,GE PG t 6AD=-t(4-t),61 1,2，BD=AB-AD=6-t (4-t)=-t2-t+6,6 6 3:EG_Lx 轴、FP_Lx 轴，且 EG=FP,；四边形 EGPF 为矩形，/.EFXBD,EF=PG,S 叫 边 彩BEDF=SA BDF+SA BDE=xBDxEF=-x(t2-1+6)
27、x6=(t-2)2+16,2 2 6 3 2.当t=2时，S 有最小值是16；(3)假设/F B D 为直角，则点F 在直线BC上，VPF=OPAB,.点F 不可能在BC上，即NFBD不可能为直角；假设/F D B 为直角，则点D 在 EF上，点D 在矩形的对角线PE上，点 D 不可能在E F 匕 即NFDB不可能为直角：假设NBFD为直角且FB=FD,则/FBD=/FDB=45,如图2,作 FHLBD于点H,则 FH=PA,即 4-t=6-t,方程无解，,假设不成立，即 BDF不可能是等腰直角三角形.图1图215.（2019江西省中考模拟）某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如
28、下过程：操作发现在等腰AABC中，A B=A C,分别以4 3 和 AC为腰，向 A 5 c 的外侧作等腰直角三角形，如图所示,连接O E,其中尸是。E 的中点，连接4 尸，则 下 列 结 论 正 确 的 是 （填序号即可）4 尸=，6C：A尸 _L5C；整个图形是轴对称图形；DE BC、2数学思考在任意ABC中，分 别 以 和 AC为腰，向 ABC的外侧作等腰直角三角形，如图所示，连接OE,其中尸是。E 的中点，连接A F,则 A F和 BC有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程类比探索在任意 ABC中，仍分别以A 8 和 AC为腰，向A A 8C 的内侧作等腰直角三角形，如图所示，连接OE
29、,其中是 OE的中点，连接A R 试判断A尸和5 c 的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由.【答案】操作发现：；数学思考：A F=-B C,AFA.BC,理由见解析；类比探索：A尸和8 c的数2量和位置关系不发生改变，理由见解析【解析】操作发现：如 图1,延 长 必 交8 c于G.,.A8D 和 ACE 是等腰直角三角形，且/BAD=NC4E=90。，：.AB=AD,AC=AE.：AB=AC,：.AD=AE.是。E 的中点，J.AFVDE,ZDAF=ZEAF,：.ZBAF=ZCAF.AF=AF,，尸8A部尸C4(SAS),；.FB=FC,；.FG 是 8c 的垂直平分线，B P FGLBC
30、,AF1BC,故正确；V ZAGB=ZAFD=90,/BAG=NFDA,ZAFD/XBGA(AAS),：.A F=B G=-B C,故正确；2V ZAFD=ZAGC=90,：.D E/B C,故正确；根据前面的证明可以得出将图形1,沿尸G 对折左右两部分能完全重合，.整个图形是轴对称图形，故正确，结论正确的有：.故答案为：；数学思考：结论：A F=-B C,A F B C,理由是：2如图2,延长A尸至M,使 FA仁A F,连接。M、E M,延 长 刚 交 8 c 于 G.四边形 D4EM 是平行四边形，；.4。=：加=48,4。,，.NDAE+NAEA仁/D4E+/BAC=180,ZBAC=Z
31、AEM.：AC=AE,：./C A B/A E M (SAS),：.AM=BC=2AF,ZAME=ZCBA,B|J A F=-B C.2.A D/E M,工 NDAM=NAME=NCBA.V ZBAD=90,：.ZDAM+ZBAG=90,：.ZCBA+ZBAG=ZAGB=90,：.A FrBC；类比探索：AF和 8 c 的数量和位置关系不发生改变，理由是：如图3,延长A尸至M,使 4尸=尸 加，连接EM、D M,设A F交BC于N.：EF=D F,二四边形AA)是平行四边形，：.AE=DM=AC./ZBAD+ZEAC=SO,：.ZBAC+ZEAD=SQ.：AE/DM,；./AOM+NEAO=1
32、80,A ZADMZBAC.：AB=AD,.ABC丝OAM(SAS),；.AM=BC=2AF,ZDAM=ZABC,：.A F=-B C.2；NZMA/+N84F=/4BC+NBAF=90,NAN8=90,：.AFLBC.【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时运用类比的方法：作辅助线构建平行四边形是解答本题的关键.16.(2017湖北省中考模拟)如图,ABCD为正方形,将正方形的边CB绕点C顺时针旋转到CE,记N5CE=a,连接BE,D E,过 点 C作 CFLZJE于尸，交直线3 E 于”.(1)当 a
33、=60。时，如图 1,贝！J N 5 H C=；(2)当 45。(190。，如图2,线段8 、EH、C”之间存在一种特定的数量关系，请你通过探究，写出这个关系式：(不需证明)；(3)当 9(rV aV 180。，其它条件不变(如图3),(2)中的关系式是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并简要证明.【答案】(1)45；(2)BH+EH=72CH；(3)不成立，BH-EH=VCH.【解析】解：(1)作CGJ_8,于G,如 图1所示：,四边形 ABCO 是正方形，.CBnCD,NBCD=90。,由旋转的性质得：CE=CB,ZBCE=a=60,：.CD=CE,ZBCG=ZE
34、CG=-ZBCE=30.：CFLDE,：.ZECF=ZDCF=-ZDCE,：.ZGCH=-(NBCE+NDCE)2 2 2=1x900=45。；故答案为 45。；2(2)BH+EH=4iCH.理由如下：作 CGJ_BH于 G,如图2 所示:同（1）得：NBHC=45。,.CGH 是等腰直角三角形，:.C H=G H.,:CB=CE,CGA.BE,；,BG=EG=-BE,：.BH+EH=BG+EG+EH+EH=2GH=&C H；故答案为BH+EH=61 CH；（3）当90Y a l80。，其它条件不变，（2）中的关系式不成立，BH-E H f C H；理由如下：作 CG_L8”于 G,如图3 所
35、示：同（2）得：NBHC=45。,CGH 是等腰直角三角形，C H=&G H,BG=EG=；BE,：.BH-EH=BG+GH-EH=BG+EG-E H -E H=2 G H=O CH.点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识：本题综合性强，有一定难度.17.(2018山东省中考模拟)矩形ABCD中，DE平分NADC交 BC边于点E,P 为 DE上的一点(PEVPD),PMPD,PM 交 AD 边于点 M.(1)若点F 是 边 CD上一点，满足PFJLPN,且点N 位 于 AD边上，如 图 1 所示.求证：PN=PF；DF+D
36、N=V2 DP；(2)如图2 所示，当点F 在 CD边的延长线上时，仍然满足PFJLPN,此时点N 位 于 DA边的延长线上,如图2 所示；试问DF,DN,DP有怎样的数量关系，并加以证明.【答案】（1）证明见解析；证明见解析；（2）D N-D F =0 D P，证明见解析.【解析】解：（1）：四边形A8CD是矩形，./4OC=90。.又DE 平分 Z.AD C,二 NADE=NEDC=45。；:PMLPD,ZDMP=45,：.DP=MP.：PM LPD,PF1PN,：.NMPN+NNPD=NNPD+NDPF=9Q,/.NMPN=NDPF.NPMN=/P D F在 APA/N 和 APOF 中
37、，PM=PD,ZM PN=NDPF:AP M N m 4PDF（ASA）,：.PN=PF,MN=DF；：PA/_LP。，DP=MP,.。册=。产+“尸 2=2。尸 2,:.D M=Q D P.:又,：DM=DN+MN,且由可得 MN=OF,：.DM=DN+DF,：.DF+DN=yf2 DP；（2）D N-D F =41DP 理由如下：过点P 作 PMi交 AD边于点M i,如图，:四 边 形 ABC。是矩形，A ZADC=90.乂；力 平分 NAOC,:.NADE=NEDC=45。；：PMVPD,NDMiP=45,：.DP=MP,；.N PD F=/PM iN=l35,同（1）可知NMiPN=
38、NDPF.N P M N =4PD F在 PM N 和 P DF 中 PM=PD ,NMFN=NDPF.PMN/PDF(ASA),:.MiN=DF,由勾股定理可得：D Mi2=DP2+MxP 2DP2,：.DM 72 DP.:D M产D N -MN,MN=DF,:.DM=DN-DF,：.DN-DF=yj2 DP.本题为四边形的综合应用，涉及矩形的性质、等腰宜角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识.在每个问题中，构造全等三角形是解题的关键，注意勾股定理的应用.本题考查了知识点较多,综合性较强，难度适中.18.(2019云南省中考模拟)在矩形ABCD中，AB=12,P 是边AB上一
39、点，把 PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G,过点B 作 BE_LCG,垂足为E 且在AD上，BE交 PC于点F(1)如 图 1,若点E 是 A D 的中点，求证：AEBgZkDEC；(2)如图2,求证：BP=BF；当 AD=25,且 AEVDE时，求 cosNPCB的值；当 BP=9时，求 BEE F的值.【解 析】(1)在矩形 ABCD 中，ZA=ZD=90,AB=DC,E 是 AD 中点，/.AE=DE,AB=DC在4ABE 和 ADCE 中，ZA=ZD=90 rAE=DEAAABEADCE(SAS)；(2)在矩形 ABCD,ZABC=90,VABPC沿 PC折叠得到 GPC,A
40、 ZPGC=ZPBC=90,ZBPC=ZGPC,VBE1CG,A BE/PG,/.ZGPF=ZPFB,.NBPF=NBFP,，BP=BF；当 AD=25时，V ZBEC=90,，ZAEB+ZCED=90,VZAEB+ZABE=90,AZCED=ZABE,VZA=ZD=90,AAABEADEC,.AB DE.-fAE CD设 AE=x,ADE=25-x,.12 2 5-xx 12x=9 或 x=16,VAE/.BP=,3在 R S PBC 中，pc=25加,COSZPCB=；3PC 10如图，连接FG,ZGEF=ZBAE=90,，BFPG,BF=PG=BP,.BPGF是菱形，.BPGF,.ZGF
41、E=ZABE,.GEFs/XEAB,EF ABGFBE.BEEF=ABGF=12x9=108.【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键.19.(2018广东省中考模拟)已知：如 图 1 在 R 3 A B C 中，ZC=90,AC=8cm,BC=6cm,点 P 由点B出发沿BA方向向点A 匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q 由点A 出发沿AC方向点C 匀速运动，速度为lem/s；连接P Q,设运动的时间为t 秒(0 t 5),解答下列问题：(1)当为t 何值时，PQ/7BC；(2)设AA
42、QP的面积为y(d m?),求 y 关于t 的函数关系式，并求出y 的最大值；(3)如图2,连接P C,并把APQC沿 QG翻折，得到四边形PQ PC,是否存在某时刻t,使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(I)当 1=竺 时，P Q B C；(2)-(-2)2+?,当 t=2 时，y有最大值为 二；(3)存在,1 3 5 2 4 2 44 0当 1 二 天 时，四边形P Q P C 为菱形【解析】(1)在 R t A ABC 中，AB=JAC2+Bc6 2+8 J。B P=2 t,A Q=t,则 AP=1 0 -2 t,V P Q/7 B C,.,
43、.APQAABC,AQ一Ac401340-13-一一=APABMt:一眸二,即曙发时，P Q B C.(2)过点 P 作 P D _ L A C 于 D,则有A A P D s a A B C,5y=-t(6-t)=-(t-)2+,2 5 5 2 4，当 t=2 时，y 有最大值为身.2 4(3)存在.理由：连接P P,交 A C 于点0.P 四边形PQPC为菱形，.,.OC=-1CQ,/APOAABC,.-A-P-=-A-O-，即n n-1-0-2-t-=-O-A-，A B A C 1 0 8/.OA=(5-t),5A 8-(5-t)=(8-t),5 2解得t=4g,2140.当t=时,四边
44、形PQPC为菱形.【点睛】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.20.(2018江苏省中考模拟)如图1,在矩形ABCD中，AD=3,D C=4,动点P 在线段DC上以每秒1个单位的速度从点D 向点C 运动，过点P 作 PQAC交 AD于 Q,将4 PDQ沿 PQ翻折得到4 PQ E.设点 P 的运动时间为t(s).(1)当点E 落在边AB上时，t 的值为；(2)设APQE与 ADC重叠部分的面积为s,求 s 与 t 的函数关系式；(3)如图2,以 PE为直
45、径作。O.当。O 与 AC边相切时，求 C P的长.25 3 9 1 6【答案】(1)(2)s 广(当 0 W 2),s 广+6f 6(2 t C 中，s i n Z A C D=-,cosZ ACD=-.：P Q/CA,A N Q P A N A C D,33 5 3 3t a n Z A C D=-.,:P D=P E=t,：.Q D-t,P Q=-t,：.EQ=Q D=-t,A Q=3一一t.在 E P P 中，；P F=3,4 4 4 4 4P E=t,:.EF7 t 2 _9.N/E Q=9 0。，:.NFEP+NEP F=90,N A E Q+N Q A=9 0,：,Z FEP=Z
46、 EQ A,(,3J(2 3-t 25/.c o s ZFEP=cosZ EQ A,-=-,解得：/=；4f(2)当 E刚好在 CA 上时，如图 3.,JPQ/CA,/.Z1=Z4,Z2=Z3.VZ3=Z4,:.PC=PE.；PE=PD=t,:.PC=Pg,A 2/M,解得：片2.图3I 1 3 3当 0 Y 2 时，如图 1,S=S&EPQ=S&PDQ=Q PDQD=手 Q t=V；当 2 /K 4时，如图 4,由(2)可知，PM=PC=4-f,.EM=f-(4-f)=2L4.：ACPQ,.EMNs/iEPQ,SAEMN 一(EM 2 一(2t 4 2 .J c c 1 3 3 2.c 2-
47、4、，。7 =()一(-)SA EP斫 SA PD(T-PD-QD=.SSEMN=(-)-SEPQ,XPEQ 匚 1 Z Z 4 o ic c3 2/2,4、2 3 o 9 z,:,S=SAPEQ_ SAEMN=1-(-)X 3+61-6.8 z 8 8BAQP图4综上所述：s=3,-r(0 z 2)89 2-r +6t-6(2 tA8=/ZME=90,在 DAB D4E 中，ZBAD=ZEAD DA=DA,NBDA=NEDA:.ADABmADAE,：.A B=A E,又YOBuOD,：.O A/D E,又：AHJLDE,：.OAAH,.AH是。的切线；(2)解：由(1)知，NE=NDBE,Z
48、DBE=ZACD,：.ZE=ZA C D,；.AE=4C=A8=6.在 RtZiABO 中，AB=6,80=8,ZAD EZAC B,6 3 3sinZADB=,即 sin/ACB=；8 4 4(3)证明：由(2)知，0 4 是 BOE的中位线，：.0A/D E,0 A=-D E.2.CDFS&40F,.CD DF 2AO O F3：2 1 nn I.C D=-0 A =-D E,即 CD=-CE,3 3 4；AC=AE,AHrCE,:.CH=HE=CE,2I：.C D=-C H,2：.CD=DH.c【点睛】本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、三角形
49、中位线定理是解题的关键.23.(2019浙江省中考模拟)如图，在平面直角坐标系中，4(0,4),8(3,4),P为 线 段O A上一动点,过。，尸，8 三点的圆交x 轴正半轴于点C,连 结 A5,PC,B C,设 OP=/.(1)求证：当 尸 与 A 重合时，四 边 形P O C B是矩形.(2)连 结P B,求 tanZBPC的值.(3)记该圆的圆心为M,连 结OM,B M,当四边形P O M B中有一组对边平行时，求所有满足条 件 的m的值.(4)作 点O关 于P C的对称点0,，在 点P的整个运动过程中，当 点 落在A A P B的内部(含边界)时，请 写 出m的取值范围.4 7 5 5
50、 25【答案】(1)见解析；(2)t a n Z B P C=；(3)?=或 m=；(4)O S m W 或 m=.3 4 2 2 8【解析】(1)：N C O A=9 0。，；.P C 是直径，A Z P B C=9 0.V A (0,4)B(3,4),y轴,.当A与P重 合 时,NOPB=90。,.四边形尸0a 是矩形;(2)连结0 B,(如图1),NBPC=NBOC.AO 4：AB/OC,：.Z A B O=Z B O C,:.N B P C=N B O C=N A B O,：.VmZBPC=lanZABO=一；AB 3y图i(3)；PC为直径，；.M为PC中点.如图2,当。尸BM时，延