《专练15（30题）（圆压轴大题）2022中考数学考点必杀500题（广东专用）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专练15（30题）（圆压轴大题）2022中考数学考点必杀500题（广东专用）（解析版）.pdf（84页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022中考考点必杀500题专练15(圆压轴大题)(30道)1.(20 22广东珠海模拟预测)如图，是A A B C 的外接圆，A C 是。O的直径，点8是半圆A B C 的中点,点。是 A O C 上一动点(不与点A、C 重合)，连接8。交 A C 于点G.图 1图 2(1)如图1,过点8作交D 4延长线于点尸，求证：班与。O相切：(2)若 A C =1 0,A D =6,求 CG 的长；(3)如图2,把A Z M C 沿直线B C 翻折得到A E B C,连接A E,当点。在 A O C 运动时，探究线段A E、B D、CZ)之间的数量关系，并说明理由.4 0【答案】(D 详见解析；(2)
2、y；(3)A E2 2 D B2+C D2,详见解析.【解析】【分析】(1)连接OB,求出O 8 _ L A C,根据8 尸/AC得到9 0。，问题得证；(2)作交C。于 点 证 明 =G，求出CD=8,根据ta n Z ACD=1432 24在 HA C G中，设G =3 a,则Z W=3a,C H =4 a,求出C H=,G=，根据勾股定理即可求出CG；7 7(3)作 BW _ L B E,使得 B M =B E，连接 E M，C M .证明/ABE三 A C B M,得到 A E =C M,证明 Z C E M =9 0 ,得至U CM?=E 2+E C 2,根据数量关系进行代换即可得到
3、AE?=2 0 8 2+8 2.【详解】证明：(1)连接0 8,。是AABC的外接圆，A C 是。的直径，点8是半圆A B C 的中点，/.ZBAC=ZACB=45,OB VAC:.ZABO=45.BF/ACNAB尸=45。.ZFBO=90 5尸与O O 相切;解：(2)作 GH LC D交CD 丁点 H,点4 是半圆周ABC的中点，:.ZADB=NCDB AC是O O 的直径/.ZAZX;=90:.NCDB=45。:.DH=GH在RAAC。中，AC=10,AD=6,:.CD=S3tan ZACD=4在 R/ACGH 中，设 GH=3 a,则。=3a,r，c 8/.3a-F 4a=8,a=,7
4、CH=4a在 RfACG”中，设G=3 a,则。=3a,CH=4a32 240,CW=,GH=(3)结论：AE2=2DB2+CD2作 使得 8M=3 E,连接 EM,CM.ZABC=ZEBM=90,ZABE=NCBM,.BA=BC,BE=BM,ZXABE s A CW (SAS),:.AE=CM,ZBEC=NBDC=NBEM=45:.CEM=90,:.CM2=EM2+EC2,:.EM2=2BE?=2BD?，EC=CD,AE1=2DB2+CD24.M【点睛】本题为圆的综合题目，考查了圆的性质，切线的判定，利用三角函数求线段的长，勾股定理等知识，综合性 较 强.解 第（2）步关键是添加适当辅助线G
5、H,构造了等腰直角三角形DHG和三边比为3:4:5的直角三角形CGH；解（3）步关健是构造旋转全等，将三条线段转化在同一直角三角形CEM中，得出数量关系后再进行线段的代换.2.（2022广东 模拟预测）如图所示，RtMBC中：回C=90。，A B=6,在A8上取点。，以。为圆心，以。8为半径作圆，与AC相切于点D,并分别与AB,8c相交于点E,F（异于点8）.（1）求证：BD平分E1A B C；（2）若点E恰好是A。的中点，求弧BF的长；(3)若CF的长为1,求 国。的半径长.(1)连接。，证明OD/3C可得结论.(2)证明AODE,A08歹是等边三角形即可解决问题.(3)如图3,过。作OMJ
6、LBC于M,则=四边形 8 O M是矩形，设圆的半径为，则OA=6-r.BM=FM=r-1 ,证明 W D O N O M B,由比例线段可得出的方程，解方程即可得出答案.【详解】(1)证明：如图1中，连接00.s.ODLAC,Z A D O =9 0,vZC=90,?ADO?C,OD/BC.?ODB?DBC,;OD=OB,ZODB=ZOBD,?OBD?DBC,.3。平分4 4 6。.(2)解：如图1中，连接。E,OF.QAE=OE=OB,AB=6,AE=OE=08=2,Q2ADO 90?,DE=-0A =2,2 DE=OE=OF=2,DQDE是等边三角形，ZZX)E=60,0D/BC,?AO
7、D?OBF 60?,QOF=OB,DQq是等边三角形，?FOB 60?,.B F的长=等著(3)如图2中，连结O。，过。作于 M,则=四边形CD O M是矩形设圆的半径为，则OA=6-r.BM=FM=r-1 ,QDO/BC,?AOD?OBM,而 N A X 9 =9 0。=4 O M B ,DADODOMB,0A=OD_ OB BM .6-r rr 77 解之得r =5或g （舍弃），3.。的半径为:.2【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，矩形的判定，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等等，解题的关键是熟悉相关性质，学会用转化的思想思考问题.3.（20 22广东模
8、拟预测）如图1,有一块直角三角板，其中AB =1 6,/A C B =9（y,N C A B =30 l A、B在 x 轴上，点 A 的坐标为（20,0）,圆 M 的半径为3 6,圆心M 的坐标为卜5,3 6）,圆 M 以每秒1 个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t秒；求 点 C 的坐标；（2）当点M在/A B C 的内部且0M与直线BC相切时，求 t 的值：如 图2,点 E、F 分别是BC、A C 的中点，连 接 E M、F M,在运动过程中，是否存在某一时刻，使/E M F =9 0?【答案】（1）3（8,4 6）；（2）t=1 8s；（3）t =1 5士店.【解析】【分析
9、】（1）如图1中，作 C WB4 8于 解 直 角 三 角 形 求 出 C4,O”即可.（2）如图1-1中，设IW 与直线8 c相切于点N,作于H.求出O”的长即可解决问题.(3)设M(-5+f,3石),E F=-A B=8,由0EA 三90。，可得/0?+加尸=尸，由此构建方程即可解决问题.【详解】(1)如图1中，作CH S L 4 B于H.E L4(20,0),48=16,00/1=20,0 8=4.在 RtQL43c 中，02L4C8=9O,/8=16,(3048=30,05C=-/15=8,2CH=8C sin60=4G，8H=8c cos60=4,回。=8,0C(8,4出(2)如图1
10、-1中，设团H与直线B C相切于点N,作M H&A B于H.四=用，=3 6，加08。,收/70氏4,励加8”=团 团8%=30,勖，=6.必，=9,13点的运动路径的长为5+4+9=18,团当点团在皿18c的内部且0W与直线B C相切时，/的值为18s.(3 )0C(8,4 7 3),B(4,0),A(20,0).CE=E B,CF=F A,回 (6,26)，F(14,273),设 M (-5+f,3 力)，E F=A B=8.W E M F=90,E M2+M F2=E F2,0(6+5-Z)2+()2+(14+5-Z)2+(/3)2=82,整理得：f2-30/+212=0,解得：/=15
11、V13.【点睛】本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.4.(2022广东模拟预测)问题提出：如图 1,在四边形 ABC 中，A B=A D =3,N BCD=ZBA D=90 P ,A C =4.求 8 C +C D 的值.问题解决：（2）有一个直径为3 0 c m 的圆形配件。O,如图2 所示.现需在该配件上切割出一个四边形孔洞C M B C,要求Z O=Z B =60 ,O A =OC,并使切割出的四边形孔洞。A B C 的面积尽可能小，试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形。4 3 C
12、?若存在，请求出四边形0 A B e 面积的最小值，及 此 时 的 长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）40（2）S四边形O/8 C 最小为 个 石，此 时 长 度 为 5 a【解析】【分析】（1）将/BC绕/点逆时针旋转9 0 得证明C、。、E在同一条直线上，由 是 等 腰 直 角 三角形得出结果；（2）类 比（1）的方法，将 绕/点 顺 时 针 旋 转 60 至 C O E,连接8 E,分析得：S四边形。1 8C=S A O B+S B C O=S C O E+S/B C O=S A B O E -S/BCE=/3 -S/BCE,故使 BCE 的面积最大，因4BE =3 0,Zf i
13、C=1 2 0 ,故作正 5E F,作它的外接圆 进 而 求 得 其 最 大 值.解：（1）如图1,图I：Z B C D=Z B A D=9 0a,A D=A B,A Z 5+Z/(Z)C=180 ，可以将/8 C 绕/点逆时针旋转9 0 得/；.NAD E=NB,AE=AC,ZCAE=90,BC=DE,：.ZADE+ZADC=180,.C、D、在同一条直线上，Z.BC+CD=CD+DE=CE=y/lAC=4 0 :解：如图2,图2连接OB,V ZAOC=60,OA=OC,.将/。8 绕。点顺时针旋转6 0 至C O E,连接：.ZBOE=60,OE=OB,.8 0 是等边三角形，：.BE=O
14、B=15,ZBEO=60,NCBE=NABO=NCEO,：.NCBE+NCEB=6Q,.N8CE=120,：S 四边形 OABCS/XAOB+SjBCOS/XCOESBCO=S/BOE-S/BCE=空-SABCE,4要使四边形O48C的面积最小，就要使BCE的面积最大,作正ABE尸，作它的外接圆。/,作直径尸C ,当 C 与 C 重合时，S4B C E最大,S A B C E 最大=g x i 5X (亘x叵)=有,2 2 3 4 S四 边 形048。最 小=06，2151 此时 O A =O C=2E=5 7 3.cos 30 2【点 睛】本题考查了用旋转构造图形，利 用 三 角 形 全 等
15、 和 等 腰(等 边)三角形的性质和知识，解决问题的关键是作辅 助 线 和 利 用“定弦对定角”等模型.5.(2022广 东 模 拟 预 测)已 知，AABC内接于。，点。为8 c中点，直 径 跖 经 过 点O,连接图1图2图3(1)如图 1,求 证：Z B A E =Z C A E；(2)如图 2,连接 Z B 0 E =2 Z A B C,求证：A F =2 O D；(3)如 图3,在(2)的条件下，/E和8 c交 于 点G,若A=8OG,AACG的面积为10底，求。8的长.【答 案】(1)证明见详解(2)证明见详解 6【解 析】【分 析】(1)利用垂径定理结合圆周角定理得出答案；(2)过
16、。作0 M尸于点K,连 接4 0、0 C,利用己知得出I3O8O30FOK,进而得出答案；(3)过/作/超8 c于 点H,得羽A E D G s A A H G,再 证 明 用SO E G,进而得出答案.(1)证明:0 E尸是直径，。为 8c 中点国 BE=E C，0 Z B A =Z C 4 ；(2)证明：如图2,过。作 OKa 4 尸于点K,连接O C,则/尸=2 尸 K,图213/BOE=2ZABC,ZA0C=2ZABC,!3ZAOC=ZBOE,曲是直径，D为BC中点,0NBOE=NCOE,EF1BC.NBOE=LNAOE=NF,2E1 0 XEWF,E f IB C,SI NBDO=N
17、OKF=90。,在 团 0 8 0 和0 F O K 中ZBDO=ZOKF/2 团 尸为。的直径，S 4 =9 0 ,E F I B C.0 ZEZX7 =Z E 4 F =9 O,0 Z =Z ,田 AAEFSADEG,E F A E n n E F 8 a0 =B P =T=-E G D E 3 a 2 虫 a团 EF =6 0 a =1 2，0 0 5=6.【点睛】此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识，熟练应用全等三角形的判定与性质是解题关键.6.(2 0 2 2 广东清远模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是(5,4),I W 与y 轴
18、相切于点C,与x 轴相交于4 B两点.(1)则点 4 B,C 的坐标分别是/(,),B(,),C (,)；设经过4 8两 点 的 抛 物 线 的 解 析 式 为(x-5)2+k,它的顶点为F,求证：直线刈与0M 相切；在抛物线的对称轴上，是否存在点P,且点尸在x 轴的上方，使胡B C是等腰三角形，如果存在，请求出点尸的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)2；0；8；0；0；4；(2)见解析(5,4+而)或(5,J7 T )或(5,4).【解析】【分析】(1)连接A/C、M 4,设过点用与夕轴平行的直线交x 轴于Q,由切线的性质得出欣W轴，M C=M A=5,O C=M D=4,得出点C
19、的坐标；由N D E U 8,得出。0 MD/=9 O。，由勾股定理求出4),得出8 0、0 4、OB,即可得出点4、8的坐标；(2)把点A(2,0)代入抛物线得出k=-j 得出顶点厂的坐标，得出D F、MF,由勾股定理得出哈第,证出/2+必2=河产，由勾股定理的逆定理证出团以4 斤=9 0。，即可得出口与(W 相切；(3)由勾股定理求出8C,分三种情况：当尸历P C时，点 P 在 BC的垂直平分线上，点 P 与 M 重合，容易得出点P 的坐标；当 2 尸=8。=4 有 时，由勾股定理求出P D,即可得出点尸的坐标；当P C=BC=A小时，由 勾 股 定 理 求 出 得 出“，即可得出点P 的
20、坐标.解：连接A/C、MA,设过点M 与y 轴平行的直线交x 轴于D,如图所示：轴，W (5,4),WC=A=5,O C=M D=A,国 C (0,4),BD A=D Bt M D A=90 f加 又 正.4=3,鲂。二 3,团 0 4=5-3=2,0 8=5+3=8,EL4 (2,0),B(8,0),故答案为2,0；8,0；0,4；解：把 Z(2,0)代入 y=(x-5)2+k ,解得及=-g4 41/90 y=-(x-5)-,4 49I U/*(5,)49 2 5 90/V/F=4+=,D F=一,4 4 4I-1 5财尸=AD2+FD2=S F A1+AM2=MF2=1 6M A A F
21、解：存在；点尸坐标为(5,4+后)或(5,回)或(5,4)；理由如R由勾股定理得：B C=8 c。+O B?=T?TF=4 石，分三种情况：当尸8=PC 时，点 P 在 8。的垂直平分线上，点 P 与重合0 P(5,4)；当BP=BC=46 时，如图2 所示：P D=B F -B D2=5/8 0-3 2 二回,朋(5,5)；当 PC=8 C=4 6 时，连接M C,如图3所示:则朋MC=9 0,根据勾股定理得：PM=Jpc2-M C2=48 0 -52=底.朋。=4+宿，0 P （5,4+7 55）；综上所述：存在点P，且点。在x 轴的上方，使1 3 尸 8。是等腰三角形，点尸的坐标为（5,
22、4+5/55）或（5,ST）或（5,4）,.【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特 别 是（3）中，需要进行分类讨论，运用勾股定理才能得出结果.7.（20 22广东珠海二模）如图1,在正方形/8 C A 中，/8=1 0,点。，E 在边C D 上,且 C =2,DO=3,以点。为圆心，OE为半径在其左侧作半圆。，分别交4。于点G,交 的 延 长 线 于 点 F.(2)如图2,将半圆。绕点E逆时针旋转a (T=1O,HQStCD.1 3点。是E9的中点，点。是
23、。尸的中点，0Z)E=8,0O,CN2+CD1=7116，NE=y/cN2+CE2=2石 0S,DEN=；DE.CN=；EN D H，DH=DECNEN8X4_16A/52-7 5-5田NH=4DN?一 DH?=J 1 1 6 竽=0 t a n l 3 A 7)=0 =；NH 9当半圆。与正方形力AC。的边Z 8 相切时，如图5,此时N 与尸重合，则 E尸的8,ABCD,配尸团8,e 小 DE 8 4团 tan 回 7VD=-=一,EF 1 0 58 4综上，tan0M)=3或y.【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，矩形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，解直角三角形，利用分类思想解决问题是本
24、题的关键.8.(2022广东模拟预测)如图，4 8 是 田 O 的直径，点 C 是 田 O 上一点(与点4 8 不重合)，过点C 作直线P Q,使得m C0=S48C.(1)求证：直线尸。是回。的切线.(2)过点4 作/ZMPQ于点。，交 回。于点E,若 回。的半径为2,s in a D/C=g,求图中阴影部分的面积.【解 析】【分析】(1)连接O C,由直径所对的圆周角为直角，可得a4c8=9 0。；利用等腰三角形的性质及已知条件04CQ=EL45C,可求得回。=90。，按照切线的判定定理可得结论.(2)由sin!3%C=T，可 得 皿C=30。，从而可得0/1CD的 度 数，进而判定胡E
25、O为等边三角形，则EL4OE的度数可得；利用 s阴影=s耐 形-S A E O,可求得答案.【详解】解：(1)证明：如图，连接OC,Q0EWC5=9O,W A=OC,mCAB=ACO.0EWC0=EL45C,BiBlCAB+SABC=4CO+SACQ=OCQ=9 0 ,即 OO3P0,1 3直线PQ是 回。的切线.(2)连接OE,0sin0C=1,ADPQ,fflft4 c=30,0JCZ)=0ABC=6O.00BAC=3O0,S0BAD=0DAC+0BAC=6O,又 团O4=OE,豳4 e 0为等边三角形，W AOE=60.团s阴影=s扇 形-S&AEO=S 雇 形-g 0 4sin627
26、r回图中阴影部分的面积 为 看-V 3.【点睛】本题考查了切线的判定和性质，求弓形的面积和扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题.9.(2022广东模拟预测)如图，4 2 为。的直径，C为。上一点，。为上一点，B D=B C,过点4作A B 交C。的延长线于点E,CE交O O于点G,连接/CMG,在E A的延长线上取点F,使NFCA=2Z.(1)求证：CF 是。的切线；(2)若 A C =6,A G =M，求。的半径.【答案】(1)见解析；(2)5【解析】【分析】(1)根据题意判定然后结合相似三角形的性质求得NA GD=2NE
27、,从而可得NF C4=NA G3 ,然后结合等腰上角形的性质求得ZFCO=9 0,从而判定C 尸是。O的切线；(2)由切线长定理可得A Q b,从而可得NE4 C=2NE,得到AC=A,然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径.【详解】(1)证明：.ZB=ZAGC,Z A D G=Z C D B,:.AADGS ADCB,.B D BCGDGA：B D=B C,:.GD=GA,:.ZADG=ZDAG,乂.AEJ_AB,/.ZEAD=90,.ZGAE+ZDAG=ZE+ZADG=90,NGAE=N E,:.AG=DG=EG,ZAGD=2ZE,N F C 4=2N：,.ZFC4=ZAGZ=ZB,4
28、 3是o o的 直 径，ZC4B+ZB=90,乂 QO4=OC,/.ZACO=ZCAB,.Z F C4+Z ACO=9 0,:.ZFCO=90,即。产 是O O的 切 线；(2).CF是OO 的 切 线，A E A B,:.AF=CF,ZFAC=ZFCAF2ZE,/.AC=AE=6,又A G=D G=E G=5,在 RtAADF 中，AD=JDE2-AE2=也 加 了 -6?=2，设。的 半径为 x,则 Afi=2x,BD=BC=2x-2,在 RtAABC 中，62+(2尸2)2=(2x)2,解 得：x=5,.。的 半 径 为5.【点 睛】本 题 考 查 了 圆 周 角 定 理、切 线 的 判
29、 定 与 性 质、相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质、勾 股 定 理 等，熟 练 掌 握 相 关 定 理与 性 质 是 解 决 本 题 的 关 键.1 0.(2 0 2 2广东广州一模)如 图，在平面直角坐标系中，直线产x 与双曲线y =A交于4 8两点，其中/X的坐标为(1,。)，尸是以点C(-2,2)为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接/尸，。为4 尸的中点.求双曲线的解析式：(2)将直线y=x 向上平移机(加0)个单位长度，若平移后的直线与团C相切，求机的值求线段。长度的最大值.【答案】(i)y=-X(2)7 =4-&或 “7 =4 +0(3 严+12【解析】【分析】(1)先求出
30、点力的坐标，然后利用待定系数法求解即可；(2)由题意得平移后的直线解析式为y=x+相，如图所示，设直线y=x+m与圆。的切点为。，与V轴的交点为“，连接过点。作。邮轴于,先证明0、C、。三点共线，求出O”的长即为加的值，据此求解即可；(2)如图所示，连接0 8,P C,B C,证明。是即加5 的中位线，把求。的最大值转化成求尸8的最大值，即转化成求圆外一点到圆上一点距离的最大值，由此求解即可.(1)解：1 3 点 4 (1,a)在直线.y=x 上，0(7=1,回点/的坐标为(1,1),团把点A坐标代入到反比例函数解析式得1 =彳，团2=1 ,团反比例函数解析式为y=L；X解：由题意得平移后的直
31、线解析式为y=x+，如图所示，设直线y=x+m与圆C的切点为。，与丁轴的交点为“，连接0 C,过点C作CHSr轴于E,回点，的坐标为(0,nt)OH=m,回 点 C(-2,2),CE=OE=2,OC=J(-2 +22=2点03COE=45,团0。，=45。，同理可证团8OE=45,EB80c=90,即 OC&AB,团直线y=x+，与 直 线 平 行，EIOC与直线V=x+m垂直，又回直线y=x+m与圆C相切于点C,B1CQ与直线V=x+m垂直，0C,0、。三点共线，团圆C的半径为1,0OD=O C-CD=2 丘-1，03。=90,&0。/=45,0375/70=45,国DH=OD=2%-1，O
32、 H=D H2+OD2=4-7 2 回m=4-应同理当切点。在圆。上方时可以求得?=4+应，综上所述，若平移后的直线与回C相切，?=4-忘 或 初=4+应；解：如图所示，连接尸8,PC,BC,由对称性可知4、8关于原点对称，即。是 的 中 点，回点8的坐标为(-1,-1),田。是月P的中点，团。是E L 4 P 8的中位线，E)0 Q =g p 8,回要想。最大，则P 8最大，PB/(-1 +2)2+(-1-2)2=71 0 ,1 3 P B最 大=JT 5+1 ,【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题
33、的关键.11.(2021广东广州二模)定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形，例如：凸四边形A BCD,若酎=回。，鲂曲。，则称四边形Z 8 C为准平行四边形.如图(1)/、尸、8、。是 圆0上的四个点，&4尸。=团。尸8=6 0,延 长 至I。，使/Q=ZP.已知|团勿。题08 C,求证：四边形42 8c是准平行四边形；(2)如图(2),准平行四边形Z 8 C。内接于回0,A BA D,B C=D C,若回。的半径为5,A B=6,求四边形N 8 C Z)的面积；如图(3),在R tS 4 8 c中，0C=9 O,豳=3 0。，B C=2,若四边形/8 CD是准平行四边形，且
34、鲂C。血8/0,求8。长的最大值.【答案】(1)证明见解析4 9(3)2 +2【解析】【分析】(1)根据题意，利用等边三角形的判定定理可得A m2是等边三角形，可得NA 0P =N A C B =6 O。，由N QA C w NQB C,可证四边形A Q B C是准平行四边形；(2)连接8D,由准平行四边形的性质可得N8 4 D=/BCD=9 0。，Z AB C Z ADC,得出8。是直径，利用勾股定理可得A D=8,B C2=5 0.结合图形，四边形/8 C。的 面 积 为 与-C D的面积和，求解即可得；(3)根据题意作AA C D,然后作AACD的外接圆回O,过点。作。闻。于E,。碓8。
35、延长线于凡 利用三角形内角和定理及锐角三角函数解三角形可得N4 B C=6 O。，A C=ta nN A B C?B C =2 6，根据四边形是准平行四边形，得出N A B C =N A DC=6 0。，由等边对等角及三线合一性质可得N A C O=/C40 =3 0。，CE=A E =g A C f,利用锐角三角函数可得OE=1,C O =2OE=2,由矩形的判定可得四边形CF OE是矩形，BF =B C+C F =3,利用勾股定理得出8。=2 6，结合图形可得：当点。在80的延长线时，8。的长有最大值，求解即可得.(1)证明：0Z A P C=Z CPfi=6 0,Z A P Q =60
36、,Z A P S =120,团四边形4 P8 C是圆的内接四边形，0Z A/,B+Z A CB =18 0,I 3 N A C B =6 O。，S A Q =A P,Z A P Q =60 ,E U A P Q是等边三角形，I 2N A QP =N A C 8 =6 O,又 I 2NQA C*NQB C,回四边形/。8c是准平行四边形；如图所示：连接8，团四边形4 8 CD是圆内接四边形，0Z B/W+Z B C =18 O,Z A B C+Z A C=18 0,E L 4 C不是直径，S1NABC力 NADC,回四边形Z 8 CZ)是准平行四边形,团/B A D =/BCD,Z A B C
37、Z A D C,回/8 4。=4 8 =9 0 ,站。是直径，0 50 =1 0,A B2+A D2 B D2 的面积为：ABD+S.BCD=-x A B x A D+-x B C x C D=4 9；2 2=-x 6x 8 +-x B C2,2 2=4 9,回四边形Z8 CZ）的面积为4 9；如图所示：根据题意作AAC。，然后作AACQ的外接圆圈O,过点。作。皿C 于,。的8。交 8。延长线于F,E 1 ZACB=9 O ,A B A C =3 0 ,B C =2,1 2 Z A B C =60 .A C =t a n N A B O B C=26,回四边形ABCD是准平行四边形，且 ZBC
38、D X NBAD，B l ZABC=ZADC=60,taZAOC=1 2 0,且OE_LAC,OAOC,0ZACO=ZC4O=3O,CE=AE=-A C =4320 OE=CE-tan ZACO=/3?谊启C,CO=2OE=2,OC=OD=OA=2,0O E A C,OF IB C,NECF=90。,13四边形CFOE是矩形，田 CE=OF=6 OE=CF=,0BF=BC+CF=3,BO=4 HF2+FO2=自 +=2 6 ,12当点。在 8 0 的延长线时，8。的长有最大值，战。长的最大值为：3 0 +0。=2 6+2.【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直径所对
39、的圆周角为直角，利用勾股定理，锐角三角函数解三角形，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.12.（2021广东惠州三模）如图，在 R 18c中，0C=9O,平分团8NC交 8 c 于点。，O为4 B上一点,经过点力，。的圆。分别交N8,ZC于点E,F,连接EE求证：8 c 是圆。的切线;(2)求证：AD2=AFAB；若 8=16,sin5=,求 4D 的长.【答案】（1）见解析(2)见解析印60而k【解析】【分析】(1)连接OD,ZCAD=Z O D A,进而得到尸。AC得N0D3=NC=90。，即可解决问题；(2)连接D F,先证EFB
40、C得/4F =N B,再由圆周角定理得NAF=NADF,则NB=NADF,然后证 A B DSAAOR,得AB:AD=A:AF,即可得出结论；(3)先由锐角三角四数定义得sin3=g g =N，设0O的半径为，则77=盘，求得，进而得到AE,A5的长度，再由三角函数的定义求出A F,最、利 用(2)的的结论即可解决问题.证明：连接O。，如图1所示：D图1的。平 分 孙IC,豳 回。，团 O4=0D,团 团840=团OU,CAD=WDA.PDAC,丽。8=回。=90,BCB10D,又 团O 0是圆。的半径,鲂。是圆O的切线；(2)证明：连接O R如图2所示:BD图2的E是圆。的直径,A F E=
41、90,0 E L 4 F =0 C=9 O,E F BC,函 4 F=E 1 8,W E F A D F,团 团 5=0 J F,又国8 力力=团。4。，A BD A D F,94 8：A D=A D：A F,A D2=A F A B；(3)解：在 Rt 团 8 0。中，s i n i 5=,O B 1 3设圆。的半径为匕则r 7=53，r+1 6 1 3解得：r=1 0,H L 4 =2 r=2 0,A B=A E+BE=3 6,A/?A/7 5在 R t S J E/7 中，E L 4 F E=9 0,s i n0 4 卯=s i nB =,A E 2 0 1 31 0 0A F=，1 3
42、由(2)得：A D2=A F A B9皿7 =愣3 6 二 嘈.【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理、切线的判定以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.1 3.（2 0 2 1广东惠州二模）如 图，已 知A B是。的直径，C是上 一 点（不 与A、B重合），。为 的A C中点，过 点。作弦于F,P是5 4延长线上一点，且N P E A =N B.（1）求 证：正 是。的切线；（2）连 接C 4与OE相 交 于 点G,C 4的延长线交P E于H,求证：H E
43、=H G；（3）若t an/P =2S,试 求A多H的 值.1 2 A GB【答 案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【解 析】【分 析】（1）连 接。E,由圆周角定理证得N E 4 B+Z B =9 0 ,可 得 出N O 4 E =N A E。，则N P E 4+N 4 E O=9 0 ,即Z P E O =9 0 ,则结论得证；（2）连 接。，证 得N A O O =N A G尸，N B =Z A E F ,可得出 N P E F =2 N 8,Z A O D =2 Z B ,可证得/P E F =Z A O D =Z A G F,则结论得证；O F 5A E 2（3）可得出 t a
44、n/P =t anN O O F =,设 O F =5 x,则 P =1 2 x,求出 A E,B E,得 出 一=一，证D F 1 2B E 3PA 2明APEASA P B E,得 出 =彳，过 点H作”_ L F 4于 点K ,证 明N P=N R 4，得出=设”K=5 a,PE 3P K =2 a,得 出P 4=1 3 a,可 得 出/W =1 3 a,A G =1 0 a,则可得出答案.【详 解】图1QA8是OO的 直 径，ZAEB=90,.Z E 4 B+Z B =9(r,Q 4 =OE,:.Z.OAE=ZAEO,.Z B +Z A E O=9 0。，.2E 4 =ZB，.Z P
45、4+Z A O=9 0,:.ZPEO=90,又 OE为 半 径，.PE是OO的 切 线；Q。为AC的 中 点，.O D.L A C,设 垂 足 为M,/.Z AMO=9 0,D EI AB,.Z A F D =9 0。，/.ZAOD+ZOAM=ZOAM+Z A GF=9 0,:.ZAOD=ZAGF,Z A B =Z E/为=9 0,.ZB=ZA F，Z P E 4 =Z B,；.E F =2ZB,/DE1AB,-AE=AD:.ZA0D=2ZB,/.APEF=ZAOD=ZAGF,:.HE=HG；:P =NODF,OF 5/.tan ZP=tan ZODF=,DF 12设OE=5 x,则=12x,
46、.OD=sjoF2+DF2=13 x，:.BF=OF+OB=5x+3x=8xr AF=OA-OF=13x-5x=8x,-D E 1 O A,.EF=DF=12X,AE=y/AF2 4-EF2=4VHA,BE=TEF。+BF?=6Ax,ZPE4=4,ZEPA=ZBPE,：./PEA/PBE，r PA AE 4 而 2PE BE 6V13 3.ZP+ZPEF=ZMG+ZAGF=90,；/HEG=/H G E,:.ZP=ZFAG,又.,ZMG;m n,:ZP=2PM1,:.PH=AH,过点H作“丁点K,：.P K=A K，P K 1/.=-,P E 3/t an Z P =,1 2 设 H K=5
47、a,P K=1 2 a,，P H =1 3 a,.4 7=1 3。，P E =3 6。,H E =H G=3 6 7-1 3 6?=2 3 a,A G=G H -A H =2 3 a-3 a=1 0 a fA H 1 3。1 30-=-=.A G 1 0 a 1 0【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定和性质定理及方程思想是解题的关键.1 4.（2 0 2 1 广东梅州一模）如图，等边三角形 A B E 和矩形A 8 C Q 有共同的外接圆团。，且 A B =3 0.（1）
48、求证：Z C E D =1 2 0；（2）在劣弧4 B 上有动点尸，连接。尸、C F、BF,DF分别交AE、AB 下点M、P,C F 交 B E 于点、N .设 J W N/与万 的周长分别为G和 C”试判断c?-G 的值是否发生变化，若不变则求出该值；若变化请说明理由；若 P N =5 币,求 6 尸的长.【答案】（1）证明见解析；（2）G-G的值为3 0,不变，理由见解析；邛L【解析】【分析】（1）先根据等边三角形和矩形外接圆的性质可得点。在 AC上，且 AC平分NS4 E,再根据等边三角形的性灰、角的和差可得/D4C=60。，然后根据圆内接四边形的性质即可得证；（2）如 图（见解析），先
49、根据矩形的性质、等边三角形的性质可得ZABE=ZAEB=60,Z A B C=90。,8=A8=30,再根据圆周角定理、等边三角形的判定与性质可得K O E和 DOE是等边三角形,O E =C E/O E N =N C E N =30。,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得O N =C N,O M =D M ,最后根据角的和差证出点M,O,N在同一条直线上，从而可得M N =D M+C N ,据此利用三角形的周长公式即可得；如 图（见解析），先 根 据 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 可 得=从而得出点a共圆，再根据圆周角定理、圆内接四边形的性质可得N8NP=90。，Z A D B =Z
50、AEB=）,然后解直角三角形可得BP=IO,AD=IQDP=IQB 最后根据相似三角形的判定与性质可 得 空=与，山此即可得.A D DP【详解】证明：（1）如图，连接AC,等边A8K和矩形ABC有共同的外接圆QO,二点。在A C上，且A C平分4 4 E,.ABE是等边三角形，四边形ABC。是矩形，NBAE=60,Z B A D =90,Z B A C =-Z B A E =30 ,2Z D A C =Z B A D -N B A C =60,由圆内接四边形的性质得：Z C E D=180-Z D A C =120；（2）C2-C,=3 0,不变，理由如下：如图，连接 A C,B D Q E