二次函数的概念.pdf

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1、课题二次函数的概念 课型新授教学目标1 .使学生理解二次函数的概念.2.使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围.3 .为分散后面教学的难点，可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题.重点和难占八、重点：对二次函数概念的理解.难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.教 具 准 备 投 影 片师 生 活 动 过 程备注一、情景创设1 .什么叫函数？它有几种表示方法？2 .什么叫一次函数？（y=kx+b）自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k WO的条件？k 值对函数性质有什么影响？（复习这些问题是为了帮助

2、学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调 k 70的条件，以备与二次函数中的a进 行 比 较.）二、实践与探索函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数.看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.例 1 正方形的边长是x,面 积 y与边长x之间的函数关系如何表示？解：函数关系式是y=x 2（x 0）（写在黑板上）例 2农机厂第一个月水泵的产量为5 0（台）第三个月的产量y（台）与月平均增长率X之间的函数关系如何表示？解：函数关系式是y=5 0（l+x）2,即 y=5 0 x 2+1 0 0 x+5 0（写在黑板上）由以上两例，启

3、发学生归纳出（1）函数解析式均为整式（这表明这种函数与一次函数有共同的特征）.（2）自变量的最高次数是2（这与一次函数不同）.三、讲解新课二次函数的定义：形如y=a x2+b x+c(a O,a、b、c为常数)的函数叫做二次函数.巩固对二次函数概念的理解：1 .强 调“形如”，即由形来定义函数名称.二次函数即y是关于x的二次多项式.2 .在丫=2*2 +6*+0.3 .在 y=5 0 x 2+1 0 0 x+5 0 中，a=5 0,b=1 0 0,c=5 0.4.为什么二次函数定义中要求a W O?(若a=0,a x?+b x+c就不是关于x的二次多项式了)5 .b和c是否可以为零？由 例1可

4、知，b和c均可为零.若 b=0,则 y=a x?+c；若 c=0,贝ijy=a x?+b x；若 b=c=O,贝i j y=a x?.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=a x2+b x+c是二次函数的一般形式.四、巩固新课例 1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指 出a、b、c.(l)y=l-3 x2；(2)y=x(x-5)；(3)y=3 x(2-x)+3 x2；(4)y =(x+2)(2-x)；(5)y=x4+2 x2+l.(可指出y是关于x?的二次函数)例 2.m取哪些值时，函数y=(J-血)/+比+(m+1)是 以x为自变量的二次函数？分析若 函 数y=-+1)

5、是 二 次 函 数，须 满 足 的 条 件 是：m2 一机。0.解 若函数y=(/一加)x2+次+(m+1)是二次函数，则 m2-m 0.解得 m w 0 ,且 优 w 1 .因 此，当mw 0 ,且mw 1时，函 数y=(/-m)x2+2 x +(？+l)是二次函数.回顾与反思 形如y=2 +法+。的函数只有在。0的条件下才是二次函数.探索 若函数y=(m2-m)x2+m/+(加+1)是以*为自变量的一次函数，则m取哪些值？延伸：已知函数y=(加-3)X、7是二次函数，求m的值.例3.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.(1)写出正方体的表面积S (c m2)与正方体棱长a (c

6、 m)之间的函数关系；(2)写出圆的面积y(c m2)与它的周长x (c m)之间的函数关系；(3)某种储蓄的年利率是1.9 8%,存 入10 0 0 0元本金，若不计利息，求本息和y(元)与 所 存 年 数x之间的函数关系；(4)菱形的两条对角线的和为2 6 c m,求菱形的面积S (c m2)与一对角线长x(c m)之间的函数关系.例4.篱笆墙长3 0 m,靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(n?)与 长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.例 5.已知二次函数 y=a x?+b x +c,当 x=0 时，y=0；x=l 时，y=2；x=-l 时，y=l.求a、b、c,并写出函数解

7、析式.五、布置作业1.在 长2 0 c m,宽15c m的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为x c m的正方形，写出余下木板的面积y(c n?)与正方形边长x(c m)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围.2 .已知二次函数y=4x?+5x+1,求 当y=0时的x的值.3 .已知二次函数y=x?-k x-15,当x=5时，y=0,求k.4.已知二次函数y=a x?+b x +c中，当x=0时，y=2；当x=l时，y=l；当x=2时，y=-4,试求a、b、c的值5.当k为何值时，函数y=(k-1)/+1为二次函数？课题二次函数的图象与性质(1)二次函数丫=2*2的图象 课型新授教学目标1.使学生

8、会用描点法画二次函数y=ax2的图象.2.使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识.3.进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育.重点和难占八、重点：会用描点法画二次函数丫=2*2的图象，掌握它的性质.难点：渗透数形结合思想.教具准备 投影片师 生 活 动 过 程备注-、情境导入我 们 已经知道，一次 函 数y=2x+l,反比例函数 =的图象分别X是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _，那么二次函数)=/的图象是什么呢？(1)描点法画函数y=l的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？(2)观察函

9、数y=/的图象，你能得出什么结论？二、新课例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？；：|/(1)y=22 (2)y=-2/of/.弗一 一IV共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点./Fz.不同点：y=2/的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升.y =-2/的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边,曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降.回 顾 与 反 思：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到大或

10、从大到小的顺序连接.例3.已知正方形周长为C e m,面积为Se n?.(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象；(2)根据图象，求 出S=l c n?时，正方形的周长；(3)根据图象，求 出C取何值时，S 2 4 c m 2.分 析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时，自变量C的取值应在取值范围内.解(1)由题意，得S列表:C24685=C21 6_41944描点、连线，图象如图26.2.2.(2)根据图象得S=1 c n?时，正方形的周长是4 c m.(3)根据图象得，当C 2 8 c m时，S 2 4 c m 2.回顾与反思(1)此图象原点处为空心

11、点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分.补充例题1 .已知点M(k,2)在抛物线y=x 2上,(1)求k的值.(2)点N(k,4)在抛物线y=x2上吗?(3)点H(-k,2)在抛物线y=x 2上吗？2.已知点A(3,a)在抛物线y=x 2上，(1)求a的值.点B(3,-a)在抛物线y=x?上吗?三、小结1.抛物线y=a x 2(a#0)的对称轴是y 轴，顶点是原点.2.a 0 时，抛物线y=a x 2的开口向上.3.a V O 时、抛物线y=a x 2的开口向下.四、作业：1、已知函数)，=(3)x /-7 是二次函数

12、，求 m的值.2、已知二次函数 了 =以 2,当x=3时，y=-5,当x=-5时，求 y的值.3、已知一个圆柱的高为27,底面半径为x,求圆柱的体积y 与x 的函数关系式.若圆柱的底面半径x 为3,求此时的y.4、用一根长为4 0 c m 的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围.五、教学注意问题1 .注意渗透分类讨论思想.比如在y=a x 2中a 0 时，y=a x?的图象开口向上；当a ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.解列表.X-3-2-10123 1 2V -X2 922202292 =*+2)2

13、.220_2225T825Ty =；(x-2)22528922202 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图2 6.2.5所示.它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x=-2 和直线x=2；顶点坐标分别是(0，0),(-2,0),(2,0).回顾与反思 对于抛物线y =；(x+2)2,当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当 x 时，函数值y随 x 的增大而增大；当 x 时，函数取得最值，最一值丫=_ _ _ _ _ _ _.探索 抛物线y =；(x+2)2 和抛物线y =g*2)2 分别是由抛物线)，=；/向左、向右平移两个单位得到的.如果要得到抛物线y =g(x-4)2,应将抛物

14、线 =3/作怎样的平移？练习：1 .画图填空：抛物线y =(x-的开口，对称轴是，顶点是,它可以看作是由抛物线y =/向 平移 个单位得到的.2 .在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.y =-2 x2,y =-2(x-3 猿，y=-2(x+3)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.三、小结与作业1 .不画出图象，请你说明抛物线y =5 2 与y =5(x-4)2 之间的关系.2 .将抛物线)，=办 2 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物线经过点(1,3),求 4 的值.课题 二次函数的图象与性质(4)一函数y=a(x-/z)2+k的图象 课型 新授教学1.掌握把抛物线

15、y=a d平移至y=q(x 少+卜的规律；目七 2.会画出y=a(x-f+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.重点和难占八 、重 点：函数形如y=a(xh)?+k图象的性质。难 点：学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质教具准备投影片师 生 活 动 过 程备注一、情境导入1、函数y=ax?+k的图象性质(开口方向，对称轴，顶点坐标，最值)2、说出函数y=-x2,y=-x2 1的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值2 2以及与x轴，y轴的交点坐标。3、由前面的知识，我们知道，函数y=2/的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2/+2的图象；函数)，=2一的图象，向右平移

16、3个单位，可以得到函数y=2(x-3 7的图象，那么函数y=2 1的图象，如何平移，才能得到函数了=2(-3)2+2的图象呢？二、实践与探索X-3-2-101231 292220j _22928922j _20工22y=1(x-l)2-26520_32-2_ 320它们的开口方向都向，对称轴分别为、，顶 点 坐 标分别为、.请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系.回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-/?)2+k中k的值；左右平移，只 影 响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的

17、顺序无关.探索 你能说出函数y=a(x/zf+k (a、h、k是常数，a W O)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？小结：y=a(x-h)2+k (1)开口方向由a墟，(2)对称轴是直线x=h,当h(0时，在y轴左侧，当h0时在y轴右侧，(3)顶点坐标为(h,k),(4)最值:当a 0时,x=h时y最 小 值=k,当a =尤2,求b、c的值.课题二次函数的图象与性质(5)一 函 数y=a x2+bx+c的图象1课型新授教 学目标1.使学生掌握用描点法画出函数y=a x?+b x+c的图象。2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。3 .让学生经历探索二次函数y=

18、a x?+b x+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y=a x?+b x+c的性质。重点和难占八、重点：用描点法画出二次函数y=a x2+b x+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。难点：理解二次 函 数y=a x2+b x+c(a W 0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=我、(一白 生 手)是教学的难点。2 a 2 a 4 a教具准备投影片师 生 活 动 过 程备注一、情景创设由前面的知识，我们知道，函数y =2/的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y =2，+2的图象；函数y =2/的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y =

19、2(x-3/的图象，那么函数y =2/的图象，如何平移，才能得到函数 =2(彳 一3)2 +2的图象呢？1.你能说出函数y=-4(x 2)2+l图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？(函数y =4(x 2/+1图象的开口向下，对称轴为直线x =2,顶点坐标是(2,D o2 .函数y=-4(x 2)?+l图象与函数y=-4x 2的图象有什么关系？(函数y=-4(x 2)?+l的图象可以看成是将函数y=-4x?的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)3.函数y =4(x 2),+1具有哪些性质？(当x 2时，函数值y随x的增大而减小；当x=2时，函数取得最大值，最大值y =l)1 54.不画

20、出图象，你能直接说出函数y=-5 x?+x 5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？15 1 因 为y =-x?+x，=（x 1/一2,所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x=l,顶点坐标为（1,-2）5.你能画出函数y=-x 2+x 5的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？二、实践与探素例1.通过配方，确定抛物线y =-2/+4x +6的开口方向、对称轴和顶点AY坐标，再描点画图.好.解 y=-2x2+4x+6-2(x-2 x)+6-2(x2-2 x +l-l)+6_ 1 2(x-1尸-l+6-2(x-l)2+8图 26.2.7因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=l,顶点坐标为（1,8

21、）.由对称性列表：回 顾 与 反 思（1）列表时选值，应以对称轴X=1为中心，函数值可由对称性得到（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.探索 对于二次函数 =2+汝+,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴，顶点坐标.它 们 的 开 口 方 向 都 向，对称轴分别为、，顶点坐标分别为、.请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系.回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y =a（x-/?）2+k中k的值；左右平移，只 影 响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改

22、变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外，图象的平移与平移的顺序无关.探索 你能说出函数y =a（x /+卜（a、h、k是常数，a W O）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？例 2.已知抛物线y =-(a +2)x +9的顶点在坐标轴上，求a 的值.分析 顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；(2)顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0.四、课堂练习1 .当a 0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。课题二次函数的图象与性质一函数y =a x2+bx+c的图象2课型新授教学目标1.会通过配方求出二次函数)，=公2+以+,(。片0)的最大或最小值；2

23、.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值.重点和难占八、重点：会通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的最大或最小值；难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值.教 具 准 备 投 影 片师 生 活 动 过 程备注一、情景创设在实际生活中，我们常常会碰到一些 带 有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为8 0元的某种商品按每件1 0 0元出售，一天可销出约1 0 0件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量

24、可增加约1 0件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数y =7 O x?+1 0 0 x+2 0 0 0.那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗？二、实践与探索例1.求下列函数的最大值或最小值.(1)y -2x2-3 x-5 ；(2)y=-x2 3 x +4 .分析 由于函数y =2 3 x-5和y =-3了 +4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.解（1）二次函数y =2 2-3 x-5 中的二次项系数2

25、 0,因此抛物线y =2-3 x-5 有最低点，即函数有最小值.Q 4 Q因为 y =2 九 2 -3 x-5 =2（-）2-,所以当x =3时，函数y =2/_ 3 x-5 有最小值是-竺.4 8（2）二次函数y =-/-3 x +4 中的二次项系数-1 V0,因此抛物线 =3%+4 有最高点，即函数有最大值.a?s因为 y =-x2-3 x +4=（x +）2+,所以当x =-3时，函数y =-/3 x +4 有最大值是生2 4回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a 0 有最小值，a V O 有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.探索 试一试

26、，当2.5 W x W 3.5时-，求二次函数y =2 x-3 的最大值或最小值.例 2.某产品每件成本是1 2 0 元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表：X （元）1 3 01 501 6 5y （件）7 0503 5若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析：日销售利润=日销售量X每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量。三、作业1、图 2 6.2.8,在 Rt/A B C 中，Z C=9 0 ,B C=4,A C=8,点 D 在斜边 A B上，分别作D EJ_ A C,D F

27、 1 B C,垂足分别为E、F,得四边形D E C F,设D E=x,D F=y.（1）用含y的代数式表示A E；（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出x的取值范围；(3)设四边形D E C F的面积为S,求S与x之间的函数关系，并:值.B图2衣出S的最大AF C6.2.8课 题二次函数的图象与性质(7)函数y ua x +b x+c的图象3 课型新 授教 学目标1 .能根据实际问题列出函数关系式、2 .进一步使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。3 .通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。重点和难占八、根据实

28、际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。教 具 准 备 投 影 片师 生 活 动 过 程备注一、情景创设1 .通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(l)y =6 x2+1 2 x；(2)y=-4 x2+8 x-1 0y =6(x +l)2 6,抛物线的开口向上，对称轴为x =l,顶点坐标是(1 -6)；y =-4(x I)26,抛物线开口向下，对 称 轴 为x =l,顶点坐标是(1,-6)2 .以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？(函数y =6 xJ+1 2 x有最小值，最 小 值

29、y =-6,函 数y=-4 x2+8 x-1 0有最大值，最大值y =-6)二、实践与探索有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决书上提出的两个实际问题；例1、要用总长为2 0 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大？解：设矩形的宽A B为x m,则矩形的长B C为(2 0-2 x)m,由于 x 0,且 2 0 2 x 0,所以 0 x 1 0。工/4/a,叽围成的花圃面积y与x的函数关系式是y =x(2 02 x)即 y =2 x +2 0 x8-C配方得 y=2(x 5)J+50所以当x=5时，函数取得最大值，最大值y=50。因为x=

30、5时,满 足O V x V I O,这 时2 0 2 x =1 0。所以应围成宽5 m,长1 0 m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。例2.某商店将每件进价8元的某种商品按每件1 0元出售，一天可销出约1 0 0件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增 加 约1 0件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？教学要点(1)学生阅读第 页问题2分析，(2)请同学们完成本题的解答；(3)教师巡视、指导；(4)教师给出解答过程：解：设每件商品降价x元(0 W x W 2),该商品每天的利润为y元。商品每天的利润y与x的函数

31、关系式是：y=(1 0-x-8)(l O O+l O O x)即 y =-1 0 0 x2+1 0 0 x+2 0 0配方得y=-1 0 0(x 2+2 2 5因为x=；时，满足0 x 0,且一下一 0,即x0解 不 等 式 组 612X)0 ,解这个不等式组，得到不等式组的解集为0Vx2,所 以x的取值范围应该是0 x 2。(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗？/6-3x nn 3 2 、(y=x ,即 y=-x-+3x)小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；(2)研究自变量的取值范围；(3)研究所得的函数；(4)检 验x的取值是

32、否在自变量的取值范围内，并求相关的值：(5)解决提出的实际问题。三、课堂练习P 练习四、小结1 .通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑？2.谈谈你的收获和体会。五、作业选用课时作业优化设计。第五课时作业优设计1：求下列函数的最大值或最小值。y =-x。-4 x +2 y =x，-5 x+；(3)y=5 x2+1 0 (4)y =-2x2+8x2：已知一个矩形的周长是24 c m。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时，S最大？3：填空：二 次 函 数y=x?+2x 5取最小值时，自变量x的值是_ _ _ _ _ _；(2)已知二次函数y =x2-6 x+m的

33、最小值为1,那么m的值是_ _ _ _ _ _。4：如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用5 0 m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为x m o图(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论？5：如图(2),已知平行四边形A B C D的周长为8c m,Z B=30 ,若 边 长A B=x (c m)o(1)写出。A B C D的面积y (c m2)与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围。(2)当x取什么值时，y

34、的值最大?并求最大值。4-B c图 3.求二次函数的函数关系式课题二次函数的图象与性质（8）求二次函数的函数关系式（1）课型新授教学目标1 .使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y =a x 2的关系式。2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。3.让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。重点和难占八、重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y =a x y =a x2+b x +c的关系式是教学的重点。难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。教 具 准 备 投 影 片师 生 活 动

35、过 程备注一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线A O B）的薄壳屋顶。它的拱高A B为4 m,拱高C O为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。如图所示，以A B 的垂直平分线为y 轴，以过点0的y 轴的垂线为 x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y =a x2(a 0)(1)因为y 轴垂直平分A B,较 A B 于点C,A B所以C B=%=2(c m)

36、,又 C 0=0.8 m,所以点B的坐标为(2,0.8)。因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人(1),得一0.8 =a X 2?所以a=-0.2 因此，所求函数关系式是y=-0.2x 2。请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。二、引申拓展问题1：能不能以A点为原点，A B 所在直线为x 轴，过点A的x轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系？让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点,A B 所在的直线为x 轴，过点A的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系也是可行的。问题2,若以A点为原点，A B 所在直线为x 轴，过点A的 x轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式

37、吗？分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0),0 C 所在直线为抛物线的对称轴，所以有A C=C B,A C =2m,0点坐标为(2；0.8)o即把问题转化为：已知抛物线过(0,0)、(4,0)；(2,0.8)三点，求这个二次函数的关系式。二次函数的一般形式是y=a x?+b x+c,求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定。、6、c,已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。解：设所求的二次函数关系式为y=a x 2+b x+c。因为0 C所在直线为抛物线的对称轴，所以

38、有A C=C B,A C =2m,拱高 0 C=0.8 m,所 以0点坐标为(2,0.8),A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0)。由已知，函数的图象过(0,0),可 以 得 到c =0,又由于其图象过(2,0.8)、(4,0),可以得到：4 a+2b=0.8 1 6+4 b=0r ia=-5解这个方程组，得j 彳?=5所以，所求的二次函数的关系式为丫=一 家+9问题3：请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同？问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么？(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这

39、是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)请同学们阅渎书 例。三、课堂练习书P 练习。四、综合运用例 1.如图所示，求二次函数的关系式。分析：观察图象可知，A点坐标是(8,0),C点坐标为(0,4)o从图中可知对称轴是直线x=3,由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x 轴上的另一交点B 的坐标是(一2,0),问题转化为已知三点求函数关系式。解：观察图象可知，A、C 两点的坐标分别是(8,0)、(0,4),对称轴是直线x=3o因为对称轴是直线x=3,所以B点坐标为(-2,0)o设所求二次函数为y=ax?+bx+c,由已知，这个图象经过点(0,4),

40、可以得到c=4,又由于其图象过(8,0)、(一2,0)两点，可以f 1a=-4解这个方程组，得Qlb=2i 3所以，所求二次函数的关系式是y=7(+中+4A 乙练习：一条抛物线y=a x,+b x+c 经过点(0,0)与(1 2,0),最高点的纵坐标是3,求这条抛物线的解析式。五、小结二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y=a x2+b x +c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c,由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。六、作业1 .书 习题。2.选用课时作业优化设计，每一课时作业优化设计1 .二次函数的图

41、象的顶点在原点，且过点(2,4),求这个二次函数的关系式。2.若二次函数的图象经过A(0,0),B(-l,-1 1),C(l,9)三点，求这个二次函数的解析式。3.如果抛物线 y=a x?+B x+c 经过点(一1,1 2),(0,5)和(2,3),；求 a+b +c 的值。4 .已知二次函数y=a x2+b x +c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；1 35.二次函数y=ax2+b x+c与 x 轴的两交点的横坐标是一5,与 X轴交点的纵坐标是一5,求这个二次函数的关系式。课题二次函数的图象与性质(9)求二次函数的函数关系式(2)课型新授教 学目标1.复习巩固用待定系数法由已知图象上三

42、个点的坐标求二次函数的关系式。2.使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。重点和难占八、根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。教具准备 投影片师 生 活 动 过 程备注一、情景创设1.如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式？2.已知二次函数的图象经过A(0,1),B(l,3),C(-l,D o(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)说出它的顶点坐标和对称轴。11 3答案：(l)y=x2+x+b(2)图略，对称轴x=一顶点坐标为(一方,7)。3.二次函数y=ax?+b x+c 的对称轴，顶点坐标各是什么？h h 43

43、r 对称轴是直线X =一六,顶点坐标是(一左，节 一与2a 2a 4a二、实践与探索例 1.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式。分析：二次函数y=ax?+b x+c 通过配方可得y a(x+h)+k 的形式称为顶点式，(一h,k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此，可以设函数关系式为：y=a(x 8)+9由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值。请同学们完成本例的解答。练习：书 练习例 2.已知抛物线对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,5)两点，求二次函数的关

44、系式。解法1：设所求二次函数的解析式是y=ax?+b x +c,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c =-5,又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴b _ _ ,_是直线x =2,可以得一二=2 解这个方程组，得：9a+3b=6=8所以所求的二次函数的关系式为y=-2 x2+8x-5解法二；设所求二次函数的关系式为y =a(x-2)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,5)两点，可以得到);1 R 十k 5(a=-2解这个方程组，得：,Ko所以，所求二次函数的关系式为y =-2(x 2)?+3,即y =-2x?+8x 5。例 3、已知抛物线的顶点是(2,4),它与y 轴

45、的一个交点的纵坐标为4,求函数的关系式。解法1：设所求的函数关系式为y=a(x+h +k,依题意，得y =a(x 2尸一4因为抛物线与y轴的个交点的纵坐标为4,所以抛物线过点(0,4),于是 a(02)24=4,解得 a=2。所 以，所求二 次 函 数 的 关 系 式 为y =2(x 2尸一4,即y =2x?8x+4。解 法2：设 所 求 二次函数 的 关 系 式 为y=ax?+b x +c?依 题 意，得4ac-bJa=2解 这 个 方 程 组，得：b =-8lc=4所 以，所 求 二 次 函 数 关 系 式 为y=2x 2-8x+4。三、课堂练习1.已 知 二 次 函 数 当x=-3时，有

46、 最 大 值 一1,且 当x =0时，y =-3,求二 次 函 数 的 关 系 式。解 法1：设 所 求 二 次 函 数 关 系 式 为y=ax?+b x+c,因 为 图 象 过 点(0,3),所 以c =3,又 由 于 二 次 函 数 当x =-3时，有 最 大 值 一1,可 以 得 到：f b4=-3 a=4 8所 以，所 求 二 次 函 数 的 关 系 式 为 丫=不?+0 +3。u O解 法2：所 求 二 次 函 数 关 系 式 为y=a(x+h)2+k,依 题 意，得y =a(x +3)21因 为 二 次 函 数 图 象 过 点(0,3),所以有43=a(0+3)2l 解得 a=4.

47、R所 以，所 求 二 次 函 数 的 关 系 为y=44/9(x +3”-1,即y=G x +wx+3.小 结：让 学 生 讨 论、交 流、归 纳 得 到：已 知 二 次 函 数 的 最 大 值 或 最 小 值，就 是 已 知 该 函 数 顶 点 坐 标，应 用 顶 点 式 求 解 方 便，用 一 般 式 求 解 计 算 量 较 大。2.已 知 二 次 函 数y =x2+p x +q的 图 象 的 顶 点 坐 标 是(5,-2),求二次函数 关 系 式。简解：依题意，得 4q)p 2 解得：P =-10,q=23所以，所求二次函数的关系式是y=x 210 x +23。四、小结1,求二次函数的关

48、系式，常见的有几种类型？两种类型：(1)一般式：y=ax2+b x+c(2)顶点式：y=a(x+h)2+k,其顶点是(一h,k)2.如何确定二次函数的关系式？让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。五、作业1.P 习题2.选用课时作业优化设计。第二课时作业优化设计1.已知抛物线的顶点坐标为(-1,-3),与y轴交点为(0,-5),求二次函数的关系式。2.函数y =x?+p x +q的最小值是4,月.当x =2时，y =5,求p和q。3.若抛物线y=-x +b x+c的最高

49、点为(1,3),求b和c。4.已知二次函数 y=ax +b x +c 的图象经过 A(0,1),B(-l,0),C(l,0),那么此函数的关系式是_ _ _ _ _ _o如 果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是 o5 .已知二次函数y=a x?+b x+c的图象过A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x =2,求这个二次函数的关系式。6 .如图是抛物线拱桥，已知水位在A B位置时，水面宽4m米，水位上升3米就达到警戒线C D,这时水面宽4馅 米，若洪水到来时，水位以每小时0.2 5米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?课题实 践 与 探 索（1）教学课型新授目标会结合

50、二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义重点和难重点:难点:会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题占八、教具准备投影片师 生 活 动 过 程备注一、情景创设生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2 0 0 4雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关.你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？二、实践与探索例L如 囹2 6.3.1,似塔动贝推十口 o图 26.3.1 X1 7 s球，铅球行进高度y (