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1、2023年新高考复习讲练必备第32讲计数原理一、知识梳理基本计数原理1.分类加法计数原理完成一件事，如果有类办法，且：第一类办法中有如种不同的方法，第二类办法中有2 2种不同的方法 第 类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+m2-十 物 种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事，如果需要分成个步骤，且：做第一步有加种不同的方法，做第二步有，磔种不同的方法做 第 步 有 如 种 不 同 的 方 法.那 么 完 成 这 件 事 共 有 必 二 包L种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以
2、做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.排列与组合1.排列与组合的概念名称定义排列从个不同对象中取出并按照一定的顺序排成一列,称为从个不同对象中取出加个对象的一个排列组合几)个对象并成一组，称为从个不同对象中取出加个对象的一个组合2.排列数与组合数(1)从 个 不 同 对 象 中 取 出 个 对 象 的 所 有 排列的个数,称为从个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A7表示.从 个不同对象中取出机(mW)个对象的所有组宣的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C7表示.3.排列数、组合数的公式及性质公式（1
3、）A勿 一 （一1）（一2）（一团+1）（_ 力 -A T n Cnm+1)Q)C f -加 1-,(X ,(，z GN*,且 W).特别地 CblTH)!性质(1)0!=1；A 2=！.(2)a =C；Fm；C 5；,+I+C；!,=C二项式定理1.二项式定理(1)二项式定理：(a+b)=C%+C%妇-F C S a -F C肪 5EN*)；(2)通项公式：Tk+=Ca,rkbk,它表示第3+1项:(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 9,a,C；.2.二项式系数的性质3.各二项式系数和(l)(a+)展开式的各二项式系数和：C 9+C,!+d+=25性质性质描述对称性与首末等距离的两个
4、二项式系数相等，即C#=C Q增减性二项式系数a+1当y 2(G N*)时，是递增的+1当左 2(GN )时，是递减的二项式系数最大值n当为偶数时，中 间 的 一 项 取得最大值W 1(2(2当为奇数时，中间的两项1 与1 相等且取得最大值(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C 2+最+C+-=c,L+a+C计=空.二、考点和典型例题1、基本计数原理【典 例 1-1】(2022 湖北天门市教育科学研究院模拟预测)甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有()种.A.24 B.96 C.
5、174 D.175【答案】D【详解】若 4 人均去茶经楼，则 有 1种参观方式，若有3 人去茶经楼，则从4 人中选择3 人，另 1人从另外3 处景点选择一处，有C：A；=12种参观方式；若有2 人去茶经楼，则从4 人中选择2 人，另外2 人从另外3 处景点任意选择一处，有C；A；A；=54种参观方式；若 有 I 人去茶经楼，则从4 人中选择I 人，另外3 人从另外的3 处景点任意选择一处，有C；A；A；A；=1（）8种参观方式，综上：共有1 +12+54+108=175种参观方式.故选：D【典 例 1-2】（2023山西大同高三阶段练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一、二、三共
6、 5 本书，把这5 本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是（）A.72 B.144 C.48 D.36【答案】A【详解】先将选择性必修有一、二、三这三本书排成一排，有A；=6种方法，再将必修一、必修二这两本书插入两个空隙中，有A；=12种方法，所以把这5 本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是：6x12=72.故选：A.【典 例 1-3】（2023全国高三专题 练 习（理）2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6 个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4 个 队（不
7、比赛），共 计 16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（）场次.A.53 B.52 C.51 D.50【答案】C【详解】第一轮分成6 个组进行单循环赛共需要6C；=36场比赛，淘汰赛有如下情况：16进 8 需要8 场比赛，8 进4 需要4 场比赛，4 进 2 需要2 场比赛，确定冠亚军需要1场比赛，共需要36+8+4+2+1 =51场比赛故选：C.【典 例 1-4】（2022河南 濮阳一高高三阶段练习（理）某医院从7 名男医生（含一名主任医师），6 名女医 生（含一名主任医师）中选派4 名男医生和3 名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（）A.3 5
8、0 B.5 0 0 C.5 5 0 D.7 0 0【答案】C【详解】所选医生中只有名男主任医师的选法有C：?c；2 0 0,所选医生中只有一名女主任医师的选法有C：?C；1 5 0 ,所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有C：?C；2 0 0,故所选医师中有主任医师的选派方法共有2 0 0+1 5 0+2 0 0 =5 5 0 种，故选：C【典 例 1-5】（2 0 2 3 全国高三专题练习）数术记遗是 算经十书中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代1 4 种算法，分别是：积 算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟
9、算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5 种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（）种.A.1 0 8 B.1 3 6C.1 2 6 D.2 4 0【答案】C【详解】分以下两种情况讨论：若甲只收集一种算法，则甲有3 种选择，将其余4种算法分为3 组，再分配给乙、丙、丁三人，此时，不同的收集方案种数为3 C：A；=1 0 8 种；若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算3 种算法中选择2 种，其余3 种算法分配给乙、丙、丁三人
10、，此时，不同的收集方案种数为C；A；=1 8 种.综上所述，不同的收集方案种数为1 0 8 +1 8 =1 2 6 种.故选：C.2、排列与组合【典例2-1】（2 0 2 3 全国高三专题练习）有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A.1 2 种 B.2 4 种 C.3 6 种 D.4 8 种【答案】B【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有 2 种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2 种
11、排列方式，故安排这5 名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式，故选：B【典例2-2】（2023全国高三专题 练 习（理）教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3 所高校的校长计划拜访当地企业，共有4 家企业可供选择.若每名校长拜访3 家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（）A.60 种 B.64 种 C.72 种 D.80 种【答案】A【详解】解：3 名校长在4 家企业任取3 家企业的所有安排情况为：C：C：C：=4x4x4=64种又每家企业至少接待1 名校长，故 3 名校长选的3 家企业，不全相同，因为3 名校长选的3 家企业完全相同有C
12、：=4 种，则不同的安排方法共有：64-4=60#.故选：A.【典例2-3】（2022全国高三专题练习）某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了 3 门选修课供学生选择，现有5 名同学参加选课走班的活动，要求这5 名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则 5 名同学选课的种数为（）A.150 B.180 C.240 D.540【答案】A【详解】先把5 名同学分为3 组：（3 人,1人,1人）或（2 人,2 人,1 人），再把这3 组同学分配给3 门选修课即可解决.故选：A（典例2-4（2023全国高三专题练习）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评
13、不断.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5 名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的安排方案有（）A.6 利 B.12 种 C.18 种 D.24 种【答案】B【详解】由题意可知：应将志愿者分为三人组和两人组.先将小李、小明之外的二人分为两组，有 C；C；=3 种分法，再将小李、小明分进两组，有 8 =2 种分法，最后将两组分配安装两个吉祥物，有 否=2 种分法，所以共计有3x2x2=12种.故选：B【典例2-5】（2022贵州贵阳一中高三阶段练习（理）
14、贵阳一中体育节中，乒乓球球单打12强中有4 个种子选手，将 这 12人平均分成3 个 组（每组4 个人）、则 4 个种子选手恰好被分在同一组的分法有（）A.21 B.42 C.35 D.70【答案】C【详解】4 个种子选手分在同一组，即剩下的8 人平均分成2 组，方法 有 卑 =35种，A；故选:C.3、二项式定理【典例3-1】（2022河南洛阳模拟预测（理）卜 一 七）的展开式中各二项式系数之和为6 4,则展开式中的常数项为（）A.-540 B.135 C.18 D.1215【答案】B【详解】由题意得2=6 4,所以=6,所以（3 x-7=）展开式的通项J=（-1 屋 S f T,3令6-9
15、 =0,得 r=4,2所以展开式中的常数项为（-I）4=135.故选：B.【典例3-2】（2022全国高三专题练习）（X T）“按x 降幕排列的展开式中，系数最大的项是（）A.第4 项和第5 项 B.第5 项C.第5 项和第6 项 D.第6 项【答案】B【详解】因为（x-l）9的 展 开 式 通 项 为 产*.（_ 以，其中第5 项和第6 项的二项式系数最大，但第5 项的系数为正，第6 项的系数为负，故（x-按x 降幕排列的展开式中，系数最大的项是第5 项.故选：B.【典例3-3】（2022全国高三专题练习）若（1 +x）的展开式中，某一项的系数为7,则展开式中第三项的系 数 是（）A.7 B
16、.21 C.35 D.21 或 35【答案】B【详解】解:由题意,展开式的通项为 配 产 C X（r=0,b,）,所以某一项的系数为7,即C：=7,解得=7,r=l 或“=7,r=6,所以展开式中第三项的系数是C；=21.故选：B.【典例3-4】（2023全国高三专题练习）二项式（l+2xy+（l+2x）3+（1 +2 0 的展开式中，含V 项的二项式系数为（）A.84 B.56 C.35 D.21【答案】B【详解】解：因为二项式为（1 +2x）2+。+2司3 +（+2司7,所以其展开式中，含Y项的二项式系数为；c；+c；+c；+c；+c：+c；,=c：+C+c；+c：+C，=c；+c；+c：+c；,=c：+c：+c；,=c；+c；,=C；=56.故选：B【典例3-5】（2022全国高三专题练习）已知（l+or）=%+4 +。2丁+4 了 3+。4 4+45X，若 3=-270,则%+/+%=（）A.992 B.-3 2 C.-3 3 D.496【答案】D【详解】由题意知：a3x3=C5(or)3=lOtzV,则 1 0/=-2 7 0,解得。=一3；令1=1,则(1-3)=%+q+/+/+%+%=-3 2，令x=T ,则(1 +3)二旬一1+%-%+/一 为 =1024，两式相加得2(%+%+a4)=992,则aQ+4 +%=496.故选：D.