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1、精选优质文档-倾情为你奉上初中数学知识结构图两点说明：一、初中数学知识总共包括代数、几何、统计概率三部分。本资料亦按照这一架构汇总。 2、 背诵本资料请一定把握以下三点： 1、背诵定义，不仅要背诵定义内容，而且一定要牢记定义中的条件要素； （注：大部分定义等同于公式，同样可以用于解题。比如定义的条件就是选择、填空甚至大题必考的考点。）2、背诵公式，不仅要背诵公式内容，而且一定要熟记书上的标记例题，掌握公式的运用；3、不管是背诵定义还是公式，头脑中务必要时刻与平时所做的练习题尤其是错题结合起来，加深对有关公式 定义的理解。（注：以上三条同样适用于其他各学科。）1、代数（这部分主要包括实数、代数式
2、、方程式、不等式、函数五个内容。）1.1 实数 有理数和无理数统称为实数。（实数包括有理数和无理数。） 有理数：整数与分数统称为有理数。它是有限小数或无限循环小数（带循环节符号，如5.6）。 1.1.1概念 无理数：无限不循环小数叫无理数。（无限不循环小数：带省略号.；与 有关；带根号且开不尽。如5.63；3；） 正整数：如1,2,3. 整数 零： 0 （0既不是正数也不是负数） 负整数：如 -1，-2. 正分数：如，5.2 . 分数 负分数：如-3.5，-. 有理数 （通常有 正整数（正数“+”可省略不写，“-”不行。但具体生活题最好写正号，如往东100米写作“+100”） 两种分 正有理数
3、 （我们常常用正数和负数表示一些具有相反意义的量。如往东计正，往西就计负） 类方法） 正分数 零：0 负整数 负有理数1.1.2 负分数实数 正无理数分类 无理数 （通常 负无理数两种） 正实数（包括正有理数和正无理数） 零 负实数（包括负有理数和负无理数） 1.1.3 实数的几个概念及关系（注：要深刻理解相反数、绝对值在数轴上的表述意义。重要！掌握好可快速解有关方程式。） 概念：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（这个点叫原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的 方向为正方向，就得到一条数轴。（注：数轴是一条直线。） 原点 三要素 正方向A.数轴 单位长度 意义：数轴将数与图形完
4、美结合起来，让数的大小和方程的解集等在图形上变得更直观。（注：每一个实数都可以用数轴 上的一个点来表示。但是说数轴上的点都表示有理数是错误的，因为还有无理数。可以说每一个点都表示实数是对的。） 比较大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 概念：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 （0的相反数是0） 在数轴上的表述：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且它们到原点的距离相等。反之，在 数轴上，与原点等距离的点表示的数有两个，即相反数。（重要！） B相反数 两个相反数相加等于零：a
5、，b互为相反数，则；反之，a+b=0 则a、b互为相反数。 性质及数学表达式 零减去一个数等于这个数的相反数：0-b=a，则a、b互为相反数。 概念：在数轴上，一个数对应的点与原点之间的距离叫该数的绝对值。（注：距离不能是负数，所以绝对值都是非负数。） 正数的绝对值是它本身：=a （a0） 绝对值的性质及 负数的绝对值是它的相反数：= -a （a0） 数学表达式 0的绝对值是0：=0 一个减法式子的绝对值等于大数减小数：=b-a （ba）如= -（3.14-）=-3.14 两个负数比较大小，绝对值大的反而小：a0，b0，则ab 绝对值的几何意义： （因为有数轴这个图形，所以就是几何）从绝对值的
6、定义中，我们可以看出，绝对值就是数轴 上一个数对应的点到原点的距离，所以就是点a到原点的距离，而两点之间的距离是两个 数相减，所以也可以表示成，所以=。 推而广之，数轴上点a到点b的距离就可以表示成； 就是点a到点 -b的距离。因为= 如就是数轴上点2到3的距离；就是点2到点-3的距离。 绝对值的几何意义在解方程式和不等式中的应用：C绝对值 解方程和不等式，一种方法就是用传统方法，就是先判断数的正负然后脱绝对值，这样做比较 麻烦，尤 其是做选择题和填空题，也容易出错；另一种方法就是利用几何意义解题。 例1、=7 解题方法：传统做法（略） 几何意义解题：先画数轴，然后标出-3，再找左右两边哪个数
7、与-3的距离是7。 -3 0 例2、+=9 -4 3 0 7 +=9（思考题） 例3、+9 例4、求+最小值（注：当x在两点之间时，x到两点之间的距离和最短。线段最短。最小值为前数减后数（两 数都带前边的符号）的绝对值。即+的最小值是 ，x的取值范围 在两数之间。） 例5、求-最大值（注：当x大于等于或小于等于被减数里边的数的相反数时，值最大，最大值为前数减后数 （两数都带前边的符号）的绝对值；当x在两点中间时，值最小，最小值是0。即 -最大值时，x-(-b),b在数轴最左边；x-(-b)，b在 数轴最右边。-最小值为零，x=。） 例6、-a，求a的取值范围；+a，求a的取值范围。 概念：乘积
8、为1的两个数互为倒数。D倒数 不为零的两个数互为倒数，乘积为1：a =1（a0） 性质及数学表达式： 0没有倒数，1的倒数是它本身。 （注：相反数、绝对值、倒数同样适用于代数式。不过有一点需要注意：代数式要表明不等于零才能有倒数。） 1.1.4 实数的运算 同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 法则 异号相加，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 一个数同零相加，仍得找个数。A 加法 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a 运算律 加法结合律：多个数相加，先把前几个数相加，或者先把后几个数相加，和不变。 即（a+b）+（c+d）=（a+d）+（
9、c+b）B减法 法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+（-b）（注：由此可见，减法可以转换成加法。）C加减混合运算 （要注意正负号的变化。） 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数同0相乘，积仍为0 法则 多个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负；是偶数时， 积的符号为正。D乘法 多个数与0相乘，积就为0。 乘法交换律：axb=bxa 运算律 乘法结合律：（axb）xc=ax（bxc） 乘法分配律：（a+b）xc=axc+bxc (可参看六年级上册第49页例题3) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 E除法
10、法则 0除以任何数，都得0。（注：0不能作除数。） (0a=0，a0) 除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 （ab=a） 概念：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方（an）。 乘方的结果an叫做幂，a叫底数，n叫指数，an读作a的n次幂或a的n次方。 数学表达式：an = a x a x a x a n 个aF乘方 正数的任何次幂都是正数。（a0，an0） 负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。（a0，a2n0；a2n+10） 指数相同，底数越大，幂越大；底数相同，指数越大，幂不一定越大。如(-3)2 （-3）3 法则 1的任何次幂都是1。（1n =1） 任何数（0除外）的0次幂都是1。（a0=1
11、，a0） 0的正整数次幂是0，0 的0次幂和负次幂不存在。（n0，0n= 0） -1的奇次幂是它本身-1；偶次幂是1。 (-1)2n=1;(-1)2n+1 =-1 （参看六年级上册53页例1、55页例3）G混合运算 法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。 平方根：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么x叫做a的平方根。记作，读作“正 负根号a”。 概念： 算术平方根：两个平方根中正的平方根叫做算术平方根。记作 。 如叫做9的平方根，3叫做9的算术平方根。 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。a叫做“被开方数”。 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。(
12、如64的平方根=8) 0只有一个平方根，平方根和算术平方根都是0本身。 性质 0和1的算术平方根分别是0和1本身（1的平方根不是它本身，是1） 开平方 负数没有平方根。（如9有平方根，即=3。但 -9却没有。） = 0 （）2 = a（a0） 运算 (1)2=1; (10)2=100; (11)2 = 121; (12)2 = 144; (13)2 = 169; (14)2 = 196; (15)2 = 225; (16)2 = 256; (17)2 = 289; (18)2 = 324; (19)2 = 361; (20)2 = 400; H开方 （注：开平方时，先大约估算一下哪个数的平方等
13、于被开方数，然后验算一下。开立方也是先估算一下哪个数的 立方等于被开方数，然后验算一下。） 立方根：一个数x的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根，也叫做a的三次方根。记 概念 作（其中3是指数，a是被开方数），读作“三次根号a”。 开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。 每个数都有一个立方根。 开立方 性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。 立方根等于它本身的是0、1、-1。 = 0； = 1； = -1 运算 ()3 = a； 3 = a 23=8； 33=27； 43=64； 53=125； 63=216；73=343；83=512； 93=729； 103=10
14、00 （注：本节还有一节方根的估算。先看看哪两个数的立方最接近，然后通过验算，最终确定近似值。七年级上册52页做一做和例1） 二次根式：形如（a0）的式子，也就是算术平方根，叫做二次根式。b（即bx）也是二次根式。 最简二次根式：被开方数都不含分母，并且被开方数不含能开得尽方的因数或因式。（注：为做题速度快， 也要熟练掌握一些数的平方，然后化简时，用被开方数除以这些数。 概念 参看八年级上册130页例5、例6以及自记的一些平方数。） 同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，就叫做同类二次根式。 二次根式（即算术平方根）大于等于0。 0 （a0） 二次根式的平方等于它的
15、被开方数。 ()2 = a（a0） a (a0) 性质 一个数的平方的二次根式等于这个数或其相反数。 = = -a (a0) 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。= （a0，b0）（注：当a、b都小 于0时，先去掉负号。如 = = x ） 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 =（a0，b0）（注同上）I二次根式 要使二次根式有意义，被开方数不能为负数，如果二次根式是分母，被开方数只能是正数。被开方数 可能是一个数，也可能是一个整式。（如，要使有意义，1-x0，即x1； 要使有意义，1-x0，即x1） 取值 要使有意义，x-10且x-50，即x1且x5 （注：因
16、为5包含在x1这一解集中，所以要单独表明。） 当被开方数互为相反数时，只有一种可能，那就是都等于0。（如，+，那么x-5=0且5-x=0，即x=5） 若+( )2+ = 0，则=0，( )2=0，=0。（因为0，( )20，0） （注：以上取值同样适用于所有数学范围） 法则：二次根式相加减，先把各个二次根式分别化简，然后再用乘法分配律合并同类二次根式（具体 方法就是：提出共因式，即二次根式，再把系数相加减）。有括号时，先去括号。 如2+3=2x+3x=(2+3)x=5 化简二次根式方法：通常用到分解因式、分数的性质、二次根式的性质【参看上边（2）性质 】、将根号外的式子移到根号内（只能移非负数
17、，是负数的把负号留在根号外。）等方法。 如， =3（分解因式） 加减 =（分数的性质、二次根式的性质） =x=3（二次根式的性质） m0，m=-（-m）=-=-（将根号外的式子移到根号内） b0，-b= - 比较大小：两个二次根式比较大小，可用平方法（注：如果是负数，平方后大的反而小）、根号 外的式子移到根号内（只能移非负数，同上）两种方法。 5和6比较大小 -5和 -6比较大小 5= (5)2=52x()2=150 -5=-=- (-5)2=150 6= (6)2=62x()2=180 -6=-=- (-6)2=180 因为 因为150180 因为- 因为150180 所以56 所以56 所
18、以-5-6 所以-5-6 （根号外移到根号内） （平方法） 乘除 法则：把二次根式的性质反过来，就得到二次根式的乘法和除法法则。即 = （a0，b0） = （a0，b0） （参看八年级上册134页例1、红框内题、例2、例3）实数小结 相反数是它本身的只有0 绝对值是它本身的是非负数（正数和零） 倒数是它本身的有1和-1，0没有倒数 平方根是它本身的只有0；算术平方根是它本身的有0和1 一、几个特例 立方根是它本身的有0和1、-1 任何次幂都是它本身的只有1 0的正整数次幂是0, 0没有0次幂和负次幂 -1的偶次幂是1，奇次幂是 -1 任何数（0除外）的0次幂都是1 非正数：0 二、几个数学表达
19、式 非负数：0 相反数：若a=-b，则a+b=0或0-a=b；反之，若a+b=0或0-a=b则a、b互为相反数，a=-b 。 倒数： a =1（a0） ；反之，若a x b=1，则a、b互为倒数。 =a （a0） 绝对值 = -a （a0） =b-a （ba） a0，b0，则ab 三、公式 加法交换律： a+b=b+a 加法 加法结合律：（a+b）+（c+d）=（a+d）+（c+b） 减法：a-b=a+（-b） 0a=0，a0 除法 ab=a a x b x c x 0 = 0 乘法 乘法交换律：a x b= b x a 乘法结合律：（axb）x c=a x（bxc） 乘法分配律：（a+b）x c=a x c+b x c an = a x a x a x a；反之，a x a x a x a = an n 个a n 个a 乘方 a0，an0 a0，a2n0；a2n+10 1n =1 a0=1 ，a0） n0，0n= 0 (-1)2n=1; (-1)2n+1 =-1 （）2 = a（a0）； 开方 2= a（a0）；2 = -a（a0） ()3 = a; 3 = a 0 （a0） ()2 = a（a0） a (a0) 二次根式 = = -a (a0) = （a0，b0） ；反之， = （a0，b0） =（a0，b0）；反之，=（a0，b0）1.2代数式专心-专注-专业