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1、第4章静定结构的位移计算Calculation of Statically Displacement Structures4-1 结构位移和虚功的概念4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法4-3 静定结构由荷载所引起的位移4-4 图乘法4-5 互等定理目 录产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差以上都是绝对位移4-1 结构位移和虚功的概念计算位移的目的：(1)刚度验算，(2)超静定结构分析的基础。位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。以上都是相对位移 广义位移=A V+BVW=F 2、广义力与广义位移：作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称
2、为广义力F。与位移有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是功。即：W=F1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量。2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。3）若广义力是等值、反向、共线的一对力PPPttA BBA这里 是与广义力相应的广义位移。表示AB 两点间距的改变，即AB 两点的相对位移。1、功：AB这里 是与广义力相应的广义位移。表示AB 两截面的相对转角 3、实功与虚功 实功是力在自身引起的位移上所作的功。实功恒为正。虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。4）若广义力是一对
3、等值、反向的力偶 mA BmmB Am mW j+j=5）若广义力是一对等值、反向、不共线的力 Pdsds dsds dsdsds ds ds内力虚功：位移状态力状态4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法一、变形体系虚功原理：设变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），又设该变形体系由于别的原因产生符合约束条件的连续变形（位移状态），则力状态的外力在变形状态的位移上所作的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作虚功（虚应变能）。外力虚功虚应变能虚功原理两种应用：1、虚位移原理:实际力+虚设位移2、虚力原理：实际位移+虚设力求实际力求实际位移二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公
4、式：K 1外虚功：内虚功：实际状态（位移状态）虚拟状态（力状态）适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。三、位移计算的一般步骤:K 1实际变形状态 虚力状态(1)建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；(2)求虚力状态下的内力及反力表达式;(3)用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。ABP=1/l P=1/lP=1/lP=1/lll C ABP=1/
5、lP=1/llABP=1/lP=1/ll（）AB 杆的转角AB 连线的转角AB 杆和AC 杆的相对转角研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。一、计算步骤（1）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载 内力 应力 应变 过程推导应变表达式。（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知k-为截面形状系数 1.2(3)荷载作用下的位移计算公式4-3 静定结构由荷载引起的位移二、各类结构的位移计算公式（1）梁与刚架（2）桁架（3）拱（4）桁，梁混合结构梁式杆 链式杆qA CB(a)实际状态P=1A CB(b)虚设状态AC 段例1.试计算悬臂梁A 点的竖向位移。1）列出
6、两种状态的内力方程：CB 段2)将上面各式代入位移公式分段积分计算AC 段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB 段qA CBP=1A CB设为矩形截面 k=1.23）讨论:比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比,由材料力学公式。设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有代入上式PP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.5 0.5-1.58-1.58001.5 1.52P 2P例2 计算屋架顶点的竖向位移。0.25l 0.25l 0.25l 0.25lADCEFGB1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.5 0.5-
7、1.58-1.58001.5 1.5ADDCDE材料杆件l A钢筋砼钢CEAEEGABCDEFG例3：求图示曲杆（1/4 圆弧）顶点的竖向位移。解：1）虚拟单位荷载PddsP=1PP=1虚拟荷载3）位移公式为dds2）实际荷载12001DDMND4001DMQD2=DMNARI412=DDMQR2h2GAREIk 可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略。h101R如钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12Pl/2 l/2EIA Bx1x2例4：求图示等截面梁B 端转角。解：1）虚拟单位荷载m=12）MP
8、 须分段写Pl PlMPP=1xl xMPx试用单位荷载法求出梁的挠曲线。k idsEIM M=k iC EIdx M MEI1=PEIydxEIM M0w=yEI01w=x tgEI01w a=BAkdx xM tgEI1aBAkMdx xtg MEIi1a是直线k idxEIM M直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0y0=x0tg4-4 图乘法 表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积 与竖标y0在杆的同侧，y0 取正号，否则取负号。积分常可用图形相乘来代替几种常
9、见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3=hl/2la bhl/2 l/2h二次抛物线=2hl/3h3l/4 l/45l/8 3l/8二次抛物线=hl/3二次抛物线=2hl/34l/5 l/5hh三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点Pl/2 l/2EIA Bm=11/2Pl/4ql2/2 MPMPP=1l lqAB例5：求梁B 点转角位移。例6：求梁B 点竖向线位移。3l/4PPa a aPa PaMPP=13a/4a/2a/2当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求
10、位移；b）当EI分段为常数或 M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。例7：求图示梁中点的挠度。？Pl/2 l/2C例8：求图示梁C 点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6 EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65 l lEIyC2 2 210=w5Pl/6？非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形()bc ad bd acl+=2 26d c+323bl+2d c+3 32al=2y y dx M Mk i+=2 2 1 1w wabdcl/3 l/3 l/312y1y2MiMkh1h2labdch+bah2 32 d c hl+()2 26bc ad bd aclS+
11、=b)非标准抛物线乘直线形h1h22 32 d c hl+各种曲线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。（1）3264952.5（2）326492.512364（3）910.5（4）23690.53 E=3.3 1010 N/m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010=3.6465 104 N m2例9：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N/m3，求C 点的挠度。q=625 N/m2.2m 0.8mABC解：q
12、=2500010.025 625 N/m200378P=10.8MPq=625N/m2.2m 0.8mABC1y13y32y2例10、求AB 两点的相对水平位移。36189MPP=1P=1636kN2kN/m2kN/m 6m3m 3mABEI=常数9 9 99999)()=EI-756+33223 18-+EI6436 3631 1+-26 39 632(+-+-=EI6 18 3 36 3 18 2 6 36 266 136189MPP=1P=1636kN2kN/m2kN/m 6m3m 3mABEI=常数9 9 99 9qllEIB1ql2/83ql2/2MPl例11、求B 点竖向位移。4k
13、N4kN.m2kN/m12kN.m4m 4mEIAB例12、求B 端转角。5kN12844MPkN.m1kN.m5m 5m5m5m 5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020例13、求A 点水平位移。m5m 5m5m5m 5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510202kN10101020P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2例14、求B 点的竖向位移。EIql llqlEIB8 432 31 14 2=yl qlEIB2 83312102+=Lq？ql2/8l/2？ql2/32y0P
14、=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2EIql256174=l l l qlEI 25.02 32 32212+-lql l ql l qllql lEI 8 2 2 2 822265.0212 2 2 2+l qlEIlB432 8 31 122=qql2/8l/2ql2/32y0例15、求D 点的竖向位移。P P P4m3=12m3mABDC5P8PP=15/34/3000000000013P例16 试求等截面简支梁C 截面的转角。ql/5 4l/52ql2/25ql2/8MP11/54/5=ql l ql l125 8 5 322525 212 2+-lqlEIC218 32
15、 12=qEIql100333=1应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形体系。P1P2F1F2N1 M1 Q1N2 M2 Q2一、功的互等定理+dsGAQ kQEIM MEAN N1 2 1 2 1 2=F W12 21+=dsGAQ kQEIM MEAN N2 1 2 1 2 1=P W21 124-5 互等定理二、位移互等定理P1P22112jijijPd=P P=121212P P=21 2 12 1称为位移影响系数，等于Pj=1 所引起的与Pi相应的位移。功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W
16、21。即：W12=W21P1P2 位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数12。或者说,由单位荷载P1=1 所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1 所引起的与荷载P1相应的位移12。2112注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。三、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121R c R+=22 1 120c R R+2 21 110称为反力影响系数，等于cj=1 所引起的与ci相应的反
17、力。c1c2R11R21R22R12 反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12。或者说,由单位位移c1=1 所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12。注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用于超静定结构。Pl/2 l/23Pl/16CAC例17：已知图结构的弯矩图求同一结构由于支座A 的转动引起C 点的挠度。解：W12=W21W21=0W12=PC3Pl/16 0 C=3l/16P=1m=1m=1A B
18、BA 例18、已知图a梁支座C 上升0.02m 引起的D=0.03m/16，试绘图b 的M 图。PRc(b)a a/2 a/2A BCDD0.02m(a)Wab=0=Wba=PD+RC CRC=3P/323Pa/32小 结一、虚功原理We=Wi力：满足平衡位移：变形连续虚设位移虚位移原理（求未知力）虚功方程等价于平衡条件虚力原理（求未知位移）虚功方程等价于位移条件虚设力系二、=刚架、梁 桁架 支座移动组合结构、拱 各项含义 虚设广义单位荷载的方法标准图形的面积和形心位置非标准图形乘直线形的处理方法四、互等定理适用条件内容 W12=W2121 12d d=r12=r21三、图乘法求位移=PEIydxEIM M0w图乘法求位移的适用条件y0的取法