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1、结构力学静定结构位移计算第1页，本讲稿共37页4-1 4-1 结构位移计算概述结构位移计算概述 一、杆系结构的位移一、杆系结构的位移AVAHAAA（1）绝对线位移和绝对角位移（简称线位移和角位移）（2）相对线位移和相对角位移ABCDABCDCD第2页，本讲稿共37页a）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析打基础；c）建筑起拱。M Q N t+t不产生内力，产生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差。不产生内力和变形产生刚体移动位移是几何量，理论上可用几何法来求，如但因几何关系的复杂性，一般用虚功法。其理论基础是虚功原理。a）荷载作用；计算位移时，常假定：1）E；2）小
2、变形；3）具有理想约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。二、计算位移有三个目的二、计算位移有三个目的三、产生位移的主要原因三、产生位移的主要原因第3页，本讲稿共37页4-2 4-2 虚功原理虚功原理一、实功与虚功一、实功与虚功 实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 W11，W22。实功恒为正。虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如W12，如力与位移同向，虚功为正，如力与位移反向，虚功为负P1P2112212荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系P与成正比。P11P1元功 dW=PdW11dWSOAB P111/2再加P2，P2在自身引
3、起的位移22上作的功W22P2 222在12过程中，P1的值不变，W12=P11212与P1无关dTOABKj位移发生的位置产生位移的原因 第5页，本讲稿共37页二、广义力与广义位移二、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力S；与位移有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关系有其虚功定义WS 1）广义力是单个集中力P，则广义位移是该力的作用点沿力 的作用线方向上的线位移。Pm2）广义力是一个集中力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角位移。3）若广义力是等值、反向的一对力PPPttABBAWPAPBP(AB)P这里是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改
4、变，即AB两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶mABmmABWmAmBm(AB)m这里是与广义力相应的广义位移。表示AB两截面的相对转角。第6页，本讲稿共37页P1P2 三、静力可能力状态与位移可能位移状态三、静力可能力状态与位移可能位移状态N1、Q1、M1YA1YB1XB1体系上作用一组力系（含外力、内力），称为力状态，如果该力系满足静力平衡条件。称该状态为静力可能的力状态。N2、Q2、M2YA2YB2XB2同一体系上可有无数个静力可能的力状态。1、1、12、2、212 体系上产生一组位移（含结构位移和变形位移），称为位移状态，如果该位移状态满足变形协调条件和位移边界条件。称之
5、为位移可能的位移状态。同一体系上可有无数个可能位移状态。两组可能位移的差（微小）称为虚位移。虚位移也可定义为协调、任意、微小的位移。1、静力可能的力状态2、位移可能的位移状态第7页，本讲稿共37页四、虚功原理四、虚功原理 若同一体系上的两状态是彼此无关的静力可能状态和位移可能状态，则力状态的外力在位移状态相应结构位移上所做的虚功（外力虚功）等于力状态的内力在位移状态相应变形位移上所做的虚功（内力虚功）；反之亦然。外力静力可能力状态位移可能位移状态理解2力状态是静力可能的；内力结构位移变形位移位移状态是位移可能的；外力虚功等于内力虚功。三个条件：理解1满足任意两个条件必满足第三个条件。虚功方程第
6、8页，本讲稿共37页 虚位移原理等价于平衡条件，abACB PXP 1 可用于刚体系平衡问题的求解。对于理想约束，约束反力不做功；刚体无变形，内力不做功。虚功方程退化为：主动力体系位移0例：求杠杆在图示位置平衡时X的值。P X 由代入习惯上，设则虚位移原理实际上将平衡问题归结为几何问题求解 若某力状态在可能位移状态相应结构位移上所做的外力虚功等于内力虚功，则该力状态必是静力可能的力状态。五、虚功原理的应用五、虚功原理的应用1、虚位移原理第9页，本讲稿共37页2、虚力原理 若静力可能力状态在某位移状态上所做的外力虚功等于内力虚功，则该位移状态必是位移可能的位移状态。虚力原理等价于协调条件，可用于
7、体系几何问题的求解。例：刚体系，A支座发生位移c，求B端位移。b acP=1建立虚功方程：P+RAc=0（）AB第10页，本讲稿共37页N2N2+dNQ2Q2+dQM2M2+dMdsdu1 4-3 结构在荷载作用下的位移计算AAqPmA实际状态位移状态虚设状态静力可能力状态位移状态的结构位移：一、位移计算公式一、位移计算公式位移状态的变形位移：dsdsdv11dsd1静力可能力状态的外力：静力可能力状态的内力：dsdsN2 dN、Q2 dQ、M2 dM由虚功方程：忽略内力增量的影响对于线弹性体此式也适用非弹性体第11页，本讲稿共37页 因静力可能力状态是任意的，为计算方便，此时可设位移状态中相
8、应内力以P为下标。虚功方程改写为此即线弹性结构在力荷载作用下的位移计算公式。（单位荷载法）（1）EA、GA和EI分别是杆件截面的拉压、剪切和弯曲刚度；k 是截面形状系数 k矩=1.2，k圆=10/9。注：注：（2）是实际荷载引起的内力；（3）是虚拟力状态引起的内力。二、各类结构位移计算公式的简化二、各类结构位移计算公式的简化 公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。不同结构类型有不同的受力特点，公式右边各项对所求位移的影响也不尽相同。故可简化之。第12页，本讲稿共37页 （3）拱：通常只考虑弯曲变形的影响。（1）梁和刚架：位移主要由弯矩引起，轴力影响较小。（2）桁架：位移仅由轴力
9、引起。一般情况下（浅梁），剪切对位移的影响很小，通常忽略不计。但在扁平拱（l/f 5）中计算水平位移时需考虑轴向变形对位移的影响：第13页，本讲稿共37页在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单位荷载在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单位荷载lAB求A点的水平位移求A截面的转角求AB两截面的相对转角求AB两点的相对位移求AB两点连线的转角位移方向未知时无法直接虚拟力状态！但所虚设的力状态必须具有在虚功方程中能激活所求位移的性质。公式的应用的关键是：视实际状态为位移状态，虚设静力可能的力状态。三、虚拟力状态的建立三、虚拟力状态的建立第14页，本讲稿共37页 四、应用举例四、应
10、用举例解：例1：求图示桁架(各杆EA相同)B点水平位移。（1）设力状态如图所示（2）计算位移状态的内力如图所示（3）计算力状态的内力如图所示（4）代入公式计算位移注：当一个状态下出现零杆，则另一状态下对应的内力可不必计算第15页，本讲稿共37页 例2：求曲梁B点的竖向位移（EI、EA、GA已知）解：ROBAP（1）虚设的力状态如图所示（2）计算位移状态和力状态的内力K（两状态的内力需在同一坐标系下计算）K（3）代入公式计算位移 小曲率杆可利用直杆公式近小曲率杆可利用直杆公式近似计算似计算;轴向变形轴向变形,剪切变形对位剪切变形对位移的影响可略去不计移的影响可略去不计第16页，本讲稿共37页例3
11、：求图示等长l、等截面刚架C端的竖向位移和转角。ABCq解：分别虚设力状态如图所示求CV的力状态1求C的力状态2分别列出各状态下的弯矩方程位移状态x1x1x1x2x2x2积分常可用图形相乘来代替第17页，本讲稿共37页yxdxxxCP 4-4 4-4 图乘法图乘法刚架与梁的位移计算公式为：建筑结构中最常见的是刚架与梁图乘法可简化公式的积分计算一、图乘法的原理及其应用条件一、图乘法的原理及其应用条件OMPdP竖标 ，再除以杆的弯曲刚度EI。公式积分等于MP图的面积 P 乘以与其形心所对应的 图的所以设 图线为直线类似地，若设MP图线为直线，则C第18页，本讲稿共37页表示对各杆和各杆段分别图乘再
12、相加。图乘法的应用条件：a）EI 常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。竖标 y 必须在直线形弯矩图中取值，面积 则在另一弯矩图中取值。若两个弯矩图都是直线，任选一个取面积，另一个取竖标。面积 与竖标 y 在杆的同侧，y 取正号，异侧取负号。基本图形的面积与形心位置：除矩形外，常见的是三角形和二次标准抛物线。应用条件及说明：应用条件及说明：(a+l)/3(b+l)/3 hl/2labhl/2l/2h二次抛物线 2hl/3顶点第19页，本讲稿共37页1/2Pl/4MP图例：求图示梁B端的转角。Pl/2l/2EIAB1、设原结构为位移状态：解：2、虚设力状态如图所示：作相应的MP图，如图
13、所示。作相应的 图，如图所示。3、用图乘法求位移：（）1图P当图乘法的适用条件不满足时，可做适当处理！当图乘法的适用条件不满足时，可做适当处理！第20页，本讲稿共37页 二、图乘法的处理技巧二、图乘法的处理技巧可按叠加法作弯矩图的反向思路，当 图为非基本图形时，将MP 图分解为若干基本图形，1P2P然后分别图乘叠加。1、图形分解例：求图示梁A端的竖向位移。lEIABq解：虚设力状态并作弯矩图；l作原状态并弯矩图；图ql2/2ql2/8图将MP图分解；ql2/2ql2/8（）图的面积和形心不易确定，第21页，本讲稿共37页 常见的图形分解如下：ablababablabhhablablhabh有抛
14、物线先连线抛物线两端；然后从基线开始分解；每一次分解后的直线又视为新的基线。第22页，本讲稿共37页 应分段图乘再叠加。2、当 图线为分段直线或为阶梯截面时，例：求图示梁跨中C 截面竖向位移。Pl/2l/2EIABPl/4MP图l/4M 图C（）?一块面积只能对应一条直线！一块面积只能对应一条直线！1P2P（）曲杆或EI连续变化的直杆不能用图乘法。第23页，本讲稿共37页PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2CPlCP=1l/2l/65Pl/6？MP图M图（）MP图M图例：求图示梁C点的挠度。？（）第24页，本讲稿共37页 例：求图示阶梯梁B点的挠度
15、。ql2/2MP图M图l/2A B2EIEIl/2qql2/2lMP图ql2/8ql2/81P2P3P4P5PlM图bacde 此类图乘尚有更简便的盈亏法。第25页，本讲稿共37页 三、图乘法应用举例三、图乘法应用举例例：例：求图示梁C点的挠度。解：求图示梁C点的挠度。1、设实际状态为位移状态；2、虚设力状态如图所示；3、分别作两状态的弯矩图；l/2M图ql2/8ql2/8qlABCl/2P ql/4MP图4、图乘计算：1P2P3P（）第26页，本讲稿共37页 例：例：求图示刚架B点的水平位移。llqBAC解：作 MP图，如图所示；虚设力状态，并作M 图，如图所示；qlql2/2ql2/2ql
16、2/8MP图1llM 图1P2P3P（）若计拉压变形，如图所示；NBC 0NAB ql/2NBC 0NAB 1设矩形截面（）第27页，本讲稿共37页 例：例：求图示刚架C铰的竖向位移和其两侧截面的相对转角。3ql/4ql2/4ql2/4ql2/4ql2/8MP图P1lqACl/2l/2B1/4l/4l/4M 1图P111/41/l1/l1111M 2图（）（）第28页，本讲稿共37页l/2l/2hCABP1 4-5 4-5 支座移动和温度改变产生的位移支座移动和温度改变产生的位移 设实际状态为位移状态，由于静定结构在支座移动不会产生内力和变形，所以位移状态中变形位移为零，而结构位移仅有支座位移
17、ck。虚设力状态：沿所求位移方向施加单位广义力P 1；由于内力不做功，外力则为P 和与支座位移向对应的约束反力Rk。由虚功原理例：求图示结构C铰两侧截面的相对转角abX1/hY0Y0（）一、支座移动产生的位移一、支座移动产生的位移第31页，本讲稿共37页1）温度改变对静定结构不产生内力，材料的自由胀缩。2）假设：杆段为等截面、温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h2t0 (h1t2+h2t1)/h t=t2t13）微段的变形位移 dsd t0dsdu t0ds t1ds t2ds 二、温度改变产生的位移二、温度改变产生的位移设位移状态：it、du、d设力状态：P、N、M第二项：t为温变
18、差，与M 共同决定正负号，按受拉侧，同侧为正，异侧为负。第一项：t0为平均温变，升正降负，N 拉正压负；第32页，本讲稿共37页例：求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。1a aa01010C0P 1P 1N 图M 图（）第33页，本讲稿共37页应用条件:1)应力与应变成正比；2)线性变形体系；3)力荷载作用下。N Q MN Q M1、功的互等定理功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即：W12=W21 4-6 4-6 互等定理互等定理P2P1PnPiPjP1P2Pnij第34页，本讲稿共37页2、位移互等定理P1
19、P2位移互等定理：位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1 所引起的与荷载P2 相应的位移影响系数21 等于由荷载P2 所引起的与荷载P1 相应的位移影响系数12。或者说，由单位荷载P11所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P21所引起的与荷载P1相应的位移12。2112称ij为位移影响系数，等于Pj 1 所引起的与Pi相应的位移。注意:1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移；2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。令则第35页，本讲稿共37页3、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr称rij 为反力影响系数，等于cj 1所引起的与ci相应的反力。反力互等定理：反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12。或者说，由单位位移c11所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c21所引起的与位移c1相应的反力r12。注意：1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力；2）反力互等定理仅用与超静定结构。令则第36页，本讲稿共37页Pl/2l/23Pl/16CAC例：已知图结构的弯矩图求同一结构由于支座A的转动引起的C点的挠度。解：W12W21W210W12PC3Pl/16 0C 3l/16 第37页，本讲稿共37页