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1、现代数学中，每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关系数据库，操作系统等都有重要应用。集合论是研究集合一般性质的数学分支，它的创始人是康托尔(，18451918)。在集合论简介 内容：集合，元素，子集，幂集等。重点：(1)掌握集合的概念及两种表示法，(3)掌握子集及两集合相等的概念，(4)掌握幂集的概念及求法。(2)常见的集合 和特殊集合，第三章 集合第一节 集合的基本概念 一、集合的概念。1、集合一些确
2、定的对象的整体。集合用大写的字母标记 其中的对象称元素，用小写字母标记 表示集合 含有元素注意：(1)或(2)集合中的元素均不相同 表示同一个集合。(3)集合的元素可以是任何类型的事物，一个集合也可以作为另一个集合的元素。例如：2、集合的表示法。(1)列举法(将元素一一列出)例如：(2)描述法(用谓词概括元素的属性)例如：一般，用描述法表示集合 3、常见的一些集合。4、集合间的关系。(1)的子集，记 为为的真子集，记 5、特殊的集合。空集(2)对任意集合有(3)两集合相等，记作全集)(或(为任一集合)例1、选择适当的谓词表示下列集合。(1)小于5的非负整数集(2)奇整数集合(3)10的整倍数集
3、合，(4)例2、确定下面命题的真值：(1)真值 真值(2)(3)真值(4)真值(5)真值(6)真值(7)真值(8)真值 例3、有可能，且 为集合，若吗？吗，有可能解：两种情形都有可能。设，则。，有又设，则。，但二、幂集。1、子集。元 个元素的集合)的元集(例如：为3元集。0元子集：(只有一个)，1元子集：个)，(共2元子集：个)，(共3元子集：个)。(共一般，个。元集共有子集解：2、集合的幂集，记的全体子集为元素的集合。例4、。，求若个元素。有 个元素，则有例5、求以下集合的幂集。(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：内容：集合的运算，文氏图，运算律。重点：(1)掌握集合的运算(2
4、)用文氏图表示集合间的相互关系和运算，(3)掌握基本运算律的内容及运用。第二节 集合的运算一、集合的运算。，相对补集集合，的并集交集，对称差。绝对补集，(当 不交)时，称以上定义加以推广，(其中 为全集)，(1)(2)(3)(4)，求出以下集合。，例1、设，(5)(6)(7)(8)1、文氏图。(2)矩形内的圆表示集合，(1)用大矩形表示全集，二、文氏图。(3)除特殊情形外，一般表示两个集合的圆是相交的，(4)圆中的阴影的区域表示新组成的集合。2、用文氏图表示集合的有关运算。例2、用文氏图表示下列集合。(1)(2)(3)(4)例3、用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分。(1)解：(2)解：三 包
5、含排斥定理 设 和 是两个有限集合，则，其中 分别表示、的元数 把包含排斥定理推广到 个集合的情况可用如下定理表述：设 为有限集合，其元数分别为，则例4 求从1到500之间能被2,3,7任何一个数整除的整数的个数 例5 有100名程序员，其中47名熟悉FORTRAN语言，35名熟悉PASCAL语言，23名熟悉这两种语言问有多少人对这两种语言都不熟悉？1、幂等律：，2、结合律：,3、交换律：,4、分配律：,第三节 集合的运算性质5、同一律：,6、零律：,7、互否律：(排中律)，(矛盾律)8、吸收律：，9、德摩根律：10、双重否定律：以上恒等式的证明思路：欲证。，即证对任意故 例4、证明分配律。证
6、明：对任意，除基本运算外，还有以下一些常用性质(证明略)13、14、15、12、11、，16、17、18、19、20、“”的交换律“”的结合律故 例5、证明：(第14条)证明：对任意，证明：例6、证明。例7、化简 所以原式化简为 解：因为，所以，又因为所以，又 最后，原式化简为。例8、设为假的各有哪些？（1）（2）（3）的子集，以下命题中为真，均为真命题假命题真命题一、笛卡儿积。1、有序对，记。特点：(1)，时，(2)。有序。，记 元组第四节 序偶与笛卡儿积2、有序 元组 是一个有序对，其中第一个元素是一个有序元组，一个有序 元组记作 即2、笛卡儿积。定义：集合。的笛卡儿积，记作 和例1、，求
7、。，解：当且仅当 例2、设。，求解：(2)笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。(3)一般，。注意：(1)若则元集，是 元集，是元集。为3、笛卡儿积。阶特别，当记为时，。如，例3 设 试求：（1）；（2）；（3）。解：（1）（2）（3）笛卡儿积运算具有以下性质：1若 中有一个空集，则它们的笛卡儿积是空集，即2当 且 都不是空集时，有3当 都不是空集时，有4笛卡儿积运算对 或 运算满足分配律，即(1)(2)(3)(4)例4、证明：证明：对任意，故。一、集合的基本概念。1、基本概念。元素和集合的属于关系；有限集和无限集；子集和真子集；集合的相等；空集和全集；幂集。2、应用。(1)用集合的两种表示法
8、表示集合。(2)求给定集合的幂集。第三章 小结与例题 二、集合的基本运算与性质。1、基本概念。交集，并集，差集，补集，对称差集；文氏图；基本运算律。2、应用。(1)用文氏图表示集合间的相互关系和运算。(2)运用基本运算律进行证明，化简等。三 序偶与笛卡儿积表示计算机科学系学生的集合，表示二年级大学生的集合，表示数学系学生的集合，表示选修离散数学的学生的集合，表示爱好文学的学生的集合，表示爱好体育运动的学生的集合，用集合交集，并集和包含关系表示：(1)所有计算机科学系二年级的学生都选修离散数学，解：例1、设表示一年级大学生的集合，(2)数学系的学生或者爱好文学或者爱好体育运动，解：(3)数学系一
9、年级的学生都没有选修离散数学，解：(4)只有一、二年级的学生才爱好体育运动，解：(5)除去数学系和计算机科学系二年级的学生外都不选修离散数学。解：(1)解：解：例2、设，确定在以下条件下集合相等？中哪个 可能与，(2)，但解：或(4)若解：或例2、设，确定在以下条件下集合相等？中哪个 可能与，(3)且解：与其中任何集合都不相等 例2、设，确定在以下条件下集合相等？中哪个 可能与，(5)若 且例3、简要说明：举出它们的元素和子集。的区别，与子集有解：是无任何元素的集合，是以集合为元素的集合，元素为。，子集有例4、设，问上述集合中有哪些是相等的。解：(1)解：结论不一定成立。例5、设是集合，证明或
10、反驳下列断言。若则有，但若则有，。(2)解：结论不一定成立。例5、设是集合，证明或反驳下列断言。若则有，但若则有，。(3)解：结论成立。由因。有知：故。例5、设是集合，证明或反驳下列断言。(1)，有 证明：设 例6、设为任意集合，证明：又，即有，故所以。例6、设 为任意集合，证明：(2)证明：设，有 又，故即，所以。例7、求下列集合的基数和每个集合的幂集。(1)解：基数2，幂集为：(2)解：基数3，幂集为：(1)2，4，6，8 解：例8、设试用其中：表示下述集合。(2)3，6，9 解：例8、设试用其中：表示下述集合。(3)10 解：例8、设试用其中：表示下述集合。解：例8、设试用其中：表示下述集合。(4)是偶数例8、设试用其中：表示下述集合。(5)是奇数)是正偶数)解：例8、设试用其中：表示下述集合。(1)所有奇数的集合；解：(2)解：例 9、都是 表示下列集合。和的子集，试用(3)解：(4)解：例 9、都是 表示下列集合。和的子集，试用