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1、离 散 数 学第1篇 集 合 论第第1 1章章 集合及其运算集合及其运算1.1 集合的概念与表示 一、集合的概念 一些确定的、可以区别于其它个体的对象的总和称为集合。集合中的个体对象称为集合的元素，常用a、b等小写字母表示。集合通常用A、B等大写字母表示。一些特定的字母表示特定的集合，如 N、Z、Q、R、C。元素与集合的关系称为属于关系。元素a是集合A中的元素，记作 ，元素a不是集合A中的元素，记作 。在集合的概念中需要强调指出三点：1。集合中相同的元素，不论出现多少次，都被看作为一个元素。2。集合中的元素是没有排列顺序的。例如集合A中的元素是a、b、c，集合B中的元素是c、a、b，那么，它们
2、表示的是同一个集合。3。集合中的元素可以是数、点、事物，还可以是集合。根据集合中元素的个数，集合可分为有限集合和无限集合。有限集合A中所包含的元素的个数以|A|表示。二、集合的表示方法1列举法 列出集合中的所有元素，用大括号括起来。例如，A=a,b,c,d,N=0,1,2,3,。2。描述法 在大括号中，先说明元素怎样表示，再描述元素具有的共同属性，例如，N=x|x是非负整数,D=(x,y)|3。图示法文氏图 用一个简单的平面区域(通常用圆)表示一个集合，不同的集合用不同的平面区域表示。区域内的点表示集合中的元素。三、集合之间的关系 若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，称集合A是集合B的子
3、集，记作 。如 ，则 。说明：1。包含关系只适用于集合与集合之间。2。若 ，则A=B。3。若 ，且B中包含不属于A的元素，则称A是B的真子集，记作 。4。集合的包含关系具有：自反性，。反对称性，。传递性，。四、特殊集合1。空集：不包含任何元素的集合，记作。空集是任何集合的子集。与是不同的。2。全集：研究对象的全体组成的集合，用E表示。任何集合都是全集的子集。3。幂集：一个集合的所有子集组成的集合，记作P(A)如A=a,b，P(A)=,a,b,a,b说明：幂集中所有的元素都是集合。与P()是不同的，中没有元素，P()中有一个元素，P()=。若A中有n个元素，则P(A)中有2n个元素。例1 设A=
4、1,2,3，则P(A)=。解：P(A)=,1,2,3,1,2),1,3,2,3,A 例2 设A=,a，则P(A)=。解：P(A)=,a,a 例3 设A=a,a，下列命题中不正确的是 。(1)(2)(3)(4)解:P(A)=,a,a,a,a,不正确的是(2)1.2 集合的运算及其性质一、集合的运算 集合的运算有并、交、差、补和对称差。1。集合的并 由所有属于A或属于B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作 。例如A=1,2,3,4，B=2,4,6，2。集合的交 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为集合A与B的交集，记作 。例如A=1,2,3,4，B=2,4,6，集合的并、交与集合之间有
5、如下关系：1。对于任意集合A、B2。如果ABAB例4，证明 证明集合命题的第一种方法是通过在集合中任取一个元素，利用集合的定义进行证明。证明：3。集合的差 由所有属于A但不属于B的元素组成的集合称为集合A与B的差，记作 AB。集合A与B的差AB与集合B与A的差BA是不同的 例如A=1,2,3,4，B=2,4,6，AB=1,3，BA=6 4。补集 由全集E中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作A。E故有A-BB-AAA例5 设A,B,C是整数集Z的子集，其中A=1,2,4求解：A=1,2,4，B=-3,-2,-1,0,1,2,3，C=0,3,6,95。集合的对称差 集合 称为集合A
6、、B的对称差，记作 。从右边的文氏图中可以看出:例如A=1,2,3,4，B=2,4,6，例6 设E=1,2,3,4,5,A=1,4,B=1,2,5,C=2,4求解:A-BB-A例7 设集合 ，求 。解：二、集合运算的性质 集合的运算满足如下运算律。1交换律2结合律3分配律4幂等律5同一律6零律7补余律8吸收律9摩根律10双补律对称差的性质类似并集，有:交换律 结合律 分配律 零一律 消去律例8 设A,B,C为任意集合，下列命题为真的是 。A）如果 C）B）如果 D）例9，若 ，证明B=C证明集合恒等式的第二种方法是利用上面所述的运算律进行证明。证明：D例10 试证明对于任意集合A、B、C、D，
7、有证明：例11 化简下列集合表示式：解：(1)错误做法:正确做法是:(2)错误做法:正确做法是:1.3 有限集合的计数一、有限集合的计数定理(容斥定理)(1)(2)(3)(4)(5)二、文氏图是有限集合计数的有效工具，图形区域的面积就表示集合中元素的个数。例13 在20名青年中有10名是公务员，有12名是女性，其中女公务员有5名，问不是公务员的男性有多少名？解:设E=全体青年，A=公务员，B=女性则|E|=20，|A|=10，|B|=12，用文氏图解答的情况如右：例14 求在1到500之间能被2，3，7任何一个数整除的整数的个数。解:设A,B,C分别表示能被2,3,7整除的数的集合，则|A|=5002=250，|B|=5003=166，|C|=5007=71,用文氏图解答的情况如右：