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1、1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综 合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法，了 解反证法的思考过程、特点.1.直接证明(1)综合法 定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的，最后推导出所要证明的 结论，这种证明方法叫做综合法.框图表示：(其中P 表示条件，Q 表示要证结论).推理论证成立(2)分析法 定义：从 出发，逐步寻求使它成立的直 至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的 条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明 方法叫做分析法.框图表示：结论 充分条件2.间接证明 反证法：假设原命题，经过正确的推理，最
2、 后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法.不成立矛盾提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件.综合法是由因导果.因此分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考的逆过程.思考探究综合法和分析法有什么区别和联系？1.设a lg2 lg5，b ex(xb B.abC.a bD.ab解析：a lg2 lg5 1，x0，b exb.答案：A2.用反证法证明命题：“a，b N，ab 可被5 整除，那么a、b 中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为()A.a、b 都能被5 整除B.a、b 都不能被5 整除C.a、b 不都
3、能被5 整除D.a 不能被5 整除解析：用反证法证明命题应先否定结论.答案：B3.设a，b R，已知p：a b；q：()2，则p 是 q 成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：p：a b 是q：()2 等号成立的充分条件.答案：B4.已知a，b 是不相等的正数，x，y，则x，y 的大小关系是.解析：y2()2a b x2.xy.答案：xy5.若a b c，则 的最小值是.解析：由a b c，知a b 0，b c 0，a c 0，则2 2 2 4.当且仅当b c a b，即a c 2b 时，等号成立.答案：4 综合法是“由因导果”，它是从已知
4、条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系是：A B1B2 BnB(A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论)，它的常见书面表达是“，”或“”.已知x y z 1，求证：x2y2z2.思路点拨 课堂笔记 x2y22xy，y2z22yz，z2x22zx，(x2y2)(y2z2)(z2x2)2xy2yz 2zx，3(x2y2z2)x2y2z22xy 2yz 2zx，即3(x2y2z2)(x y z)21，x2y2z2 成立.1.分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分 析，逐渐地靠近已知.2.用分析法证“若P 则Q”这个命题的
5、模式是：为了证明命题Q 为真，这只需证明命题P1为真，从而有 这只需证明命题P2为真，从而有 这只需证明命题P 为真.而已知P 为真，故Q 必为真.特别警示 用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错.已知a0，求证：a 2.思路点拨 课堂笔记 要证 a 2，只要证 2a.a0，故只要证，即a2 4 4a22 2(a)2，从而只要证2(a)，只要证4(a2)2(a22)，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.1.适宜用反证法证明的数学命题有：(1)结论本身以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面
6、比原始结论更具体、更容易研究的命题；(5)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推 出结论的线索不够清晰.2.用反证法证明问题的一般步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否 定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理 及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.(结论成立)特别警示 用反证法证明问题时要注意以下二点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须
7、罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.已知a0，b0，且a b2，求证：中至少有一个小于2.思路点拨 课堂笔记 假设 都不小于2，则2，2，a0，b0，1 b2a,1 a2b，1 1 a b2(a b)，即2a b.这与已知a b2 矛盾，故假设不成立.即 中至少有一个小于2.以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程等为载体，考查综合法、分析法、反证法的应用是高考对本节内容的常规考法.09 年辽宁高考以立体几何为载体，以解答题的
8、形式考查了反证法的应用，是一个新的考查方向.考题印证(2009 辽宁高考)(12 分)如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为AB，DF 的中点.(1)若CD 2，平面ABCD 平面DCEF，求MN 的长；(2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线.【解】(1)取CD 的中点G，连结MG，NG.因为ABCD，DCEF 为正方形，且边长为2，所以MG CD，MG 2，NG.(4 分)因为平面ABCD 平面DCEF，所以MG 平面DCEF.可得MG NG.所以MN.(6 分)(2)证明：假设直线ME 与BN 共面，则AB 平面MBEN，且平面MBEN 与平
9、面DCEF 交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB 平面DCEF.(8 分)又AB CD，所以AB 平面DCEF.而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB EN.(10 分)又AB CD EF，所以EN EF，这与ENEF E 矛盾，故假设不成立.所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线.(12 分)自主体验 已知数列an 和bn 满足：a1，an 1ann 4，bn(1)n(an3n 21)，其中 为实数，n 为正整数.(1)证明：对任意实数，数列an 不是等比数列；(2)证明：当 18 时，数列bn 是等比数列；(3)设Sn为数列bn 的前n 项和.是否存在实数，使得对任
10、意正整数n，都是Sn 12？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由.解：(1)证明：假设存在一个实数，使an 是等比数列，则有 a1a3，即(3)2(4)24 9 24 9 0，矛盾，an 不是等比数列.(2)证明：bn 1(1)n 1an 13(n 1)21(1)n 1(an2n 14)(1)n(an3n 21)bn.又 18 b1(18)0.由上式知bn0，(n N*).故当 18 时，数列bn 是以(18)为首项，为公比的等比数列.(3)当 18 时，由(2)得bn(18)()n 1，于是Sn(18)1()n.当 18 时，bn0，从而Sn0，Sn 12 恒成立.当 18 时，要使对
11、任意正整数n，都有Sn 12，即(18)1()n 12 18.令f(n)1()n，则当n 为正奇数时，1f(n)；当n 为正偶数时，f(n)1.f(n)的最大值为f(1).于是可得 12，的取值范围为(，6).1.a，b，c 为互不相等的正数，且a2c22bc，则下列关 系中可能成立的是()A.abc B.bcaC.bacD.acb解析：由a2c22ac 2bc2ac ba，可排除A、D，令a 2，c 1，可得b，可知C 可能成立.答案：C2.用反证法证明“如果ab，那么”假设内容应是()A.B.C.且D.或解析：的否定形式为.答案：D3.要使 成立，则a，b 应满足()A.ab 0 且a b
12、B.ab 0 且a bC.ab 0 且a bD.ab 0 且a b 或ab 0 且a b解析：要使 成立，只要 成立，即a b 3 3 a b 成立，只要 成立，只要ab2a2b 成立，即要ab(b a)0 成立，只要ab 0 且a b 或ab 0 且a b 成立.答案：D4.设x，y，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在 平面内，下列条件中能保证“若x z，且y z，则x y”为真命题的是(填所有正确条件的代号).x 为直线，y，z 为平面；x，y，z 为平面；x，y为 直线，z 为平面；x，y 为平面，z 为直线；x，y，z 为直线.解析：由空间位置关系的判定及性质可知 正确.答案：5.方程f(x)x 的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)有唯一 不动点，且x11000，xn 1(n N*)，则x2010.解析：由 x 得ax2(2a 1)x 0.因为f(x)有唯一不动点，所以2a 1 0，即a.所以f(x)，所以xn 1 xn.所以x2010 x12009 1000.答案：6.若a、b、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lglga lgb lgc.证明：要证lg lg lglga lgb lgc 成立，即证lg()lg(abc)成立，只需证 abc 成立，abc 0(*)成立.又a、b、c 是不全相等的正数，(*)式等号不成立，原不等式成立.