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1、第五节第五节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量一、无穷大量二、无穷小量三、无穷小量的性质绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.一、无穷大量上一页上一页下一页下一页返回返回特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆，不能与很大的数混淆，它描述的是函数的一种状态它描述的是函数的一种状态.（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是但是无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.上一页上一页下一页下一页返回返回不是无穷大不是无穷大无界，无界，上一页上一页下一页下一页返回返回证证上
2、一页上一页下一页下一页返回返回二、无穷小量1、定义、定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.上一页上一页下一页下一页返回返回例如例如,注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.上一页上一页下一页下一页返回返回说明说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然 C 只能是 0!CC时,函数(或 )则称函数为定义定义2.若(或 )则时的无穷小无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页下一页下一页返回返回2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系
3、:证证 必要性必要性充分性充分性 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxxa a+=其中其中)(xa a是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.上一页上一页下一页下一页返回返回意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理2 2 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.*证证3 3、无穷大与无穷小的关系、无穷大与无穷小的关系上一页上一页下一页下一页返回返回意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨
4、论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.上一页上一页下一页下一页返回返回三、无穷小的运算性质三、无穷小的运算性质:定理定理3 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.证证上一页上一页下一页下一页返回返回注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证上一页上一页下一页下一页返回返回推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论
5、推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回*定定理理5 有有某某一一极极限限过过程程中中,如如果果(x)是是无无穷穷小小量量,f(x)以以A为极限为极限,且且A0,则则 仍为无穷小量仍为无穷小量.证 由定理4可知,只需证 为该极限过程中的有界变量即可,仅对 时进行证明,其他情形类似可证.上一页上一页下一页下一页返回返回四、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注
6、意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.上一页上一页下一页下一页返回返回思考题思考题上一页上一页下一页下一页返回返回思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例有有上一页上一页下一页下一页返回返回一、填空题一、填空题:练练 习习 题题上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回练习题答案练习题答案