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1、第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某去心邻域内有说明说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,定理定理1(必要条件)函数偏导数,但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在时,具有极值定理定理2(充分条件)的某邻域
2、内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数例例1.1.求函数的极值.例例2.讨论函数及是否取得极值.在点(0,0)二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,为极小 值为最小 值(大大)(大大)例例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成一个x24断面为等腰梯形的水槽,问怎样折才能使断面面积最大.例例3 3.某厂要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?